Kiến trúc - Xây dựng - Chương 2: Thủy tĩnh học

THỦY TĨNH HỌC ThS LÊ MINH LƯU _ 9 _ CHƯƠNG 2 THỦY TĨNH HỌC §2.1 – Áp suất thủy tĩnh –Áp lực. Lấy một khối chất lỏng W đứng cân bằng (hình 2 – 1). Nếu chia cắt khối đó bằng một mặt phẳng tuỳ ý ABCD và vứt bỏ phần trên, thì muốn giữ phần dưới khối đó ở trạng thái cân bằng như cũ ta phải thay thế tác dụng của phần trên lên phần dưới bằng một hệ lực tương đương. Trên mặt phẳng ABCD, xung quanh một điểm O ω ω Hình 2 – 1 tuỳ ý ta lấy một diện tích ω; gọi P là lực của phần trên tác dụng lên ω, tỉ số tbPP =ω gọi là áp suất thủy tĩnh trung bình. Nếu diện tích ω tiến tới số 0, thì tỉ số ω P tiến tới giới hạn p , gọi là áp suất thủy tĩnh tại một điểm, hoặc nói gọn là áp suất thuỷ tĩnh. pP =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ → ωωlim0 (2 – 1) Áp suất thủy tĩnh p là ứng suất tác dụng lên một phân tố diện tích lấy trong nội bộ môi trường chất lỏng đang xét. Trong thuỷ lực, lực P tác dụng lên diện tích ω gọi là áp lực thủy tĩnh lên diện tích ấy. Chú ý: người ta thường gọi trị số p của p là áp suất thủy tĩnh và trị số P của P là áp lực thủy tĩnh. Áp suất có đơn vị là 2m N hoặc 2.sm kg . Trong kỹ thuật, áp suất còn được đo bằng átmốtphe (at) 1 at = 9,81.104 (N/m2) 1 at = 1(kG/cm2) Áp lực có đơn vị là Niutơn (N) Áp suất còn được đo bằng chiều cao cột nước. §2.2 – Hai tính chất cơ bản của áp suất thủy tĩnh. Tính chất 1: Áp suất thủy tĩnh tác dụng thẳng góc với diện tích chịu lực và hướng vào diện tích ấy. Áp suất thủy tĩnh tại điểm O lấy trên mặt phân chia ABCD (hình 2 – 2) là một lực có thể chia làm hai thành phần: pn theo hướng pháp tuyến tại điểm O của mặt THỦY TĨNH HỌC ThS LÊ MINH LƯU _ 10 _ ABCD và τ theo hướng tiếp tuyến. Thành phần τ có tác dụng làm mặt ABCD di chuyển, tức chất lỏng có thể chuyển động tương đối, nhưng như đã giả thiết ban đầu, chất lỏng đang xét ở trạng thái tĩnh nên phải có τ = 0 và chỉ còn lại thành phần pháp tuyến pn. Thành phần pn không thể hướng ra ngoài được vì chất lỏng không chống lại được sức kéo mà chỉ chịu được sức nén. Vậy áp suất p tại điểm O chỉ có thành phần pháp tuyến và hướng vào trong. t α Hình 2 – 2 Hình 2 – 3 Tính chất 2: Trị số áp suất thủy tĩnh tại một điểm bất kỳ không phụ thuộc hướng đặt của diện tích chịu lực tại điểm này. Lấy một phân tố diện tích ds có tâm I và một hình trụ vô cùng nhỏ có tiết diện thẳng ds (hình 2 – 3). Đáy kia hình trụ có diện tích dS' và tâm I', đáy này có hướng bất kỳ xác định bởi góc α. Những kích thước về chiều dài là những vô cùng nhỏ. Gọi p và p' là những áp suất, chúng vuông góc với những mặt tương ứng. Theo định nghĩa, ta có các trị số áp lực dF và dF' như sau: dF = p.dS dF' = p'.dS' Hình trụ này đứng cân bằng dưới tác dụng của những lực mặt là vô cùng nhỏ bậc hai và của những thể tích là những vô cùng nhỏ bậc ba. Do đó ta có thể bỏ qua những lực thể tích. Phương trình này chiếu lên trục II', cho ta: 0cos' =− αdFdF (2 – 2) Vì những lực mặt tác dụng lên mặt bên và vuông góc với II', đã triệt tiêu nhau. Vậy: pdS = p'.dS'cosα; vì dS = dS'cosα nên ta rút ra: 'pp = (2 – 3) Vậy áp suấtt thủy tĩnh tại điểm I là một đại lượng vô hướng p, chỉ phụ thuộc vị trí của điểm I, nghĩa là trong hệ tọa độ vuông góc Oxyz thì: p = f(x, y, z) (2 – 4) Từ hai tính chất trên của áp suất thủy tĩnh, ta thấy rõ các thành phần tiếp tuyến đều bằng số không và các thành phần pháp tuyến đều bằng nhau và bằng p. Vì vậy tensơ ứng suất viết cho áp suất thủy tĩnh có dạng p 0 0 0 p 0 0 0 p THỦY TĨNH HỌC ThS LÊ MINH LƯU _ 11 _ §2.3 – Phương trình vi phân cơ bản của chất lỏng cân bằng Xét khối chất lỏng hình hộp vô cùng nhỏ ABCDEFGH có cạnh δx, δy, δz (hình 2 – 4) đứng cân bằng. Điều kiện cân bằng là tổng số hình chiếu trên các trục của các lực mặt và lực thể tích tác dụng lên khối đó bằng không. Hình 2 – 4. Gọi p là áp suất tại trọng tâm M của hình hộp, thì áp suất at5i trọng tâm mặt ADHE bằng ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂− 2 . x x pp δ , tại trọng tâm mặt BCGF bằng ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+ 2 . x x pp δ ; gọi Fx là thành phần trên trục Ox của lực thể tích F tác dụng lên lên một đơn vị khối lượng chất lỏng, ta có thể viết điều kiện cân bằng của hình hộp theo phương x như sau: 0. 2 . 2 . =+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂− zyxFzyx x ppzyx x pp x δδδρδδδδδδ rút gọn ta có: 0=+∂ ∂− xFx p ρ hoặc 01 =∂ ∂− x pFx ρ Suy luận tương tự đối với những hình chiếu các lực trên các trục Oy, Oz và viết toàn bộ hệ thống phương trình biểu thị sự cân bằng của khối hình hộp, ta có: 01 =∂ ∂− x pFx ρ 01 =∂ ∂− y pFy ρ (2 – 5) 01 =∂ ∂− z pFz ρ hoặc 01 =− gradpF ρ Đó là hệ phương trình vi phân cơ bản của chất lỏng đứng cân bằng và còn gọi là hệ phương trình Ơle (do Ơle tìm ra năm 1755). Phương trình này biểu thị quy luật chung về sự phụ thuộc áp suất thủy tĩnh đối với toạ độ: p = f(x, y, z) THỦY TĨNH HỌC ThS LÊ MINH LƯU _ 12 _ Hệ (2 – 5) có thể viết dưới dạng vi phân toàn phần của p như sau: nhân những phương trình trong hệ (2 – 6) riêng biệt với dx, dy, dz rồi công vế đối vế, ta có: ( ) 01 =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂−++ dz z pdy y pdx x pdzFdyFdxF zyx ρ (2 – 6) Vì p = f(x, y, z) chỉ là hàm số của toạ độ, nên ta co thể viết được: ( ) 01 =−++ dpdzFdyFdxF zyx ρ hoặc dp = ρ(Fxdx + Fydy + Fzdz) (2 – 7) Phương trình (2 – 7) gọi là phương trình vi phân cân bằng của chất lỏng. §2.4 – Mặt đẳng áp. Mặt đẳng áp là mặt có áp suất thủy tĩnh tại mọi điểm đều bằng nhau, tức là mặt có p = const, do đó dp = 0. Phương trình vi phân của mặt đẳng áp: Fxdx + Fydy + Fzdz = 0 (2 – 8) Tính chất 1: Hai mặt đẳng áp khác nhau không thể cắt nhau. Tính chất 2: Lực thể tích tác dụng lên mặt đẳng áp thẳng góc với mặt đẳng áp. §2.5 – Sự cân bằng của chất lỏng trọng lực Khi lực thể tích tác dụng vào chất lỏng chỉ là trọng lực thì chất lỏng được gọi là chất lỏng trọng lực. Trong hệ tọa độ vuông góc mà trục Oz đặt theo phương thẳng đứng hướng lên trên, thì đối với lực thể tích F tác dụng lên một một đơn vị khối lượng của chất lỏng trọng lực, ta có Fx = 0, Fy = 0 và Fz = -g (g là gia tốc rơi tự do) (hình 2 – 5) Hình 2 – 5. 1. Phương trình cơ bản của chất lỏng ở trạng thái cân bằng. Từ (1 – 7), thay Fx = 0, Fy = 0, Fz = -g ta có: dp = -ρgdz (2 – 9) Sau khi tích phân và chia cho ρg ta có: const g pz =+ ρ (với γ = ρg) (2 – 10) THỦY TĨNH HỌC ThS LÊ MINH LƯU _ 13 _ Từ (2 – 10) xét tại hai điểm A và A0 ta được: const p zpz =+=+ γγ 0 0 (2 – 11) hoặc p = p0 + γ(z0 – z) (2 – 11)' Gọi z0 là tung độ của điểm ở trên mặt tự do và h là độ sâu của điểm đang xét có tung độ z, ta có: h = z0 – z. Nên (2 – 11)' co thể viết: (2 – 12) p hp= 0 + γ Phương trình (2 – 11); (2 – 12) là phương trình cơ bản của thủy tĩnh học, biểu thị quy luật phân bố áp suất thủy tĩnh trong chất lỏng đứng cân bằng. Số hạng γ p có thứ nguyên là độ dài. 2. Mặt đẳng áp của chất lỏng trọng lực. Trong trường hợp đang xét lực khối là lực trọng trường, gia tốc là gia tốc rơi tự do g, vì vậy trong hệ tọa độ đã chọn hình chiều của lực khối đơn vị trên trục Ox, Oy, Oz sẽ là: Fx = 0, Fy = 0, Fz = -g, còn phương trình mặt đẳng áp được viết dưới dạng: - g.dz = 0; do g ≠ 0 nên z = const. Do vậy mặt đẳng áp trong chất lỏng tĩnh đồng nhất sẽ là các mặt nằm ngang bất kỳ, trong đó có cả mặt thoáng, không phụ thuộc vào hình dạng bìng chứa chất lỏng. Mặt nằm ngang cũng sẽ là mặt phân cách của hai loại chất lỏng cùng chứa trong một bình. Ví dụ 1: Tìm áp suất tại một điểm ở đáy bể đựng nước sâu 4m, trọng lượng đơn vị của nước γ = 9810 N/m3 (γ = 1000kG/m3). Áp suất tại mặt thoáng p0 = 98100N/m2 (p0 = 10.000kG/m2). Giải: Áp dụng công thức (2 – 12) ta có: p = p0 + γh = 98100 + 9810x4 = 137.340 N/m2 ( = 14.000kG/m2) 3. Định luật bình thông nhau. Hai bình thông nhau chứa đựng chất lỏng khác nhau và có áp suất trên mặt thoáng bằng nhau, độ cao của chất lỏng ở mỗi bình tính từ mặt phân chia hai chất lỏng đến mặt thoáng sẽ tỷ lệ nghịch với trọng lượng đơn vị của chất lỏng, tức là: 1 2 2 1 γ γ= h h (2 – 13) Trong đó h1, h2 là những độ cao nói trên ứng với những chất lỏng có trọng lượng đơn vị γ1, γ2. Thực vậy, áp suất p1, p2 trên cùng mặt phân chia A – B (hình 2 – 6) bằng nhau. THỦY TĨNH HỌC ThS LÊ MINH LƯU _ 14 _ Theo (2 – 12): p1 = p0 + γ1.h1; p2 = p0 + γ2.h2 nên γ1.h1 = γ2.h2 ⇒ 1 2 2 1 γ γ= h h Nếu chất lỏng chứa ở hai bình cùng một loại (γ1 = γ2) thì mặt tự do của chất lỏng ở hai bình cùng một độ cao; tức h1 = h2. 4. Định luật Patscan. Gọi p0 là áp suất tại mặt ngoài của một thể tích chất lỏng cho trước đứng cân bằng (hình 2 – 7a), áp suất tại một điểm A ở độ sâu h trong chất lỏng đó là: p = p0 + γh. Hình 2 – 6. Hình 2 – 7. Nếu tăng áp suất ở ngoài lên một trị số Δp thì áp suất mới p' tại A sẽ là: p' = (p0 + Δp) + γh; vậy áp suất mới tại A sẽ tăng lên một lượng bằng p' – p = Δp. Như vậy: "Độ biến thiên của áp suất thủy tĩnh trên mặt giới hạn một thể tích chất lỏng cho trước được truyền đi nguyên vẹn đến tất cả các điểm của thể tích chất lỏng đó". Kết luận đó là định luật Patscan. Máy ép thủy lực làm việc theo định luật Patscan: máy gồm hai xi lanh có diện tích khác nhau, chứa cùng chất lỏng và có píttông di chuyển (hình 2 – 8). Khi một lực F nhỏ tác dụng lên đòn bẩy thì lực tác dụng lên pittông nhỏ sẽ được tăng lên thành P1, áp suất xi lanh nhỏ là 1 1 1 ω P p = . Theo định luật Patscan, áp suất tại xi lanh lớn cũng tăng lên p1; vậy tổng áp lực p2 tác dụng lên pittông lớn là: 1 1 2212 .. ωωω P pP == Hình 2 – 8. Nếu coi P1, ω1 không đổi, muốn tăng P2 phải tăng ω2. Thí dụ 1: P1 = 98,1N (10kG), d1 = 2cm d2 = 20cm, ta tính được: NP 9810 2 201,98 2 2 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= (hoặc 1000kG) Thực tế giữa xilanh và pi1ttông có ma sát THỦY TĨNH HỌC ThS LÊ MINH LƯU _ 15 _ nên: 1 2 12 . ω ωη PP = trong đó η hiệu suất máy ép thủy lực. 5. Áp suất tuyệt đối – áp suất dư – áp suất chân không. Áp suất tuyệt đối ptuyệt hoặc áp suất toàn phần là áp suất p xác định bởi công thức cơ bản (2 – 12) p = p0 + γ.h (2 – 14) Nếu áp suất tuyệt đối ptuyệt ta bớt đi áp suất khí quyển thì hiệu số đó là áp suất dư pdư hoặc áp suất tương đối, tức là: pdư = ptuyệt – pa (2 – 15) Nếu áp suất mặt thoáng là áp suất khí quyển pa thì: pdư = γ.h (2 – 16) Áp suất tuyệt đối bao giờ cũng là một số dương, còn áp suất dư có thể dương hoặc âm: pdư > 0 khi ptuyệt > pa pdư < 0 khi ptuyệt < pa Trong trường hợp áp suất dư âm thì hiệu số của áp suất không khí và áp suất tuyệt đối gọi là áp suất chân không pck, hoặc gọi tắt là chân không. pck = pa – ptuyệt (2 – 17) Áp suất chân không là trị số áp suất còn thiếu để làm cho áp suất tuyệt đối bằng áp suất khí quyển. Do đó có thể gọi áp suất chân không là áp suất thiếu. So sánh (2 – 15) và (2 – 17) thì thấy áp suất chân không là trị số âm của áp suất dư, tức là: pck – pdư (2 – 18) Áp suất tại một điểm có thể đo bằng chiều cao cột chất lỏng. Vậy có thể biểu thị các áp suất như sau: ptuyệt bằng htuyệt = γ tuyetp pdư bằng hdư = γ dup (2 – 19) pck bằng hck = γ ckp Ta gọi những độ cao htuyệt, hdư, hck là những độ cao dẫn xuất của những áp suất ptuyệt, pdư, pck. Trong điều kiện bình thường, áp suất khí quyển tại mặt thoáng thường lấy bằng áp suất của cột thuỷ ngân cao 760mm. Người ta quy ước lấy pa = 98100N/m2 (=1kG/cm2) và gọi là átmốtphe kỹ thuật. Át mốt phe kỹ thuật tương đương với cột nước cao: m p h a 10 9810 98100 === γ THỦY TĨNH HỌC ThS LÊ MINH LƯU _ 16 _ Hình (2 – 9) cho biết về cách đo áp suất tại một điểm bằng chiều cao cột chất lỏng. Muốn đó áp suất tuyệt đối tại điểm A, nối bình chứa thông với một ống kín 1; chổ nối đặt dưới mặt thoáng của chất lỏng trong bình, có thể đặt ngang, trên hoặc đặt dưới điểm A (hình 2 – 9 thì chổ nối đặt ngang điểm A). Trong ống kín phải hút hết không khí để áp suất tại mặt tự do của chất lỏng trong ống bằng không; khi đó khoảng cách thẳng đứng htuyệt từ mặt nước tự do trong ống đến đường nằm ngang đi qua điểm A biểu thị áp suất tuyệt đối tại điểm A. Trị số áp suất đó là: ptuyệt = γ.htuyệt. Nếu ống nối trên không bịt kín (hình 2 – 9) mà để hở ra không khí (ống 2) thì khoảng cách thẳng đứng hdư kể từ mặt tự do trong ống hở đến đường nằm ngang đi qua A biểu thị áp suất dư tại A; trị số đó là: pdư = γ.hdư. γ γ γ γ Hình 2 – 9. Thí dụ 2: Tìm áp suất tuyệt đối ptuyệt và áp suất dư pdư tại đáy nồi hơi sâu 1,2m, áp suất tại mặt thoáng là p0 = 196.200N/m2 (p0 = 21.200kG/m2), nước có γ = 9.810N/m3 (γ = 1000kG/m3). Giải: Áp suất tuyệt đối tính theo (2 – 12): ptuyệt = p0 + γh = 198.200 + 9.810x1,2 = 207.972N/m2 (=22.460kG/m2) m p h tuyettuyet 40,22810.9 972.207 === γ cột nước pdư = ptuyệt – pa = 207.972 - 98.100 = 109.872N/m2 m p h dudu 20,11810.9 872.109 === γ cột nước THỦY TĨNH HỌC ThS LÊ MINH LƯU _ 17 _ Thí dụ 3: Tại mặt cắt trước khi bơm áp suất chân không là: pck = 68.670N/m2. Xác định áp suất tuyệt đối tại mặt cắt đó: Giải: Theo (2 – 17): ptuyệt = pa – pck = 98.100 – 68.670 = 29.430N/m2. 6. Ý nghĩa hình học và năng lượng của phương trình cơ bản của thủy tĩnh học. − Ý nghĩa hình học: Từ phương trình constpz =+ γ , có thể nói rằng tổng số độ cao hình học (z) đối với mặt chuẩn nằm ngang và độ cao áp suất ( γ p ) là một hằng số đối với tại bất kỳ điểm nào trong chất lỏng. − Ý nghĩa năng lượng: Ta thấy rằng khối chất lỏng đang xét mang một thế năng bằng tổng số vị năng và áp năng. Đối với một đơn vị trọng lượng, thế năng đó bằng: hz + hoặc γ pz + và gọi là thế năng đơn vị; z gọi là vị năng đơn vị; γ p gọi là áp năng đơn vị. 7. Đồ phân bố áp suất thủy tĩnh. Đồ áp lực. Phương trình cơ bản của thủy tĩnh học (2 – 12) chứng tỏ rằng đối với một chất lỏng trọng lực nhất định, trong điều kiện áp suất mặt tự do p0 cho trước, áp suất p là hàm số bậc nhất của độ sâu h; như vậy trong hệ toạ độ p, h phương trình (2 – 12) được biểu diễn bằng một đường thẳng. Để đơn giản ta giả thiết p0 = pa khi đó pdư = γh. Sự biểu diễn bằng đồ thị hàm số (2 – 12) trong hệ toạ độ nói trên gọi là đồ phân bố áp suất thuỷ tĩnh (hình 2 – 10a). γ. γ. α 45 γ γ γ γ Hình 2 – 10 THỦY TĨNH HỌC ThS LÊ MINH LƯU _ 18 _ Muốn có đồ phân bố áp suất tuyệt đối chỉ cần tịnh tiến đường OA' theo phương thẳng góc Oh một đoạn p0 và được O''A''. Đồ phân bố áp suất tuyệt đối là hình thang vuông góc OO''AA". Nếu đường thẳng đứng trên đó xét sự phân bố áp suất thủy tĩnh không bắt đầu từ mặt tự do , mà bắt đầu từ một độ sâu h' (điểm B – hình 2 – 10b), thì đồ áp lực sẽ là hình thang vuông BB'A'A (áp suất dư) hoặc BB"A"A (áp suất tuyệt đối). Sau khi xét đồ áp lực trên những đường thẳng đứng, ta có thể vẽ đồ áp lực trên đường thẳng nghiêng hoặc đường gãy không khó khăn gì lắm. Trong trường hợp này đồ áp lực cũng là tam giác vuông hoặc hình thang vuông; (hình 2 – 11) là thí dụ về vẽ đồ áp lực trên đường thẳng gãy OAB: Hình 2 – 11. Tam giác vuông OAA' và hình thang vuông AA1'B'B là những đồ áp lực dư tương ứng với đoạn thẳng OA và AB. Muốn vẽ đồ áp lực tuyệt đối, chỉ cần tịnh tiến những cạnh OA', A1'B' theo phương thẳng góc với OA và AB đi một đoạn thẳng γ 0p và có được những hình thang OO"A"A và AA1"B"B. Còn vẽ đồ phân bố áp suất trên đường cong ta phải biểu diễn bằng đồ thị trị số áp suất tại từng điểm theo phương trình (2 – 12) rồi nối lại thành đường cong của đồ phân bố. §2.6 – Sự cân bằng của chất lỏng trong bình chứa chuyển động. Nghiên cứu sự cân bằng của chất lỏng trong trường hợp các phần tử chất lỏng không có chuyển động tương đối với nhau nhưng có chuyển động đối với quả đất: khi đó cả khối chất lỏng chuyển động như một vật rắn, ta gọi trạng thái này là trạng thái tĩnh tương đối của chất lỏng, nó xuất hiện khi bình chứa chuyển động với một gia tốc không đổi, lực khối tác dụng vào chất lỏng không chỉ có trọng lực mà còn có cả lực quán tính. Ta nghiên cứu hai trường hợp tĩnh tương đối của chất lỏng: 1. Khi bình chứa chuyển động thẳng với gia tốc không đổi. THỦY TĨNH HỌC ThS LÊ MINH LƯU _ 19 _ 2. Khi bình chứa hình trụ tròn quay đều quanh trục thẳng đứng của bình, hệ toạ độ gắn chặt với bình chứa. 1. Sự cân bằng của chất lỏng đựng trong bình chuyển động thẳng với gia tốc không đổi. Trường hợp này thường gặp ở các xe chở dầu, nước. Giả thiết bình chứa đang chuyển động thẳng với gia tốc không đổi a. Mỗi phần tử chất lỏng chịu tác dụng của hai lực khối: trọng lực G = mg và lực quán tính R = – ma, trong đó m là khối lượng của phần tử chất lỏng. Với hệ toạ độ như hình 2 – 12, hình chiếu Fx, Fy, Fz của các lực khối lên các trục là: Fx = – a; Fy = 0; Fz = – g Hình 2 – 12. Mặt đẳng áp: Theo (2 – 8); phương trình vi phân mặt đẳng áp viết thành: – a.dx – g.dz = 0 Tích phân ta co phương trình mặt đẳng áp: a.x + gz = const Mặt đẳng áp như vậy là mặt phẳng nghiêng, ta có một họ các mặt đẳng áp song song lập thành một góc α đối với mặt nằm ngang theo g atg =α . Sự phân bố áp suất: Theo (2 – 7); có thể viết: dp = ρ( – adx – gdz) Sau khi tích phân, ta được p = – ρax – ρgz + C (C là hằng số tích phân). Tại x = 0, z= H, có p = p0 (p0 là áp suất tại mặt thoáng), hằng số tích phân sẽ là: C = p0 + ρgH Phương trình xác định áp suất tĩnh tương đối tại điểm viết được dưới dạng: p = – ρax – ρgz + p0 + ρgH Thay trong phương trình này γ = ρg và gh' = ax, ta được: p = p0 + γ(H – z) - γh' Gọi h là độ sâu của điểm N tuỳ ý trong chất lỏng kể từ mặt thoáng nghiêng, ta có: h = H – (z + h') Cuối cùng ta viết p = p0 + γh. Như vậy trở về công thức cơ bản tính áp suất thuỷ tĩnh, chỉ cần chú ý rằng h là độ sâu kể từ mặt thoáng trong điều kiện cân bằng tương đối. THỦY TĨNH HỌC ThS LÊ MINH LƯU _ 20 _ 2. Sự cân bằng của chất lỏng đựng trong bình hình trụ tròn quay đều quanh trục thẳng đứng qua tâm bình. Lực tác dụng lên mỗi phần tử chất lỏng bao gồm: trọng lực G = mg và lực quán tính ly tâm F = mω2r (trong đó ω là gia tốc góc, r là khoảng cách từ vị trí phần tử chất lỏng ta xét đến trục quay). Theo hệ toạ độ như trên hình vẽ (2 – 13), lấy m = 1, hình chiếu Fx, Fy, Fz của các lực khối lên các trục là: Fx = ω2x; Fy = ω2y; Fz = – g; trong đó x, y là hình Hình 2 – 13. chiếu của r lên trục x, y. Mặt đẳng áp: Theo (2 – 8); có thể viết: ω2xdx + ω2ydy – g.dz = 0 Sau khi tích phân ta có: Cgzyx =+ 222 2 1 2 1 ωω hoặc: ( ) Cgzyx =−+ 222 2 1ω hoặc: Cgzr =−22 2 1ω Đây là phương trình của mặt parabôlôít có trục quay Oz. vậy mặt đẳng áp trong trường hợp này là một họ các mặt parabôlôít (hình 2 – 13), với các trị số C khác nhau. Trên mặt tự do, khi x = y = 0 tức là r = 0, thì z = z0, hằng số tích phân bằng: C = – gz0 Do đó phương trình mặt tự do là: )( 2 1 0 22 zzgr r −=ω zr là tung độ của điểm trên mặt tự do, ở cách trục quay là r. Gọi h' = zr – z0 thì phương trình mặt tự do thành: '2 1 22 ghr =ω Sự phân bố áp suất: Theo (2 – 7); có thể viết: dp = ρ(ω2xdx + ω2ydy – gdz) Sau khi tích phân ta có: 12 2 2 22 Cgzyxp +−+= ρρωρω ; trong đó C1 là hằng số tích phân. Trên mặt tự do: p = p0; khi r = 0, thì z = z0; vậy: C1 = p0 + ρgz0 THỦY TĨNH HỌC ThS LÊ MINH LƯU _ 21 _ và: 00 2 2 ) 2 ( gzpgzrp ρ++−ωρ= hoặc ( ) ( zzhgpzzgrpp −++=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−+= 000 2 2 0 '2 ρωρ ) ∫ ω gọi h = h' + z0 – z, thì rõ ràng h là độ sâu của điểm đang xét tính từ mặt tự do cong ở trạng thái tĩnh tương đối, như vậy: p = p0 + γh; ta trở về công thức cơ bản tìm áp suất thủy tĩnh. §2.7 – Áp lực của chất lỏng lên thành phẳng có hình dạng bất kỳ. Trong trường hợp thành rắn là mặt phẳng, thì những áp suất tác dụng lên thành rắn đều song song với nhau, do đó chúng có một áp lực tổng hợp P duy nhất. Ta nghiên cứu trị số và điểm đặt của P. 1. Trị số áp lực: Hình 2 – 14 Cần xác định áp lực P của chất lỏng tác dụng lên một diện tích phẳng ω có hình dạng bất kỳ đặt nghiêng đối với mặt thoáng một góc α (hình 2 – 14