Kiến trúc - Xây dựng - Chương 6: Đặc trưng hình học

CHƯƠNG 6. ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC GVC.Ths. Lê Hoàng Tuấn NỘI DUNG 1. Khái niệm 2. Mô men tĩnh - Trọng tâm 3. Mômen quán tính 4. Mômen quán tính của các hình đơn giản 5. Công thức chuyển trục song song 6. Công thức xoay trục 1. KHÁI NIỆM  Thanh để đứng (H.a) chịu lực tốt hơn thanh để nằm (H.b) a) x y b) P P x y z z  Có những đại lượng phụ thuộc vào hình dáng, vị trí mặt cắt ngang, ảnh hưởng đến sự làm việc của thanh  Đó là những Đặc trưng Hình Học của mặt cắt ngang. 2. MÔMEN TĨNH- TRỌNG TÂM A dAM C y x O xC y0 y x y0 x0x0yC Xét một hình phẳng biểu diễn mặt cắt ngang A (mặt cắt A). Lập hệ tọa độ vuông góc Oxy. M(x,y) là một điểm bất kỳ trên hình. Lấy chung quanh M một diện tích vi phân dA. 2. MÔMEN TĨNH- TRỌNG TÂM A dAM C y x O xC y0 y x y0 x0x0yC Mômen tĩnh của A đối với trục x (hay y) là:  Mômen tĩnh :   F y F x xdFSydFS , vì x, y có thể âm hoặc dương Thöù nguyeân cuûa moâmen tónh laø [(chieàu daøi)3]. Sx , Sy 0 nên 2. MÔMEN TĨNH- TRỌNG TÂM A dAM C y x O xC y0 y x y0 x0x0yC  Trọng tâm :  Trục Trung tâm là trục mà mômen tĩnh của A đối với nó bằng 0  Trọng tâm là giao điểm của 2 trục trung tâm.  Mômen tĩnh đối với trục đi qua trọng tâm bằng 0. 2. MÔMEN TĨNH- TRỌNG TÂM A dAM C y x O xC y0 y x y0 x0x0yC  Cách xác định Trọng tâm C : Xác định xC và yC Dựng hệ trục x0Cy0 song song hệ trục xy oCoC yyyxxx  ;   A xoCo A Co A Cx SAydAydAydA)yy(S Vì Sxo = 0 nên: A.yS Cx  Tương tự: A.xS Cy  A Sy A S x x C y C   2. MÔMEN TĨNH- TRỌNG TÂM Tính chất 1: (quan trọng)  Mặt cắt có hai trục đối xứng, trọng tâm là giao điểm hai trục đối xứng.  Mặt cắt có trục đối xứng, trọng tâm nằm trên trục đối xứng . x x y    C C C y 2. MÔMEN TĨNH- TRỌNG TÂM Tính chất 2 : Mômen tĩnh của hình phức tạp bằng tổng mômen tĩnh của các hình đơn giản. ; AA AxAx A S x 21 2211y C    21 2211x C AA AyAy A Sy    Thí dụ 6-1. Định trọng tâm mặt cắt chữ L gồm 2 chữ nhật. Tọa độ trọng tâm C của hình trên là: A1 x y yC x1 y2 O    x2 y1 C xC C1 C2 A2 Kết quả: 3. MÔMEN QUÁN TÍNH- HỆ TRỤC CHÍNH TRUNG TÂM 1- Mômen quán tính (MMQT) A dAM y x O y x  Mômen quán tính độc cực (MMQT đối với điểm) của A dApI A 2đối với điểm O: Mômen quán tính của A đối với   A 2 A 2 dAxyI;dAyxItrục y và x :  Ip = Ix + Iy  Ip , Ix , Iy > 0  Thứ nguyên - [chiều dài]4 3. MÔMEN QUÁN TÍNH- HỆ TRỤC CHÍNH TRUNG TÂM A dAM y x O y x  Mômen quán tính ly tâm (MMQT đối với hệ trục xy) dA.y.xxyI A  Thứ nguyên - [chiều dài]4 Ixy 0 Tính chất: MMQT của mộät hình phức tạp bằng tổng mômen quán tính của các hình đơn giản. 3. MÔMEN QUÁN TÍNH- HỆ TRỤC CHÍNH TRUNG TÂM 2- Hệ trục chính trung tâm A dAM y x O y x    A 2 A 2 dAxyI;dAyxI  Một hệ trục tọa độ có MMQT ly tâm đối với hệ trục đó bằng không được gọi là hệ trục quán tính chính  Hệ trục quán tính chính trung tâm có gốc ở trọng tâm  MMQT đối với các trục quán tính chính trung tâm gọi là MMQT chính trung tâm. 3. MÔMEN QUÁN TÍNH- HỆ TRỤC CHÍNH TRUNG TÂM 2- Tính chất 3- quan trọng Trục đối xứng của mặt cắt và trục vuông góc với nó đi qua trọng tâm hợp thành hệ trục chính trung tâm dA2dA1 A1 A2 xO y Chứng minh:      A AA A xy dAyxxyyxdAyxdAI 21 1 0)( 1 4. MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA CÁC HÌNH THƯƠNG GẶP 1- Hình chữ nhật: Hệ có hai trục đối xứng x, y cũng là hệ trục QTCTT.    2 h 2 h bdyydAyxI 2 A 2 12 bh xI 3  12 hb yI 3  y x b Oh/2 dy y h/2 dA = b.dy 4. MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA CÁC HÌNH THƯƠNG GẶP 2- Hình tròn: Hệ có hai trục đối xứng x, y cũng là hệ trục QTCTT.   2 D 0 d.2.dApI 2 A 2 x dA = 2.d O D  d y R  Tính Ip : 32 D pI 4  2 I yIxI pTính Ix , Iy : 64 D yIxI 4  4. MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA CÁC HÌNH THƯƠNG GẶP 3- Hình vành khăn:  Tính Ip : 32 d 32 Dd pI D pIpI 44     2 I yIxI pTính Ix , Iy : )1( 64 D yIxI 4 4    )1( 32 D pI 4 4    xO D y d = d D 5. CÔNG THỨC CHUYỂN TRỤC SONG SONG 1- Lập công thức: A dAM O Y X O' a y Y X y x x b dA)yb(dAYXI A 2 A 2   Tính IX , IY , IXY : AbbS2IXI 2 xx  .dAbdA.yb2dAy XI A A A 22   AaaS2IYI 2 yy  abAbSaSIXYI yxxy  5. CÔNG THỨC CHUYỂN TRỤC SONG SONG 2- Trường hợp thường dùng: A dAM O Y X O' a y Y X y x x b Khi trục cũ (xy) là hệ trục chính trung tâm : AbIXI 2 x  Cách nhớ: MMQT đối với trục mới bằng MMQT đối với trục cũ cộâng diện tích nhân khoảng cách hai trục bình phương 4. MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA CÁC HÌNH THƯƠNG GẶP 3- Thí dụ 3: y x b Oh/2 h/2 B B' 2 x'BB 2 h.AII       3 bhbh 2 h 12 bhI 323 'BB       4. MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA CÁC HÌNH THƯƠNG GẶP 3- Thí dụ 4: Định MMQT chính trung tâm 4 x 48 8 4 12 y C x y X X 6 10 32 1 cm6 )12.4(2)4.24( )10.12.4(22.4.24 A S Cy x     Giải: - Trọng tâm: - MMQT: 3XI 2 XI 1 XIXI  2 3 4).4.24( 12 4.241 XI  2 3 4).12.4( 12 12.43 XI 2 XI  IX=4352cm4 6. CÔNG THỨC XOAY TRỤC 1- Lập công thức: A dAM V U O  y x y x u v Tính Iu , Iv , Iuv : Ta có: u = y.sin+x.cos v = y.cos-x.sin Iu = A v2 .dA; Iv = A u2 .dA Iuv = A uv.dA      2sinI2cos 2 II 2 II I xy yxyx u    2cosI2sin 2 II I xy yx uv 6. CÔNG THỨC XOAY TRỤC 2- Hệ trục chính (HTC): A dAM V U O  y x y x u v  Hệ trục quán tính chính là hệ trục có MMQT ly tâm bằng không.  Tìm HTC, cho Iuv=0 yx xy 0 II I2 2tg    có 2 góc 0 sai biệt nhau 90 0 nghĩa là luôn có 2 trục chính vuông góc nhau. 6. CÔNG THỨC XOAY TRỤC A dAM V U O  y x y x u v  MMQT cực trị yx xy 0 II I2 2tg   MMQT cực trị cũng là MMQT đối với trục chính. Cho dIuv d =0 Cũng được 2 xy 2 yx yx minmax, I4)II(2 1 2 II I   