Kiến trúc xây dựng - Lý thuyết tấm và vỏ mỏng

LOGO LÝ THUYẾT TẤM VÀ VỎ MỎNG (P.II) National University of Civil Engineering July 2012 TRẦN MINH TÚ TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG 1 PHẦN II LÝ THUYẾT vỎ MỎNG Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 2 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com Tổng quan Lý thuyết vỏ mỏng 材料力学课程的改革与建设 1 2 3 4 Lý thuyết vỏ mỏng Lý thuyết vỏ mỏng phi mô men Lý thuyết vỏ thoải 材料力学课程的改革与建设 3 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 4 1.Tổng quan Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 1.1. Định nghĩa: Vỏ mỏng là vật thể có hai mặt cong giới hạn mà khoảng cách giữa chúng rất nhỏ so với các kích thước khác. • Mặt phẳng chia đều bề dày vỏ gọi là mặt trung bình hoặc mặt trung gian của tấm. Giao tuyến của mặt trung bình với các mặt bên gọi là chu tuyến của vỏ. 5 • Chỉ xét những vỏ có chiều dày không đổi 1.Tổng quan Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 6 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 7 1.Tổng quan 1.Tổng quan Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 8 • Phân loại vỏ theo tỉ số h/R (h-chiều dày vỏ; R-bán kính cong mặt t.b) vỏ thuộc loại màng mỏng, chỉ chịu các lực màng mà không chịu các mô men uốn, xoắn 1 200 h R  vỏ mỏng, ngoài các lực màng còn chịu các mô men uốn, xoắn 1 1 200 20 h R   1 20 h R  vỏ dày, trạng thái ứng suất là trạng thái ứng suất khối 1.2. Phân loại vỏ. • Phân loại vỏ mỏng theo tỉ số w/R (w-chuyển vị theo phương chiều dày vỏ) - w/R < 1/1000 : vỏ mỏng có chuyển vị bé – dùng lý thuyết tuyến tính - w/R > 1/1000 : vỏ mỏng có chuyển vị blớn – dùng lý thuyết phi tuyến 91.3. Hình học vi phân trong mặt cong • Một bề mặt W là quĩ tích những đầu mút vec tơ r xuât phát từ gốc O của hệ tọa độ tổng thể OXYZ, và là hàm của hai biến số độc lập a, b - Các biến của mặt cong biểu diễn dưới dạng vec tơ: hoặc dạng tọa độ: a, b: tọa độ cong của mặt - Dạng tham số: hoặc dạng tường minh: z = f (x,y) X, Y, Z - tọa độ Descrates của điểm trên mặt cong. Khử a, b trong (*) ta nhận được pt mặt cong dạng ẩn: (*) 1.Tổng quan Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 10 - Đạo hàm của vec tơ r theo các biến tọa độ cong: - Nếu a, b vuông góc tại mọi điểm thuộc bề mặt cong => Hệ tọa độ cong trực giao (khi a ┴ b) - Pt mặt cong trong hệ tọa độ trụ: F(r, z, q) = 0 - Pt mặt cong trong hệ tọa độ cầu: F(r, j, q) = 0 1.Tổng quan Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 11 Xét điểm M trên bề mặt W, vẽ các đường cong qua M trên bề mặt W, tiếp tuyến tất cả các đường cong này tại M tạo thành mặt tiếp tuyến với bề mặt tại M Đường thẳng bất kỳ đi qua M, vuông góc với mặt tiếp tuyên gọi là pháp tuyến n của bề mặt W tại M Mặt pháp tuyến của bề mặt W tại M là mặt phẳng bất kỳ đi qua M và chứa pháp tuyến n (mặt phẳng aa, bb, cc) 1.4. Đường cong chính, độ cong chính 1.Tổng quan Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 12 Giao tuyến của mặt pháp tuyến với mặt trung bình, là đường cong phẳng như hình vẽ, Xét hai điểm M và M1 lân cận nhau, pháp tuyến tại M và M1 gặp nhau tại O. Khi MM1=ds =>0, thì O gọi là tâm cong và OM gọi là bán kính cong r Độ cong là nghịch đảo của bán kính cong Tại một điểm thuộc bề mặt luôn tồn tại hai đường cong như trên, vuông góc với nhau có bán kính cong lớn nhất và bé nhất – gọi là các đường cong chính với các bán kính cong chính là R1, R2 và các độ cong chính tương ứng là k1, k2 • Độ cong Gauss: 1 2 1 2 1 . R R k k   Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 13 Phân loại vỏ theo độ cong Gauss: a. Vỏ có độ cong Gauss dương: vỏ cầu, vỏ e-lip b. Vỏ có độ cong Gauss âm: vỏ hyperbolic c. Vỏ có độ cong Gauss bằng không: vỏ trụ, vỏ nón Phân loại vỏ theo vỏ cong và vỏ thoải • Vỏ thoải: a<L/5 (a- chiều cao lớn nhất; L- chiều dài bé nhất) 1.Tổng quan Vỏ có độ cong Gauss dương Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 14 Vỏ có độ cong Gauss âm Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 15 Vỏ có độ cong Gauss bằng không Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 16 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 17 1.4. Các dạng toàn phương của mặt cong Xét hai điểm lân cận nhau trên mặt cong: Ta có: Đặt: nếu a, b là các đường tọa độ cong vuông góc với nhau thì: Đặt: - Dạng toàn phương thứ nhất của mặt cong (dùng để xác định chiều dài) A, B – các hệ số La mê 1.Tổng quan Nghiên cứu hình học mặt cong là xác định chiều dài, diện tích, độ cong, độ xoắn các đường trên mặt cong => Biểu diễn qua các hệ số dạng toàn phương Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 18 Có thể nhận thấy: => Hệ số La mê là những hệ số biến đổi gia số tọa độ thành gia số chiều dài đường tọa độ • Dạng toàn phương thứ hai của mặt cong: 1.Tổng quan - Dạng toàn phương thứ hai của mặt cong mô tả dạng hình học của bề mặt có pt: r = r(a,b) - Độ cong của các tiết diện pháp tuyến trên bề mặt tại điểm M xác định bởi: 1.Tổng quan Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 19 Với các hệ số của dạng toàn phương thứ hai:: • Dạng toàn phương thứ nhất và thứ hai cho phép ta xác định được dạng hình học của mặt cong (kích thước, diện tích, độ cong,) • Mẫu số là dạng toàn phương thứ nhất của mặt cong, và tử số là dạng toàn phương thứ hai. • Các hệ số b11, b22 đặc trưng cho độ cong pháp tuyến của đường cong tọa độ a=const và b=const và b12 đặc trưng cho sự xoắn của mặt cong Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 20 Phân loại vỏ theo dạng hình học của mặt trung bình 1. Vỏ tròn xoay Vỏ trụ Vỏ nón 1.Tổng quan 1.Tổng quan Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 21 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 22 Vỏ elipsoid Vỏ paraboloid Vỏ cầu 1.Tổng quan 1.Tổng quan Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 23 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 24 2. Lý thuyết vỏ mỏng • So với các bản mỏng, vỏ có đặc điểm nổi bật là dưới tác dụng của ngoại lực, các mô men uốn, xoắn cũng như các ứng lực cắt thường nhỏ hơn nhiều, nhưng các ứng lực dọc và ứng lực trượt lại lớn hơn nhiều so với các ứng lực tương tự trong tấm. Do vậy vỏ chủ yếu là chịu kéo và nén – là những trạng thái ứng lực thuần nhất cho nên trong vỏ vật liệu được sử dụng hợp lý hơn trong tấm. • Do vỏ có độ cong nên hình chiếu của các ứng lực dọc và trượt lên pháp tuyến của bề mặt vỏ tạo ra một trạng thái giống như “nền đàn hồi” dưới vỏ, Điều này giải thích tại sao độ bền và độ cứng của vỏ tăng hơn nhiều so với tấm. Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 25 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 2. Lý thuyết vỏ mỏng • Lý thuyết vỏ mỏng đàn hồi dựa trên những giả thiết cơ bản của lý thuyết tấm cổ điển Kirchhoff . 1. Đoạn thẳng pháp tuyến của mặt trung bình trước biến dạng là thẳng và vuông góc với mặt trung bình trước, sau biến dạng vẫn thẳng và vuông góc với mặt trung bình và có độ dài không đổi. Giả thiết này cho phép bỏ qua các thành phần biến dạng theo phương vuông góc với mặt trung bình (biến dạng dài và biến dạng cắt) 2.1. Các giả thiết 26 2. Bỏ qua thành phần ứng suất pháp theo phương chiều dày Ngoài ra còn giả thiết rằng, chuyển vị điểm bất kỳ của vỏ là bé so với chiều dày vỏ. Vật liệu vỏ là đàn hồi, đồng nhất và đẳng hướng. Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 27 Mặt trung bình của vỏ gắn với hệ trục tọa độ cong ab và hệ tọa độ vuông góc xyz. Các thành phần chuyển vị của điểm bất kỳ có khoảng cách z tới mặt trung bình uz, vz, wz: (2.1) u, v, w: các thành phần chuyển vị trên mặt trung bình (z=0) theo phương x, y, z : các góc xoay quanh tiếp tuyến của các trục b và a 1 2,  2.2. Các thành phần chuyển vị 2. Lý thuyết vỏ mỏng Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 28 2.3. Quan hệ biến dạng - chuyển vị (2.2) 2. Lý thuyết vỏ mỏng Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 29 - thay đổi độ cong của mặt trung bình theo các đường tọa độ a, b 1 2 12, ,c c c e1, e2 – các thành phần biến dạng theo các phương a, b g12 – biến dạng cắt trong mặt trung bình Với: Trong trường hợp tấm phẳng: Pt (2.2) trở thành: 2.4. Định luật Hooke: (2.3) 2. Lý thuyết vỏ mỏng Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 30 - ứng suất pháp trên các mặt có pháp tuyến // với các trục a, b và z - các thành phần biến dạng dài theo các phương a, b và z Theo giả thiết vỏ mỏng: (2.5) Định luật Hooke theo (2.3) có thể biểu diễn dưới dạng: hoặc: (2.4) 2. Lý thuyết vỏ mỏng Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 31 2.5. Các thành phần ứng suất và nội lực (2.6) 2. Lý thuyết vỏ mỏng Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 32 (2.7) Sáu tp nội lực trong (2.6) và bốn tp mô men trong (2.7) đặc trưng cho trạng thái ứng suất tại một điểm bất kỳ trong vỏ (2.8) 2. Lý thuyết vỏ mỏng 33 2.6. Phương trình cân bằng của phân tố vỏ trong đó: - các tp lực bề mặt theo các phương a, b và z (2.9a) 2. Lý thuyết vỏ mỏng (2.9b) (2.9c) (2.9d) (2.9e) (2.9f) => 2.9a-f : Hệ pt cân bằng tĩnh của lý thuyết vỏ mỏng tổng quát Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 34 Novozhilov đề xuất đặt: Thì pt (2.9f) có dạng 0=0 => bỏ qua; rút Q1, Q2 từ (2.9d) và (2.9e) thay vào (2.9f): hệ pt (2.9) rút gọn lại chỉ còn 3 pt: (2.10a) (2.10b) (2.10c) 2. Lý thuyết vỏ mỏng Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 35 2.7. Điều kiện biên Giả sử trên đường tọa độ b  b* có các liên kết. Điều kiện biên trên đường này sẽ là: a. Biên tự do b. Biên ngàm c. Biên gối tựa di động d. Biên gối tựa cố định 2. Lý thuyết vỏ mỏng 2. Lý thuyết vỏ mỏng Các lý thuyết vỏ • Lý thuyết vỏ có thể phân loại theo trạng thái ứng lực hoặc hình dạng hình học của vỏ. • Ứng lực trong vỏ gồm ứng lực màng nằm trong mặt tiếp tuyến với mặt trung bình: N1, N2, N12(S) và ứng lực uốn, xoắn: M1, M2, M12, M21 (H) và lực cắt Q1,Q2. Tùy thuộc vào dạng hình học của vỏ, điều kiện biên, tải trọng tác động mà các ứng lực này có thể đóng vai trò chủ yếu hay thứ yếu. - Lý thuyết vỏ phi mô men (lý thuyết màng): bỏ qua các thành phần mô men và lực cắt: đơn giản, gần đúng. - Lý thuyết mô men: phức tạp, chính xác hơn • Theo hình dạng hình học: lý thuyết vỏ tròn xoay, vỏ trụ, vỏ cầu, Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 36 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 37 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 38 3. Lý thuyết vỏ mỏng phi mô men Dưới tải trọng và điều kiện biên thích hợp, các thành phần mô men uốn và xoắn bằng không hoặc bé nên có thể bỏ qua. Trạng thái ứng lực trong vỏ là trạng thái ứng lực màng. Lý thuyết vỏ tương ứng gọi là lý thuyết vỏ phi mô men (membrane theory of shells) Theo lý thuyết vỏ phi mô men: trong đó:: 3.1. Các phương trình cơ bản của lý thuyết vỏ mỏng phi mô men Do bỏ qua các tp mô men nên lực cắt cũng bỏ qua, vì vậy: Hệ pt (2.10) trở thành: 3. Lý thuyết vỏ mỏng phi mô men Điều kiện tồn tại của lý thuyết phi mô men [1] • Dạng hình học của vỏ trơn, không gẫy góc, không có những thay đổi đột ngột của độ cong. Bề dày vỏ nếu thay đổi cũng biến thiên liên tục. Vỏ không có sườn tăng cường. • Tải trọng tác động là những lực phân bố bề mặt liên tục, trơn. Trên vỏ không có lực hoặc mô men tập trung. • Liên kết trên vỏ không ngăn cản chuyển vị w theo phương pháp tuyến hoặc ngăn cản góc xoay (những đạo hàm của w). Những ngăn cản này sẽ làm phát sinh các phản lực theo phương các ứng lực uốn – xoắn. Như vậy các liên kết ở biên vỏ chỉ được phép nằm trong mặt phẳng tiếp tuyến của mặt trung bình, chúng chỉ ngăn cản các chuyển vị u, v Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 39 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 40 trong đó: (2.11a) (2.11b) (2.11c) Từ (2.11) có thể thấy rằng: nếu biết các tp của tải phân bố, có thể xác định được 3 ứng lực màng N1, N2, S => xác định các tp biến dạng (2.12) 3. Lý thuyết vỏ mỏng phi mô men Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 41 3.2. Vỏ tròn xoay (shells of revolution) 3. Lý thuyết vỏ mỏng phi mô men Sử dụng hệ tọa độ cầu – F(r, j, q) =0 R1 – bán kính cong đường kinh tuyến R2 – bán kính cong của vòng tròn vĩ tuyến vuông góc với đường kinh tuyến Kinh tuyến là đường tọa độ a (a  j), vĩ tuyến là đường tọa độ b (b  q) r dr z en e1 ds R2 R1 j j => Hệ số Lame’: A = R1; B = r = R2sinj 3. Lý thuyết vỏ mỏng phi mô men Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 42 • Các phương trình cân bằng với: (2.13a) (2.13b) Hoặc: Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 43 Các phương trình hình học và vật lý; 3.3. Vỏ tròn xoay chịu tải đối xứng trục Giả sử vỏ tròn xoay chịu tải trọng đối xứng quanh trục z của vỏ; các đạo hàm theo q bằng không; thành phần tải trọng p2 theo phương x (phương vòng-phương vĩ tuyến) bằng không, tp chuyển vị theo phương vòng v = 0 Ta có: , các tp lực màng như hình vẽ trên (2.14) 3. Lý thuyết vỏ mỏng phi mô men N1 – lực dọc kinh tuyến N2 – lực dọc vĩ tuyến 3. Lý thuyết vỏ mỏng phi mô men 44 Tích phân pt này từ j0 đến j: j0 và j1 - góc xác định giới hạn trên và dưới của vỏ N(0)1 – lực dọc kinh tuyến tại mép trên của vỏ tương ứng với góc chắn j0 và bk r0 Trong đó: - bán kính cong chính của vỏ tại mép tương ứng với Từ pt (2.13b1 và 2.13b3), sau một số biến đổi ta nhận được: (*) 3. Lý thuyết vỏ mỏng phi mô men Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 45 Giả sử ngoài p1,p2, vỏ còn chịu thêm tải trong đường q theo phương z dọc theo đường tròn vĩ tuyến ở mép trên vỏ tương ứng với j  j0 Ta có: Thay vào (*) ta nhận được: (**) Nhân 2 vế của (**) với 2p ta có: (***) Quan sát hình vẽ ta nhận thấy: • Vế trái của pt trên là hình chiếu lên phương thẳng đứng của lực dọc kinh tuyến tại vòng tròn vĩ tuyến tương ứng với góc j. • là phần diện tích vỏ giới hạn bởi vi phân góc dj . • và là hình chiếu của tải trọng bề mặt lên phương thẳng đứng. 3. Lý thuyết vỏ mỏng phi mô men Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 46 Như vậy vế phải của (***) là hình chiếu của ngoại lực tác động lên phần vỏ đang xét theo phương thẳng đứng. Và (***) có thể viết dưới dạng: Với: (***) đồng thời cũng là điều kiện cân bằng tĩnh học: tổng hình chiếu các nội và ngoại lực lên phương z trục vỏ bằng không • Trường hợp vỏ kín (j0 = 0), lực dọc kinh tuyến trở thành: • Khi biết N1, lực dọc vĩ tuyến được rút ra từ pt (2.13b3): 3. Lý thuyết vỏ mỏng phi mô men Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 47 u, w – chuyển vị theo phương tiếp tuyến và pháp tuyến đối với đường kinh tuyến (phương y và z trên hình vẽ): Các thành phần biến dạng và chuyển vị xác định theo: • Biết được N1, N2, ta có thể xác định được biến dạng e1, e2 từ đó xác định các thành phần chuyển vị u, w (2.15) Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 48 3.4. Vỏ trụ (cylindrical shells) 3. Lý thuyết vỏ mỏng phi mô men • Ống trụ được tạo thành khi di chuyển đường thằng dọc theo một đường cong sao cho nó luộn song song với vị trí ban đầu • Sử dụng hệ tọa độ trụ. a  x ; b  q Các hằng số Lame:  Vỏ trụ hình dạng bất kỳ 3. Lý thuyết vỏ mỏng phi mô men Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 49  Vỏ trụ tròn xoay • Các phương trình cân bằng (2.16) Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 50 • Phương trình quan hệ chuyển vị - biến dạng 3. Lý thuyết vỏ mỏng phi mô men (2.17) • Từ (2.16) ta rút ra: f1(q), f2(q) xác định từ điều kiện biên Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 51 3.5. Vỏ côn (conical shells) Các phương trình cân bằng 3. Lý thuyết vỏ mỏng phi mô men (2.18) Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 52 Phương trình quan hệ chuyển vị - biến dạng 3. Lý thuyết vỏ mỏng phi mô men Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 53 4. Lý thuyết vỏ thoải  Lý thuyết gần đúng vỏ mỏng của Donnell-Mushtari-Vlasov dựa trên các giả thiết:  Bỏ qua ảnh hưởng lực cắt  Ảnh hưởng của chuyển vị w lớn hơn nhiều so với u, v trong ứng xử uốn của vỏ • Quan hệ động học: Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 54 4. 1. Lý thuyết gần đúng vỏ mỏng của Donnell-Mushtari-Vlasov 4. Lý thuyết vỏ thoải • Các phương trình cân bằng: • Để giải Vlasov đề xuất hàm ứng suất f(a,b) thỏa mãn: Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 55 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 56 4. Lý thuyết vỏ thoải Nếu pt mặt trung bình của vỏ thoải là z=z(x,y), thì: Phương trình quan hệ chuyển vị - biến dạng 4.2. Lý thuyết vỏ thoải của Donnell-Mushtari-Vlasov Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 57 TÀI LiỆU THAM KHẢO 1. PGS. TS. Lê Ngọc Hồng - Lý thuyết tấm và vỏ - Bài giảng Cao học 2. Nguyễn Văn Vượng - Lý thuyết đàn hồi ứng dụng 3. Ugural, A. C. Stresses in Plates and Shells. 2nd ed. New York, NY: McGraw- Hill, 1998. ISBN: 0070657696 4. Timoshenko, Stephen P., and S. Woinowsky-Krieger. Theory of Plates and Shells. 2nd ed. New York, NY: McGraw-Hill Companies, 1959. ISBN: 0070647798. LOGO 58