Kỳ thi giải toán trên mtct bậc trung học năm học 2010-2011

1 SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ————————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI GIẢI TOÁN TRÊN MTCT BẬC TRUNG HỌC NĂM HỌC 2010-2011 ĐỀ THI MÔN: TOÁN- THPT&BTTHPT Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. ———————————— Chú ý: - Đề thi có 04 trang - Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi này Quy định chung: 1. Thí sinh được dùng một trong các loại máy tính sau: Casio fx-500A; fx-500MS; fx-500ES; fx-570MS; fx-570ES; VINACAL Vn-500MS; Vn-570MS. 2. Nếu có yêu cầu trình bày cách giải, thí sinh chỉ cần nêu vắn tắt lời giải, công thức áp dụng, kết quả tính vào ô qui định. Nếu thí sinh không ghi lời giải hoặc lời giải sai thì không được điểm của câu đó (kể cả trường hợp ghi đúng đáp số). 3. Đối với các kết quả tính toán gần đúng, nếu không có chỉ định cụ thể chỉ lấy đến 4 chữ số thập phân sau dấu phẩy. 1. Phần ghi của thí sinh: Họ và tên thí sinh:……………………………………, SBD:…………………………… Ngày sinh:……………………Học sinh trường THPT:…………………………………. 2. Phần ghi tên và chữ kí của giám thị: Giám thị số 1:…………………………………………………………………. Giám thị số 2:…………………………………………………………………. Số phách (do chủ tịch Hội đồng ghi) 2 Điểm của bài thi Họ tên và chữ kí các giám khảo SỐ PHÁCH Bằng số Bằng chữ GK1:…………………………………….. GK2: ……………………………………. Bài 1 (5 điểm). Tính các hệ số , ,a b c biết rằng đồ thị của hàm số 3 2y x ax bx c    đi qua ba điểm (5;1); (6;2); (7;3)A B C . a  b  c  Bài 2 (5 điểm). Tính gần đúng toạ độ hai giao điểm của elíp 2 2 1 9 4 x y   và đường thẳng 5 6 7 0x y   . 1 1 x y    2 2 x y    Bài 3 (5 điểm). Tính gần đúng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số 2 2 2 7 1( ) 4 5 x xf x x x      . C§f  CTf  Bài 4 (5 điểm). Tính gần đúng nghiệm của hệ phương trình sau: 2 ( 2011)( 2010 ) 9 6        x x y x x x y Tóm tắt lời giải (2 điểm) Kết quả (3 điểm) Bài 5 (5 điểm). Cho tam giác ABC có cạnh 6AB cm , các góc BAC  085 và ACB  040 . Tính gần đúng diện tích tam giác ABC và độ dài đường cao AH của tam giác đó. Hình vẽ và tóm tắt lời giải (2 điểm) Kết quả (3 điểm) ABCS  AH  3 Số phách:……………….. Bài 6 (5 điểm). Tìm hệ số của x trong đa thức ( ) (1 )(1 2 )(1 3 )(1 4 )....(1 2010 )(1 2011 )P x x x x x x x       . Tóm tắt lời giải (3 điểm) Kết quả (2 điểm) Hệ số của x bằng: Bài 7 (5 điểm). Cho hình thang cân ABCD có đáy lớn AB ngoại tiếp một đường tròn bán kính 3r  , góc DAB  040 . Tính gần đúng độ dài các cạnh đáy và đường chéo của hình thang ABCD. Hình vẽ và tóm tắt lời giải (2 điểm) Kết quả (3 điểm) AB  CD  BD  Bài 8 (5 điểm). Cho dãy số 1( )n nu  xác định như sau: 1 1 3 2 1 1 1 (1 2) n n n u uu n u            . Tính gần đúng giá trị 2011u . Tóm tắt lời giải (2 điểm) Kết quả (3 điểm) 2011u  4 Số phách:……………. Bài 9 (5 điểm). Cho hai số thực dương ,x y thoả mãn 5x y  . Tính gần đúng giá trị nhỏ nhất của biểu thức 5 5( 5)( 5)P x y   . Tóm tắt lời giải (3 điểm) Kết quả (2 điểm) minP  Bài 10 (5 điểm). Cho hình chóp S.ABC nội tiếp trong một mặt cầu có bán kính 3 10R  . Biết rằng SA SB SC  và ASB ASC BSC   040 . Tính gần đúng thể tích của khối chóp S.ABC. Hình vẽ và tóm tắt lời giải (3 điểm) Kết quả (2 điểm) .S ABCV  -------------------Hết--------------------- SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI GIẢI TOÁN TRÊN MTCT BẬC TRUNG HỌC 5 ————————— NĂM HỌC 2010-2011 ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN- THPT&BTTHPT ———————————— Bài Tóm tắt cách giải Kết quả Điểm từng phần Điểm toàn bài 1 18a   108b  214c   2,0 1,5 1,5 5,0 2 1 1 2,5989 0,9991 x y     2 2 0,8916 1,9096 x y     2,5 2,5 5,0 3 2 2 2 15 18 39'( ) ( 4 5) x xf x x x      Giải PT '( ) 0f x  tìm ra , CTx xC§ . 25,4035 0,4035 C§ CT f f    2,5 2,5 5,0 4 Đặt ( 2011); 2010   a x x b y x Ta có hệ 9 3 6       ab a b a b 1 1( 0,0015; 5,9985)x y  2 2( 2011,0015; 4042109,9990)x y    1,5 1,5 5,0 5 * BC AB BC   0 0 0 0 6.sin85 sin85 sin 40 sin 40 ABCS BA BC B  2 0 0 0 1 1 6 .sin55 .sin85 . . .sin . 2 2 sin 40 * AH AH AB   0 0sin55 6sin55 ABCS cm 222,8514 AH cm4,9149 1,5 1,5 5,0 6 - Hệ số của x trong P(x) bằng '(0)P - Hệ số đó bằng (1 2) (3 4) ...(2009 2010) 2011      1006a  2,0 5,0 7 * Ta có 02 ( =40 ) sin rAD BC     . Đặt ;AB x CD y  Thì 4 cot 4 sin x y r rx y         (vì AB CD AD BC   ) Tìm ra 1 cos 1 cos2 . ; 2 . sin sin x r y r        * Theo định lí cosin trong tam giác ABD: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . .cos 1 cos 4 1 cos4 8 . .cos sin sin sin BD AB AD AB AD BAD rr r                 Tính ra 2 12 1 sin BD r    . 9,5175AB  1,2608CD  6,4065BD  1,0 1,0 1,0 5,0 6 8 Ta có 1 tan 8tan 2 1 8 1 tan . 8 n n n u u u          1 2 tan tan 3 83 tan tan 3 3 81 tan .tan 8 3 u u                   Quy nạp tan ( 1) 1 3 8n u n n         . 2011 tan 2010. 3,73213 8 u         3,0 5,0 9 * Đặt t xy thì 250 4 t  . Ta có 5 5 5 55( ) 25P x y x y    5 5 2 2 3 3 2 2 2 ( )( ) ( ) 25 625 3125 x y x y x y x y x y t t          Vậy 5 2125 3125 15650P t t t    * Xét hàm 5 2( ) 125 3125 15650f t t t t    4'( ) 5 250 3125f t t t   , dễ thấy '( ) 0f t  chỉ có một nghiệm duy nhất trên 250; 4      . Dùng chức năng SOLVE giải PT '( ) 0f t  tìm ra một nghiệm 4,4755t  . min 5963,4176P  2,0 5,0 10 * Ta có SAB SBC SAC ABC       đều * Gọi H là hình chiếu của S trên (ABC) thì H là tâm của tam giác đều ABC và SH đi qua tâm O của mặt cầu. * SH cắt mặt cầu tại D thì SAD vuông tại A. Đặt SA . Ta có 2 2 SH R   (1) * Gọi E là trung điểm của BC, ta có: 02 2 .sin ( 40 ) 2 BC BE     2 2 2 2 .sin 2 3 3 4. 1 sin (2) 3 2 BCAH SH SA AH            Từ (1) và (2) tìm ra 242 1 sin 3 2 R   2 . 2 3 2 2 1 1 3* . . . 3 3 4 8 3 4 .sin 1 sin 3 2 3 2 S ABC ABC BCV SH S SH R           D l H E O B A C S . 3,8490 (dvtt)S ABCV  2,0 5,0 Chú ý: 7 - Nếu đề có yêu cầu tóm tắt lời giải mà học sinh không ghi lời giải hoặc lời giải sai thì không cho điểm của câu đó (kể cả trường hợp đúng đáp số). - Nếu thiếu đơn vị đo (góc, độ dài, diện tích, thể tích) trừ 1,0 điểm phần đáp số của câu đó. - Nếu học sinh lấy nhiều hơn 4 chữ số thập phân trừ 0,5 điểm cho phần đáp số của câu đó. - Nếu học sinh sai chữ số thập phân cuối cùng (lệch 1 đơn vị) so với đáp án thì trừ 0,5 điểm của câu đó; chữ số thập phân cuối lệch từ 2 đơn vị trở lên thì không cho điểm phần đáp số. -----------------------Hết------------------------