Lời giải bài tập Giải tích I - K58

1.10. Các định lý về hàm khả vi và ứng dụng 23. Chứng minh rằng phương trình c” +pT +q = 0 với n nguyên dương không thể có quá 2 nghiệm thực nếu n chẵn, không có quá 3 nghiệm thực nếu n lẻ. Chứng minh. Gọi (2):= =" +pT+q. = P(x) = ng"-l+p. Đa thức P(x) có n nghiệm thực hoặc phức phân biệt hoặc trùng nhau và đa thức P(x) có n – 1 nghiệm thực hoặc phức phân biệt hoặc trùng nhau.Nghiệm của đa thức đạo hàm là nghiệm của phương trình c”- = -. Phương trình này chỉ có 1 nghiệm thực khi n chẵn và không có quá 2 nghiệm thực khi n lẻ. Do đó, nếu n chẵn và P(x) có 3 nghiệm thực phân biệt T1, T2, T3 thì áp dụng định lý Rolle vào [1, t2] và [T2, T3] sẽ suy ra được đa thức P(x) có ít nhất 2 nghiệm thực (vô lý Với lập luận trên). Tương tự với trường hợp n lẻ.