Lớp ghép và định lý Lagrange

Lớp ghép và định lý Lagrange PGS TS Trần Đan Thư tdthu@fit.hcmus.edu.vn 2Tóm tắt nội dung • Cấp của một phần tử • Khái niệm về lớp ghép và tính chất • Định lý Lagrange • Định lý Fermat nhỏ • Định lý Euler • Bài tập • Thuật ngữ 3Định nghĩa (cấp của phần tử) • Cho nhóm (G, o) và a∈G. Xét nhóm con sinh bởi a là H = = { ar / r∈ℤ}. – Trường hợp H hữu hạn: cấp của a là |H|, tức là số phần tử của nhóm con sinh bởi a. – Trường hợp H vô hạn: ta nói a có cấp vô hạn. • Nhận xét: – Nếu G hữu hạn thì hiển nhiên cấp a hữu hạn. – Nếu H hữu hạn tồn tại i và k (với i ≠ k) sao cho ai = ak, ta suy ra a|i-k| = e. Vậy tồn tại số nguyên dương m = |i-k| sao cho am = e. – Nếu H vô hạn, không thể tìm được số nguyên dương m sao cho am = e, vì nếu ngược lại thì: H = { ar / r∈ℤ} = {e, a, a2, …, am-1} hữu hạn. 4Tính chất (về cấp của phần tử) Giả sử a∈G, a có cấp hữu hạn. Gọi n là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho an = e (a) H = { ar / r∈ℤ} = {e, a, a2, …, an-1} có đúng n phần tử. (b) Cấp a bằng n. (c) Nếu am = e thì n là ước số của m. Chứng minh: Xem trình bày trên bảng. Ghi chú: Đối với nhóm ký hiệu + cũng tương tự. 5Ví dụ - Cấp phần tử • Phần tử -1 có cấp 2 trong nhóm nhân các số thực khác không, vì: (-1)2 = 1 • Phần tử i có cấp 4 trong nhóm nhân các số phức khác không, vì: i2 = -1 ≠ 1 ; i3 = -i ≠ 1; i4 = 1 • Phần tử⎯2 có cấp 4 trong (ℤ8 , +) vì: 2⎯2 = ⎯4 ≠ ⎯0 3⎯2 = ⎯6 ≠ ⎯0 4⎯2 = ⎯8 = ⎯0 6Lớp ghép (coset) Cho nhóm (G, o) và nhóm con H≤G và a∈G. • Tập hợp aH = { a o h / h∈ H} được gọi là một lớp ghép (coset, lớp ghép trái) của H trong G. • Nhận xét (với mọi a, b∈G): – Ta luôn có: aH = bH ⇔ a -1 o b ∈ H. • Nếu aH = bH thì b = b o e ∈ bH = aH ⇒ b = a o h với h ∈ H. Do đó a -1 o b = h ∈ H. • Nếu a -1 o b ∈ H, ta đặt h = a -1 o b ∈ H, lúc đó với mọi x ∈ H ta có: b o x = (a o h) o x = a o (h o x) ∈ aH, do đó bH ⊂ aH. Tương tự: aH ⊂ bH. Vậy: aH = bH. – Suy ra: nếu aH ∩ bH ≠ ∅ thì aH = bH. • Nếu aH ∩ bH ≠ ∅, ta lấy c∈ aH ∩ bH ⇒ c = a o h1 = b o h2 , với h1, h2 ∈ H. Do đó: a -1 o b = h1 o h2 -1 ∈ H ⇒ aH = bH. 7Tính chất của lớp ghép • Với mỗi a∈G, ánh xạ fa: H → aH với fa(h) = a o h là một song ánh, tức là |H| = | aH |, đặc biệt khi H hữu hạn thì H và aH có cùng số phần tử. • Trên G, ta định nghĩa quan hệ ~ như sau: a ~ b⇔ aH = bH, ∀a, b∈G. Quan hệ này có các tính chất: – Phản xạ – Đối xứng – Bắc cầu Nên là một quan hệ tương đương. • Lớp tương đương của a chính là tập aH : ⎯a = aH. Trường hợp đặc biệt nếu a ∈ H thì aH=H. • Nếu số lượng lớp tương đương là hữu hạn (điều này cũng xảy ra khi G hữu hạn) thì con số này ký hiệu là (G : H) và được gọi là chỉ số của H trong G (“the index of H in G”). Định lý Lagrange 8Định lý Lagrange Cho G là nhóm hữu hạn và nhóm con H≤G. |G| = (G : H).|H|, Tức là cấp |H| luôn là ước số của |G|. Hệ quả 1. Nhóm G cấp n, ta có xn = e, ∀x∈G. Hệ quả 2. Nếu nhóm G cấp p nguyên tố thì: (a) G chỉ có 2 nhóm con là {e} và chính bản thân G. (b) G sinh bởi một phần tử, tức là có a∈G sao cho a có cấp p và G = . Chứng minh: Xem trình bày trên bảng. 9Định lý Fermat nhỏ Giả sử p nguyên tố ≥ 2. Ta có (a) xp-1 =⎯ 1 với mọi x ∈ ℤp ; x ≠⎯ 0 . (b) xp = x với mọi x ∈ ℤp . Ghi chú: Phát biểu dưới dạng cổ điển – Nếu p không ước của x thì xp-1 ≡ 1 [mod p] ; – Ta luôn có: xp ≡ x [mod p]. Ngoài ra, từ (a) ta dễ dàng suy ra (b). 10 Chứng minh định lý Fermat nhỏ Đặt Zp* = ℤp \ {⎯ 0 }. Bước 1. Chứng minh (Zp*, .) là nhóm. Chỉ cần chứng minh mọi x∈Zp* đều khả nghịch. Xét x =⎯m ≠ ⎯0 thì (m, p)=1 do p nguyên tố. Tồn tại a, b nguyên: am + bp = 1⇒ ⎯a ⎯m = ⎯1 . Bước 2. Như Zp* là nhóm cấp p-1, theo hệ quả của định lý Lagrange ta có: xp-1 =⎯ 1 với mọi x ∈ Zp*. 11 Định lý Euler Giả sử n nguyên ≥ 2. Đặt ϕ(n) là số các số k sao cho: 1 ≤ k ≤ n, (k, n)=1. Ta có: xϕ(n) =⎯ 1 với mọi x =⎯ m ∈ ℤn ; (m, n)=1. Ghi chú: Phát biểu dưới dạng cổ điển – Nếu (x, n) = 1 thì xϕ(n) ≡ 1 [mod n] . – Hàm ϕ(n) (gọi là hàm phi-ơ-le) được tính như trong số học cổ điển. 12 Chứng minh định lý Euler Đặt U(Zn) = {⎯ m ∈ ℤn / (m, n)=1 }. • Bước 1: Chứng minh (U(Zn) , .) là nhóm. • Bước 2: Áp dụng hệ quả của định lý Lagrange (tương tự như trong chứng minh định lý Fermat nhỏ). (Xem trình bày chi tiết trên bảng.) 13 Bài tập Xem danh sách bài tập: Tập tin Lec3_Probs.pdf 14 Các thuật ngữ chính • Order of an element: cấp của một phần tử • Coset, left coset: lớp ghép (trái) • Index of H in G: chỉ số của nhóm con H trong nhóm G • A devides B: A chia hết B (A ước số B) (tương đương với: B is divisible by A) • divisor: số chia, ước số • Prime: số nguyên tố (p is a prime number ; p is a prime…) • x relatively prime to y; x and y are relatively prime numbers: x và y nguyên tố cùng nhau