Luận văn Bài toán tối ưu với hàm thuần nhất dương

(Bản scan) Hàm thực thuần nhât dương rất quen thuộc và hay gặp trong nhiều ứng dụng , đặc biệt trong nghiên cứu kinh tế, vĩ mô. Hàm tuyến tĩnh, hàm bậc hai, đặc biệt trong nghiên cứu vĩ mô. Hàm tuyến tính, hàm bặc hai ... là các ví dụ về hàm thuần nhất dương.

pdf57 trang | Chia sẻ: ttlbattu | Lượt xem: 1592 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Luận văn Bài toán tối ưu với hàm thuần nhất dương, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
®¹i häc Th¸i Nguyªn Tr•êng ®¹i häc khoa häc -------------  0  ------------- NguyÔn Xu©n Huy Bµi to¸n tèi •u víi hµm thuÇn nhÊt d•¬ng LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc Th¸i Nguyªn - 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ®¹i häc Th¸i Nguyªn Tr•êng ®¹i häc khoa häc -------------  0  ------------- NguyÔn Xu©n Huy Bµi to¸n tèi •u víi hµm thuÇn nhÊt d•¬ng Chuyªn ngµnh: To¸n øng dông M· sè: 60.46.36 LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc Ng•êi h•íng dÉn khoa häc GS-TS TrÇn Vò ThiÖu Th¸i Nguyªn - 2009 M l Lêi nãi ®Çu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 Nh÷ng kiÕn thø vÒ gi¶i tÝ h låi 5 1.1 TËp affin vµ tËp låi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Hµm låi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 C¸ bµi to¸n tèi ­u 18 2.1 C¸ kh¸i niÖm ¬ b¶n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 Bµi to¸n tèi ­u kh«ng rµng bué . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 Bµi to¸n tèi ­u ã rµng bué . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3 Bµi to¸n tèi ­u víi hµm thuÇn nhÊt d­¬ng 32 3.1 Hµm thuÇn nhÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.2 Bµi to¸n tèi ­u víi hµm thuÇn nhÊt d­¬ng . . . . . . . . . . . . . 38 3.3 C¸ kÕt qu¶ ®èi ngÉu hÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.4 Tèi ­u toµn  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 KÕt luËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Tµi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 1 Lêi nãi ®Çu Hµm thù thuÇn nhÊt d­¬ng ( ßn gäi ®¬n gi¶n lµ hµm thuÇn nhÊt) rÊt quen thué vµ hay gÆp trong nhiÒu øng dng, ®Æ biÖt trong nghiªn øu kinh tÕ vi m«. Hµm tuyÕn tÝnh, hµm bË hai, hµm Cobb-Douglas, ¸ hµm ®a thø thuÇn nhÊt ... lµ ¸ vÝ d vÒ hµm thuÇn nhÊt d­¬ng. Hµm thuÇn nhÊt biÓu lé hµnh vi rÊt ®Òu ®Æn, khi mäi biÕn t¨ng theo ïng mét tØ lÖ. Ch¼ng h¹n, víi hµm thuÇn nhÊt bË 0, khi ¸ biÕn thay ®æi theo ïng mét tØ lÖ th× gi¸ trÞ ña hµm kh«ng hÒ thay ®æi; víi hµm thuÇn nhÊt bË 1, khi t¨ng gÊp ®«i (gÊp ba) mäi biÕn th× gi¸ trÞ ña hµm òng t¨ng gÊp ®«i (gÊp ba). Mét ®Æ tr­ng quan träng ña hµm thuÇn nhÊt lµ ¸ ®¹o hµm riªng ña mét hµm thuÇn nhÊt òng lµ mét hµm thuÇn nhÊt vµ ¸ hµm thuÇn nhÊt ã thÓ biÓu diÔn ®­î qua ¸ ®¹o hµm riªng ña nã (§Þnh lý Euler). §Ò tµi luËn v¨n ®Ò Ëp tíi líp bµi to¸n tèi ­u víi ¸ hµm thuÇn nhÊt d­¬ng, nghÜa lµ hµm m tiªu vµ ¸ hµm rµng bué ña bµi to¸n ®Òu lµ ¸ hµm thuÇn nhÊt (bË ã thÓ kh¸ nhau). Qui ho¹ h tuyÕn tÝnh vµ qui ho¹ h bË hai lµ nh÷ng tr­êng hîp riªng ña líp bµi to¸n nµy. ViÖ t×m hiÓu bµi to¸n tèi ­u víi ¸ hµm thuÇn nhÊt d­¬ng lµ hoµn toµn Çn thiÕt vµ h÷u Ý h, gióp ta hiÓu s©u h¬n vÒ ¸ bµi to¸n, ph­¬ng ph¸p tèi ­u phi tuyÕn vµ më réng ph¹m vi øng dng ña hóng. M tiªu ña luËn v¨n lµ t×m hiÓu vµ tr×nh bµy mét sè kÕt qu¶ ¬ b¶n liªn quan tíi bµi to¸n tèi ­u víi ¸ hµm thuÇn nhÊt d­¬ng. C¸ vÊn ®Ò ®Ò Ëp trong luËn v¨n ®­î tr×nh bµy mét ¸ h hÆt hÏ vÒ mÆt to¸n hä , mét sè kh¸i niÖm vµ sù kiÖn nªu trong luËn v¨n ã kÌm theo vÝ d vµ h×nh vÏ ®Ó minh ho¹. Néi dung luËn v¨n ®­î hia thµnh ba h­¬ng: Ch­¬ng 1 “Nh÷ng kiÕn thø vÒ gi¶i tÝ h låi” giíi thiÖu v¾n t¾t mét sè kiÕn thø ¬ b¶n, Çn thiÕt vÒ gi¶i tÝ h låi nh­ ¸ kh¸i niÖm vÒ tËp affine vµ bao affine, tËp låi vµ bao låi, nãn låi vµ tËp låi ®a diÖn, ïng víi ¸ kh¸i niÖm ®Ønh, ¹nh, diÖn ña tËp låi ®a diÖn vµ ¸ kh¸i niÖm vÒ hµm låi, hµm låi hÆt ïng 2 mét sè tÝnh hÊt ¬ b¶n ña hóng. Néi dung tr×nh bµy trong h­¬ng nµy sÏ Çn ®Õn ë h­¬ng sau, khi nghiªn øu ¸ bµi to¸n tèi ­u phi tuyÕn nãi hung vµ bµi to¸n tèi ­u víi hµm thuÇn nhÊt d­¬ng nãi riªng. Ch­¬ng 2 “C¸ bµi to¸n tèi ­u” tr×nh bµy v¾n t¾t ¸ kh¸i niÖm vµ kÕt qu¶ vÒ bµi to¸n tèi ­u phi tuyÕn, ph©n biÖt tèi ­u ®Þa ph­¬ng vµ tèi ­u toµn  , tèi ­u kh«ng rµng bué vµ tèi ­u ã rµng bué , ¸ ®iÒu kiÖn Çn vµ ®iÒu kiÖn ®ñ ña tèi ­u, ®Æ biÖt lµ ®iÒu kiÖn KKT ho tèi ­u ã rµng bué . C¸ kh¸i niÖm nãn tiÕp xó , kh¸i niÖm hÝnh quy, hµm Lagrange vµ nh©n tö Lagrange òng ®­î giíi thiÖu. NhiÒu vÝ d ®· ®­î ®­a ra ®Ó minh ho¹ ho ¸ kh¸i niÖm vµ kÕt qu¶ tr×nh bµy. Ch­¬ng 3 “Bµi to¸n tèi ­u víi hµm thuÇn nhÊt d­¬ng” ®Ò Ëp tíi líp bµi to¸n tèi ­u phi tuyÕn víi ¸ hµm thuÇn nhÊt d­¬ng. Bµi to¸n ®­î xt ã thÓ diÔn ®¹t nh­ mét bµi to¸n “min-max” ®¬n gi¶n, víi “max” lµ bµi to¸n tuyÕn tÝnh th«ng th­êng ã mét rµng bué duy nhÊt. Tõ ®ã nªu ¸ h diÔn ®¹t míi ho qui ho¹ h tuyÕn tÝnh vµ qui ho¹ h toµn ph­¬ng rµng bué tuyÕn tÝnh. Víi nh÷ng gi¶ thiÕt nhÊt ®Þnh, ã thÓ hØ ra bµi to¸n tèi ­u kh«ng låi bË hai t­¬ng ®­¬ng víi bµi to¸n tèi ­u låi. Do thêi gian ã h¹n nªn luËn v¨n nµy míi hØ dõng l¹i ë viÖ t×m hiÓu tµi liÖu, s¾p xÕp vµ tr×nh bµy ¸ kÕt qu¶ nghiªn øu ®· ã theo hñ ®Ò ®Æt ra. Trong qu¸ tr×nh viÕt luËn v¨n òng nh­ trong xö lý v¨n b¶n h¾ h¾n kh«ng tr¸nh khái ã nh÷ng sai sãt nhÊt ®Þnh. T¸ gi¶ luËn v¨n rÊt mong nhËn ®­î sù gãp ý ña ¸ thÇy « vµ ¸ b¹n ®ång nghiÖp ®Ó luËn v¨n ®­î hoµn thiÖn h¬n. Nh©n dÞp nµy, t¸ gi¶ xin bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾ ®Õn thÇy h­íng dÉn GS-TS TrÇn Vò ThiÖu ®· tËn t×nh gióp ®ì trong suèt qu¸ tr×nh lµm luËn v¨n. T¸ gi¶ xin h©n thµnh ¶m ¬n ¸ thÇy, « ë ViÖn C«ng nghÖ th«ng tin, ViÖn To¸n hä Hµ Néi, Khoa C«ng nghÖ th«ng tin, Khoa To¸n vµ Phßng §µo t¹o sau ®¹i hä tr­êng §¹i hä Khoa hä - §¹i hä Th¸i Nguyªn ®· tËn t×nh gi¶ng d¹y vµ t¹o mäi ®iÒu kiÖn thuËn lîi ho t¸ gi¶ trong qu¸ tr×nh hä tËp t¹i tr­êng. 3 T¸ gi¶ òng xin h©n thµnh ¶m ¬n Ban l·nh ®¹o Së Gi¸o d vµ §µo t¹o Qu¶ng Ninh, Ban Gi¸m hiÖu vµ ¸ thÇy « gi¸o Tr­êng THPT Hoµng Què ViÖt, n¬i t¸ gi¶ «ng t¸ ®· t¹o nh÷ng ®iÒu kiÖn thuËn lîi nhÊt ®Ó t¸ gi¶ hoµn thµnh nhiÖm v hä tËp. T¸ gi¶ òng xin bµy tá sù quý mÕn vµ lßng biÕt ¬n s©u s¾ tíi Bè mÑ, gia ®×nh vµ ng­êi th©n ®· lu«n khuyÕn khÝ h, ®éng viªn t¸ gi¶ trong suèt qu¸ tr×nh hä ao hä vµ viÕt luËn v¨n nµy. Hµ Néi, th¸ng 9/2009 T¸ gi¶ 4 Ch­¬ng 1 Nh÷ng kiÕn thø vÒ gi¶i tÝ h låi Ch­¬ng nµy nh¾ l¹i v¾n t¾t mét sè kiÕn thø ¬ b¶n, Çn thiÕt vÒ gi¶i tÝ h låi (tËp låi, hµm låi vµ ¸ tÝnh hÊt) ph v ho t×m hiÓu vµ nghiªn øu ¸ bµi to¸n tèi ­u. Néi dung tr×nh bµy ë h­¬ng nµy hñ yÕu dùa trªn ¸ tµi liÖu [1℄, [2℄. 1.1 TËp affin vµ tËp låi 1.1.1. TËp affine Cho x1, x2 lµ hai ®iÓm trong Rn. §­êng th¼ng qua x1, x2 lµ tËp ¸ ®iÓm x = λx1 + (1− λ)x2 = x2 + λ(x1 − x2) , λ ∈ R TËp M ⊆ Rn ®­î gäi lµ tËp affine nÕu M høa hän ¶ ®­êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm bÊt kú thué M , tø lµ ∀x1, x2 ∈ M , λ ∈ R ⇒ λx1 +(1−λ)x2 ∈ M . Nãi ¸ h kh¸ , M lµ tËp affine nÕu nã høa tæ hîp tuyÕn tÝnh ña hai ®iÓm bÊt kú thué M víi tæng ¸ hÖ sè b»ng 1. Ta gäi mét ®iÓm x ∈ R ã d¹ng x = k∑ i=1 λix i víi λ1, λ2, · · · , λk ∈ R vµ k∑ i=1 λi = 1 5 lµ tæ hîp affine ña ¸ ®iÓm λ1, λ2, · · · , λk ∈ Rn. NÕu M ⊆ Rn lµ mét tËp affine vµ x0 ∈ M th× tËp L = M − x0 = {x− x0 | x ∈ M} lµ mét kh«ng gian on, tø lµ nÕu a, b ∈ L th× mäi ®iÓm c = λa + µb víi λ, µ ∈ R òng thué L (L ®ãng víi php éng vµ php nh©n v« h­íng). V× vËy, mét tËp affine ã thÓ biÓu diÔn bëi M = x0 + L = { x0 + v | v ∈ L}, trong ®ã x0 ∈ M vµ L lµ kh«ng gian on. Kh«ng gian on L t­¬ng øng víi tËp affine M kh«ng ph thué vµo ¸ h hän x0, tø x0 lµ ®iÓm bÊt kú thué M . H¬n n÷a, kh«ng gian on L nµy x¸ ®Þnh duy nhÊt. Ta gäi L lµ kh«ng gian on song song víi M . Thø nguyªn (dimension) hay ßn gäi lµ sè hiÒu ña tËp affine M lµ thø nguyªn ña kh«ng gian on song song víi nã. Bao affine (affine hull) ña mét tËp E ⊆ Rn lµ giao ña tÊt ¶ ¸ tËp affine høa E. §ã lµ tËp affine nhá nhÊt høa E, kÝ hiÖu lµ aff E. VÝ d 1.1. TËp nghiÖm M ña hÖ ph­¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh Ax = b, trong ®ã A lµ ma trËn Êp m × n vµ v t¬ b ∈ Rm, lµ mét tËp affine. ThËt vËy, víi x1, x2 ∈ M , ∀λ ∈ R, ta ã A ( λx1 + (1− λ)x2) = λAx1 + (1− λ)Ax2 = λb + (1− λ)b = b ⇒ λx1 + (1− λ)x2 ∈ M VÝ d 1.2. Bao affine ña tËp E = { x ∈ R3 | 0 ≤ x1 ≤ 1, 0 ≤ x2 ≤ 1, x3 = 0 } lµ mÆt ph¼ng høa h×nh vu«ng E,  thÓ aff E = { x ∈ R3 | x3 = 0 } . 1.1.2. Sè hiÒu vµ ®iÓm trong t­¬ng ®èi Sè hiÒu (hay thø nguyªn) ña mét tËp M ⊆ Rn lµ sè hiÒu ña bao affine ña nã, ký hiÖu lµ dimM . Cho tËp M ⊆ Rn ã dimM < n. Mét ®iÓm a ∈ M ®­î gäi lµ ®iÓm trong t­¬ng ®èi (relative interior point) ña M nÕu tån t¹i h×nh Çu më B(a, ǫ) sao ho: ( B(a, ǫ) ∩ aff M) ⊂ M . PhÇn trong t­¬ng ®èi ña tËp M , ký hiÖu lµ riM , lµ tËp høa tÊt ¶ ¸ ®iÓm trong t­¬ng ®èi ña M . Mét tËp M ⊆ Rn ®­î gäi lµ ã thø nguyªn ®Çy ®ñ nÕu dimM = n. DÔ thÊy r»ng tËp M ã phÇn trong kh¸ rçng (intM 6= ∅) khi vµ hØ khi nã ã thø nguyªn ®Çy ®ñ. 6 VÝ d 1.3. Cho E = { x ∈ R3 | 0 ≤ x1 ≤ 1, 0 ≤ x2 ≤ 1, x3 = 0 } , ta ã: intE = ∅, riE = {x ∈ R3 | 0 < x1 < 1, 0 < x2 < 1, x3 = 0}, vµ dimE = 2. 1.1.3. TËp låi vµ ®iÓm ù biªn Cho hai ®iÓm x1, x2 ∈ Rn. TËp tÊt ¶ ¸ ®iÓm ã d¹ng x = λx1 + (1− λ)x2 = x2 + λ(x1 − x2), 0 ≤ λ ≤ 1, ®­î gäi lµ ®o¹n th¼ng nèi x1, x2, kÝ hiÖu lµ [ x1, x2 ] . TËp M ⊆ Rn ®­î gäi lµ tËp låi ( onvex set) nÕu nã høa hän ®o¹n th¼ng nèi hai ®iÓm bÊt kú thué nã, tø lµ ∀x1, x2 ∈ M , 0 ≤ λ ≤ 1 ta ã λx1 + (1− λ)x2 ∈ M . (b) ( ) (a) (d) H×nh 1.1. (a), (b) - TËp låi; ( ), (d) - TËp kh«ng låi Tõ ®Þnh nghÜa dÔ thÊy r»ng giao ña mét hä bÊt kú ¸ tËp låi lµ tËp låi. Tuy nhiªn hîp ña ¸ tËp låi h­a h¾ lµ tËp låi. Ta gäi ®iÓm x ∈ Rn ã d¹ng x = k∑ i=1 λix i víi λ1, λ2, · · · , λk ≥ 0 vµ k∑ i=1 λi = 1 lµ tæ hîp låi ña ¸ ®iÓm x1, x2, · · · , xk ∈ Rn. NÕu λi ≥ 0 víi ∀i = 1, 2, · · · , k th× ta nãi x lµ tæ hîp låi hÆt ña x1, x2, · · · , xk ∈ Rn. MÖnh ®Ò 1.1. Mét tËp M ⊂ Rn lµ låi khi vµ hØ khi nã høa tÊt ¶ ¸ tæ hîp låi ña nh÷ng phÇn tö thué nã. 7 MÖnh ®Ò 1.2. a) NÕuM ⊂ Rn lµ tËp låi vµ sè thù α ∈ Rn th× αM = {y | y = αx, x ∈ M} òng lµ tËp låi. b) NÕu M1,M2 ⊂ Rn lµ hai tËp låi th× M1 + M2 = { x | x = x1 + x2, x1 ∈ M1, x2 ∈ M2 } òng lµ tËp låi. Bao låi ( onvex hull) ña tËp E ⊂ Rn lµ giao ña tÊt ¶ ¸ tËp låi høa E vµ ®­î kÝ hiÖu lµ convE. §ã lµ tËp låi nhá nhÊt høa E. E convE convE H×nh 1.2. VÝ d vÒ bao låi MÖnh ®Ò 1.3. Bao låi ña tËp E ⊂ Rn høa tÊt ¶ ¸ tæ hîp låi ña ¸ phÇn tö thué E. Cho tËp låi M ⊂ Rn. Mét ®iÓm x ∈ M ®­î gäi lµ ®iÓm ù biªn (extreme point) ña M nÕu x kh«ng thÓ biÓu diÔn ®­î d­íi d¹ng tæ hîp låi hÆt ña hai ®iÓm ph©n biÖt bÊt kú nµo ña M , tø lµ 6 ∃y, z ∈ M, y 6= z sao ho x = λy + (1− λ)z, 0 < λ < 1. Theo ®Þnh nghÜa, mét ®iÓm ù biªn kh«ng thÓ lµ ®iÓm trong ña tËp låi. V× vËy tÊt ¶ ¸ ®iÓm ù biªn ®Òu lµ ¸ ®iÓm biªn. NÕu tËp hîp kh«ng høa biªn th× nã kh«ng ã ®iÓm ù biªn. MÖnh ®Ò 1.4. Mét tËp låi ®ãng kh¸ rçng M ⊂ Rn ã ®iÓm ù biªn khi vµ hØ khi nã kh«ng høa hän mét ®­êng th¼ng nµo. 8 (a) (b) H×nh 1.3. (a) - H×nh vu«ng ã 4 ®iÓm ù biªn; (b) - H×nh trßn ã v« sè ®iÓm ù biªn Mét ®Æ tr­ng rÊt quan träng ña tËp låi ®ãng vµ bÞ hÆn lµ: §Þnh lý 1.1. (Krein- Milman) Mét tËp låi ®ãng, bÞ hÆn trong R n lµ bao låi ña ¸ ®iÓm ù biªn ña nã. 1.1.4. Siªu ph¼ng, nöa kh«ng gian Cho a ∈ Rn \ {0} vµ α ∈ R. TËp H := {x ∈ Rn | = α} ®­î gäi lµ mét siªu ph¼ng (hyperplane). §ã lµ mét tËp affine ã sè hiÒu b»ng n− 1. Ta gäi v t¬ a lµ v t¬ ph¸p tuyÕn ña siªu ph¼ng nµy. C¸ tËp x0 x a = α H×nh 1.4. Siªu ph¼ng trong R 2 {x ∈ Rn | ≤ α} (hoÆ {x ∈ Rn | ≥ α}) víi a ∈ Rn \ {0} vµ α ∈ Rn lµ nöa kh«ng gian ®ãng vµ tËp {x ∈ Rn | > α}) lµ nöa kh«ng gian më x¸ ®Þnh bëi siªu ph¼ng {x ∈ Rn | = α} Cho tËp M ⊂ Rn, v t¬ a ∈ Rn \ {0} vµ sè thù α ∈ R. Ta gäi siªu ph¼ng H := {x ∈ Rn | = α} 9 lµ siªu ph¼ng tùa (supporting hyperplane) ña M t¹i x0 ∈ M nÕu x0 ∈ H vµ M n»m hän trong nöa kh«ng gian ®ãng x¸ ®Þnh bëi H , tø lµ = α vµ ≤ α, ∀x ∈ M . M a x0 H×nh 1.5. Siªu ph¼ng tùa ña M t¹i x0 §Þnh lý 1.2. Qua mçi ®iÓm biªn x0 ña tËp låi M ⊂ Rn tån t¹i Ýt nhÊt mét siªu ph¼ng tùa ña M t¹i x0. §Þnh lý 1.3. Mét tËp låi ®ãng kh¸ rçng M ⊂ Rn lµ giao ña hä ¸ nöa kh«ng gian tùa ña nã. 1.1.5. Nãn vµ nãn låi TËp M ⊂ Rn ®­î gäi lµ nãn ( one) nÕu x ∈ M,λ ≥ 0 ⇒ λx ∈ M Mét nãn lu«n høa ®iÓm gè 0 ∈ Rn. TËp M ⊂ Rn ®­î gäi lµ nãn låi nÕu M võa lµ nãn võa lµ låi, nghÜa lµ víi bÊt kú x1, x2 ∈ M vµ λ1, λ2 ≥ 0 ta ã λ1x 1 + λ2x 2 ∈ M . 0 0 H×nh 1.6. (a) - Nãn låi (b) - Nãn kh«ng låi VÝ d 1.4. C¸ tËp sau ®©y lµ ¸ nãn låi ã ®Ønh t¹i gè 0 trong Rn: 10 • Rn+ := {x = (x1, x2, · · · , xn) : xi ≥ 0, i = 1, 2, · · · , n} (orthant kh«ng ©m) • Rn++ := {x = (x1, x2, · · · , xn) : xi > 0, i = 1, 2, · · · , n} (orthant d­¬ng) MÖnh ®Ò 1.5. TËp M ⊂ Rn lµ nãn låi khi vµ hØ khi nã høa tÊt ¶ ¸ tæ hîp tuyÕn tÝnh kh«ng ©m ña ¸ phÇn tö ña nã. Cho tËp k v t¬ v1, v2, · · · , vk ∈ Rn. TËp cone { v1, v2, · · · , vn} := {v ∈ Rn | v = k∑ i=1 λiv i, λi ≥ 0, i = 1, · · · , k } ⊂ Rn ®­î gäi lµ nãn sinh bëi tËp { v1, v2, · · · , vk}. V t¬ vh ∈ {v1, v2, · · · , vk} gäi lµ kh«ng thiÕt yÕu (non essential) nÕu cone { v1, · · · , vh−1, vh+1, · · · , vk} = cone{v1, v2, · · · , vk}. 0 0 v1 v2 v3 v1 v2 v3 (a) (b) H×nh 1.7. (a) - V t¬ v2 lµ kh«ng thiÕt yÕu (b) - HoÆ v t¬ v2 hoÆ v t¬ v3 lµ kh«ng thiÕt yÕu 1.1.6. Ph­¬ng lïi xa, ph­¬ng ù biªn Cho tËp låi kh¸ rçng D ⊆ Rn. V t¬ d 6= 0 ®­î gäi lµ ph­¬ng lïi xa (re ession dire tion) ña D nÕu {x + λd | λ ≥ 0} ⊂ D víi mçi x ∈ D. Mäi nöa ®­êng th¼ng song song víi mét ph­¬ng lïi xa d xuÊt ph¸t tõ mét ®iÓm bÊt kú ña D ®Òu n»m hän trong D. Râ rµng r»ng tËp D kh«ng bÞ hÆn khi vµ hØ khi D ã mét ph­¬ng lïi xa. TËp tÊt ¶ ¸ ph­¬ng lïi xa ña tËp låi D ⊆ Rn ïng v t¬ 0 t¹o thµnh mét nãn låi. Nãn låi ®ã ®­î gäi lµ nãn lïi xa ña tËp D vµ kÝ hiÖu lµ recD. 11 Ta nãi hai ph­¬ng d1 vµ d2 kh¸ biÖt (distin t) nÕu d1 6= αd2 víi α > 0. Ph­¬ng lïi xa d ña tËp D ®­î gäi lµ ph­¬ng ù biªn (extreme dire tion) ña D nÕu kh«ng tån t¹i ¸ ph­¬ng lïi xa kh¸ biÖt d1 vµ d2 ña D sao ho d = λ1d 1 + λ2d 2 víi λ1, λ2 > 0. 1.1.7. C¸ ®Þnh lý t¸ h tËp låi §©y lµ nh÷ng ®Þnh lý ¬ b¶n nhÊt ña gi¶i tÝ h låi, lµ «ng  h÷u hiÖu ña lý thuyÕt tèi ­u. Cho hai tËp C,D ⊂ Rn vµ siªu ph¼ng H := {x ∈ Rn | = α} víi a ∈ Rn \ {0} vµ α ∈ R Ta nãi siªu ph¼ng H t¸ h hai tËp C vµ D nÕu ≤ α ≤ ∀x ∈ C, ∀y ∈ D vµ siªu ph¼ng H t¸ h h¼n (hay t¸ h hÆt) hai tËp C,D nÕu ∀x ∈ C, ∀y ∈ D §Þnh lý 1.4. (§Þnh lý t¸ h I) NÕu hai tËp låi C,D ⊂ Rn kh«ng rçng vµ rêi nhau th× ã mét siªu ph¼ng t¸ h hóng. §Þnh lý 1.5. (§Þnh lý t¸ h II) NÕu hai tËp låi ®ãng C,D ⊂ Rn kh«ng rçng, rêi nhau vµ Ýt nhÊt mét trong hai tËp Êy lµ ompa th× ã mét siªu ph¼ng t¸ h h¼n hóng. HÖ qu¶ 1.1. (Bæ ®Ò Farkas) Cho v t¬ a ∈ Rn vµ ma trËn A Êp m× n. Khi ®ã, ≥ 0 víi mäi x tho¶ m·n Ax ≥ 0 khi vµ hØ khi ∃y ∈ Rn, y ≥ 0 sao ho a = ATy. Bæ ®Ò Farkas ã rÊt nhiÒu øng dng. VÒ mÆt h×nh hä , bæ ®Ò nµy hØ ra r»ng nãn K = {x ∈ Rn | Ax ≥ 0} n»m h¼n trong nöa kh«ng gian {x ∈ Rn | ≥ 0} khi vµ hØ khi v t¬ ph¸p tuyÕn ña siªu ph¼ng {x ∈ Rn | = 0} n»m trong nãn sinh bëi ¸ hµng ña ma trËn A. 1.1.8. TËp låi ®a diÖn TËp låi ®a diÖn P ⊆ Rn lµ giao ña mét sè h÷u h¹n nöa kh«ng gian ®ãng. Nãi ¸ h kh¸ , nã lµ tËp nghiÖm ña mét hÖ h÷u h¹n ¸ bÊt ®¼ng thø tuyÕn 12 tÝnh ≥ bi, i = 1, 2, · · · , m. (1.1) Mçi bÊt ®¼ng thø trong (1.1) ®­î gäi lµ mét rµng bué . Rµng bué k ∈ {i = 1, 2, · · · , m} lµ mét rµng bué thõa nÕu{ x | ≥ bi, i = 1, 2, · · · , m } = { x | ≥ bi, i ∈ {1, 2, · · · , m} \ {k} } Ta kÝ hiÖu A lµ ma trËn Êp m×n víi ai = (a1, a2, · · · , an), i = 1, 2, · · · , n, v t¬ b = (b1, b2, · · · , bm)T vµ x = (x1, x2, · · · , xn)T th× hÖ (1.1) ®­î viÕt d­íi d¹ng ma trËn nh­ sau Ax ≥ b V× mét ph­¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh ã thÓ biÓu diÔn t­¬ng ®­¬ng bëi hai bÊt ph­¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh nªn tËp nghiÖm ña hÖ ph­¬ng tr×nh vµ bÊt ph­¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh   < a i, x > = bi, i = 1, 2, · · · , m1 ≥ bi, i = m1 + 1, · · · , m òng lµ mét tËp låi ®a diÖn. DÔ thÊy r»ng tËp låi ®a diÖn lµ mét tËp låi, ®ãng. Mét tËp låi ®a diÖn bÞ hÆn ®­î gäi lµ ®a diÖn låi hay gäi t¾t lµ ®a diÖn. a1 a2 a3 a4a 5 H×nh 1.8. §a diÖn nµy lµ giao ña 5 nöa kh«ng gian Cho tËp låi ®a diÖn D x¸ ®Þnh bëi (1.1). NÕu ®iÓm x0 ∈ D tho¶ m·n = bi, th× ta nãi ®iÓm x 0 tho¶ m·n hÆt rµng bué i. TËp 13 I(x0) := { i ∈ {1, 2, · · · , m} = bi } lµ tËp hîp ¸ hØ sè ¸ rµng bué tho¶ m·n hÆt t¹i x0 ∈ D. Mçi ®iÓm ù biªn ña tËp låi ®a diÖn D ®­î gäi lµ mét ®Ønh ña D. TËp on låi F 6= ∅ ®­î gäi lµ mét diÖn ña D nÕu F høa mét ®iÓm trong t­¬ng ®èi ña mét ®o¹n th¼ng nµo ®ã thué D th× F høa hän ¶ ®o¹n th¼ng ®ã, nghÜa lµ y ∈ D, z ∈ D, x = λy + (1− λ)z ∈ F víi 0 < λ < 1 ⇒ y ∈ F, z ∈ F 1.2 Hµm låi 1.2.1. §Þnh nghÜa hµm låi vµ hµm låi hÆt Hµm f ®­î gäi lµ hµm låi ( onvex fun tion) x¸ ®Þnh trªn tËp låi D ⊆ Rn nÕu víi bÊt kú x1, x2 ∈ D vµ bÊt kú sè thù λ ∈ [0, 1] ta ã f ( λx1 + (1− λ)x2) ≤ λf(x1) + (1− λ)f(x2). Ta gäi f lµ hµm låi hÆt (stri tly onvex fun tion) trªn tËp låi D nÕu f ( λx1 + (1− λ)x2) < λf(x1) + (1− λ)f(x2). víi bÊt kú x1, x2 ∈ D, x1 6= x2 vµ bÊt kú sè thù λ ∈ (0, 1). MiÒn x¸ ®Þnh h÷u hiÖu ña hµm f lµ dom f = {x ∈ D | f(x) < +∞} Epigraph (trªn ®å thÞ) ña hµm låi f lµ tËp hîp epi(f) := {(x, α) ∈ D × R | x ∈ D, α ≥ f(x)}. Hµm låi f : D −→ R∪{+∞} ã thÓ ®­î më réng thµnh hµm låi trªn toµn kh«ng gian R n b»ng ¸ h ®Æt f(x) = +∞, ∀x /∈ dom f . V× vËy ®Ó ®¬n gi¶n, ta th­êng xt f lµ hµm låi trªn Rn. MÖnh ®Ò 1.5. a) Hµm f x¸ ®Þnh trªn tËp låi kh¸ rçng D ⊆ Rn lµ hµm låi khi vµ hØ khi epi(f) lµ tËp låi. b) Hµm g x¸ ®Þnh trªn tËp låi kh¸ rçng D ⊆ Rn lµ hµm lâm khi vµ hØ khi tËp hypograph (d­íi ®å thÞ) ña nã lµ tËp låi, trong ®ã 14 hypo(g) := {(x, α) ∈ D × R | x ∈ D, α ≤ g(x)}. (a) (b) H×nh 1.9. (a) - Epigraph ña mét hµm låi; (b) - Hypogrph ña mét hµm lâm 1.2.2. C¸ php to¸n vÒ hµm låi Cho hµm låi f1 x¸ ®Þnh trªn tËp låi D1 ⊆ Rn, hµm låi f2 x¸ ®Þnh trªn tËp låi D2 ⊆ Rn vµ sè thù λ > 0. C¸ php to¸n λf1, f1 + f2, max{f1, f2} ®­î ®Þnh nghÜa nh­ sau: (λf1)(x) := λf1(x), ∀x ∈ D1 (f1 + f2)(x) := f1(x) + f2(x), ∀x ∈ D1 ∩D2 max{f1, f2}(x) := max{f1(x), f2(x)}, ∀x ∈ D1 ∩D2 . MÖnh ®Ò 1.6. Cho hµm f1 lµ låi trªn D1, f2 låi trªn D2 vµ hai sè thù α > 0, β > 0. Khi ®ã, ¸ hµm αf1 + βf2 vµ max{f1, f2} lµ låi trªn D1 ∩D2. 1.2.3. TÝnh liªn t vµ ®¹o hµm theo h­íng ña hµm låi Cho hµm låi f x¸ ®Þnh trªn tËp låi më D ⊆ Rn. Ta ã: §Þnh lý 1.5. NÕu f lµ hµm låi x¸ ®Þnh trªn tËp låi më D ⊆ Rn th× f liªn t trªn D. §Þnh lý 1.6. NÕu f : D −→ R lµ mét hµm låi x¸ ®Þnh trªn tËp låi D ⊆ Rn th× nã ã ®¹o hµm theo mäi h­íng d ∈ R \ {0} t¹i mäi ®iÓm x0 ∈ dom f vµ f ′(x0, d) ≤ f(x0 + d)− f(x0) HÖ qu¶ 1.2. NÕu f lµ hµm låi kh¶ vi x¸ ®Þnh trªn tËp låi më D th× f ã ®¹o hµm theo mäi h­íng d ∈ R \ {0} t¹i mäi ®iÓm x0 ∈ dom f vµ = f ′(x0, d) ≤ f(x0 + d)− f(x0) 15 1.2.4. Tiªu huÈn nhËn biÕt hµm låi kh¶ vi §Þnh lý 1.7. Cho f lµ hµm kh¶ vi trªn tËp låi më D ⊆ Rn. Khi ®ã hµm f lµ hµm låi trªn D khi vµ hØ khi f(y)− f(x) ≥ , ∀x, y ∈ D Ta ®· biÕt víi hµm mét biÕn f x¸ ®Þnh trªn kho¶ng më D = (a, b) ⊆ R th× f lµ hµm låi trªn D khi vµ hØ khi f ′′(x) ≥ 0, ∀x ∈ D §Þnh lý 1.8. Cho f lµ hµm kh¶ vi hai lÇn trªn tËp låi më D ⊆ Rn. Khi ®ã f lµ hµm låi trªn D khi vµ hØ khi ma trËn Hesse ▽2f(x) lµ nöa x¸ ®Þnh d­¬ng trªn D, tø víi ∀x ∈ D th× yT ▽2 f(x)y ≥ 0, ∀y ∈ Rn Hµm f lµ hµm låi hÆt trªn D nÕu ▽2f(x) x¸ ®Þnh d­¬ng trªn D, tø víi mäi x ∈ D, th× yT ▽2 f(x)y > 0, ∀y ∈ Rn \ {0}. HÖ qu¶ 1.3. Cho hµm toµn ph­¬ng f(x) = 1 2 + + α, trong ®ã Q lµ ma trËn vu«ng ®èi xøng Êp n, c ∈ Rn vµ α ∈ R. Khi ®ã, f lµ hµm låi trªn R n nÕu Q lµ ma trËn nöa x¸ ®Þnh d­¬ng (f lµ hµm låi hÆt trªn R n nÕu Q lµ ma trËn x¸ ®Þnh d­¬ng). VÝ d 1.5. Cho f(x1, x2) = 2x 2 1 + 3x1x2 + 4x 2 2. Ta ã: ▽f(x) =   4x1 3x2 3x1 8x2   ▽2f(x) =   4 3 3 8   V× ma trËn Hesses ▽2f(
Tài liệu liên quan