Luật số lớn dạng hội tụ Mosco cho mảng các biến ngẫu nhiên đa trị, hoán đổi được theo hàng

TAÏP CHÍ ÑAÏI HOÏC SAØI GOØN Soá 19 - Thaùng 2/2014 82 LUẬT SỐ LỚN DẠNG HỘI TỤ MOSCO CHO MẢNG CÁC BIẾN NG U NHIÊN ĐA TRỊ, HOÁN ĐỔI ĐƯỢC THEO HÀNG DƯƠNG XUÂN GIÁP(*) NGUYỄN THỊ QUỲNH HOA(**) TÓM TẮT Trong bài báo này, chúng tôi thiết lập luật số lớn dạng hội tụ osco cho mảng tam giác các biến ngẫu nhiên hoán đổi được theo hàng, nhận giá trị tập đóng trên không gian Banach khả li. Kết quả của chúng tôi thu được không cần giả thiết kì vọng bị chặn và c n mở rộng một kết quả của Inoue và Taylor. Từ khoá: luật số lớn dạng hội tụ osco, biến ngẫu nhiên đa trị, không gian Banach khả li ABSTRACT In this paper, we establish the law of large numbers for triangular array of row-wise exchangeable random sets in a separable Banach space in the Mosco sense. The results are obtained without bounded expectation conditions and improve the results by Inoue and Taylor. Keywords: the law of large numbers in the Mosco sense, random sets, separable Banach space 1. PHẦN MỞ ĐẦU Trong mấy thập kỉ gần đây, luật số lớn cho các biến ngẫu nhiên đa trị dẫn tới nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau như: tối ưu hoá và điều khiển, hình học ngẫu nhiên, toán kinh tế, thống kê, y học,... Năm 2006, H. Inoue và R. L. Taylor thiết lập luật số lớn dạng hội tụ Mosco cho dãy các biến ngẫu nhiên hoán đổi được, nhận giá trị tập đóng trên không gian Banach khả li [4, tr. 271]. Gần đây, trong bài báo [5], Nguyễn Văn Quảng và Dương Xuân Giáp đã thiết lập các luật số lớn theo tôpô Mosco cho mảng tam giác các biến ngẫu nhiên độc lập theo hàng, nhận giá trị tập đóng trên không gian Rademacher dạng . Đây là bài báo đầu tiên thiết lập luật số lớn theo dạng hội tụ Mosco cho mảng tam giác các biến ngẫu nhiên đa trị. Tiếp nối hướng nghiên cứu này, chúng tôi đã thiết lập được luật số lớn theo dạng hội tụ Mosco cho mảng tam giác các biến ngẫu nhiên hoán đổi được theo hàng, nhận giá trị tập đóng trên một không gian Banach khả li. Trong bài báo [5], luật số lớn được thiết lập dưới điều kiện kì vọng bị chặn, tuy nhiên trong bài báo này chúng ta không cần giả thiết này. Kết quả của chúng tôi còn mở rộng một kết quả của Inoue và Taylor. 2. KIẾN THỨC CHUẨN B Trong suốt bài báo này, chúng tôi luôn giả thiết rằng là một không gian xác suất đầy đủ, là không gian Banach khả li thực và là không gian đối ngẫu của nó. Ký hiệu là họ tất cả các tập con đóng khác rỗng của không gian Banach , là tập tất cả các số thực. Trên ta xác định một cấu trúc tuyến tính với các phép toán được định nghĩa như sau: (*) ThS.NCS, Trường Đại học Vinh. (**) Học viên Cao học 19 Toán - Trường Đại học Vinh. 83 trong đó Ánh xạ được gọi là biến ngẫu nhiên đa trị, nếu với mọi tập con mở U của thì tập con thuộc . Phần tử ngẫu nhiên được gọi là một lát cắt -đo được (hay nói gọn là lát cắt đo được) của X nếu với mọi . -đại số Effros trên là -đại số sinh bởi các tập con với U là một tập con mở trên . Khi đó, một hàm đa trị là đo được khi và chỉ khi là -đo được, nghĩa là với mọi , ta có . Một họ hữu hạn các biến ngẫu nhiên đa trị được gọi là hoán đổi được nếu với mọi và với mọi phép hoán vị của tập . Với mỗi biến ngẫu nhiên đa trị -đo được X, ta đặt Kì vọng của biến ngẫu nhiên đa trị được định nghĩa như sau với là tích phân Bochner thông thường. Cho một -đại số con của -đại số và một biến ngẫu nhiên đa trị -đo được (nghĩa là với mọi tập con mở của ). Với và xác định trên , ta định nghĩa: Cho , chúng ta kí hiệu: là bao đóng (theo chuẩn), là bao đóng (theo tôpô yếu), là bao lồi, là bao lồi đóng của . Hàm khoảng cách , hàm tựa của tương ứng được định nghĩa như sau Chúng ta còn định nghĩa Cho là một tôpô trên và là một dãy nhận giá trị trên . Đặt: với là một dãy con của . Các tập con và tương ứng gọi là giới hạn dưới và giới hạn trên của , liên quan đến tôpô . Chúng ta dễ dàng suy ra được rằng . Một dãy được gọi là hội tụ tới , theo dạng Kuratowski, tôpô , nếu hai đẳng thức sau đây được thỏa mãn 84 Trong trường hợp này, chúng ta sẽ viết . Rõ ràng, điều này đúng khi và chỉ khi Chúng ta ký hiệu (tương ứng ) là tôpô mạnh (tôpô sinh bởi chuẩn) (tương ứng, tôpô yếu) của . Một tập con được gọi là giới hạn dạng osco của dãy và được ký hiệu bởi nếu Điều này đúng khi và chỉ khi Hội tụ Mosco cho dãy các biến ngẫu nhiên đa trị được định nghĩa như trên bằng cách thay thế bởi và bởi , các phát biểu là đúng hầu chắc chắn (h.c.c.). 3. KẾT QUẢ CHÍNH Cho biến ngẫu nhiên đa trị , ta kí hiệu là -đại số sinh bởi , nghĩa là -đại số bé nhất mà đo được. Để chứng minh kết quả chính, chúng ta cần bổ đề sau: Bổ đ .1. [6] Giả sử là một mảng tam giác các phần tử trên không gian Banach thỏa mãn: , tồn tại hằng số C sao cho , với mọi Khi đó, ta có khi . Khi thiết lập luật số lớn cho mảng tam giác các biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập đóng, nếu sử dụng kĩ thuật chứng minh như của H. Inoue và R. L. Taylor thì không thu được kết quả. Vì thế, chúng tôi phải sử dụng thêm Bổ đề 3.1 và đưa ra phương pháp mới để xây dựng mảng các lát cắt, cũng như đưa ra một số kĩ thuật biến đổi khác. Định lí .2. Cho là một mảng tam giác các biến ngẫu nhiên hoán đổi được theo hàng, nhận giá trị tập đóng trên không gian Banach khả li. Giả sử rằng với mọi và là một hàm đo được. Khi đó, nếu tồn tại sao cho: +) Với mỗi , tồn tại mảng tam giác thỏa mãn điều kiện hoán đổi được theo hàng, và khi với mỗi và với mọi . +) Với mỗi khi và với mọi , thì Chứng minh. Đặt . Đầu tiên, chúng ta sẽ chứng tỏ rằng h.c.c. Để làm được điều này, chúng ta sẽ sử dụng Bổ đề 3.1. Với mỗi 85 và , theo Bổ đề 3.6[1], tồn tại (các phần tử chỉ phụ thuộc vào và ) sao cho Từ điều kiện , tồn tại một mảng tam giác sao cho với mỗi , mảng hoán đổi được theo hàng và khi , với mỗi và . Đặt với . Giả sử với . Khi đó, ta có Đặt , với và . Do mảng tam giác hoán đổi được theo hàng nên cũng là mảng các phần tử ngẫu nhiên hoán đổi được theo hàng. Từ , với mỗi , ta có khi , nghĩa là khi Chúng ta có (từ tính chất ) 86 khi (theo bất đẳng thức hàm lồi). Từ đó, chúng ta có Điều này có nghĩa là Với mọi , ta có (do là ánh xạ tuyến tính) (theo định nghĩa phần tử ngẫu nhiên) với mọi khi (từ giả thiết ). Từ các khẳng định trên, chúng ta thấy rằng với mỗi , mảng tam giác thỏa mãn tất cả các điều kiện của Định lí 1[8]. Áp dụng định lí này ta có h.c.c. khi , với mỗi . Điều này tương đương với h.c.c. Với mỗi chúng ta đặt Với mỗi , từ điều kiện hoán đổi được theo hàng và hội tụ theo trung bình bậc 2 theo cột tới khi nên chúng có kì vọng bị chặn. Do đó, chúng ta suy ra với mọi Từ , chúng ta suy ra khi , với mỗi (hội tụ theo kéo theo hội tụ theo ). Từ đó, ta có khi . Kết hợp điều này với , chúng ta nhận thấy rằng thỏa mãn tất cả các giả thiết của Bổ đề 3.1, với mỗi . Từ đó, áp dụng bổ đề này cho mảng chúng ta thu được khi với mỗi Từ đó, ta suy ra 87 Từ , chúng ta có Tương tự, từ , chúng ta thu được Chúng ta có khi . Từ đó, kết hợp với , , và chúng ta có Điều này kéo theo Vì vậy Tiếp theo, giả sử là một dãy trù mật trên . Từ định lí về sự khả li, tồn tại dãy thuộc với sao cho Khi đó, khi và chỉ khi với mọi . Từ là mảng tam giác các biến ngẫu nhiên hoán đổi được theo hàng, chúng ta suy ra là mảng tam giác các biến ngẫu nhiên hoán đổi được theo hàng, với mỗi . Đặt . Khi đó cũng là mảng tam giác các biến ngẫu nhiên hoán đổi được theo hàng. Lập luận tương tự, chúng ta suy ra rằng mảng tam giác thỏa mãn đầy đủ các điều kiện của Định lí 1[8] cho trường hợp biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực, với mỗi . Khi đó, áp dụng bổ đề này, chúng ta có h.c.c. khi , với mọi Điều này có nghĩa là h.c.c. khi , với mọi Hơn nữa, từ và , chúng ta có 88 khi với mọi Từ đó, do tính hoán đổi được theo hàng của mảng tam giác các biến ngẫu nhiên , ta suy ra mảng tam giác này có kì vọng bị chặn. Áp dụng Bổ đề 3.1, ta có Từ đó, với mỗi , h.c.c. khi . Nghĩa là, tồn tại , sao cho với mọi khi . Với mỗi nếu thì khi , trong đó . Từ đó, chúng ta thu được Từ đó suy ra . Vì vậy, h.c.c. 4. KẾT LUẬN Bài báo này đã thiết lập được luật số lớn dạng hội tụ Mosco đối với mảng tam giác các biến ngẫu nhiên hoán đổi được theo hàng, nhận giá trị tập đóng trên không gian Banach khả li. Đây là sự tổng quát một kết quả của H. Inoue and R.L.Taylor (2006) đăng trên tạp chí Stochastic Analysis and Applications (SCIE). Để chứng minh được kết quả chính, các tác giả đã đưa ra được một số kĩ thuật mới mà có thể áp dụng được cho lớp khá rộng các bài toán liên quan. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. C. Castaing, N. V. Quang and D. X. Giap (2012), Mosco convergence of strong law of large numbers for double array of closed valued random variables in Banach space, Journal of Nonlinear and Convex Analisis, Vol. 13, No. 4, pp. 615-636. 2. C. Castaing, N. V. Quang and D. X. Giap (2012), Various convergence results in strong law of large numbers for double array of random sets in Banach spaces, Journal of Nonlinear and Convex Analisis, Vol. 13, No. 1, pp. 1-20. 3. Y. S. Chow and H. Teicher, Probability Theory, Springer, New York, 1978. 4. H. Inoue and R.L.Taylor (2006), Law of large numbers for exchangeable random sets in Kuratowski-Mosco sense, Stochastic Analisis and Applications, Volume 24, Issue 2, pp. 263-275. 5. N. V. Quang and D. X. Giap (2013), Mosco convergence of SLLN for triangular arrays of rowwise independent random sets, Statistics and Probability Letters, 83, pp. 1117-1126. 6. N. V. Quang and D. X. Giap (2013), SLLN for double array of mixing dependence random sets and fuzzy random sets in a separable Banach space, Journal of Convex Analisis, Vol. 20, No. 4. 89 7. R. L. Taylor, P. Z. Daffer and R. F. Patterson (1985), Limit theorems for sums of exchangeable variables, Rowman $\&$ Allanheld Publishers, Totowa N.J. 8. R. L. Taylor and R. F. Patterson (1985), Strong laws of large numbers for arrays of row-wise exchangeable random elements, Internat. J. Math. Math. Sci., Vol. 8, No. 1, 135-144. Bài báo này được tài trợ bởi uỹ phát triển khoa học và công nghệ quốc gia Vietnam (NAFOSTED). * Ngày nhận bài: 4/4/2013. Biên tập xong: 18/2/2014. Duyệt đăng: 24/2/2014.