Luyện tập cho học sinh một số dạng hoạt động nhằm phát hiện kiến thức trong dạy học hình học không gian lớp 11 trường phổ thông

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Science - Mathematics, 2013, Vol. 58, pp. 172-176 This paper is available online at LUYỆN TẬP CHO HỌC SINHMỘT SỐ DẠNG HOẠT ĐỘNG NHẰM PHÁT HIỆN KIẾN THỨC TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 TRƯỜNG PHỔ THÔNG Đỗ Thị Thanh Khoa Khoa học cơ bản, Trường Đại học Công nghiệp Quảng Ninh Email: thanh.cdm@gmail.com Tóm tắt. Trong dạy học Hình học không gian lớp 11 học sinh thường gặp nhiều khó khăn, chướng ngại để phát hiện kiến thức. Bài báo đưa ra các biện pháp luyện tập cho học sinh một số dạng hoạt động nhằm khắc phục các khó khăn đó, góp phần nâng cao hiệu quả việc dạy học hình học không gian lớp 11 trường phổ thông. Từ khóa: Chướng ngại, khắc phục, mối liên hệ Hình học phẳng và Hình học không gian. 1. Mở đầu Khi dạy học Hình học không gian lớp 11 học sinh thường gặp những chướng ngại, chủ yếu sau: Thứ nhất, do sự đứt quãng về phương diện nhận thức khi chuyển từ nghiên cứu Hình học phẳng sang Hình học không gian. Chẳng hạn, học sinh không thể hình dung hai đường thẳng chéo nhau. Ví dụ, cặp cạnh đối của một tứ diện. Khó khăn này gây nên bởi học sinh không hình dung được hình không gian qua hình biểu diễn. Thứ hai, do sự đứt quãng tạo nên bởi quá trình dạy học hình học không gian giáo viên chưa thực sự quan tâm rèn luyện cho học sinh xác lập mối liên hệ giữa nghiên cứu hình học phẳng và hình học không gian. Thứ ba, khó khăn trong việc học hình học không gian của học sinh do trí tưởng tượng của họ còn yếu. 2. Nội dung nghiên cứu Bài viết này nhằm nghiên cứu vào việc dạy học Hình học không gian theo hướng khắc phục những chướng ngại nêu trên. Để khắc phục những chướng ngại đó có thể thực hiện các biện pháp luyện tập các dạng hoạt động sau đây cho học sinh: 2.1. Biện pháp 1. Tăng cường hoạt động xác lập liên hệ giữa Hình học phẳng và Hình học không gian Hoạt động này có thể thực hiện thông qua các hoạt động thành phần sau đây: 172 Luyện tập cho học sinh một số dạng hoạt động... Hoạt động 1. Sử dụng tri thức Hình học phẳng để phát hiện tri thức Hình học không gian thông qua sử dụng phép tương tự. Chẳng hạn, có thể sử dụng hai bài toán trong Hình học phẳng sau đây để phát hiện bài toán mới trong Hình học không gian thông qua sử dụng phép tương tự. Bài toán 1. Cho góc xOy và điểm A nằm trong góc đó. Hãy dựng đường thẳng ∆ đi qua A cắt Ox,Oy lần lượt tạiM,N sao cho AM = AN. Bài toán 2. (Tổng quát bài toán 1) Cho góc xOy và điểm A nằm trong góc đó. Hãy dựng đường thẳng ∆ đi qua A sao cho ∆ cắt Ox,Oy lần lượt tại M,N và AM AN = k (k > 0 cho trước). Hình 1. Hình 2. Từ hai bài toán này có thể giải bài toán trong hình học không gian sau đây: Bài toán 3. Cho góc tam diện Oxyz và điểm G nằm trong góc tam diện đó. Hãy dựng quaGmộtmặt phẳng (α) sao cho (α) cắtOx,Oy,Oz lần lượt tạiA,B,C và∆ABC nhận G làm trọng tâm”. Có thể giải bài toán này bằng cách sử dụng hai bài toán trên như sau: Mặt phẳng xác định bởi đường thẳng Ox và điểm G cắt mặt phẳng yOz theo giao tuyến Ot. Khi đó G thuộc miền góc xOt. Theo bài toán 2 có thể dựng được đoạn thẳng AM sao cho GM GA = 1 2 (1), với A ∈ Ox,M ∈ Ot nhờ sử dụng phép vị tự V(G,− 1 2 ) (Hình 3). Do M thuộc miền góc yOz nên theo bài toán 1 có thể dựng được đoạn thẳng BC sao cho B ∈ Oy,C ∈ Oz vàMB = MC (2) nhờ phép đối xứng tâmM . Từ (1) và (2) suy ra G là trọng tâm của tam giác ABC. Hoạt động 2. Tách các bộ phận phẳng ra khỏi hình không gian để chuyển việc giải bài toán trong Hình học không gian để chuyển về việc giải bài toán sử dụng kiến thức trong Hình học phẳng. Có thể mô tả hoạt động này qua bài toán sau: Bài toán 4.Cho tứ diệnABCD. GọiM,N lần lượt là trung điểm các cạnhAB,CD. Gọi O là trung điểm của MN . Gọi G là giao điểm của đoạn thẳng AO với mặt phẳng (BCD). Chứng minh rằng G là trọng tâm của ∆ABC (Hình 3). 173 Đỗ Thị Thanh Do G thuộc trung tuyến BN của ∆BCD nên việc chứng minh G là trọng tâm của ∆BCD quy về chứng minh GN = 1 2 GB. Việc chứng minh đẳng thức có thể xét từ ∆ABN (Hình 4). Hình 3. Hình 4. Nhờ vẽ đường thẳngMK song song với AO. Khi đóMK là đường trung bình của ∆ABG nênKG = KB. Mặt khácOG là đường trung bình của∆NMK nênNG = GK. Từ đó suy ra GN = 1 2 GB.. Hoạt động 3. Chuyển bài toán không gian về bài toán phẳng nhờ phát hiện các bất biến của phép song song. Có thể xét bài toán sau: Bài toán 5. Cho đường thẳng a, b, c đôi một chéo nhau. Dựng đường thẳng ∆ cắt a, b, c lần lượt tại A,B,C sao cho BA BC = k, k > 0. Hình 5. Do tỉ số của hai đoạn cùng phương là bất biến qua phép chiếu song song nên việc giải bài toán trên quy về giải bài toán trong hình học phẳng sau: Cho góc Oxy và điểm I nằm trong góc đó. Dựng đường thẳng qua I cắt Ox tại M,Oy tại N sao cho IM IN = k, k > 0 (Hình 5). Trong đó Ox,Oy lần lượt là ảnh của hai đường thẳng a, c qua phép chiếu song song có phương là đường thẳng b lên mặt phẳng (α) cắt a và c. Khi đó I là hình chiếu của đường thẳng b. 2.2. Biện pháp 2. Tăng cường luyện tập cho học sinh hoạt động hình dung các hình không gian qua hình biểu diễn của nó Để thực hiện biện pháp này cần thiết phải biểu diễn hình không gian lên mặt phẳng qua nhiều cách khác nhau. Chẳng hạn, xét các hình biểu diễn sau của một hình tứ diện và 174 Luyện tập cho học sinh một số dạng hoạt động... để học sinh chỉ ra các phép chiếu song song biến hình tứ diện thành các hình biểu diễn trên (Hình 6). Hình 6. Thông qua việc xem xét các hình biểu diễn học sinh được hoạt động củng cố phép chiếu song song, các tính chất bất biến của phép chiếu song song và nắm được hình biểu diễn của một hình trong không gian, đồng thời thông qua hoạt động này có thể rèn luyện trí tưởng tượng không gian cho học sinh. 2.3. Biện pháp 3. Tăng cường luyện tập cho học sinh hoạt động liên tưởng từ đối tượng này sang đối tượng khác Ý nghĩa của biện pháp này là giúp học sinh phát hiện kiến thức, phát hiện cách giải quyết vấn đề mới trong quá trình nghiên cứu Hình học không gian. Có thể xét ví dụ sau: Học sinh gặp khó khăn trong việc giải bài toán “Tìm thể tích của hình tứ diện ABCD theo a, b, c trong đó AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c”. Khó khăn trong việc giải bài toán này là học sinh không xác định được chân đường cao từ đó không thể tính được độ dài đường cao theo a, b, c và dẫn tới không tính được thể tích tứ diện. Nhưng nếu học sinh nắm được mối quan hệ giữa tứ diện và hình hộp thì giáo viên có thể hướng dẫn học sinh đặt tứ diện nội tiếp trong hình hộp chữ nhật AMBN.PCQD Nếu các kích thước của hình hộp chữ nhật là x, y, z (AM = x,MB = y,MC = z) thì khi đó thể tích của tứ diện bằng thể tích hình hộp trừ đi tổng thể tích của 4 hình chóp có góc tam diện ở đỉnh vuông và có thể tích bằng nhau: VABCD = xyz − 4.1 6 xyz = 1 3 xyz Từ đó việc tính thể tích tứ diện quy về tính x, y, z theo a, b, c nhờ giải hệ sau:   x2 + y2 = a2 x2 + z2 = b2 z2 + y2 = c2 Tới đây học sinh có thể sử dụng kiến thức đã có để tính được VABCD. 175 Đỗ Thị Thanh 2.4. Biện pháp 4. Luyện tập cho học sinh giải quyết các vấn đề trong hình học không gian theo nhiều cách khác nhau Có thể xét ví dụ: Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b có thể thực hiện bằng các cách sau: Cách 1. Đưa về tính khoảng cách từ một điểm M thuộc đường thẳng a đến mặt phẳng (α) chứa đường thẳng b và (α) song song với đường thẳng a. Cách 2. Đưa về tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (α) và (β) trong đó (α) chứa a và (β) chứa b. Cách 3. Đưa về tính thể tích của hình chóp có đỉnh là một điểm thuộc đường thẳng a và đáy thuộc mặt phẳng chứa đường thẳng b song song với a. Cách 4. Đưa về tính chiều cao của một hình hộp trong đó hai đáy lần lượt thuộc hai mặt phẳng chứa a và b. 3. Kết luận Chúng ta có thể đưa ra hệ thống các bài toán luyện tập và củng cố cho học sinh theo các cách nêu trên để khắc phục được những khó khăn họ gặp phải, nâng cao chất lượng hoạt động nhận thức cho học sinh thông qua việc dạy hình học không gian lớp 11 ở trường phổ thông. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Bá Kim, 2002. Phương pháp dạy học môn Toán. Nxb Đại học Sư phạm. [2] Bùi Văn Nghị, 2008. Giáo trình Phương pháp dạy học những nội dung cụ thể môn Toán. Nxb Đại học Sư phạm. [3] Bùi Văn Nghị, 2009. Vận dụng lí luận vào thực tiễn dạy học môn Toán ở trường phổ thông. Nxb Đại học Sư phạm. [4] Đào Tam, 2005. Phương pháp dạy học hình học ở trường THPT. Nxb Đại học Sư phạm. [5] Đào Tam (Chủ biên), Lê Hiển Dương, 2008. Tiếp cận các phương pháp dạy học không truyền thống vào dạy học toán ở trường đại học và phổ thông. Nxb Đại học Sư phạm. [6] Đào Tam (Chủ biên), Trần Trung, 2010. Tổ chức hoạt động nhận thức trong dạy học môn Toán ở trường THPT. Nxb Đại học Sư phạm. ABSTRACT Solid geometry teaching activities for grade 11 students In general, grade 11students have difficulty learning solid geometry. The paper gives some teaching methods to overcome these difficulties, improve teaching efficiency and enhance learning of solid geometry by grade 11 high school students. 176