Luyện thi Đại học môn Toán - Giải phương trình bậc cao

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO 1. Định nghĩa phương trình bậc cao Ta gọi phương trình đại số bậc n (n ³ 3) ẩn x trên tập số thực là các phương trình được đưa về dạng: anxn + an-1xn-1+ ...+ a1x + ao = 0, trong đó ; ; an ¹ 0 2. Định lý: Trên tập số thực, mọi phương trình bậc n luôn phân tích được thành tích của các nhị thức bậc nhất và các tam thức bậc hai. 3. Phương trình bậc nhất một ẩn Dạng tổng quát ax + b = 0 trong đó ; a ¹ 0 . Phương trình có nghiệm: . * Chú ý: Giải phương trình mx + n = 0, phương trình đã cho chưa chắc đã là phương trình bậc nhất nên khi giải cần phải xem xét hết các trường hợp : + Nếu m ¹ 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất . + Nếu m = 0 thì phương trình có dạng 0x = n. - Nếu n = 0 thì phương trình vô số nghiệm - Nếu n ¹ 0 thì phương trình vô nghiệm 4. Phương trình bậc hai một ẩn Dạng tổng quát: với . Xét D = b2 – 4ac + D < 0 thì phương trình vô nghiệm + D = 0 thì phương trình có nghiệm kép: + D > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: 5. Định lý: + Phương trình anxn + an-1xn-1+ ..........+ a1x + ao = 0 nếu có nghiệm hữu tỷ thì nghiệm đó là ước của . + P(x) = 0 có nghiệm là a thì P(x) ( x - a). MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO. I. PHƯƠNG PHÁP 1: Đưa về phương trình tích Phương trình tích là phương trình có dạng: F(x).G(x)..H(x) = 0 (1) (2) Để đưa phương trình đã cho về dạng (2) ta có thể dùng các cách sau: - Phân thích đa thức thành nhân tử: - Đặt nhân tử chung - Dùng hằng đẳng thức. - Nhóm nhiều hạng tử. - Thêm (bớt) các hạng tử. - Phối hợp nhiều phương pháp nêu trên. * Ví dụ 1: Giải phương trình: (1) * Lời giải Û x3 - 3x2 + 3x - 1 + x3 + x3 + 3x2 + 3x + 1 = x3 + 6x2 + 12x + 8 Û x3 - 3x2 - 3x - 4 = 0 Û x3 - 1 - 3x2 - 3x - 3 = 0 Û (x-1)(x2 + x + 1) - 3(x2 + x + 1) = 0 Û (x2 + x + 1)(x - 4) = 0 Với học sinh lớp 8 làm như sau: Do x2 + x + 1 = nên phương trình có một nghiệm x = 4 Với học sinh lớp 9: (*) Û Giải phương trình (*) nên (*) vô nghiệm Giải (**) ta được x =4 Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là x = 4 Việc nhẩm nghiệm các phương trình dựa trên các cơ sở sau: - Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là nghiệm của đa thức, đa thức chứa thừa số x - 1. - Nếu đa thức có tổng các hệ số của một số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của số hạng bậc lẻ thì -1 là nghiệm của đa thức, đa thức chứa thừa số (x + 1). - Mọi nghiệm nguyên của đa thức đều là ước của hệ số tự do là a0. * Ví dụ 2: Giải phương trình: x3 – 7x2 + 12x – 6 = 0 (2) * Lời giải (1) Û x3 – x2 – 6x2 + 6x + 6x – 6 = 0 Û x2(x – 1) – 6x(x – 1) + 6(x – 1) = 0 Û (x –1)(x2 – 6x + 6) = 0 Û * Ví dụ 3: Giải phương trình: (x – 1)3 +(2x + 3)3 = 27x3 + 8 (3) * Lời giải (2) Û x3 – 3x2 + 3x – 1 +8x3 + 36x2 + 54x + 27 = 27x3 + 8 Û 18x3 – 33x2 –57x – 18 = 0 Û 3(6x3 –11x2 – 19x – 6) = 0 Û 6x3 – 18x2 + 7x2 –21x +2x – 6 = 0 Û 6x2(x – 3) + 7x(x – 3) + 2(x – 3) = 0 Û (x – 3)(6x2 + 7x + 2) = 0 Û * Ví dụ 4: Giải phương trình: (Đề thi vảo trường Lê Hồng Phong, TPHCM , năm 2003 - 2004) * Lời giải Việc nhẩm nghiệm như ở trên sẽ gặp rất nhiều khó khăn nếu số hạng tự do là a0 lớn và có nhiều ước số. Trong trường hợp này ta sẽ áp dụng nhận xét sau để đi loại trừ bớt các ước không là nghiệm của phương trình một cách nhanh chóng. * Ví dụ 5: 4x3 - 13x2 + 9x - 18 = 0 (5) * Lời giải U(18) Hiển nhiên -1, 1 không là nghiệm của (4) Þ f(1) ¹ 0, f(-1) ¹ 0 Ta thấy Þ Phương trình (4) có khẳ năng có nghiệm là x1 = 3 Áp dụng lược đồ Hoócne ta đưa phương trình (5) về dạng sau: (x - 3)(4x2 - x + 6) = 0 Û x - 3 = 0 (*) 4x2 - x + 6 = 0 (**) (*) Û x = 3 (**) Û 4x2 - x + 6 = 0 D = (-1)2 - 4.4.6 < 0 Þ (**) vô nghiệm Nên phương trình (4) có một nghiệm là: x = 3 Chú ý: - Việc nhẩm nghiệm phương trình có thể nhẩm miệng rồi dùng thuật chia đa thức cho đa thức để hạ bậc rồi đưa phương trình về dạng tích. - Có thể dùng lược đồ Hoócne để xác định ước số nào của a0 là nghiệm, ước số nào không là nghiệm và đưa ra ngay dạng phân tích. - Bài tập dạng này tương đối khó với học sinh nên khi dạy giáo viên cần lưu ý khai thác hết các giả thiết, nhận xét có thể sử dụng phương pháp nào, hằng đẳng thức nào phân tích cho thích hợp. Mỗi bài tập giải xong giáo viên nên chốt lại vấn đề và các kiến thức cần sử dụng trong quá trình giải bài tổng quát, bài tương tự, đặc biệt dùng để bồi dưỡng học sinh giỏi nhằm phát triển tư duy. II. PHƯƠNG PHÁP 2: Đặt ẩn phụ Phương pháp này thường được dùng với các dạng phương trình sau: 2.1 Phương trình trùng phương * Là phương trình có dạng ax4 + bx2 + c = 0 (a ¹ 0) (1) * Cách giải Đặt x2 = y (với y ³ 0) thì (1) Û ay2 + by + c = 0 2.2 Phương trình đối xứng bậc chẵn Là phương trình có dạng: a0x2n + a1x2n-1 + ..+ an-1xn+1 +anxn + an+1xn-1 +..+ a1x + a0 = 0 (2) với * Cách giải - Nếu x = 0 không là nghiệm của phương trình (2) thì ta chia cả hai vế của phương trình (2) cho xn ¹ 0 (1) Û = 0 Û = 0 Đặt Þ ta đưa phương trình (2) về phương trình bậc n với ẩn y 2.3 Phương trình đối xứng bậc lẻ * Là phương trình có dạng a0x2n+1 + a1x2n + ..+ an+1xn+1 +anxn + an-1xn-1 +..+ a1x + a0 = 0 (3) với * Cách giải Phương trình này luôn có nghiệm x = -1 Þ ta chia cả hai vế của phương trình (3) cho x + 1 ta được phương trình đối xứng bậc chẵn. 2.4 Phương trình phản thương * Là phương trình có dạng: ax4 + bx3 + cx2- bx + a = 0 (4) với hoặc ax4- bx3 + cx2 + bx + a = 0 (5) với * Cách giải Ta nhận thấy x = 0 không là nghiệm của (4) suy ra ta chia cả hai vế của phương trình cho x2 ta có: (4) Û a Û Đặt Þ Þ ta có phương trình ay2 + by + c + 2a = 0 Tương tự cho phương trình (5) ta đặt 2.5. Phương trình hồi quy * Là phương trình có dạng : ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 (6) trong đó với * Cách giải: Khi x = 0 không là nghiệm của (6) thì ta chia cả hai vế của (6) cho x2 ta có: (6) Û Û Û Đặt lúc đó (6) Û ay2 + by + c + 2at = 0 2.6. Phương trình có dạng: (x+a)4+(x+b)4= c (7) * Cách giải: Đặt (7) Û 2.7. Phương trình có dạng: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = mx2 trong đó ad = bc * Cách giải: Ta nhóm [(x+a)(x+d)][(x+b)(x+c)] = mx2 Û [x2 + (a+d)x + ad][x2 + (b + c)x + bc] = mx2 (8) Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình (8) ta chia cả hai vế của phương trình (8) cho x2 thì (8) Û Đặt (8) Û 2.8. Phương trình có dạng (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = m trong đó a+d = b+c * Cách giải Ta nhóm [(x+a)(x+d)][(x+b)(x+c)] = m (1) Đặt y = (x+a)(x+d) thay vào phương trình (1) ta tìm đực y0 Giải phương trình (x+a)(x+d) = y0 ta có x0 là nghiệm của phương trình (1) 2.9. Phương trình tam thức Là phương trình có dạng: ax2n + bxn + c = 0 (10) với a ≠ 0 trong đó a, b, c , n là nguyên dương, n > 2 Nếu a, b, c * và n = 2 thì phương trình (10) là phương trình trùng phương * Cách giải : Đặt xn = y thì (10) Û 2.10. Phương trình có dạng: d(x + a)(x + b)(x + c) = mx trong đó , m = (d - a)(d - b)(d - c). * Cách giải : * Chú ý: Trên thực tế, nhiều phương trình bậc cao phải biến đổi mới đưa về các dạng cơ bản nói trên * Ví dụ 1: Giải phương trình x4 – 5x2 + 6 = 0 (1) * Lời giải: Đặt x2 = y (y ³ 0) Þ (1) Û y2 – 5 y + 6 = 0 Û (y – 2)(y – 3) = 0 Û + Nếu y = 2 Û x2 = 2 Þ + Nếu y = 3 Û x2 = 3 Þ * Ví dụ 2: Giải phương trình: x4 – 5x3 + 6x2 – 5x + 1 = 0 (2) (Đề thi tốt nghiệp THCS tỉnh Hưng Yên , năm 1996 - 1997) * Lời giải: Ta thấy x = 0 không là nghiệm của (2), chia cả hai vế của (2) cho x2 ¹ 0 ta được (*) Đặt (*) Û y2 – 5y + 8 = 0 Xét D = 25 – 40 < 0 Þ phương trình đã cho vô nghiệm. * Ví dụ 3: Giải phương trình x5 + 4x4 + x3 + x2 + 4x +1 = 0 (3) * Lời giải: (2) Û (x + 1)(x4 + 3x3 – 2x2 + 3x + 1) = 0 Û Giải (*) : x4 +3x3 – 2x2 + 3x + 1 = 0 Ta thấy x = 0 không là nghiệm của (*), chia cả 2 vế của (*) cho x2 ¹ 0 ta được: Û Đặt ta được y2 + 3y - 4 = 0 Þ y1 = 1, y2 = -4 - Nếu y1 = 1 Û Û x2 - x + 1 = 0 Þ PT vô nghiệm - Nếu y2 = -4 Û Û x2 + 4x + 1 = 0 Û * Ví dụ 4: Giải phương trình (3x + 4)(x + 1)(6x + 7)2 = 6 (4) (Đề thi vào THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội, năm 2006 - 2007) * Lời giải: Û Đặt 6x + 7 = t, ta có: (*) Û - Với t = 3, ta có - Với t = -3, ta có * Bài toán trên ta cũng có thể giải theo cách sau: Û Đặt Þ , khi đó (**) trở thành: - Với Þ PT vô nghiệm - Với * Ví dụ 5: Giải phương trình (5) (Đề thi vào THPT Chuyên SPNN Hà Nội, năm 2004 - 2005) * Lời giải: Đặt ta được: - Nếu Þ PT vô nghiệm - Nếu Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 0 ; x = -5 * Ví dụ 6 : Giải phương trình: x4 - 3x3 - 2x2 + 6x + 4 = 0 (6) * Lời giải: Ta thấy x = 0 không là phương trình của (6) Þ ta chia cả hai vế của (1) cho , ta được: Đặt Ta được phương trình y2 - 3y + 2 = 0 Nhẩm nghiệm ta được y1 = 1, y2 = 2 - Nếu y1 = 1 Û - Nếu y2 = 2 Û * Ví dụ 7 : Giải phương trình (x – 5)4 + (x – 7)4 = 16 (7) (Đề thi chọn HSG Toán 8, tỉnh Hải Dương, năm 2001 - 2002) * Lời giải: Đặt (7) Û (y + 1)4 + (y - 1)4 = 16 ó Û 2y4 + 12y2 + 2 = 16 Û y4 + 6y2 – 7 = 0 Û (y2 – 1)(y2 + 7) = 0 Û + Nếu y = 1 ta có x = 7 + Nếu y = -1 ta có x = 5 Vậy phương trình (1) có hai nghiệm là x1 = 7; x2 = 5 * Ví dụ 8: Giải phương trình (x +3)(x + 5)(x + 6)(x + 10) = 2x2 (8) * Lời giải: (8) Û (x2 + 13x + 30)(x2 + 11x + 30) = 2x2 (*) Vì x = 0 không là nghiệm của (*) nên ta chia cả hai vế của (2) cho x2 ta có: Đặt Þ y(y+2) = 2 Û y2 + 2y –2 = 0 (**) Giải phương trình (**) ta có y0; giải phương trình có x0 là nghiệm của phương trình (8) * Ví dụ 9: Giải phương trình (x + 7)(x + 8)(x + 9) = 5x (9) * Lời giải: Phương trình (9) có dạng 12(x + 7)(x + 8)(x + 9) = 60x (*) trong đó Đặt y = x + 12. Ta có (9) Û(y – 5)(y – 4)(y – 3) = 5( y –12) Û y3 – 12y2 + 47y – 60 =5y – 60 Û y3 – 12y2 + 42y = 0 Û y(y2 – 12y + 42) = 0 Û * Ví dụ 10: Giải phương trình 5(x-1)(x-5)(x-3)(x-15) = 7x2 (10) * Lời giải: (10) Û 5(x2 - 16x + 15)(x2 - 8x + 15) = 7x2 (*) Vì x = 0 không là nghiệm của (*) nên ta chia cả hai vế của (*) cho x2 ta có: Đặt ta có: 5y(y - 8) = 7 Û 5y2 - 40y – 7 = 0 (**) Giải phương trình (**) ta có y0; giải phương trình ta có x0 là nghiệm của phương trình (10). III. PHƯƠNG PHÁP 3: Đưa về luỹ thừa cùng bậc Ta thêm bớt hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức thích hợp rồi từ đó đưa về hai vế của phương trình về luỹ thừa cùng bậc. Bằng cách biến đổi hai vế của phương trình ta đưa phương trình đẵ cho về phương trình có dạng: An = Bn + Nếu n là số chẵn thì A = ± B + Nếu n là số lẻ thì A = B * Ví dụ 1: Giải phương trình x4 = 2x2 + 8x +3 (1) (Đề thi vào THPT tình Hưng Yên, năm học 2006 - 2007) * Lời giải: * Nếu * Nếu Þ PT vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: * Ví dụ 2: Giải phương trình (2) (Đề thi vào THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội, năm 2002 - 2003) * Lời giải: Û Û Û Û * Ví dụ 3: Giải phương trình (3) (Đề thi vào THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội, năm 2000 – 2001) * Lời giải: ĐK: x ¹ 1. Đặt Do đó x + t = xt Phương trình đã cho trở thành: Û Khi đó ta có: , phương trình vô nghiệm. * Ví dụ 4: Giải phương trình 5x3 + 6x2 + 12x + 8 = 0 (4) (Đề thi vào THPT Chuyên SPNN Hà Nội, năm 2005 - 2006) * Lời giải: Û Û Û IV. PHƯƠNG PHÁP 4: Dùng bất đẳng thức * Ví dụ 1: Giải phương trình (1) (Đề thi chọn HSG Toán 9, tỉnh Hải Dương, năm học 2006 - 2007) * Lời giải: Dễ thấy x = 9 và x = 10 là nghiệm của phương trình (1). Xét các giá trị còn lại của x. + Nếu x 0 Þ | x - 9|2003 > 0 và | x - 10|2004 > 1 Þ | x - 9|2003 + | x - 10|2004 > 1 Þ phương trình (1) vô nghiệm. + Nếu x > 10 thì | x - 10| > 0 Þ | x - 10|2004 > 0 và | x - 9|2003 > 1 Þ | x - 9|2003 + | x - 10|2004 > 1 Þ phương trình (1) vô nghiệm. + Nếu 9 < x < 10 thì 0 < x – 9 < 1 Þ | x - 9|2003 < x – 9; 0 < 10 – x < 1 Þ | x - 10|2004 < | x - 10| < 10 – x Þ | x - 9|2003 + | x - 10|2004 < x – 9 + 10 – x = 1 Þ phương trình vô nghiệm Vậy phương trình đã ch có 2 nghiệm là x = 9; x = 10 * Ví dụ 2: Giải phương trình (2) * Lời giải: Đặt x – 1 = y ; 5 – x = z. Ta có Theo BĐT Côsi : Vậy y = z = 2, do đó x = 3. V. PHƯƠNG PHÁP 5: Dùng hệ số bất định Giả sử phương trình trình bậc 4: x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0 và có phân tích thành (x2 + a1x + b1)(x2 + a2x + b2) = 0 lúc đó ta có: Tiếp theo tiến hành nhẩm tìm các hệ số a1; b1; a2; b2. Bắt đầu từ b1b2 = d và chỉ thử với các giá trị nguyên. * Ví dụ 1: Giải phương trình x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = 0 (1) * Lời giải: Giả sử phương trình trên phân tích được thành dạng: (x2 + a1x + b1)(x2 + a2x + b2) = 0 Ta có: Û b1 = -2; b2 = -7; a1 = -5; a2 = 1 Phương trình (1) có dạng (x2 - 5x + 2)(x2 + x - 7) = 0 Tiếp tục giải các phương trình bậc hai: x2 - 5x + 2 = 0 và x2 + x - 7 = 0 ta có nghiệm của phương trình (1) là: x1 = ; x2 = ; x3 = ; x4 = * Chú ý: Với phương pháp này có thể giải được với phương trình không có nghiệm hữu tỷ. VI. PHƯƠNG PHÁP 6: Dùng tính chất về số nghiệm của phương trình Người ta chứng minh được rằng phương trình đại số bậc n có không quá n nghiệm thực. Do đó nếu ta chỉ ra được n nghiệm của phương trình đại số bậc n thì đó là tất cả các nghiệm của phương trình đó. * Ví dụ 1: Giải phương trình (m2 – m)2(x2 – x + 1)3 = (x2 – x)2(m2 – m +1)3 với m là tham số (1) * Lời giải: Nhận xét + x = m là một nghiệm của phương trình (1) + Với m = 0 hoặc m = 1 thì có hai nghiệm là x = 0 và x = 1 - Xét m ¹ 0 ; m ¹ 1 Þ x ¹ 0 ( vì nếu x = 0 thì m = 0 hoặc m =1) Gọi k là nghiệm của (1) Þ k ¹ 0. Chia 2 vế của (1) cho k6 ta có: Û Þ cũng là nghiệm của (1). Vì k là nghiệm của (1) nên ta có: Þ (m2 – m)2[(1 - k)2 – (1 - k) + 1]3 = [(1 - k)2 – (1 - k)]2(m2 – m + 1)3 Þ (1 - k) cũng là nghiệm của (1) Ta có m là nghiệm của (1) Þ cũng là nghiệm của (1) do m là nghiệm của (1) Þ 1 - m cũng là nghiệm của (1) 1 - m là nghiệm của (1) Þ cũng là nghiệm của (1) Điều kiện để 6 giá trị : m; (1-m); ; 1- ; ; 1- đôi một khác nhau là: m ¹ 0; m ¹ 1; m ¹ -1; m ¹ 2; m ¹ + Nếu m = 0, m = 1, thì x = 0; x = 1 + Nếu m = -1, m = 2 và m = thì phương trình (1) đều có dạng: 4(x2 – x + 1)3 = 27(x2 – x)2 Û (x+1)2(x-2)2(2x-1)2 = 0 Þ Phương trình (1) có 3 nghiệm : x1 = -1; x2 = 2; x3 =. + Nếu m ¹ 0, m ¹ 1, m ¹ -1, m ¹ 2, m ¹ thì phương trình (1) có 6 nghiệm: m; (1-m); ; 1- ; ; 1- . VII. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC * Ví dụ 1: Giải phương trình 2x4 – 10x2 + 17 = 0 (1) * Lời giải: (1) Û x4 – 2x2 + 1 + x4 – 8x2 + 16 = 0 Û (x2 – 1)2 + (x2 – 4)2 = 0 Không xẩy ra đồng thời x2 = 1 và x2 = 4 Vậy phương trình vô nghiệm. * Ví dụ 2: Giải phương trình x4 – x3 + 2x2 – x + 1 = 0 (2) * Lời giải: (2) Û (x2 + 1)2 – x(x2 + 1) = 0 Û (x2 + 1)(x2 – x + 1) = 0 Ta thấy x2 ³ 0 " x Þ x2 + 1 > 0; x2 – x + 1 > 0 " x Vậy phương trình vô nghiệm. * Ví dụ 3: Tìm k để phương trình sau có nghiệm: (3) (Đề thi vào THPT Hà Nội- Amstesdam, năm 2000 - 2001) * Lời giải: Û (2) Ta có: nên VT(2) ≥ Lại có nên 2x + 1 ≤ x2 + 2 Þ VP(2) ≤ x2 + 2 Để (2) có nghiệm thì VT = VP = x2 + 2 Û BÀI TẬP LUYỆN Giải phương trình Bài 1: a) x4 + x2 + 6x - 8 = 0 b) ( x2 + 1)2 = 4(2x - 1) Bài 2: a) (x2 - 5x)2 +10(x2 - 5x) + 24=0 b) (x2 + x - 2)(x2 + x - 3) =12 Bài 3: a) x(x + 1)(x - 1)(x + 2) = 24 b) (x - 4)(x - 5)(x - 6)(x - 7) =1680 Bài 4: a) (x2 - 6x + 9)2 - 15(x2 - 6x + 10) = 1 b) (x2 + 1)2 + 3x(x2 + 1) + 2x2 = 0 Bài 5: (x + 1)4 + (x - 3)4 = 82 Bài 6: (Đề thi vào THPT Chuyên SPNN Hà Nội, năm 2006 - 2007) Bài 7: Chứng minh rằng các phương trình sau vô nghiệm: a) x4 - 3x3 + 6x + 13 = 0 b) x4 - 2x3 + 4x2 - 3x + 2 = 0 Bài 8: Cho phương trình: (8) a) Giải (8) khi a = 1. b) Tìm a để (8) có nhiều hơn hai nghiệm dương phân biệt. (Đề thi vào THPT Hà Nội- Amstesdam, năm 2006 - 2007) Bài 9: Cho phương trình: (9) a) Giải (9) khi m = 15. b) Tìm a để (9) có bốn nghiệm phân biệt. (Đề thi vào THPT Hà Nội- Amstesdam, năm 2003 - 2004)