Lý thuyết giải toán điện xoay chiều bằng số phức

LÝ THUYẾT GIẢI TOÁN ĐIỆN XOAY CHIỀU BẰNG SỐ PHỨC 1. Sự tương quan giữa điện xoay chiều và số phức · Xét đoạn mạch R, L, C mắc nối tiếp, u = Uo cos(wt + j )(V ) . Ta có giản đồ vectơ như sau: + Trục hoành biểu diễn R UL + Phần dương của trục tung biểu diễn L + Phần âm của trục tung biểu diễn C  UC U UL – Uc UR +Vectơ u có độ lớn là U0 và tạo với trục hoành một góc là φ UC · Xét một số phức bất kì: x = a + bi. Số phức này được ghi dưới dạng lượng giác là Và được biểu diễn như hình bên: +Trục hoành biểu diễn phần thực (số a) +Trục tung biểu diễn phần ảo (số b)  x = X o Ðj X0 b b x +Vectơ x có độ lớn là Xo và tạo với trục hoành một góc là φ a · Như vậy ta có thể xem R như là một số phức chỉ có phần thực a (vì nằm trên trục hoành) L và C là số phức chỉ có phần ảo b (vì nằm trên trục tung). Nhưng chúng khác nhau là L nằm ở phần dương nên được biểu diễn là bi. C nằm ở phần âm nên được biểu diễn là –bi. u hoặc i được xem như là một số phức x và được viết dưới dạng lượng giác VD: X o Ðj . Các đại lượng trong điện xoay chiều Biểu diễn dưới dạng số phức R=50Ω 50 ZL=100Ω 100i ZC=150Ω -150i u = 100 cos(100pt + p )(V ) 6 100Ð p 6 i = 2 cos(100pt - p )( A) 4 2 2Ð(- p ) 4 2. Công thức tính toán cơ bản: Khi giải các bài tập điện xoay chiều bằng số phức, các bạn xem đoạn mạch này như là đoạn mạch một chiều với các phần tử R, L, C mắc nối tiếp. Chúng ta chỉ sử dụng một định luật duy nhất để giải. Đó là Định luật Ohm trong mạch điện một chiều. Định luật này chúng ta đã học năm lớp 9, quá quen thuộc đúng không nào: I = U R  hay U = I.R hay R = U I Trong đó R không chỉ riêng mỗi điện trở, mà chỉ chung tất cả những vật có trở kháng (những cái có đơn vị là Ω ^^. VD: R, ZL, ZC...). Trong chương trình học Phổ thông, chúng ta chỉ học đoạn mạch xoay chiều mắc nối tiếp, cho nên trong đoạn mạch một chiều gồm R1, R2,..., Rn nối tiếp ta có: R = R1 + R2 + ... +Rn U = U1 + U2 + ... + Un I = I1 = I2= ... =In 3. Thao tác trên máy: a) Những thao tác cơ bản Để thực hiện tính toán số phức trên máy, chúng ta phải vào mode CMPLX bằng cách ấn [Mode] [2]. Trên màn hình hiện CMPLX. Trong mode CMPLX, để nhập kí hiệu i ta nhấn phím “ENG” Để nhập ký hiệu ngăn cách Ð , ta nhấn [SHIFT] [(-)] Như ta đã biết, số phức có hai cách ghi, đó là đại số và lượng giác. - Khi máy tính hiển thị ở dạng đại số (a+bi), thì chúng ta sẽ biết được phần thực và phần ảo của số phức. - Khi máy tính hiển thị ở dạng lượng giác ( X o Ðj ), thì chúng ta sẽ biết được độ dài (modul) và góc φ (argumen) của số phức. Mặc định, máy tính sẽ hiển thị kết quả dưới dạng đại số. Để chuyển sang dạng lượng giác, ta nhấn: [SHIFT] [2], màn hình hiển thị như sau: chọn [3], nhấn [=]. Kết quả sẽ được chuyển sang dạng lượng giác b) Những lỗi thường gặp · Khi cài đặt máy ở chế độ đơn vị đo góc nào thì phải nhập đơn vị đo góc ấy. Trong mode độ (màn hình hiện chữ D), các bạn phải nhập đơn vị là độ. VD: 450, 600 Trong mode rad (màn hình hiện chữ R), các bạn phải nhập đơn vị là radian. VD: Cách cài đặt máy: Nhấn [SHIFT] [Mode] p , p 4 3 Nhấn [3] cài đặt máy ở đơn vị là độ. Nhấn [4] cài đặt máy ở đơn vị là radian. · Trên máy Fx 570 ES, để bấm nhanh, các bạn thường ấn dấu chia thay cho dấu phân số. Chính vì vậy trong quá trình bấm máy thường xuất hiện những lỗi như sau: 1 Ð p 2 4 1 Ð p 2 4 Khác 1 ¸ 2Ð p 4 Khác 1 Ðp ¸ 4 2 3 ¸ 2i Khác 3 ¸ (2i) Cách khắc phục: sử dụng dấu ngoặc II. CÁC DẠNG BÀI TẬP: (nhấn [Mode] [2] để chuyển sang mode số phức, cài đặt máy ở đơn vị góc radian) 1. Tìm biểu thức hiệu điện thế, cường độ dòng điện : Bài 1: Một đoạn mạch điện gồm điện trở R = 50W mắc nối tiếp với cuộn thuần cảm L = 0,5/p (H). Đặt vào hai đầu đoạn mạch một hiệu điện thế xoay chiều u = 100 2 sin(100pt - p/4) (V). Biểu thức của cường độ dòng điện qua đoạn mạch là: A. i = 2sin(100pt - p/2) (A). B. i = 2 2 sin(100pt - p/4) (A). C. i = 2 2 sin100pt (A). D. i = 2sin100pt (A). Giải: Gợi ý: U Ta dùng định luật Ohm I = để giải. R Cách làm: - Ta có: R=50W ZL=50W. - Suy ra I = U . R + Z L - Nhấn [SHIFT] [2] [3] để chuyển sang dạng lượng giác: Đáp án : A Bài 2: Khi đặt hiệu điện thế không đổi 30V vào hai đầu đoạn mạch gồm điện trởthuần mắc nối tiếp với cuộn cảm thuần có độ tự cảm 1 4p  (H) thì dòng điện trong mạch là dòng điện 1 chiều có cường độ 1A. Nếu đặt vào hai đầu đoạn mạch này điện áp cường độ dòng điện trong mạch là: A. i = 5 2 cos(120pt - p ) (A) 4 C. i = 5 2 cos(120pt + p ) (A) 4 u = 150 2 cos120pt (V) thì biểu thức B. i = 5 cos(120pt + p ) (A) 4 D. i = 5 cos(120pt - p ) (A) 4 Gợi ý:  Giải:  (Trích Đề thi tuyển sinh Đại học 2009) U Tính R, sau đó dùng công thức I = để tính. R Cách làm: - Khi đặt hiệu điện thế không đổi (hiệu điện thế 1 chiều) thì đoạn mạch chỉ còn có R. - R = U I = 30 = 30W 1 - Ta có R=30W. ZL=30W. - Suy ra I = U . R + Z L - Chuyển sang dạng lượng giác: Đáp án : D Bài 3: Hiệu điện thế xoay chiều đặt vào hai đầu đoạn mạch R, L, C nối tiếp có biểu thức: u = 220 2 cos(100pt - thế giữa hai bản tụ là: p )(V ) . Biết R = 100Ω, L = 0,318H và C = 15,9 µF. Biểu thức hiệu điện 12 A. u = 440 cos(100pt - p ) V 3 B. u = 400 cos(100pt - p ) V 4 C. u = 440 cos(100pt + p ) V 6 Gợi ý: Tính I sau đó dùng công thức UC = I . ZC Cách làm: - Ta có: R=100W ZL=100W. ZC=200W. U  Giải:  D. u = 440 cos(100pt + p ) V 12 - I = . R + Z L + ZC Nhập vào máy: Nhấn [=] : - Có I rồi, ta suy ra UC bằng công thức: UC = I . ZC - Chuyển sang dạng lượng giác: Đáp án : A 2. Tìm các thành phần (Bài toán hộp đen) Ta chia R, L, C thành 2 nhóm: + Nhóm 1: Điện trở (R). + Nhóm 2: Cuộn cảm và tụ điện (L và C). Lấy u chia i, hiển thị dưới dạng đại số thì kết quả sẽ rơi vào những dạng như sau: · a + bi : Đoạn mạch có cả nhóm 1 và nhóm 2 ( Trong đó a là giá trị của điện trở, b là tổng trở của nhóm 2. Nếu nhóm 2 chỉ có 1 phần tử thì b là trở kháng của phần tử đó) · a : Đoạn mạch chỉ có điện trở. · bi : Đoạn mạch chỉ có nhóm 2. Bài 1: Đặt hiệu điện thế xoay chiều u = 120 2 cos(100pt + p )(V ) vào hai đầu của một cuộn dây không 6 thuần cảm thấy dòng điện trong mạch có biểu thức i = 2 cos(100pt - bằng: p )( A) . Điện trở thuần r có giá trị 12 A. 60Ω B. 85Ω C. 100Ω D. 120Ω Giải: - Chuyển u, i sang số phức: u :120 2Ð p 6 i : 2Ð - p 12 - Lấy u chia i: - Suy ra r = 60Ω. Đáp án : A Bài 2: Điện áp giữa hai đầu cuộn dây và cường độ dòng điện qua cuộn dây là: u = 80 cos(100pt + p )(V ) ; i = 8 2 cos(100pt - p )( A) . Điện trở thuần R và độ tự cảm L của cuộn dây 8 là:  A. 40 Ω và 0,368 H B. 40 Ω và 0,127 H C. 40 2 Ω và 0,127 H D. 40 2 Ω và 0,048 H Giải: - Chuyển u, i sang số phức: u : 80Ð p 8 i : 2Ð - p 8 - Lấy u chia i: - Suy ra R = 40Ω. ZL = 40Ω - Có ZL = 40 Ω, suy ra L = 0,127H. Đáp án : B Bài 3: Cho đoạn mạch xoay chiều như hình vẽ.  R0, L Cho R = 50 Ω, C = 2 .10-4 F , p  uAM C = 80 cos(100pt )(V ) ; R A M B uMB = 200 2 cos(100pt + p )(V ) . Giá trị của R 0 2  và L là: Gợi ý: A. 250 Ω và 0,8 H B. 250 Ω và 0,56 H C. 176,8 Ω và 0,56 H D. 176,8 Ω và 0, 8 H Giải: Tính I, sau đó lấy UMB chia cho I. Cách làm: - Ta có: R = 50W ZC = 50W. - Chuyển uAM, uMB sang số phức: uAM : 80 uMB  : 200 2Ð p 2 U - Tính I : I = AM = R + ZC 80 50 - 50i - Lấy UMB chia I: U MB I 200 2Ð p = 2 4 + 4 i 5 5 - Suy ra R0 = 176,8Ω. ZL = 176,8Ω => L = 0,56 H Đáp án : C 3. Cộng các u Như ta đã biết, trong đoạn mạch một chiều, muốn biết hiệu điện thế đoạn mạch thì ta chỉ cần cộng các hiệu điện thế thành phần có trong mạch lại với nhau. Bài 1: Đoạn mạch AC có điện trở thuần, cuộn dây thuần cảm và tụ điện mắc nối tiếp. B là một điểm trên p AC với uAB = sin100pt (V) và uBC = 3sin(100pt - 2) (V). Tìm biểu thức hiệu điện thế uAC. A. uAC = 2 2 sin(100pt) V  ç 3 è ø è B. u AC = 2 sin æ100pt + p ö V ÷ ø æ p ö æ p ö è ø C. u AC = 2 sin ç100pt + 3 ÷ V Gợi ý: Cộng các hiệu điện thế thành phần lại với nhau. Cách làm: D. u AC = 2 sin ç100pt - 3 ÷ V Giải: - Chuyển uAB, uBC sang số phức: uAB :1 uBC  : 3Ð - p 2 - Tính UAC : u = u + u  = 1 + 3Ð - p AC AB BC 2 - Chuyển sang dạng lượng giác: - Suy ra Đáp án : D  u AC = 2 sin(100pt - p )(V ) 3 (Bài này cũng có thể giải nhanh bằng phương pháp giản đồ vectơ) III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho đoạn mạch như hình vẽ: R = 100Ω, L = 0,138H và C = 15,9 µF uMB = 220 cos(100pt - p )(V ) . Biểu thức cường độ 3 A  L C R M B dòng điện trong mạch là: A. i = 2 cos(100pt - p ) (A) 6 B. i = 2 cos(100pt + p ) (A) 6 C. i = 2 cos(100pt - p ) (A) 2  D. i = 2 cos(100pt + p ) (A) 2 Bài 2: Cho mạch điện xoay chiều gồm một cuộn dây có điện trở thuần 10-3 r = 20 W , độ tự cảm 3 L = 1 ( H ) 5p  và tụ điện có điện dung C =  ( F ) 4p  mắc nối tiếp. Biết biểu thức điện áp hai đầu cuộn dây là ud = 100 2 cos100pt (V). Điện áp hai đầu mạch là: A. u =100 2 cos(100pt - 2p ) (V) 3 C. u =100 cos(100pt + p) (V) B. u =100 cos(100pt + 2p ) (V) 3 D. u =100 cos(100pt - p) (V) Bài 3: Một đoạn mạch xoay chiều gồm R mắc nối tiếp với một trong hai phần tử C hoặc cuộn dây thuần cảm L. Điện áp giữa hai đầu mạch điện và cường độ dòng điện qua mạch có biểu thức: u = 100 2 cos(100pt )(V ) , i = 2 cos(100pt - p )( A) . Đoạn mạch gồm 4 A. R và C có R = 30Ω, ZC = 30Ω B. R và L có R = 40Ω, ZL = 30Ω C. R và C có R = 50Ω, ZC = 50Ω D. R và L có R = 50Ω, ZL = 50Ω Bài 4: Đoạn mạch AC có điện trở thuần, cuộn dây thuần cảm và tụ điện mắc nối tiếp. B là một p điểm trên AC với uAB = sin100pt (V) và uBC = 3sin(100pt - 2) (V). Tìm biểu thức hiệu điện thế uAC. A. uAC = 2 2 sin(100pt) V  ç 3 è ø è B. u AC = 2 sin æ100pt + p ö V ÷ ø æ p ö æ p ö è ø C. u AC = 2 sin ç100pt + 3 ÷ V D. u AC = 2 sin ç100pt - 3 ÷ V Bài 5: Đặt một hiệu điện thế u = 200 2 .sin(100 pt + p/6) (V) vào hai đầu của một cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L = 2/p (H). Biểu thức của cường độ dòng điện chạy trong cuộn dây là A. i = 2 sin (100pt + 2p/3 ) (A). B. i = 2 sin ( 100pt + p/3 ) (A). C. i = 2 sin (100pt - p/3 ) (A). D. i = 2 sin (100pt - 2p/3 ) (A). Bài 6: Cho một đoạn mạch điện xoay chiều gồm điện trở thuần R và tụ điện có điện dung C mắc nối tiếp. Điện áp đặt vào hai đầu đoạn mạch là u = 100 2 cos100pt (V ) , bỏ qua điện trở dây nối. Biết cường độ dòng điện trong mạch có giá trị hiệu dụng là 3 A và lệch pha Giá trị của R và C là: p so với điện áp hai đầu mạch. 3 A. R = 50 W và C = 3 10-4 F p B. R = 50 W và C = 3 10-3 F 5p C. R = 50 3W và C = 10-4 F p  D. R = 50 3W và C = 10-3 F 5p Bài 7: Cho một đoạn mạch điện xoay chiều gồm hai trong trong phần tử: điện trở thuần R, cuộn dây thuần cảm L, tụ C mắc nối tiếp. Hiệu điện thế giữa hai đầu mạch và cường độ dòng điện trong mạch có biểu thức: u = 220 2 sin (100pt - p/3 ) (V) i = 2 2 sin (100pt + p/6) (A) Hai phần tử đó là hai phần tử nào? A. R và L. B. R và C C. L và C. D. R và L hoặc L và C. Bài 8 : Đặt một hiệu điện thế xoay chiều u = 60sin100pt (V) vào hai đầu đoạn mạch gồm cuộn thuần cảm L = 1/p H và tụ C = 50/p mF mắc nối tiếp. Biểu thức đúng của cường độ dòng điện chạy trong mạch là A. i = 0,2sin(100pt + p/2) (A). B. i = 0,2sin(100pt - p/2) (A). C. i = 0,6sin(100pt + p/2) (A). D. i = 0,6sin(100pt - p/2) (A). Bài 9 : Cho đoạn mạch như hình vẽ, R=50Ω, L=1/π(H), C=2.10-4/π(F), biết u MB = 100 2 sin(100pt - p 3)(V ) . Tìm biểu thức hiệu điện thế uAB? A. 100 C. 100 2 sin(100pt - p 2 sin(100pt + p 6)(V ) 4)(V ) B. 100 D. 100 2 sin(100pt + p 2 sin(100pt + p 6)(V ) 3)(V ) Bài 10: Mạch điện nối tiếp R, L, C trong đó cuộn dây thuần cảm (ZL < ZC). Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều u = 200 2 cos(100pt + p )V . Khi R = 50 Ω công suất mạch đạt giá 4 trị cực đại. Biểu thức dòng điện qua mạch lúc đó: A. i = 4 cos(100pt + p ) (A) 2 C. i = 4 2 cos(100pt + p ) (A) 4  B. i = 4 cos(100pt + p ) (A) 4 D. i = 4 2 cos(100pt) (A) Gợi ý: “Khi R = 50 Ω công suất mạch đạt giá trị cực đại”, suy ra đề “Các dạng toán cực trị trong dòng điện xoay chiều”). Mặt khác ZC > ZL nên trong số phức ta có: ZL + ZC = -50i 200 2Ð p  Z L - ZC  = R = 50  (Xem thêm chuyên Suy ra: i = u = 4 = 4Ð p R + ZL + ZC 50 - 50i 2