Lý thuyết tấm và vỏ móng - Phần I: Lý thuyết tấm mỏng

LOGO LÝ THUYẾT TẤM VÀ VỎ MỎNG National University of Civil Engineering March 2012 TRẦN MINH TÚ TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG 1 Thông tin khóa học Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 2 Giảng viên: PGs. TS. TRẦN MINH TÚ Email: tpnt2002@yahoo.com Cell phone: 0912101173 Tài liệu học tập  www.tranminhtu.com 1. PGS. TS. Lê Ngọc Hồng - Lý thuyết tấm và vỏ - Bài giảng Cao học 2. Nguyễn Văn Vượng - Lý thuyết đàn hồi ứng dụng 3. Ugural, A. C. Stresses in Plates and Shells. 2nd ed. New York, NY: McGraw-Hill, 1998. ISBN: 0070657696 4. Timoshenko, Stephen P., and S. Woinowsky-Krieger. Theory of Plates and Shells. 2nd ed. New York, NY: McGraw-Hill Companies, 1959. ISBN: 0070647798. PHẦN I LÝ THUYẾT TẤM MỎNG Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 3 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com Tổng quan Lý thuyết tấm và vỏ mỏng 材料力学课程的改革与建设 1 2 3 4 Lý thuyết tấm mỏng Tấm chữ nhật Tấm tròn 材料力学课程的改革与建设4 Các phương pháp gần đúng và pp số 4 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 5 1.Tổng quan Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 1.1. Định nghĩa: Tấm là vật thể phẳng có chiều cao (thường gọi là bề dày) nhỏ hơn nhiều so với kích thước theo hai phương còn lại. 6 • Nếu bề dày là hằng số thì gọi là tấm có chiều dày không đổi, nếu không thì gọi là tấm có chiều dày thay đổi. Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 7 • Mặt phẳng chia đều bề dày tấm gọi là mặt trung bình hoặc mặt trung gian của tấm. Giao tuyến của mặt trung bình với các mặt bên gọi là chu tuyến của tấm. • Sự biến dạng của tấm được biểu thị bằng sự biến dạng của mặt trung bình, do đó mặt này còn được gọi là mặt đàn hồi của tấm. Tấm tròn Tấm tam giác 1.Tổng quan Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 8 1.Tổng quan Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 9 Tấm có lỗ khoét Tấm đặc 1.2. Phân loại tấm 1.Tổng quan Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 10 Tải trọng đối xứng tâm 1.Tổng quan Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com Tải trọng bất đối xứng 11 • Phân loại tấm theo tỉ số h/Lmin 1 1 / 100 80 h L        - Màng mỏng: là tấm rất mỏng, độ cứng uốn bằng không, do vậy chỉ tồn tại các nội lực màng (lực dọc và lực cắt) 1 1 1 1 / 10 5 100 80 h L          - Tấm dày: trạng thái ứng suất là trạng thái ứng suất khối 1 1 / 10 5 h L        1.Tổng quan - Tấm mỏng: trạng thái ứng suất là trạng thái ứng suất phẳng, có thể bỏ qua ứng suất theo phương chiều dày tấm Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com - Tấm mỏng chia làm 2 loại: • Tấm có độ võng bé (tấm cứng): w/h < 0,2 – biến dạng mặt trung bình và nội lực màng có thể bỏ qua • Tấm có độ võng lớn (tấm uốn): w/h > 0,3 – mặt trung bình bị biến dạng 12 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 13 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff) • Xét tấm mỏng, chiều dày h, mặt trung bình tấm là mặt phẳng xy, trục z theo phương chiều dày tấm và chiều dương hướng xuống dưới . • Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff – tấm chịu uốn, vật liệu đàn hồi, tuyến tính, độ võng bé) dựa trên các giả thiết sau: 2.1. Các giả thiết 14 1. Vật liệu đồng nhất, đẳng hướng và đàn hồi tuyến tính 2. Hình dạng hình học ban đầu của tấm là phẳng. 3. Độ võng của tấm w(x,y) là bé so với chiều dày tấm. Như vậy góc xoay của mặt đàn hồi là bé nên bình phương góc xoay << 1. 4. Đoạn thẳng pháp tuyến trước biến dạng là thẳng và vuông góc với mặt trung bình trước, sau biến dạng vẫn thẳng và vuông góc với mặt trung bình và có độ dài không đổi, 5. Bỏ qua ứng suất pháp sz theo phương chiều dày tấm. 6. Mặt trung bình của tấm không bị giãn khi chịu uốn (remain unstrained) 2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff) Giả thiết Kirchhoff Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 15 2.2. Quan hệ biến dạng – độ cong (pt động học) 2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff) Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 16 - Xét hai điểm A, B trên pháp tuyến của mặt trung bình trước biến dạng - A1, B1 vị trí của A, B sau biến dạng - u0, w0 chuyển vị của A (trên mặt trung bình z=0) - u, w chuyển vị của B (tọa độ z so với mặt t. b) - Theo gt 6: u0 = 0 2.2.1. Trường chuyển vị Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 17 xz u w z x        Theo định nghĩa u w z x        00z w w u u z u z x x         Tích phân hai về theo z 0wu z x      2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff) 0xz Theo gt 4: Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 18 00z w w v v z v z y y         0z  0 w z     0w w  Mà theo gt 6: 0 0ou v  0yz  v w z y        u0, v0, w0 – các tp chuyển vị của điểm trên mặt trung bình 0 0 0; ; w w u z v z w w x y          (2.1) Tương tự, trong mf yOz: 2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff) • Hình vẽ là mặt cắt của tấm //Oxz, y=const trước và sau biến dạng. Đoạn pháp tuyến AB sau biến dạng là A1B1 - là góc xoay mặt trung bình quanh trục yx w x     - là góc xoay mặt trung bình quanh trục xy w y     Thay pt (2.1) vào pt quan hệ chuyển vị - biến dạng: 2 2 2 0 0 0 2 2 ; ; 2x y xy w w w z z z x y x y                 (2.2) • Các đạo hàm bậc hai của độ võng gọi là độ cong 2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff) Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 19 2.2.1. Trường biến dạng – Độ cong 20 2x w x      - Độ cong uốn của mặt đàn hồi dọc theo trục x 2 0 2y w y      - Độ cong uốn của mặt đàn hồi dọc theo trục y 2 0 xy w x y       - Độ cong xoắn của mặt đàn hồi đối với trục x và y Như vậy có thể viết: ; ; 2 x x y y xy xy z z z         (2.3) 2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff) Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 20 2.3. Ứng suất – Các thành phần ứng lực • Chấp nhận giả thiết Kirchhoff, bài toán tấm ba chiều được đưa về bài toán phẳng. Pt vật lý có dạng sau: (2.4) 2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff) Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 21 Thay các tp biến dạng từ (2.3) vào (2.4): (2.5) 2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff) Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 22 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 23 • Các ứng lực được xác định từ các thành phần ứng suất theo định nghĩa: (2.6) • Thứ nguyên: [lực/chiều dài] 2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff) Thay (2.5) vào (2.6), ta nhận được: (2.7) - Độ cứng trụ - Độ cứng trụ D của tấm đóng vai trò như độ cứng uốn EI của dầm. Ta thấy D>EI, nên tấm bao giờ cũng cứng hơn dầm có cùng chiều dài nhịp và cùng độ dày - Giải (2.7) với ẩn là đạo hàm bậc 2 của độ võng, thay vào (2.5), nhận được: (2.8) 2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff) Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 24 • Chú ý rằng lý thuyết tấm cổ điển bỏ qua ảnh hưởng của biến dạng cắt trong tấm chịu uốn, nhưng lực cắt thì không bỏ qua, chúng được xác định từ phương trình cân bằng của phần tử tấm • Từ phương trình cân bằng trong LTĐHH, ta nhận được các ứng suất tiếp: (2.9) 2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff) Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 25 • Phân bố của các tp ứng suất theo chiều dày: 2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff) Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 26 2.4. Phương trình độ võng của tấm trong hệ tọa độ vuông góc Xét cân bằng phân tố tấm 0Z   0; 0x yM M    Rút Qx, Qy ra, thay vào (2.10a), nhận được: (2.10a) (2.10b,c) 2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff) Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 27 Thay giá trị của các tp mô men nội lực từ (2.7) vào (**): => Phương trình vi phân độ võng của tấm (pt Sophie – Germain) (2.10) (2.10) có thể viết dưới dạng: với: • Độ võng w(x,y) được xác định từ (2.10), từ đó xác định các thành phần ứng suất theo (2.5), (2.9). Khi tích phân (2.10), các hằng số tích phân sẽ xác định từ điều kiện biên 2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff) Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 28 Thay giá trị các tp mô men từ (2.7) vào (2.10b,c), nhận được giá trị các lực cắt theo độ võng (2.11) Sử dụng (2.11), có thể viết lại biểu thức (2.9) dưới dạng: (2.12) Từ đó: 2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff) Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 29 2.5. Điều kiện biên • Xét tấm chữ nhật có hai cạnh song song với hai trục Ox, Oy. Trên mỗi cạnh phải thỏa mãn 2 điều kiện biên 1. Liên kết ngàm – cạnh y = 0 2. Liên kết gối cố định – cạnh x = a hoặc • Khi tích phân pt (2.10), cần phải tính đến các điều kiện biên. Điều kiện biên có thể là động học (liên quan đến chuyển vị và góc xoay), có thể là tĩnh học (liên quan đến lực và mô men) hoặc là hỗn hợp 2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff) Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 30 3. Biên tự do – cạnh y = b Theo Poisson: Ba điều kiện biên trên mỗi cạnh là không cần thiết nên Kirchhoff đề xuất kết hợp chúng còn hai điều kiện biên sau: Có thể biểu diễn lực cắt hiệu dụng này theo chuyển vị: 2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff) Vy - Lực cắt hiệu dụng trên 1 đ.v dài: ảnh hưởng của mô men xoắn Myx (cạnh y=b) Tương tự, lực cắt hiệu dụng trên cạnh song song với trục x: với (*) Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 31 4. Biên tựa dầm – cạnh x = 0 Chỉ số b – dầm; không chỉ số: tấm Như vậy điều kiện biên (*) biểu diễn theo chuyển vị có dạng: Hoặc: Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 32 5. Biên chéo: Tùy thuộc vào liên kết của biên chéo, ta có những điều kiện biên tương ứng - Ngàm: 0; 0 w w u     - Khớp: 2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff) 0; 0uw M  • Biên cong ngàm • Biên cong tựa khớp 6. Biên cong: • Biên cong tự do: Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 33 2.6. Năng lượng biến dạng của tấm Thế năng biến dạng đàn hồi tích lũy trong vật thể đàn hồi thể tích V ở TTƯS tổng quát Theo lý thuyết tấm mỏng có thể bỏ qua , ,xz yz z  s (2.13) (2.14) Thay biểu thứ các tp ứng suất theo độ võng vào (2.14) (2.15) Biểu thức biến dạng là phi tuyến với chuyển vị => không áp dụng được nguyên lý cộng tác dụng 2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff) Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 34 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 35 Giải bài toán tấm uốn thực chất là giải phương trình Sophie- Germain(2.10) để xác định độ võng, từ đó tính được nội lực và ứng suất trong tấm. Các dạng lời giải Lời giải giải tích Nghiệm chính xác (Exact) Nghiệm gần đúng (Aproximate) Lời giải số Nghiệm gần đúng - Dạng kín (closed form) -Dạng chuỗi lượng giác đơn (Hữu hạn các số hạng) -Dạng chuỗi lượng giác kép (Hữu hạn các số hạng) -Dạng chuỗi lượng giác đơn (Vô hạn các số hạng) -Dạng chuỗi lượng giác kép (Vô hạn các số hạng) 2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff) 2.7. Các dạng lời giải Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 36 - Dạng kín (closed form) -Dạng chuỗi lượng giác đơn (Hữu hạn các số hạng) -Dạng chuỗi lượng giác kép (Hữu hạn các số hạng) -Dạng chuỗi lượng giác đơn (Vô hạn các số hạng) -Dạng chuỗi lượng giác kép (Vô hạn các số hạng) u(x) = 2 – x + 3x2 + 4sinnpx 1 ( ) sin N n n u x a n xp   1 1 ( ) sin sin N N mn m n u x a m x n yp p    1 ( ) sinn n u x a n xp    1 1 ( ) sin sinmn m n u x a m x n yp p      2. Lý thuyết tấm mỏng (Kirchhoff) Các pp biến phân Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 37 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 38 3. Tấm chữ nhật - Xét dải chữ nhật dài vô hạn theo phương y, chịu tác dụng bởi tải ngang phân bố là hàm chỉ một biến x: p = p(x) - Tất cả các dải chữ nhật song song với trục x, chiều rộng bằng đơn vị đều chịu uốn như nhau - Pt (2.10) trở thành: Tích phân (3.1) với p=p0x/a, ta nhận được wh – nghiệm pt không vế phải, wp – nghiệm riêng 3.1. Các trường hợp cơ bản của tấm uốn (3.1) 3.1.1. Dải chữ nhật chịu uốn trụ Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 39 - Điều kiện biên: 3. Tấm chữ nhật Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 40 3.1.2. Tấm chữ nhật chịu uốn thuần túy - Điều kiện biên: 4 cạnh tự do - Mô men phân bố đều trên các cạnh: Mx=m1; My=m2 Phương trình vi phân độ võng (2.10) của tấm trở thành Chọn hàm độ võng thỏa mãn pt trên, có dạng: Các hằng số tích phân xác định từ điều kiện biên: Mx=m1; My=m2 (**) Từ (2.7), (*) và (**) ta nhận được (*) 3. Tấm chữ nhật Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 41 Thay C1, C2 vào (*), ta có: Vì trên mọi mặt cắt song song với trục x, và y đều có: => Tấm chịu uốn thuần túy - Trường hợp riêng: m1=m; m2=0 Mặt đàn hồi của tấm có dạng như hình vẽ 3. Tấm chữ nhật Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 42 3.2. Uốn tấm chữ nhật Bài toán uốn tấm dẫn đến tìm nghiệm của pt Sophie-Germain (2.10) thỏa mãn các điều kiện biên. 3.2.1. Phương pháp Navier (chuỗi lượng giác kép) Tấm chữ nhật cạnh a, b, bốn biên tựa khớp chịu tác dụng của tải ngang phân bố đều p(x,y) Điều kiện biên: Giả thiết hàm độ võng , và tải trọng phân bố biểu thị qua chuỗi Fourier thỏa mãn điều kiện biên (*) (*) 3. Tấm chữ nhật Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 43 Các hệ số wmn và pmn cần được xác định (3.2) (3.3) - Để tính pmn, nhân 2 vế pt (3.3) với , tích phân 2 lần từ 0-a và 0-b, ta nhận được: 3. Tấm chữ nhật Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 44 Dùng công thức: Ta nhận được: Thay pt (3,2), (3.3) vào pt (2.10) ta có: Pt này phải đúng với mọi x, y nên: (3.4) 3. Tấm chữ nhật Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 45 Do vậy Thay wmn vào (3.2), ta tìm được nghiệm của bài toán: (3.5) (3.6) Thay (3.6) vào (2.7) và (2.11), ta nhận được: Nhược điểm pp Navier: cồng kềnh, chỉ dùng với các biên tựa khớp (3.7) 3. Tấm chữ nhật Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 46 3.2.2. Phương pháp Levy (chuỗi lượng giác đơn) • Xét tấm chữ nhật cạnh a, b, hai biên đối nhau x=0 và x=a tựa khớp, hai biên khác điều kiện biên tùy ý chịu tác dụng của tải ngang phân bố đều p(x,y) • Điều kiện biên tựa khớp: Điều kiện biên thứ hai thu gọn về dạng: (3.8) • Levy đã đề xuất tìm nghiệm của pt (2.10) dưới dạng thỏa mãn điều kiện biên tựa khớp tại hai cạnh x=0, và x=a 3. Tấm chữ nhật Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 47 fm(y) được xác định để thỏa mãn điều kiện biên trên hai cạnh y=±b/2, và pt (2.10) 3. Tấm chữ nhật Nghiệm của (2.10) là tổng của nghiệm tổng quát pt không vế phải wh và nghiệm riêng của pt có vế phải wp. Nghiệm tổng quát của pt (2.10) không vế phải chọn dưới dạng: (3.9) Thay (3.9) vào pt: Nhận được: (3.10) Nghiệm của pt này là: (3.11) wh Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 48 (3.12)- Các hằng số tích phân Am, Bm, Cm, Dm xác định từ điều kiện biên trên các cạnh y=±b/2 • Nghiệm riêng của (2.10) xác định bẳng cách giả thiết hàm độ võng và tải trọng có dạng sau: trong đó: (3.13) Thay (3.13) vào (2.10) (3.14) Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 49 3. Tấm chữ nhật Giải pt (3.14), ta nhận được hệ số gm(y), từ đó xác định được nghiệm riêng wp Cuối cùng nhận được hàm độ võng: • Phương pháp Levy sẽ đơn giản hơn nếu sử dụng tính đối xứng của độ võng. Nếu điều kiện biên đối xứng qua trục x, thì hàm độ võng chỉ là hàm của biến y, và ta có: do vậy các hệ số Cm, Dm trong (3.12) bằng không, nghiệm độ võng trở thành: Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 50 3. Tấm chữ nhật 3.3. Tấm trên nền đàn hồi • Bài toán thực tế: móng nhà trên nền đất, mặt đường bê tông cốt thép của đường cao tốc, đường băng sân bay trên nền đất, ... 3. Tấm chữ nhật 51 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 52 • Khó khăn chính: mô tả toán học một cách chính xác mô hình nền đàn hồi. Có nhiều mô hình được đề xuất, đơn giản nhất là mô hình nền Winkler – dựa trên giả thiết: phản lực nền q(x,y) biểu diễn bởi: k là hệ số nền với thứ nguyên [lực/chiều dài2] • Khi tấm đặt trên nền đàn hồi, ngoại lực theo phương thẳng đứng bào gồm tải trọng phân bố trên bề mặt tấm p(x,y) và phản lực q(x,y) Phương trình vi phân độ võng của tấm trở thành: Hoặc dưới dạng: 3. Tấm chữ nhật Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 53 3. Tấm chữ nhật – Bài tập tự giải • Tấm chữ nhật kích thước axb tựa khớp trên chu vi, chịu tác dụng của tải trọng ngang phân bố đều p0. Hãy xác định độ võng, các thành phần mô menvà ứng suất cực trị Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 54 3. Tấm chữ nhật – Bài tập tự giải • Tấm chữ nhật kích thước axb tựa khớp trên chu vi, chịu tác dụng của tải trọng ngang thủy tĩnh pz= p0x/a . Hãy xác định độ võng, các thành phần mô menvà ứng suất cực trị Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 55 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 56 4. Tấm tròn 4. Tấm tròn 4.1. Các quan hệ tronghệ toạ độ cực cosrx  sinry                         rrxrx r x sin cos                        rryry r y cos sin                                 rrrrrrrx 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 11 cossin2 11 sincos                                 rrrrrrry 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 11 cossin2 11 cossin                                   rrrrrrryx 2 2 22 2 2 22 22 11 sincos 11 cossin 22 yxr   y arctg x   r X Y Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 57 • Phương trình vi phân độ võng tấm trong hệ tọa độ cực: (4.1) (4.6) 4. Tấm tròn Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 58 • Các ứng lực (4.2) (4.3) (4.4) (4.5) (4.6) (4.7) 4. Tấm tròn Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 59 • Các thành phần ứng suất (4.8) • Điều kiện biên - Biên ngàm (r=a) (4.9) - Biên khớp (r=a) - Biên tự do (r=a) (4.10) (4.11) • Thế năng biến dạng đàn hồi (4.12) 4. Tấm tròn Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 60 4.2. Tấm tròn chịu uốn đối xứng tâm • Khi tải trọng và liên kết của tấm tròn không phụ thuộc vào góc j, thì độ võng, ứng suất và nội lực chỉ là hàm của r => đối xứng tâm • Phương trình vi phân độ võng (4.13) (4.14) (4.15a) (4.15b) 4. Tấm tròn Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 61 Vì rằng: Nên (4.15) trở thành: (4.16) Nghiệm của (4.16) là tổng của nghiệm tổng quát pt không vế phải wh và nghiệm riêng của pt có vế phải wp. 4. Tấm tròn Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 62 Các hằng số tích phân C1, C2, C3 xác định từ điều kiện biên • Chẳng hạn tấm chịu tải p0 vuông góc phân bố đều trên bề mặt, biên tựa đơn 4. Tấm tròn Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 63 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 64 4. Tấm tròn – Bài tập tự giải Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 65 4. Tấm tròn – Bài tập tự giải Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 66 4. Tấm tròn – Bài tập tự giải Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 67 4. Tấm tròn – Bài tập tự giải Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 68 Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 69 5. Tấm trực hướng và tấm gia cường • Trong tất cả các ví dụ đã xét, các vật liệu nghiên cứu được xem là đẳng hướng (tính chất vật liệu tại một điểm theo mọi phương là như nhau. Vật liệu dị hướng có tính chất vật liệu phụ thuộc theo phương. Vật liệu dị hướng tổng quát nhất có ma trận các hằng số đàn hồi đối xứng, gồm 21 hằng số độc lập. Chẳng hạn: gỗ tự nhiên, gỗ dán, composite cốt sợi,... Các vật liệu này gọi là dị hướng tự nhiên. Ngoài ra tính dị hướng còn có thể được tạo ra do cấu tạo: lượn sóng, gia cường bằng các gân,... • Vật liệu trực hướng có ba mặt phẳng đối xứng đàn hồi vuông góc với nhau từng đôi một, lúc này các hằng số đàn hồi độc lập chỉ còn 9. 5.1. Các hệ thức cơ bản • Xét tấm chiều dày không đổi, vật liệu trực hướng, các phương trực hướng trùng với hai phương x, y. Quan hệ ứng suất – biến dạng của vật liệu trực hướng có dạng: (5.1) Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 70 Ex, Ey, nx, ny – mô đun đàn hồi Young và hệ số Poisson theo các phương x, y G – mô đun đàn hồi trượt: (5.1) có thể biểu diễn dưới dạng: (5.2) Thay pt (2.2) vào (5.2) (5.3) và: 5. Tấm trực hướng và tấm gia cường Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 71 Thay pt (5.3) vào (2.6) trong đó: là độ cứng uốn và độ cứng xoắn của tấm trực hướng (5.4) (5.5) 5. Tấm trực hướng và tấm gia cường Tran Minh Tu - tpnt2002@yahoo.com 72 Phương trình vi phân độ võng (2.10) trở thành: (5.6) Biểu thức thế năng biến dạng đàn hồi: (5.7) Biểu thức (5.6) và (5.7) có thể áp dụng cho cả hai trường hợp trực hướng tự nhiên và trực hướng cấu tạo của vật liệu tấm 5.2