Lý thuyết trường điện từ - Các phương trình poisson và laplace

Nguyễn Công Phương Lý thuyết trường điện từ Các phương trình Poisson & Laplace Nội dung 1. Giới thiệu 2. Giải tích véctơ 3. Luật Coulomb & cường độ điện trường 4. Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive 5. Năng lượng & điện thế 6. Dòng điện & vật dẫn 7. Điện môi & điện dung 8. Các phương trình Poisson & Laplace 9. Từ trường dừng 10. Lực từ & điện cảm 11. Trường biến thiên & hệ phương trình Maxwell 12. Sóng phẳng 13. Phản xạ & tán xạ sóng phẳng Các phương trình Poisson & Laplace 2 14. Dẫn sóng & bức xạ Các phương trình Laplace & Poisson • Phương trình Poisson • Phương trình Laplace • Định lý nghiệm duy nhất • Giải phương trình Laplace • Giải phương trình Poisson • Nghiệm tích của phương trình Laplace Phươ há lưới• ng p p Các phương trình Poisson & Laplace 3 Phương trình Poisson (1) Luật Gauss: v .D 0D E ( ) ( ) vV       .D . E . V EGradient thế: vV    .  (Phương trình Poisson) V V V   x y zV x y z      a a a AA A yx z x y z      .A 2 2 2VV V V V V           Các phương trình Poisson & Laplace 4 2 2 2. yx zV x x y y z z x y z                        Phương trình Poisson (2) vV    .  2 2 2 2 2 2. V V VV         2 2 2 2 2 2 2 vV V VV x y z             Đặt 2  . x y z (Hệ Descartes) 2 2 2 2 2 1 1 vV V V z                    (Hệ trụ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1sin sin sin vV V Vr r r r r r                            Các phương trình Poisson & Laplace 5 (Hệ cầu) Các phương trình Laplace & Poisson • Phương trình Poisson • Phương trình Laplace • Định lý nghiệm duy nhất • Giải phương trình Laplace • Giải phương trình Poisson • Nghiệm tích của phương trình Laplace Phươ há lưới• ng p p Các phương trình Poisson & Laplace 6 Phương trình Laplace 2 2 2 2 vV V VV        Phương trình Poisson: 0v  2 2 2x y z    2 2 2 (Phương trình Laplace, hệ Descartes)2 2 2 2 0 V V VV x y z          2 2 2 2 2 1 1 0V V V z                  (Hệ trụ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1sin 0 sin sin V V Vr r r r r r                          Các phương trình Poisson & Laplace 7 (Hệ cầu) Các phương trình Laplace & Poisson • Phương trình Poisson • Phương trình Laplace • Định lý nghiệm duy nhất • Giải phương trình Laplace • Giải phương trình Poisson • Nghiệm tích của phương trình Laplace Phươ há lưới• ng p p Các phương trình Poisson & Laplace 8 ấĐịnh lý nghiệm duy nh t (1) 2 2 2 2 0V V VV       2 2 2x y z   Giả sử phương trình Laplace có 2 nghiệm V1 & V2, : 2 0V 1 2 2 0V  2 1 2( ) 0V V   Giả sử phương trình Laplace có điều kiện bờ Vb V V V   1 2b b b ( ) ( ) ( ). D .D D.V V V     1 2V V V  1 2 1 2 1 2 1 2[( ) ( )] ( )[ ( )]. .V V V V V V V V          1 2( )D V V   Các phương trình Poisson & Laplace 9 1 2 1 2( ) ( ).V V V V    ấĐịnh lý nghiệm duy nh t (2) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2[( ) ( )] ( )[ ( )] ( ) ( ). . .V V V V V V V V V V V V             1 2 1 2 1 2 1 2[( ) ( )] ( )[ ( )] ( ) ( ) V V V V V V dv V V V V dv V V V V dv                  . . 1 2 1 2V  . . . S V d dv  D S DĐịnh lý đive: 1 2 1 2 1 2 1 2[( ) ( )] [( ) ( )]b b b bV SV V V V dv V V V V d         . . S 1 2b b bV V V  1 2 1 2[( ) ( )] 0V V V V V dv      . Các phương trình Poisson & Laplace 10 1 2 1 2 1 2 1 20 ( )[ ( )] ( ) ( )V VV V V V dv V V V V dv           . . ấĐịnh lý nghiệm duy nh t (3) 1 2 1 2 1 2 1 2( )[ ( )] ( ) ( ) 0V VV V V V dv V V V V dv          . . 2 1 2 1 2( ) ( ) 0. V V V V       ( ) ( ) 0V V V V d   2( )V V d1 2 1 2V v   . 1 2V v  21 2( ) 0V V    21 2( ) 0V V    1 2 constV V   1 2( ) 0V V   V V VV      a a ax y zx y z   Tại biên giới V1 = Vb1, V2 = Vb2 → const = V V = 0 V1 = V2 Các phương trình Poisson & Laplace 11 b1 – b2 1 2b b bV V V  Các phương trình Laplace & Poisson • Phương trình Poisson • Phương trình Laplace • Định lý nghiệm duy nhất • Giải phương trình Laplace • Giải phương trình Poisson • Nghiệm tích của phương trình Laplace Phươ há lưới• ng p p Các phương trình Poisson & Laplace 12 Giải phương trình Laplace (1) Giả sử V = V(x) 2 Ví dụ 1 2 2 2 2 2 2 2 0 V V VV x y z          2 0 d V dx   V Ax B   V V 1 1x x 2 2x x V V  1 2 1 2 V VA x x     1 2 2 1( ) ( )V x x V x xV     2 1 1 2 1 2 V x V xB x x    1 2x x 0 0 x V   0V xV d   Các phương trình Poisson & Laplace 13 0x d V V  Giải phương trình Laplace (2) Mặt dẫn d x V = V(x) V Ví dụ 1 x = 0 0 x V   0V V 0xV d   E V Mặt dẫn x = 0 x d   0E ax V d    0D aV   D E xd 0D D aV    0VD    0VD     0S xx d N d S N d 0V S 0S VQ dS dS     QC  S Các phương trình Poisson & Laplace 14 dS S d 0V d Giải phương trình Laplace (3) Giả sử V = V(ρ) (hệ trụ) 1 V   Ví dụ 2 2 2 2 2 2 2 1 1 0V V VV z                    0       1 0d dV d d         0 d dV d d        dV A d    lnV A B   0V l ( / )b 0lnaV A a B V    ln 0 ( ) b V A b B b a    0 ln ln ln A a b V bB    0 n ln( / ) V V b a   Các phương trình Poisson & Laplace 15  ln lna b    Giải phương trình Laplace (4) Giả sử V = V(ρ) (hệ trụ) l ( / )b Ví dụ 2 2 2 2 2 2 2 1 1 0V V VV z                    0 n ln( / ) V V b a   0 ln( / ) E aVV b a     0 ( ) ln( / )N a S VD a b a     0 2V aLQ dS     2Q LC     Các phương trình Poisson & Laplace 16 ln( / )SS a b a 0 ln( / )V b a Giải phương trình Laplace (5) z Giả ử V V( ) (hệ t ) Ví dụ 3 Khe hở s = φ rụ 2 2 2 2 2 2 1 1 0V V VV z                    α 2 2 2 1 0V    2 2 0 V    V A B   0 0V B   0 0B V   0 V V   0V A B V      A  0E VV Các phương trình Poisson & Laplace 17 a     Giải phương trình Laplace (6) Ví dụ 4 Giả ử V V(θ) (hệ ầ ) s = c u 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1sin 0 sin sin V V VV r r r r r r                            1 sin 0V      2 sinr      sin 0V        sin dV A d    Giả sử r ≠ 0; θ ≠ 0; θ ≠ π i ddV A   ln tgA B      dV A B   Các phương trình Poisson & Laplace 18 s n 2sin Giải phương trình Laplace (7) Ví dụ 4 Giả ử V V(θ) (hệ ầ ) ln tgV A B     s = c u 2   / 2 0V    V = V0 α Kh hở l t    0 ( / 2)V V      V = 0 e 0 n g 2 ln tg V V         01 sin ln tg E a aVVV r r              2 2 0 S N VD E          Các phương trình Poisson & Laplace 19 sin ln tg 2 r     Giải phương trình Laplace (8) Ví dụ 4 Giả ử V V(θ) (hệ ầ ) 0 V s = c u 0VQ dS dS   V = V0 α Kh hở sin ln tg 2 S r        sin ln tg 2 SS S r           V = 0 e idS d d 0 0 2 V dr     20 0 0 sinV r d drQ r           s nr r  ln tg 2  sin ln tg 2    12 rQC    Các phương trình Poisson & Laplace 20 0 ln cotg 2 V     Các phương trình Laplace & Poisson • Phương trình Poisson • Phương trình Laplace • Định lý nghiệm duy nhất • Giải phương trình Laplace • Giải phương trình Poisson • Nghiệm tích của phương trình Laplace Phươ há lưới• ng p p Các phương trình Poisson & Laplace 21 v Giải phương trình Poisson (1) 02 sech thv v x x  0,5 1 0v Vùng p Vùng n 2( sech ; th ) x x x x x x e ex x e e e e       a a –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 –0,5 1 /x a v 2 02 sech thvd V x x   2 vV   Phương trình Poisson : – –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 02 x v E a   E2 a adx  0 1 2 sechv adV x C dx a     02 a x –0,5 –1 /x ax x dVE dx   1sech v xE Ca    1 0C  Khi x→ ± ∞ thì Ex→ 0 Các phương trình Poisson & Laplace 22 02 sechvx a xE a     v Giải phương trình Poisson (2) 02 sech thv v x x  0,5 1 0v Vùng p Vùng n a a 2 vV   Phương trình Poisson : –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 –0,5 1 /x a v 24 02 sechvx a xE a     –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 02 x v E a   E – /0 2arctg x av aV e C   –0,5 –1 /x a 0 5 V x 0V Giả sử 2 040 v a C    2 /04 arctg x av aV e      V –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 0,25 ,2 02 v a0x 24 Các phương trình Poisson & Laplace 23 4   –0,25 –0,5 /x a v Giải phương trình Poisson (3) 02 sech thv v x x  0,5 1 0v Vùng p Vùng n 2 /04 arctg 4 x av aV e       a a –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 –0,5 1 /x a v 2 0 0 2 v x x aV V V       – 0 0 00 2 sech th 2 sech th 2v v v vV V x x x xQ dv dv S dx aS a a a a          2 V0 0vQ S    dVdQ dQ 0 02 2 v SC S V a        Các phương trình Poisson & Laplace 24 0 0 I C C dt dt dV     Các phương trình Laplace & Poisson • Phương trình Poisson • Phương trình Laplace • Định lý nghiệm duy nhất • Giải phương trình Laplace • Giải phương trình Poisson • Nghiệm tích của phương trình Laplace Phươ há lưới• ng p p Các phương trình Poisson & Laplace 25 Nghiệm tích của phương trình Laplace (1) • Các ví dụ trước giả thiết rằng V chỉ biến thiên theo/phụ thuộc vào một tọa độ • Phương pháp nghiệm tích áp dụng cho V(x, y) 2 2 2 2 2 2 2 0 V V VV x y z          2 2 2 2 0 V V    • Giả sử V = XY X = X(x) Y = Y(y) x y  ( , )V V x y , , 2 2 2 2 0 X YY X    2 2 2 2 0 d X d YY X   Các phương trình Poisson & Laplace 26 x y  dx dy Nghiệm tích của phương trình Laplace (2) 2 2 2 2 0 d X d YY X  2 2 2 2 1 1 0d X d Y   2 2 2 2 1 1d X d Y   dx dy X dx Y dy X dx Y dy 2 2 1 d X X d chỉ phụ thuộc x x 2 2 1 d Y Y dy  chỉ phụ thuộc y 2 21 d X   2 2 2 2 1 X dx d Y     Các phương trình Poisson & Laplace 27 Y dy Nghiệm tích của phương trình Laplace (3) ( , ) ( ) ( )V V R      2 21 1 0V V V        2 2 1 0R R                2 2 2z         2d dR R d d             2 2 2 1 d d       Các phương trình Poisson & Laplace 28 Nghiệm tích của phương trình Laplace (4) ( , ) ( ) ( )V V R      2 2 2 2 2 2 2 1 1 1sin 0 sin sin V V Vr r r r r r                          2 2 2 2 2 2 1 1 0 tg R R R R                               2 2 ( 1)R R n n      2 2 21 1 ( 1) R R n n            Các phương trình Poisson & Laplace 29 2 tg      Nghiệm tích của phương trình Laplace (5) Ví dụ Khảo sát điện thế & điện trường ở lân cận một vật hình trụ tròn dài vô hạn    nằm trong một điện trường đều E0. Điện môi của môi trường & của vật lần lượt là ε1 & ε2. Điện trường vuông góc với trục của vật. 2d dR R d d          ( , ) ( ) ( )V V R      2 2 2 1 d d     ( ) ( ); ( ) ( )V V V V         ( ) cos sin ,§Æt p pA p B p p         Các phương trình Poisson & Laplace 30 1( ) cos , 1A     Nghiệm tích của phương trình Laplace (6) Ví dụ Khảo sát điện thế & điện trường ở lân cận một vật hình trụ tròn dài vô hạn 2 nằm trong một điện trường đều E0. Điện môi của môi trường & của vật lần lượt là ε1 & ε2. Điện trường vuông góc với trục của vật. 2 2 1 d d       1( ) cos , 1A     2d dR R d d          2 2 k k k k k Bd dR R d d B           ( )§Æt kR B 1k   1  k  1( )R B B      Các phương trình Poisson & Laplace 31 1 1 Nghiệm tích của phương trình Laplace (7) Ví dụ Khảo sát điện thế & điện trường ở lân cận một vật hình trụ tròn dài vô hạn 2 nằm trong một điện trường đều E0. Điện môi của môi trường & của vật lần lượt là ε1 & ε2. Điện trường vuông góc với trục của vật. 2 12 1 ( ) cosd A d           2 1 1 1( ) d dR R B B R d d                  1V AB AB ( , ) ( ) ( )V V R      1C C Các phương trình Poisson & Laplace 32 1 1 1 1cos cos       cos cos      Nghiệm tích của phương trình Laplace (8) Ví dụ Khảo sát điện thế & điện trường ở lân cận một vật hình trụ tròn dài vô hạn nằm trong một điện trường đều E0. Điện môi của môi trường & của vật lần lượt là ε1 & ε2. Điện trường vuông góc với trục của vật. 1 y 1 1 1cos cosNgoµi: V C C       1 2 2 2cos cosTrong: V C C       E0 ε1 0 x V E x  1 1, x V V C x          ρ θ ε21 0C E    x 2 2 0gèc täa ®é CV V       2 0C   Các phương trình Poisson & Laplace 33 0 Ở gốc tọa độ điện trường vẫn hữu hạn Nghiệm tích của phương trình Laplace (9) Ví dụ Khảo sát điện thế & điện trường ở lân cận một vật hình trụ tròn dài vô hạn nằm trong một điện trường đều E0. Điện môi của môi trường & của vật lần lượt là ε1 & ε2. Điện trường vuông góc với trục của vật. 1 y 1 1 1cos cosNgoµi: V C C       1 2 2 2cos cosTrong: V C C       E0 ε1 ρ θ ε2 1 0 2, 0C E C     1 x1 0 1 2 2 cos cos cos V E C V C               Các phương trình Poisson & Laplace 34 Nghiệm tích của phương trình Laplace (10) Ví dụ Khảo sát điện thế & điện trường ở lân cận một vật hình trụ tròn dài vô hạn nằm trong một điện trường đều E0. Điện môi của môi trường & của vật lần lượt là ε1 & ε2. Điện trường vuông góc với trục của vật. 1 y 1 0 1cos cosV E C       2 2 cosV C   E0 ε1 ρ θ ε2 1 2a a V V   1 0 1 2( ) cos cosE a C a C a       xa 1 2 1 2 a a V V          Các phương trình Poisson & Laplace 35 2 1 0 1 2 2( ) cos cosE C a C a         Nghiệm tích của phương trình Laplace (11) Ví dụ Khảo sát điện thế & điện trường ở lân cận một vật hình trụ tròn dài vô hạn nằm trong một điện trường đều E0. Điện môi của môi trường & của vật lần lượt là ε1 & ε2. Điện trường vuông góc với trục của vật. 1 1( ) cos cosE a C a C a      2 2   1 0 1cos cosV E C       2 2 cosV C   0 1 2 2 1 0 1 2 2( ) cos cosE C a C a        1 2 1 1 0 2 0 1 2 1 2 ,C E a C E           2a   1 2 1 0 2 1 2 1 1 cos , 2 víi íi V E a V E                Các phương trình Poisson & Laplace 36 2 0 1 2 cos v a       Nghiệm tích của phương trình Laplace (12) Ví dụ Khảo sát điện thế & điện trường ở lân cận một vật hình trụ tròn dài vô hạn nằm trong một điện trường đều E0. Điện môi của môi trường & của vật lần lượt là ε1 & ε2. Điện trường vuông góc với trục của vật. 2  1 2 1 0 2 1 2 1 1 cos , 2 víi íi aV E a V E                 2 0 1 2 cos v a      2 2 1 1 2 1 1 2 1 0 1 02 21 cos , 1 sin V Va aE E E E                            2 1 2 1 2 0 2 0 1 2 1 2 2 2cos , sinV VE E E E                     1 2 1 2         2 Các phương trình Poisson & Laplace 37 1 2 2 0 1 2 zE E E       Các phương trình Laplace & Poisson • Phương trình Poisson • Phương trình Laplace • Định lý nghiệm duy nhất • Giải phương trình Laplace • Giải phương trình Poisson • Nghiệm tích của phương trình Laplace Phương pháp lưới• Các phương trình Poisson & Laplace 38 Phương pháp lưới (1) • Dùng để giải phương trình Laplace khi V = V(x, y) • Là phương pháp số, có thể đạt độ chính xác tùy ý Các phương trình Poisson & Laplace 39 y Phương pháp lưới (2) x 2 2 2 2 0V V VV        V0 V V2 V3 b 2 2 2x y z   2 2 ( , )V V x y h 1 ac d2 2 0V V x y      V VV  h V4 1 0 ax h  0 3V VV  2 1 0 0 3 2 2 V V V VV x h    c x h  V V  Các phương trình Poisson & Laplace 40 2 2 a cV x x x h    y Phương pháp lưới (3) x 2 2 0V V  V0 V V2 V3 2 2x y    2 1 0 0 3V V V VV    h 1 2 2 0 0 4V V V VV     2 2x h  h V4 2 2y h 2 2 1 2 3 4 04 0V V V V VV V     2 2x y h      1V V V V V   Các phương trình Poisson & Laplace 41 0 1 2 3 44  Phương pháp lưới (4) Ví dụ 1 V = 100Khe hở Khe hở 0 1 2 3 41V V V V V   4  1 0 100 0 0 25 4     43,843,8 53,2 V = 0 V = 0 1 100 50 0 25 43,8 4     25 18,8 18,8  1 0 25 0 0 6,2 4     6,2 6,29,4 V = 0 1 43,8 100 43,8 25 53,24     1 1 Bước 1 Các phương trình Poisson & Laplace 42  25 43,8 0 6,2 18,8 4      6,2 25 6,2 0 9,4 4     Phương pháp lưới (5) V = 100Khe hở Khe hở 0 1 2 3 41V V V V V    Ví dụ 1 4  1 100 50 0 25 43,8 4     43,843,8 53,2 43 4352,8 V = 0 V = 0 1 53,2 100 0 18,8 43 4     25 18,8 18,8 18,6 18,6  1 43,8 100 43,8 25 53,2 4     6,2 6,29,4 V = 0 1 43 100 43 25 52,84     1 1 Bước 2 Các phương trình Poisson & Laplace 43  25 43,8 0 6,2 18,8 4      25 43 0 6,2 18,6 4     Phương pháp lưới (6) V = 100Khe hở Khe hở 0 1 2 3 41V V V V V    Ví dụ 1 4 43,843,8 53,2 43 4352,8  1 0 100 0 0 25 4     V = 0 V = 0 2518,8 18,8 18,6 18,6  1 18,6 52,8 18,6 9,4 24,9 4     24,9 7,0 7,09,8 6,2 6,29,4  1 0 25 0 0 6,2 4     V = 0 1  1 9,4 18,6 0 0 7,0 4     1 Bước 2 Các phương trình Poisson & Laplace 44  6,2 25 6,2 0 9,4 4      7,0 25 7,0 0 9,8 4     Phương pháp lưới (7) V = 100Khe hở Khe hở 0 1 2 3 41V V V V V    Ví dụ 1 4 43,843,8 53,2 43 4352,8  1 52,8 100 0 18,6 42,9 4     42,9 42,952,7 18,7 18,725,0 V = 0 V = 0 2518,8 18,8 18,6 18,624,9 7,0 7,09,8  1 42,9 100 42,9 24,9 52,7 4     7,1 7,19,8 6,2 6,29,4  1 24,9 42,9 0 7,0 18,7 4     V = 0 1 18,7 52,7 18,7 9,8 25,04     1 1 Bước 3 Các phương trình Poisson & Laplace 45  9,8 18,7 0 0 7,1 4      7,1 25 7,1 0 9,8 4     Phương pháp lưới (8) • Dùng để giải phương trình Laplace khi V = V(x, y) • Là phương pháp số, có thể đạt độ chính xác tùy ý • Lặp cho đến khi đạt độ chính xác cho trước Các phương trình Poisson & Laplace 46 Phương pháp lưới (9) Ví dụ 2 10 V 1 2 3(0) (0) (0) 0 V 20 V 4 5 6 1 2 10... 0V V V     (1) (0) (0)1 2 41 10 0 2,5000V4V V V     0 V 0 V 7 8 9 10 (1) (0) (1) (0)2 3 1 51 10 3,1250V4V V V V     0 V (1) (0) (1) (0)7 8 5 9 ... 1 0 0,2344V 4 V V V V     ...  (1) (1) (1)10 8 91 20 0 6,7358V4V V V     Các phương trình Poisson & Laplace 47 Phương pháp lưới (10) Ví dụ 2 10 V 1 2 3k 0 1 23 24 0 V 20 V 4 5 6 ( ) 1 (V) kV ( ) 2 (V) kV ( )k 0 0 2,5000 3,1250 5,6429 9,1735 5,6429 9,1735 0 V 0 V 7 8 9 10 3 (V)V ( ) 4 (V) kV ( ) (V)kV 0 0 8,2813 0,6250 0 9375 13,1111 3,3957 7 9405 13,1111 3,3957 7 9405 0 V 5 ( ) 6 (V) kV ( ) (V)kV 0 0 0 , 7,3047 0 2344 , 13,2710 5 9219 , 13,2710 5 92197 ( ) 8 (V) kV ( ) 9 (V) kV 0 0 , 6,8848 0,0586 , 13,0324 3,7147 , 13,0324 3,7147 Các phương trình Poisson & Laplace 48 ( ) 10 (V) kV 0 6,7358 8,9368 8,9368 Phương pháp lưới (11) • Dùng để giải phương trình Laplace khi V = V(x, y) • Là phương pháp số, có thể đạt độ chính xác tùy ý • Lặp cho đến khi đạt độ chính xác cho trước • Có thể đặt các giá trị đầu của các điện áp của các nút tự do bằng zero Các phươ