Ma trận - Định thức (Slide)

C1. MA TRẬN - ĐỊNH THỨC 1. MA TRẬN 1.1. CÁC ĐỊNH NGHĨA 1.1.1. Định nghĩa ma trận: Một bảng số chữ nhật có m hàng và n cột gọi là ma trận cấp m x n aij là phần tử của ma trận A ở hàng i cột j. A = [aij]m x n = (aij)m x n 1. MA TRẬN 1.1.2. Ma trận vuông: Ma trận vuông: Khi m = n , gọi là ma trận vuông cấp n a11,a22,…ann được gọi là các phần tử chéo. Đường thẳng xuyên qua các phần tử chéo gọi là đường chéo chính. 1. MA TRẬN Ma trận tam giác trên: aij = 0 nếu i > j Ma trận tam giác dưới: aij = 0 nếu i AT=[aji]n x m 1. MA TRẬN 1.2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN: 1.2.1. Phép cộng hai ma trận 1. Định nghĩa: A=[aij]mxn; B=[bij]mxn => A+B =[aij+bij]mxn 2. Tính chất: A + B = B + A (A + B) + C = A + (B + C)  + A = A Nếu gọi -A = [-aij]m x n thì ta có -A + A =  1. MA TRẬN 1.2.2. Phép nhân một số với ma trận: 1. Định nghĩa: cho A=[aij]m x n, kR => kA=[kaij]m x n 2. Tính chất: cho k, h  R: k(A + B) = kA + kB (k + h)A = kA + hA Tính 2A? 1. MA TRẬN 1.2.3. Phép nhân hai ma trận: 1. Định nghĩa : A=[aik]m x p; B=[bkj]p x n => C=[cij]m x n: Ví dụ: Tính tích 2 ma trận sau: 1. MA TRẬN 2. Một số tính chất: (A.B).C = A.(B.C) A(B+C) = AB + AC (B+C)A = BA + CA k(BC) = (kB)C = B(kC) Phép nhân nói chung không có tính giao hoán A=[aij]n x n => I.A = A.I = A 1. MA TRẬN 1.3. VÍ DỤ Ví dụ 1: Tìm lượng hàng bán trong hai tháng. 1. MA TRẬN Ví dụ 2: Hãy tính nhu cầu vật tư cho từng phân xưởng theo kế hoạch sản xuất cho bởi 2 bảng số liệu sau: 2. ĐỊNH THỨC 2.1. CÁC ĐỊNH NGHĨA: A là ma trận vuông cấp 2: A là ma trận vuông cấp 1: A= [a11] thì det(A) = |A| = a11 thì det(A) = a11a22 – a12a21 2. ĐỊNH THỨC Aij là ma trận con cấp n-1 nhận được từ A bằng cách xoá hàng i cột j. Cij = (-1)i+jdet(Aij) là phần bù đại số của aij A là ma trận vuông cấp n: 2. ĐỊNH THỨC Ví dụ: Sử dụng định nghĩa hãy tính định thức: Định thức cấp n của A là: det(A) = a11C11 + a12C12 + …+ a1nC1n 2. ĐỊNH THỨC 2.2. TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC: Tính chất 1:AT=A Hệ quả: Một tính chất đã đúng khi phát biểu về hàng của một định thức thì nó vẫn còn đúng khi trong phát biểu ta thay hàng bằng cột. Tính chất 2: Đổi chỗ hai hàng (hay hai cột) của một định thức ta được một định thức mới bằng định thức cũ đổi dấu. 2. ĐỊNH THỨC Tính chất 3: Một định thức có hai hàng (hay hai cột) như nhau thì bằng không. Tính chất 4: Một định thức có một hàng (hay một cột) toàn là số không thì bằng không. Tính chất 5: Khi nhân các phần tử của một hàng (hay một cột) với cùng một số k thì được một định thức mới bằng định thức cũ nhân với k. Hệ quả: Khi các phần tử của một hàng (hay một cột) có một thừa số chung, ta có thể đưa thừa số chung đó ra ngoài định thức. 2. ĐỊNH THỨC Tính chất 7: Dòng thứ i nào đó có aij = a’ij + a”ij thì det(A) = det(A’) + det(A”) Tính chất 6: Một định thức có hai hàng (hay hai cột) tỷ lệ thì bằng không. 2. ĐỊNH THỨC Tính chất 8: Nếu định thức có một hàng là tổ hợp tuyến tính của các hàng khác thì định thức ấy bằng không. Tính chất 9: Khi ta công bội k của một hàng vào một hàng khác thì được một định thức mới bằng định thức cũ 2. ĐỊNH THỨC Tính chất 10: Các định thức của ma trận tam giá bằng tích các phần tử chéo. 2. ĐỊNH THỨC 2.3. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐỊNH THỨC: Phương pháp 1: Dùng định nghĩa. Phương pháp 2: Sử dụng các biến đổi sơ cấp. 2. ĐỊNH THỨC Ví dụ: Tính định thức bằng hai phương pháp: 3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 3.1. Ma trận không suy biến: Ta gọi ma trận vuông A cấp n là một ma trận không suy biến nếu det(A) ≠ 0. 3.2. Ma trận nghịch đảo: Cho ma trận vuông A cấp n, nếu tồn tại ma trận vuông B cấp n thoả mãn: AB = BA = I thì B được gọi là ma trận nghịch đảo của A. Nếu A có ma trận nghịch đảo thì A gọi là ma trận khả nghịch. Ký hiệu: B = A-1, nghĩa là ta có AA-1 = A-1A = I 3.3. Sự duy nhất của ma trận nghịch đảo: Định lý: Nếu A khả nghịch thì A-1 là duy nhất. 3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 3.4. Sự tồn tại và biểu thức ma trận nghịch đảo: Định lý: Nếu det(A)≠0 thì ma trận A có nghịch đảo A-1 được tính bởi công thức sau: Trong đó Cij là phần bù đại số của phần tử aij. CT: ma trận chuyển vị của ma trận phần bù đại số 3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 3.5. Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo: 3.5.1. Phương pháp dùng định thức: Ví dụ: tìm ma trận nghịch đảo của ma trận: 3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 3.5.1. Phương pháp dùng phép biến đổi sơ cấp của Gauss - Jordan: 1. Nhân một dòng nào đó của ma trận với một số thực khác không 2. Cộng vào một dòng của ma trận một dòng khác đã nhân với một số thực 3. Đổi chỗ hai dòng của ma trận cho nhau Để tìm ma trận nghịch đảo dùng các phép biến đổi sơ cấp sau cho: [A│I] = [I│A-1] 3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Ví dụ: tìm ma trận nghịch đảo: 4 HẠNG CỦA MA TRẬN 4.1. Ma trận con: ma trận A cấp m x n, gọi p là một số nguyên dương, p<min(m,n) Định nghĩa: Ma trận vuông cấp p suy ra từ A bằng cách bỏ đi m-p hàng và n-p cột gọi là ma trận con cấp p của A Định thức của ma trận con đó gọi là định thức con cấp p của A. Ví dụ: Tìm các ma trận con A 4 HẠNG CỦA MA TRẬN 4.2. Hạng của ma trận: Định nghĩa: Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của định thức con khác không của A. Nếu r là hạng của ma trận nếu: Trong A tồn tại một định con cấp r khác 0. Mọi định thức con cấp lớn hơn r trong ma trận A đều bằng 0. Ký hiệu: rankA = r Ví dụ: Tìm hạng A 4 HẠNG CỦA MA TRẬN 4.3. Ma trận bậc thang: 4.3.1. Định nghĩa: Một dòng của ma trận được gọi là dòng 0 nếu nó chỉ gồm những phần tử 0. Ngược lại, nếu một dòng của ma trận có ít nhất một phần tử khác 0 thì được gọi là dòng khác 0. Phần tử khác 0 đầu tiên của một dòng được gọi là phần tử chính của dòng đó. 4 HẠNG CỦA MA TRẬN Ma trận A được gọi là ma trận bậc thang khi thoả các điều kiện sau: A không có dòng 0 hoặc dòng 0 luôn ở dưới các dòng khác 0. Nếu A có ít nhất 2 dòng khác 0 thì đối với 2 dòng khác 0 tuỳ ý của A, phần tử chính của dòng dưới luôn nằm bên phải cột chứa phần tử chính của dòng trên. 4 HẠNG CỦA MA TRẬN 4.3.2. Định lý về hạng của ma trận: Cho A, B là hai ma trận cùng cấp. Nếu B là ma trận nhận được từ A sau một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp thì rankA = rankB. Hệ quả: Hạng của ma trận A bằng số dòng khác không của ma trận dạng bậc thang thu được từ A sau một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp. 4 HẠNG CỦA MA TRẬN 4.3.3. Thuật toán đưa một ma trận về ma trận dạng bậc thang Biến đổi sao cho phần tử chính ở dòng một về vị trí cột đầu tiên so với p phần tử chính ở các dòng khác. Biến đổi sao cho các phần tử nằm phía dưới phần tử chính của dòng đầu tiên đều bằng 0. Làm tương tự đối với hàng 3, 4…. 4 HẠNG CỦA MA TRẬN 4.4. Các phương pháp tìm hạng ma trận. 4.4.1. Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa. Bước 1: Tính các định thức con cấp p cao nhất có trong A: - Nếu gặp một định thức khác 0 thì kết luận ngay rankA bằng cấp của định thức đó. - Nếu tất cả các định thức đều bằng 0 thì tiếp tục bước 2. Bước 2: Tính các định thức con cấp p-1 có trong A: - Nếu gặp một định thức khác 0 thì ta kết luận ngay rankA bằng cấp của định thức đó. - Nếu tất cả các định thức đều bằng 0 thì tiếp tục bước 3. Bước 3, 4,… cho đến khi tìm được rankA 4 HẠNG CỦA MA TRẬN Ví dụ: Tìm hạng của ma trận 4 HẠNG CỦA MA TRẬN 4.4.2. Phương pháp 2: Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp. Để tìm hạng của ma trận A ta biến đổi ma trận A về dạng bậc thang, số dòng khác dòng 0 là hạng của ma trận A. Ví dụ: Tìm hạng của ma trận.