Một dạng phương trình trong bài toán tổng hợp

Một dạng phương trình trong bài toán tổng hợp cos2 sin2 sin cos 0a u b u c u d u e     (1) (Với c,d không đồng thời bằng 0 và a khác 0) Đây là phương trình lượng giác không phải lúc nào cũng giải được mà phụ thuộc vào hệ số a,b,c,d,e. Nếu a,b,c,d,e là những hệ số mà để phương trình (1) có thể giải được. Sau đây là một trong những phương pháp để giải dạng toán sau: Trường hợp 1: Nếu 2cos2 2cos 1u u      2 2 (1) 2cos 1 2 sin cos sin cos 0 sin 2 cos 2 cos cos 0 a u b u u c u d u e u b u c a u d u e a               - Nếu phương trình 22 cos cos 0a u d u e a    có nghiệm là cos 2 c u b   thì ta đặt 2 cosb u c là nhân tử chung, sau đó ta đưa về phương trình quen thuộc . - Nếu phương trình 22 cos cos 0a u d u e a    không có nghiệm là thì ta chuyển qua trường hợp 2. Trường hợp 2: Nếu 2cos2 1 2sinu u      2 2 (1) 1 2sin 2 sin cos sin cos 0 cos 2 sin 2 sin sin 0 a u b u u c u d u e u b u d a u c u e a               - Nếu phương trình 22 sin sin 0a u c u e a     có nghiệm là sin 2 d u b   thì ta đặt 2 sinb u d là nhân tử chung, sau đó ta đưa về phương trình quen thuộc . - Nếu phương trình 22 sin sin 0a u c u e a     không có nghiệm là thì ta chuyển qua trường hợp 3. Trường hợp 3: Nếu 2 2cos2 cos sinu u u          2 2 2 2 2 2 (1) cos sin 2 sin cos sin cos 0 cos 2 sin cos sin sin cos 0 (sin cos ) (2) a u u b u u c u d u e a e u b u u e a u c u d u e u u e                  - Nếu , 0c d       2 2cos 2 sin cos sin sin cos sin cos a e a e a e u b u u e a u c u d u u u c d              với    2 2 2 2 2 e c d a c d b cd     thì ta có  (2) sin cos sin cos 1 0 a e a e c u d u u u c d            . Từ đó giải phương trình (1) dễ dàng - Nếu 0c  hoặc 0d  ta dễ dàng làm tương tự II. Phương pháp 2 Dạng phương trình trên phụ thuộc vào cách phân tích cos2u . Ta có thể dựa vào những tính chất về nghiệm của phương trình để lựa chọn cách phân tích cos2u - Nếu 22 0at dt e a    (với 2 c t b   ) thì ta chọn 2cos2 2cos 1u u  - Nếu 22 0at ct e a     (với 2 d t b   ) thì ta chọn 2cos2 1 2sinu u  - Nếu    2 2 2 2 2 e c d a c d b cd     thì ta chọn 2 2cos2 cos sinu u u  Một số ví dụ cơ bản a) 2sin2 cos2 7sin 2cos 4x x x x    b) sin 2 2sin 2 1 sin 4cos 2 x x x x           c) 2sin2 cos2 sin cos 2x x x x    Giải a) 2sin2 cos2 7sin 2cos 4x x x x    2sin 2 cos2 7sin 2cos 4 0 (1)x x x x     Trường hợp 1: 2cos2 2cos 1x x      2 2 (1) 4sin cos 2cos 1 7sin 2cos 4 0 sin 4cos 7 2cos 2cos 5 0 x x x x x x x x x              Dễ dàng nhìn thấy 7 cosx 4  không là nghiệm của phương trình 22cos 2cos 5 0x x    nên ta chuyển qua trường hợp 2 Trường hợp 2: 2cos2 1 2sinx x              2 2 (1) 4sin cos 1 2sin 7sin 2cos 4 0 2cos 2sin 1 2sin 7sin 3 0 2cos 2sin 1 2sin 1 sin 3 0 2cos sin 3 2sin 1 0 1 sin 2 2cos sin 3 0 2 6 5 2 6 (nhan) (vo nghiem) x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x k x k                                            Do dễ dàng thấy 1 sin 2 x  là nghiệm của phương trình 22sin 7sin 3 0x x   nên ta tách được như trên (dùng sơ đồ hoocner) sau đó ta giải quyết bài toán một cách dễ dàng Ta có thể dùng phương pháp 2 để tính nhanh các dạng bài toán: Ta thấy    2 2 22 2 1 7 4 1 2 7 3 (1) at ct e a t t t t             Thay 2 1 2 2.2 2 d t b     vào (1) ta có 2 1 1 2 7 3 0 2 2               Vậy ta chọn 2cos2 1 2sinx x  rồi ta tiếp tục giải phương trình giống như cách trên. Lưu ý: - Việc làm ở cả ba trường hợp ta nên làm ở ngoài nháp để tránh mất thời gian của các bạn. Ta chỉ cần xem trường hợp nào đúng và viết vào bài của mình - Như đã nói ở trên, đây là dạng phương trình không phải lúc nào cũng giải được mà phụ thuộc vào các hệ số a,b,c,d,e và đây cũng chỉ là một phương pháp để giải bài toán. Do đó nếu không rơi vào cả ba trường hợp thì có thể bài toán này giải quyết theo một cách làm khác - Nếu các bạn không thể nhớ được các hệ số để tính toán trong phần cách làm khác, các bạn có thể làm như phương pháp đầu tiên mà chúng tôi đưa ra, mặc dù có mất thời gian của các bạn nhưng rất dễ làm.