Một số bài toán tính tổng của chuỗi số

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1. Các khái niệm cơ bản, mối liên hệ giữa chuỗi số và dãy số: 1.1. Các khái niệm cơ bản: 1.1.1 Định nghĩa 1: Cho dãy số . Tổng vô hạn (1) được gọi là chuỗi số (chuỗi) và số được gọi là số hạng tổng quát thứ n của (1). Một chuỗi số hoàn toàn xác định khi biết số hạng tổng quát của nó. Tổng của n số hạng đầu tiên của (1) được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số (1). Khi cho n = 1,2,… thì ta được dãy số , và gọi là dãy tổng riêng. Định nghĩa: Nếu tồn tại (hữu hạn) thì ta nói chuỗi số (1) hội tụ và có tổng là S, ký hiệu . Trong trường hợp ngược lại thì chuỗi phân kỳ. 1.1.2 Định nghĩa 2: Giả sử chuỗi số (1) hội tụ và có tổng là S. Ta gọi phần dư thứ n của (1) là số thực . Ta có . 1.1.3 Định nghĩa 3: - Chuỗi được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi hội tụ (suy ra chuỗi cũng hội tụ). - Chuỗi được gọi là bán hội tụ nếu chuỗihội tụ nhưng chuỗiphân kỳ. 1.1.4 Định nghĩa 4: Chuỗi được gọi là chuỗi số dương nếu . 1.1.5 Định nghĩa 5: Chuỗi số có dạng (3) được gọi là chuỗi đan dấu. 1.2. Mối liên hệ giữa chuỗi số và dãy số: Về hình thức, kí hiệu giống như là một “ tổng vô hạn”. Vì vậy, đôi khi ta cũng gọi chuỗi (1) là một tổng vô hạn hay nói cách khác nó chính là tổng vô hạn các số hạng của dãy số . Mặt khác, tự nhiên ta phải đặt vấn đề giữa chuỗi số và dãy số có mối liên hệ như thế nào? Trong phần này chúng ta sẽ thiết lập mối liên hệ hai chiều giữa chuỗi số và dãy số. Cho chuỗi (1) , từ chuỗi đó ta thiết lập được dãy sau , ,..., ,... (2) trong đó . Ngược lại, cho trước dãy số . Từ dãy đó ta thiết lập được chuỗi số tương ứng: ở đó , , ................ , ................. nhận dãy làm dãy tổng riêng. Theo định nghĩa về sự hội tụ của chuỗi (1) thì sự hội tụ đó tương đương với sự hội tụ của dãy dãy tổng riêng . Nhờ mối liên hệ này, việc xét sự hội tụ và tính tổng của chuỗi (1) hoàn toàn có thể chuyển sang việc xét sự tồn tại và tính giá trị của giới hạn của dãy (2). Từ kết quả này, ta có điều kiện cần để chuỗi hội tụ là và nếu không dần tới số không khi thì chuỗi phân kì, khi đó ta nói chuỗi phân kỳ do vi phạm điều kiện cần. 1.3 Một số dấu hiệu hội tụ của chuỗi số dương, chuỗi đan dấu: 1.3.1 Chuỗi số dương: 1.3.1.1 Dấu hiệu so sánh: Cho hai chuỗi dương (1) và (2). Giả sử . Khi đó + Nếu chuỗi (2) hội tụ thì chuỗi (1) cũng hội tụ. + Nếu chuỗi (1) phân kì thì chuỗi (2) cũng phân kì. Đặc biệt, nếu thì hai chuỗi (1), (2) cùng hội tụ hoặc cùng phân kì. 1.3.1.2 Dấu hiệu D’Alembert: Cho chuỗi dương (1) . Khi đó + Nếu thì chuỗi (1) hội tụ. + Nếu thì chuỗi (1) phân kì. Đặc biệt, nếu tồn tại giới hạn , khi đó nếu thì chuỗi (1) hội tụ, nếu thì chuỗi (1) phân kì. 1.3.2 Chuỗi đan dấu: Dấu hiệu Leibnitz: Cho chuỗi đan dấu . Nếu dãy số đơn điệu giảm và hội tụ về 0 thì chuỗi đan dấu hội tụ. 2. Các tính chất của chuỗi số: Ta biết rằng chuỗi hay “tổng vô hạn” không hoàn toàn giống tổng hữu hạn vì trong việc tạo thành nó ta phải đưa vào phép tính giới hạn. Trong phần này, chúng ta nghiên cứu các tính chất giống nhau và khác nhau giữa tổng vô hạn và tổng hữu hạn. 2.1 Tính chất kết hợp: Cho chuỗi và là một dãy tăng thực sự các số nguyên dương. Đặt ,,... Khi đó nếu chuỗi hội tụ thì chuỗi cũng hội tụ và hai chuỗi có tổng bằng nhau. Ở đây, chuỗi hội tụ có tính chất kết hợp “một chiều” còn chiều ngược lại thì không đúng. Ví dụ: Chuỗi (1-1)+(1-1)+...+(1-1)+... là chuỗi hội tụ nhưng chuỗi 1-1+1-1+...+1-1+... là chuỗi phân kì. 2.2 Tính chất giao hoán: 2.2.1 Định lí 1:(Dirichlet) Nếu chuỗi hội tụ tuyệt đối và có tổng là S thì chuỗi thành lập bằng cách đổi chỗ tuỳ ý các số hạng của chuỗi cũng hội tụ tuyệt đối và có tổng bằng S. 2.2.2 Định lí 2:(Riemann) Nếu chuỗi số bán hội tụ thì việc thay đổi vị trí các số hạng của nó có thể làm cho chuỗi phân kì hoặc hội tụ về một số cho trước. Như vậy, ta thấy tính chất giao hoán vẫn còn đúng cho chuỗi hội tụ tuyệt đối nhưng tính chất giao hoán không còn đúng đối với chuỗi bán hội tụ. 3. Các phép toán về chuỗi: 3.1 Cộng các chuỗi: 3.1.1 Định lí 3: Nếu các chuỗi và hội tụ và có tổng lần lượt là U và V, k là hằng số thì các chuỗi , cũng hội tụ và 1.==UV; 2.=k=kU. Chú ý: 1. Nếu chuỗi phân kì và chuỗi hội tụ thì chuỗi phân kì. 2. Nếu chuỗi phân kì, k là hằng số khác 0 thì chuỗi phân kì. 3. Nếu cả hai chuỗi và phân kì thì chuỗi có thể hội tụ hoặc phân kì. 3.2 Nhân các chuỗi: Ta biết rằng đối với hai chuỗi hội tụ thì có thể làm phép cộng hoặc trừ từng số hạng. Một vấn đề đương nhiên được đặt ra là liệu ta có thể nhân từng số hạng của hai chuỗi hội tụ hay không? Cho hai chuỗi và , tích Cauchy của hai chuỗi là chuỗi , trong đó . 3.2.1 Định lí 4:(Mertens) Giả sử các chuỗi và hội tụ và có tổng lần lượt là U và V. Khi đó, nếu một trong hai chuỗi trên hội tụ tuyệt đối thì tích Cauchy của chúng hội tụ và . Chứng minh: Giả sử chuỗi hội tụ tuyệt đối. Kí hiệu lần lượt là các tổng riêng thứ n của các chuỗi ,,. Khi đó Vì nên với . Vậy . Bây giờ ta chứng minh . Thật vậy, lấy bé tùy ý và m, M như sau: với , . Khi đó, sao cho với thì và với thì . Như vậy, với thì ta có . Do đó . Từ đó, ta suy ra điều cần chứng minh. Theo những suy luận ở trên, ta thấy nếu hai chuỗi đã cho hội tụ tuyệt đối thì tích Cauchy của chúng cũng hội tụ tuyệt đối. Đây là kết quả của định lí Cauchy. 3.2.2 Định lí 5:(Cauchy) Nếu hai chuỗi và hội tụ tuyệt đối và có tổng lần lượt là U,V thì chuỗi lập nên bởi tất cả các tích có dạng sắp xếp theo một thứ tự tùy ý cũng hội tụ tuyệt đối và có tổng là UV. Chú ý: Tích Cauchy của hai chuỗi bán hội tụ có thể phân kì. Ví dụ: Xét chuỗi là chuỗi bán hội tụ. Gọi là tích Cauchy của với chính nó. Khi đó Ta có . Suy ra tức là phân kì (do vi phạm điều kiện cần). Vậy chuỗi phân kì. 2. Tích Cauchy của một chuỗi dương hội tụ và chuỗi dương phân kì thì phân kì. Chứng minh: Giả sử và lần lượt là hai chuỗi dương hội tụ và phân kì. Chuỗi là tích Cauchy của hai chuỗi dương trên. Khi đó . Vì chuỗi phân kì nên chuỗi tích Cauchy cũng phân kì. Vậy ta có điều phải chứng minh. 3. Tích Cauchy của hai chuỗi phân kì không nhất thiết là chuỗi phân kì. Ví dụ: Xét hai chuỗi phân kì sau và Giả sử là tích Cauchy của hai chuỗi trên. Khi đó trong đó . Do đó mà chuỗi là chuỗi hội tụ. 3.2.3 Định lí 6:(Abel) Nếu hai chuỗi và hội tụ và có tổng lần lượt là U,V và nếu tích Cauchy của hai chuỗi trên hội tụ về W thì . 4. Một số kiến thức cần lưu ý: 4.1 Kiến thức 1: Nếu là dãy số phức và , thì . 4.2 Kiến thức 2: , với Chứng minh: Ta đặt . Từ công thức . Suy ra điều phải chứng minh. 4.3 Kiến thức 3: . Chứng minh: Từ công thức , ta suy ra . Chia hai vế của đẳng thức cho với ta được . Đó là điều cần chứng minh. Trên đây là một số kiến thức cơ sở về chuỗi số bao gồm các định nghĩa, các tính chất và các phép toán của chuỗi số. Dựa trên các tính chất, định lí và kỹ năng biến đổi toán học ta sẽ giải quyết các bài toán sau. CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN TÍNH TỔNG CỦA CHUỖI BẰNG ĐỊNH NGHĨA Theo định nghĩa ta biết rằng một chuỗi nếu biết tổng riêng thứ n thì tổng của chuỗi được xác định bằng giới hạn của tổng riêng thứ n ấy. Bài toán tính tổng của chuỗi có thể chia ra các dạng như sau: 2.1. Tìm số hạng tổng quát và tính tổng của chuỗi nếu biết trước dãy tổng riêng của chúng: * Để xác định số hạng tổng quát của chuỗi số khi biết trước dãy tổng riêng ta lấy tổng riêng thứ n trừ đi tổng riêng thứ n-1. Hãy tìm số hạng tổng quát của chuỗi và tổng của nó nếu biết trước dãy tổng riêng qua các bài toán sau: Bài toán 2.1.1: . Giải: Số hạng tổng quát . Quy đồng mẫu ta được . Tổng của chuỗi là S1. Bài toán 2.1.2: . Giải: Ta có . Số hạng tổng quát . Quy đồng mẫu ta được Tổng của chuỗi là S1. Bài toán 2.1.3: . Giải: Số hạng tổng quát (Sử dụng công thức ) Tổng của chuỗi là S. Thông thường để tính tổng của chuỗi thì ta quan tâm đến số hạng tổng quát của chúng. Và thao tác thường gặp là phân tích số hạng tổng quát ấy. Đó chính là dạng toán sau 2.2 Tính tổng của chuỗi bằng việc phân tích số hạng tổng quát của chuỗi: * Để tìm tổng của chuỗi số bằng cách lập tổng riêng thứ n, ta cần phân tích số hạng tổng quát thành các số hạng có tính chất truy hồi. Từ bài toán xuất phát sau ta có thể mở rộng ra các lớp bài toán tính tổng của chuỗi bằng việc phân tích số hạng tổng quát của chuỗi. 2.2.1 Bài toán xuất phát: Tính tổng của chuỗi . Giải: Ta có sự phân tích số hạng tổng quát sau . Tổng riêng thứ n của chuỗi Như vậy, tổng của chuỗi là S1. 2.2.2 Bài toán tổng quát: Cho cấp số cộng với các số hạng khác không và công sai . Tính tổng của chuỗi số . Giải: Vì là cấp số cộng với các số hạng khác không và công sai nên ta viết lại chuỗi như sau . Số hạng tổng quát là . Tổng riêng thứ n của chuỗi . Tổng của chuỗi cần tìm là S. Bây giờ từ bài toán xuất phát thay 1 bởi số tự nhiên m nào đó, ta có kết quả Bài toán 2.2.3: Tính tổng của chuỗi ,. Giải: Số hạng thứ n của chuỗi ,. Tổng riêng thứ n của chuỗi Như vậy, tổng của chuỗi là Bài toán 2.2.4: Tính tổng của chuỗi ,. Giải: Rõ ràng ta có sự phân tích số hạng tổng quát sau , Tổng riêng thứ n của chuỗi Như vậy, tổng của chuỗi là S,. 2.2.5 Một số bài toán mở rộng: Bài toán 2.2.5.1: Tính tổng của chuỗi . Giải: Ta phân tích số hạng tổng quát . Sau khi rút gọn ta được tổng riêng thứ n là , . Như vậy, tổng của chuỗi là S. Bài toán 2.2.5.2: Tính tổng của chuỗi (Cô ơi, xem giúp em bài toán này, em giải kết quả không giống kết quả trong sách, em xem kĩ rồi nhưng không thấy sai chỗ nào, em cảm ơn cô!) Giải: Số hạng tổng quát của chuỗi là . Tổng riêng thứ n của chuỗi là Như vậy, tổng của chuỗi là: S. Việc phân tích số hạng tổng quát của chuỗi cần có kỹ năng phân tích để sau khi lập tổng riêng thứ n ta được biểu thức thu gọn. Bây giờ ta xét các bài toán liên quan sau Bài toán 2.2.5.3: Tính tổng của chuỗi . Giải: Số hạng tổng quát của chuỗi là Sử dụng công thức arctana-arctanb ta được Sau khi rút gọn ta được tổng riêng thứ n là Khi đó, tổng của chuỗi là: S. Bài toán 2.2.5.4: Tính tổng của chuỗi . Giải: Ta phân tích số hạng tổng quát của chuỗi như sau Tổng riêng thứ n của chuỗi Khi đó, tổng của chuỗi là S. Bài toán 2.2.5.5: Tính tổng của chuỗi . Giải: Số hạng tổng quát của chuỗi là . Sử dụng đồng nhất thức ta phân tích được số hạng tổng quát dưới dạng: . Tổng riêng thứ n của chuỗi . Khi đó, tổng của chuỗi là: S. Sau đây là một dạng khác của bài toán tính tổng của chuỗi số 2.3 Các bài toán tính tổng của chuỗi có sử dụng các đồng nhất thức. Trong phần này chúng ta có thể sử dụng một số đồng nhất thức quen thuộc để phân tích số hạng tổng quát của chuỗi. Bài toán 2.3.1: Dùng đồng nhất thức tính tổng của chuỗi sau:. Giải: Trước hết ta phân tích số hạng tổng quát của chuỗi: . Từ đồng nhất thức ta suy ra . Khi đó . Tổng riêng thứ n của chuỗi sau khi rút gọn là . Như vậy, tổng của chuỗi là S. Bài toán 2.3.2 Dùng đồng nhất thức tính tổng của chuỗi sau Giải: Trước hết ta phân tích số hạng tổng quát của chuỗi: Từ đồng nhất thức ta suy ra . Khi đó . Tổng riêng thứ n của chuỗi sau khi rút gọn là: Với thì . Do đó tổng của chuỗi là S Tuy nhiên, bài toán 2.3.2 có thể được giải theo một cách khác. Trước hết, ta xét bài toán tổng quát sau: 2.3.3 Bài toán tổng quát: Cho các hằng số a,b,c khác không, giả sử các hàm và thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng nếu tồn tại thì . Chứng minh rằng nếu tồn tại thì . Chứng minh: (a) Xét chuỗi số Từ điều kiện ta có ……………………… Do đó Vì nên . (b) Tương tự câu (a), ta có ……………………… . Từ đó suy ra Vì nên . Như vậy, áp dụng kết quả bài toán tổng quát ta có thể giải bài toán 2.3.3 bằng cách chọn , và với thì ta được . Công thức Euler, hay còn gọi là đồng nhất thức Euler thể hiện mối liên hệ giữa hàm số lượng giác và hàm số mũ phức là một công thức toán học trong ngành giải tích phức. Công thức Euler được dùng để tính tổng của hai chuỗi có dạng và trong bài toán tính tổng sau: Bài toán 2.3.4: Dùng đồng nhất thức Euler tính tổng của hai chuỗi (a) và (b) () . Giải: Giả sử lần lượt là dãy tổng riêng tương ứng của hai chuỗi (a) và (b) và U,V lần lượt là tổng của chúng. Dùng công thức Euler ta viết Vì nên , từ đó ta suy ra . Khi đó U+V. Nhân lượng liên hiệp của biểu thức ta được U+V Vậy U, V. Tuy nhiên, ở một số chuỗi ta không thể sử dụng hai phương pháp trên để tính tổng Bài toán tính tổng của một số chuỗi đặc biệt: Bài toán 2.4.1: Giả sử là một dãy thỏa mãn . Chứng minh rằng (quy ước thì ). Chứng minh: Xét chuỗi số Số hạng tổng quát của chuỗi . Tổng riêng thứ n của chuỗi: . Khi đó, chuỗi có tổng là S. Đây là điều cần chứng minh. Áp dụng bài toán tổng quát 2.4.1 trên ta xét các bài toán cụ thể sau: Bài toán 2.4.1.1: Tính tổng của chuỗi . Giải: Đặt . Khi đó ta được dãy và dãy này thỏa mãn . Áp dụng kết quả bài toán 4.1 trên ta suy ra =1. Bài toán 2.4.1.2: Tính tổng của chuỗi . Giải: Đặt . Khi đó, ta được dãy và dãy này thỏa mãn Áp dụng kết quả bài toán 2.4.1 trên ta suy ra =1. Bài toán 2.4.2: Cho dãy được xác định bởi . Chứng minh rằng . Chứng minh: Xét chuỗi . Ta phân tích số hạng thứ n ta được Tổng riêng thứ n của chuỗi: Dễ dàng chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Bây giờ ta chứng minh là dãy tăng. Từ ta chia hai vế cho và cộng hai vế với -1 ta được . Vì nên >0, tức là dãy là dãy tăng. Từ ta bình phương hai vế và sau đó cộng hai vế với -4 ta được Khi đó . Vì là dãy tăng và nên . Vậy tổng của chuỗi là S. Đó là điều cần chứng minh. Bài toán 2.4.3: Cho phân kì với các số hạng dương cho trước, b>0. Chứng minh rằng . Chứng minh: Xét chuỗi số với . Ta có . Ta chứng minh . Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức sau: (*). Với n=1, (*) đúng. Giả sử (*) đúng với n+1, tức là . Ta chứng minh (*) đúng với n+2 Thật vậy . Vậy (*) đã được chứng minh. Theo (*) ta đánh giá . Vì chuỗi phân kì nên . Theo nguyên lý kẹp ta có . Đặt là tổng riêng thứ n của chuỗi. Khi đó, hay tương đương với . Lấy tổng theo vế các đẳng thức trên từ k2 đến kn thu được . Tổng của chuỗi là S. Đó là điều cần chứng minh. Bài toán 2.4.4: Cho là dãy Fibonacci được xác định bởi , đặt . Tính tổng của hai chuỗi sau: (a) và (b). Giải: Trước hết ta chứng minh bằng quy nạp các bất đẳng thức sau: (i) , (ii) . Chứng minh (i) Với n thì (i) đúng. Giả sử (i) đúng với n, tức là . Ta chứng minh (i) đúng với n+1 Từ ta suy ra được . Vậy đẳng thức (i) đã được chứng minh. Chứng minh (ii) Với n1 thì , (ii) đúng. Giả sử (ii) đúng với n, tức là . Ta chứng minh (ii) đúng với n+1 Thật vậy, ta có Vậy đẳng thức (ii) đã được chứng minh. Xét chuỗi (a) Từ ta có . Lấy tổng theo vế các đẳng thức đó ta được . Kết hợp với (ii) được . Tổng của chuỗi (a) là: . Xét chuỗi (b): . Trước tiên ta chứng minh (iii). Với n thì (iii) đúng. Bây giờ, ta chứng minh (iii) đúng với Thật vậy, sử dụng đẳng thức , biến đổi vế phải được Do đó (iii) đã được chứng minh. Áp dụng (iii) ta có Lấy tổng theo vế các đẳng thức trên thu được . Vậy . 2.5 Các bài tập đề nghị: Bài tập 2.5.1: Hãy tìm số hạng tổng quát của chuỗi và tổng của nó nếu biết trước dãy tổng riêng : a. . b. . c. . Bài tập 2.5.2: Tính tổng các chuỗi sau: a. . b. . c. . d. . e. . f. . h. Bài tập 2.5.3: Cho dãy được xác định bởi . Chứng minh rằng . Bài tập 2.5.4 : Cho là dãy Fibonacci được xác định bởi , đặt . Tính tổng của chuỗi . Bài tập 2.5.5 : Cho dãy là dãy dương phân kì tới vô cùng. Chứng minh rằng . Bài tập 2.5.6: Cho dãy được xác định bởi . Và đặt . Tính . CHƯƠNG 3: BÀI TOÁN TÍNH TỔNG LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT CỦA CHUỖI Ta biết rằng chuỗi hội tụ có tính chất kết hợp “một chiều” tức là các số hạng có thể nhóm lại với nhau tùy ý, khi ấy tổng của chuỗi không thay đổi. Còn tính chất giao hoán đúng cho chuỗi hội tụ tuyệt đối, tức là các số hạng của chuỗi có thể đổi chỗ cho nhau theo thứ tự bất kì và tổng của chuỗi đó vẫn giữ nguyên. Tuy nhiên, tính chất giao hoán không còn đúng với chuỗi bán hội tụ. Bài toán 3.1: Chứng minh rằng hội tụ nếu thỏa mãn các điều kiện Số hạng tổng quát khi . Chuỗi nhận được bằng cách nhóm các số hạng của chuỗi đã cho theo thứ tự tự nhiên của nó hội tụ. Số các phần tử có mặt trong số hạng là hữu hạn. Chứng minh: Giả sử là dãy tổng riêng của chuỗi . là dãy tổng riêng của chuỗi . Khiđó . Vì số các số hạng của dãy là hữu hạn và khi nên khi . Do đó . Đây là điều cần chứng minh. Bài toán 3.2: Chứng minh rằng chuỗi (1) hội tụ hay phân kì đồng thời với chuỗi (2). Chứng minh: Giả sử chuỗi (1) hội tụ. Khi đó, dãy con tùy ý của dãy tổng riêng của nó cũng hội tụ, trong các dãy con đó có dãy , tức là dãy tổng riêng của chuỗi (2) hội tụ. Vậy chuỗi (2) hội tụ. Bây giờ giả sử chuỗi (2) hội tụ. Giả sử , lần lượt là dãy tổng riêng của chuỗi (1) và (2). Khi đó . Vì chuỗi (2) hội tụ nên khi . Điều này có nghĩa là do nên tổng tiến tới không. Suy ra hay chuỗi (1) hội tụ. Bài toán 3.3: Chứng minh rằng tổng của chuỗi hội tụ không thay đổi nếu ta đổi chỗ các số hạng của chuỗi sao cho mỗi một số hạng đó không đi xa vị trí ban đầu của nó lớn hơn m chỗ, trong đó m là số đã cho trước. Chứng minh: Giả sử chuỗi hội tụ có tổng là S. Khi đó, sao cho với ta có . Gọi là dãy tổng riêng của chuỗi nhận được sau khi đã đổi chỗ các số hạng của chuỗi sao cho mỗi một số hạng đó không đi xa vị trí ban đầu của nó lớn hơn m chỗ, với m là số cho trước. Do đó, với thì . Đó là điều cần chứng minh. Ta biết chuỗi điều hòa đan dấu hội tụ theo dấu hiệu Leibniz và có tổng là ln2. Tổng của chúng được tính thông qua giới hạn của hai dãy con thể hiện trong bài toán sau: Bài toán 3.4: Tính tổng của chuỗi . Giải: Ta có . Từ bất đẳng thức suy ra ; ,; Tương tự như vậy ta được ; …………………………………… . Cộng vế theo vế các bất đẳng thức ta được . Hơn nữa . Theo nguyên lí kẹp ta có . Ta lại có . Do đó . Vì dãy có hai dãy con cùng hội tụ đến giới hạn chung là ln2 nên . Vậy tổng của chuỗi là ln2. Áp dụng kết quả bài toán 3.4 vào hai bài toán sau Bài toán 3.4.1: Tính tổng của chuỗi . Giải: Ta viết lại chuỗi . Áp dụng kết quả ta có 1. Bài toán 3.4.2: Tính tổng của chuỗi Giải: Ta có . Ta có Tương tự như vậy ta được …………………………………… . Cộng vế theo vế các bất đẳng thức ta được . Vì nên theo nguyên lí kẹp ta có . Hơn nữa, Do đó Vì dãy có hai dãy con cùng hội tụ đến giới hạn chung là ln2 nên . Vậy tổng của chuỗi là ln2. Bây giờ, với chuỗi điều hòa đan dấu ta đổi chỗ để cho p số hạng dương liên tiếp vào một nhóm tiếp đến q số hạng âm liên tiếp vào một nhóm thì tổng của chuỗi mới này có thay đổi không? Bài toán 3.6: Biết rằng , chứng minh mệnh đề sau đây: nếu số hạng của chuỗi đổi chỗ để cho p số hạng dương liên tiếp vào một nhóm, tiếp đến q số hạng âm liên tiếp vào một nhóm thì chuỗi mới này có tổng bằng . Chứng minh: Đổi chỗ các số hạng của chuỗi theo đề bài ta nhận được chuỗi Theo bài toán 3.2 chuỗi này có tổng bằng tổng của chuỗi trong trường hợp chuỗi (1) hội tụ.Bây giờ ta tính tổng của chuỗi (1). Xét chuỗi là chuỗi nhận được từ chuỗi (1) bằng cách nhóm các số hạng của (1) theo từng cặp. Theo bài 3.1, chuỗi (2) hội tụ. Hơn nữa, tổng của chuỗi (1) và chuỗi (2) là bằng nhau. Giả sử , gọi là dãy tổng riêng của chuỗi (2) và lần lượt là tổng của chuỗi (1), (2). Ta có . Trong biểu thức của ta thêm và bớt đi ta được trong đó là dãy con của dãy tổng riêng của chuỗi hội tụ . Theo công thức tiệm cận ( khi ) ta có ( khi ). Như vậy . Với ta cũng nhận được kết quả như trên. Ta xét hai trường hợp sau: Trường hợp 1: , Ta thay đổi thứ tự của chuỗi bằng cách đặt mỗi một phần tử âm sau hai phần tử dương, chuỗi nhận được là có tổng là . Trường hợp 2: p, Ta thay đổi thứ tự của chuỗi bằng cách đặt hai phần tử âm sau mỗi một phần tử dương, chuỗi nhận đư