Một số dạng và phương pháp giải toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong đại số THCS

MỘT SỐ DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÌM GTLN VÀ GTNN TRONG ĐẠI SỐ THCS A/ NỘI DUNG GỒM: Dạng I: Các bài toán mà biểu thức là đa thức Dạng II: Các bài toán mà biểu thức là phân thức Dạng III: Các bài toán mà biểu thức là căn thức Mỗi dạng gồm có: Các ví dụ Cách giải chung của các ví dụ Bài tập tự giải và kết quả của từng bài B/ MỘT SỐ ĐIỀU CẦN GHI NHỚ: Có nhiều phương pháp để giải bài toán tìm GTLN và GTNN của một hàm số, một biểu thức. Một trong những phương pháp có hiệu quả là dùng bất đẳng thức quen thuộc, nhưng cũng chính phương pháp này đã gây ra những sai lầm, nếu chúng ta không nắm vững bản chất của nó. Khi dùng bất đẳng thức ta chứng minh được hay ( K là một hằng số) thì không được kết luận vội vàng là K là GTLN (hay GTNN) của . Mà ta phải chứng tỏ rằng dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi nhận được giá trị cụ thể, thỏa điều kiện của bài toán rồi mới kết luận. C/ CÁC DẠNG TOÁN CỤ THỂ: Dạng I: Các bài toán mà biểu thức là đa thức 1/ Ví dụ: Ví dụ 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau: Giải Ta có nên Vậy: f(x) đạt GTNN bằng khi Ta có nên Vậy: g(x) đạt GTNN bằng khi Cách giải chung của bài toán trên là: Ta biến đổi đa thức đã cho về dạng: trong đá a là một hằng số. Vì nên . Do đó GTNN của biểu thức đã cho bằng a khi h(x) =0. Ví dụ 2: Tìm GTLN của các biểu thức sau: Giải Ta có nên Vậy: f(x) đạt GTLN bằng 15 khi Ta có nên Vậy: g(x) đạt GTLN bằng khi Cách giải chung của bài toán trên là: Ta biến đổi đa thức đã cho về dạng: trong đá a là một hằng số. Vì nên . Do đó GTLN của biểu thức đã cho bằng a khi h(x) =0. 2/ Bài tập tự giải: Bài tập 1: Tìm GTLN của các biểu thức sau: Đáp số: f(x) đạt GTLN bằng Bài tập2 : Tìm GTNN của các biểu thức sau: Đáp số: g(x) đạt GTNN bằng Bài tập 3: a/ Tìm GTNN của các biểu thức sau: Đáp số: f(x) đạt GTNN bằng b/ Giải phương trình trên khi f(x)=3 Đáp số: Phương trình có nghiệm Bài 4: Cho phương trình Gọi là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm GTLN và GTNN của biểu tổng S= Đáp số: S đạt GTLN bằng S đạt GTNN bằng Bài 5: Cho x và y thỏa mãn điều kiện : 3x + y = 1 a/ Tìm GTNN của biểu thức: Đáp số: M đạt GTNN bằng b/ Tìm GTLN của biểu thức: N = 2xy Đáp số: N đạt GTLN bằng Dạng II: Các bài toán mà biểu thức là phân thức Đường lối chung để giải dạng toán này: Cho biểu thức . Biểu thức A đạt GTLN khi F(x) đạt GTLN và G(x) đạt GTNN; biểu thức A đạt GTNN khi F(x) đạt GTNN và G(x) đạt GTLN. 1/ Ví dụ: Ví dụ 1: Tìm GTLN của biểu thức: Giải A đạt GTLN khi đạt GTNN, mà Vậy GTLN của khi Cách giải chung của bài toán trên là: Ta thấy bậc của tử thức bằng bậc của mẫu thức, ta thực hiện phép chia để đưa biểu thức về dạng A = M + (M, N là hằng số). Do đó biểu thức A đạt GTLN khi biểu thức f(x) đạt GTNN. Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức: Giải Ta có thể viết: Do đó: Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi Vậy biểu thức A đạt GTNN bằng -1 khi x=-1 Cách giải chung của bài toán trên là: Ta thấy bậc của tử thức nhỏ hơn bậc của mẫu thức, ta thực hiện phép biến đổi để đưa biểu thức về dạng A = (K là hằng số). Do đó biểu thức A đạt GTNN là K khi biểu thức =0. 2/ Bài tập tự giải: Bài 1: Tìm GTLN của hàm số: ; Đáp số: f(x) đạt GTLN bằng Bài 2: Cho x>0. Tìm giá trị của x để biểu thức đạt GTLN. Đáp số: M đạt GTLN bằng khi x=2009 Bài 3: Cho biểu thức: a/ Rút gọn M Đáp số: b/ Tìm GTNN của M. Đáp số: M đạt GTNN bằng Bài 4: Cho biểu thức: a/ Rút gọn N . Đáp số: b/ Tìm GTNN và GTLN của N Đáp số: N đạt GTNN bằng Đáp số: N đạt GTLN bằng Bài 5: Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện: Tìm GTLN của biểu thức abc: Đáp số: abc đạt GTLN bằng Dạng III: Các bài toán mà biểu thức là căn thức 1/ Ví dụ: Ví dụ 1:Cho biểu thức: . Tìm giá trị của x để f(x) đạt GTLN. Giải Biểu thức f(x) có nghĩa khi: Trong điều kiện này ta có f(x) nên f(x)đạt GTLN khi và chỉ khi đạt GTLN. Ta có: Do đó đạt GTLN khi và chỉ khi Vậy khi thì GTLN của biểu thức = Cách giải chung của bài toán trên là: Ta cần xác điều kiện các biểu thức dưới dấu căn để cho căn thức có nghĩa, sau đó tìm điều kiện để biểu thức đạt GTLN . Điều kiện đó cũng chính là điều kiện để biều thức f(x) đạt GTLN. Ví dụ 2: Cho biểu thức: . Tìm giá trị của x để f(x) đạt GTNN. Giải Biểu thứ f(x) có nghĩa khi: Ta biến đổi: Do đó: nên đạt GTNN khi và chỉ khi đạt GTNN mà nên đạt GTNN bằng 0 khi Vậy f(x) đạt GTNN bằng khi Cách giải chung của bài toán trên là: Ta cần xác điều kiện để biểu thức có nghĩa và phân tích đa thức thành nhân tử sau đó rút gọn biểu thức đã cho. 2/ Bài tập tự giải: Bài 1: Cho biểu thức: a/ Rút gon biểu thức M. Đáp số: b/ Tìm GTNN của M Đáp số: M đạt GTNN bằng -1 khi x=0 Bài 2: Cho biểu thức a/ Rút gọn biểu thức M. Đáp số: M= b/Tìm GTLN của M. Đáp số: M đạt GTLN bằng Bài 3: Tìm GTLN của biểu thức Đáp số: M đạt GTLN bằng Bài 4: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: Đáp số: M đạt GTLN bằng M đạt GTNN bằng Bài 5:Tìm GTNN của biểu thức: Đáp số: M đạt GTNN bằng1 khi