Một số phép biến đổi thường dùng khi giải phương trình lượng giác

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tươg lai MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI THƯỜNG DÙNG KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI THƯỜNG DÙNG: “Để đưa về PT tích hay để rút gọn” 1) 21 sin 2 (sin cos )x x x   ; 21 sin 2 (sin cos )x x x   2) sin cos 1 tan cos x x x x    , cos sin 1 cot sin x x x x    , 3) sin 2 sin cos 2 x x x  4)    2 2cos 2 cos sin cos sin . cos sin    x x x x x x x 5)    2 2cos x 1 sin x 1 sin x . 1 sin x        2 2sin x 1 cos x 1 cosx . 1 cos x     6) 2 2sin x cos x 2 t anx+cot x sin x.cosx sin 2x    , 2 2sin x cos x 2cos2x t anx cot x sin x.cosx sin 2x      7) 3 3sin cos (sin cos )(1 sin .cos )x x x x x x    , 3 3sin cos (sin cos )(1 sin .cos )x x x x x x    8) 4 4 2 2cos sin cos sin cos 2   x x x x x 4 4 2 2 2 1 1 1 cos4 3 1 sin cos 1 2sin .cos 1 .sin 2 1 . .cos4 2 2 2 4 4 x x x x x x x               6 6 2 2 2 3 3 1 cos4 5 3 sin cos 1 3sin .cos 1 .sin 2 1 . .cos4 4 4 2 8 8 x x x x x x x               9) 3 3 3 sin sin .cos cos .sin cos 2 2 2 x x x x             7 7 7 cos cos .cos sin .sin sin 2 2 2 x x x x              2 sin sin .cos cos .sin . sin cos 4 4 4 2 x x x x x             II. MỘT SỐ KĨ NĂNG NHẬN DẠNG THƯỜNG DÙNG: “Để vận dụng công thức lượng giác hợp lý để giải bài toán giải PTLG” Khi gặp PTLG có chứa: - “Bình phương, khác góc” ta thường sử sụng công thức hạ bậc. - “Tích các hàm số lượng giác sin và cos” ta thường biến đổi về tổng. - “Tổng các hàm số lượng giác sin và cos” ta thường biến đổi về tích. - “Góc gấp đôi nhau” ta thường sử dụng công thức nhân đôi. - “Các góc đặc biệt”, VD như: x 4   , 3 2 x   , 7 4 x   ta thường sử dụng công thức cộng để biến đổi trước. Lưu ý các cặp gặp phụ nhau. MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI THƯỜNG DÙNG KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Vững vàng nền tảng, Khai sáng tươg lai III. MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG: Bài toán 1: Giải PTLG sau: 2 cos 2 1 cot 1 sin sin 1 tan 2 x x x x x      Nhận xét : “Ở bài toán này ta vận dụng các phép biến đổi ở trên để đưa về PT tích” HD: Điều kiện: sin .cos 0x x  và tanx ≠ 1      2cos 2 1cot 1 sin sin 1 tan 2 cos sin cos sincos sin sin . sin cos cos sinsin cos x x x x x x x x xx x PT x x x x xx x               1 sin cos sin cos 0 sin x x x x x           sin cos 0 (1) 1 sin cos 0 (2) sin x x x x x         ĐS: 4 x k    Bài toán 2: Giải PTLG sau: (1 sin x cos 2x)sin x 14 cos x 1 tan x 2           Nhận xét : “Ở bài toán này ta thấy có chứa   2 sin . sin cos 4 2 x x x         và mẫu có chứa sin cos 1 tan cos x x x x    nên ta phân tích để rút gọn tử và mẫu cho (sinx + cosx)” HD: Điều kiện: cos 0x  và tanx ≠ 1 2 (1 sin cos 2 ). .(sin cos ) 12 .cos .cos sin cos 2 x x x x PT x x x x       (1 sin cos 2 ).(sin cos ) .cos cos sin cos x x x x x x x x       (1 sin cos 2 ) 1 sin cos 2 0x x x x       “Góc 2x và 1x: nên sử dụng CThức nhân đôi” Vững vàng nền tảng, Khai sáng tươg lai 2 12sin sin 1 0 sin 1( ) sin 2 7 S: 2 2 ( ) 6 6 x x x loai hay x Ð x k hay x k k                   Bài toán 3: Giải PTLG sau: 1 1 7 4sin 3sin 4 sin 2 x x x                Nhận xét: “Ở bài toán này ta thấy có chứa 3 sin 2 x       và 7 sin 4 x       nên ta sử dụng công thức cộng để biến đổi” HD: 3 3 3 sin sin .cos cos .sin cos 2 2 2 x x x x              7 7 7 2 sin sin .cos cos .sin . sin cos 4 4 4 2 x x x x x              Điều kiện: sin 0,cos 0x x  PT trở thành: 1 1 1 2 2(sin cos ) 0 (sin cos ) 2 2 0 sin cos sin .cos sin 0 4 5 S: , , 4 8 81 sin 2 2 x x x x x x x x x Ð x k x k x k x                                        Bài toán 4: Giải PTLG sau:  2 cos sin1 tan cot 2 cot 1 x x x x x     Nhận xét: “Ở bài toán này ta vận dụng các phép biến đổi ở trên để rút gọn vế phải, ở vế trái có chứa tanx + cot2x ta biến đổi trước” HD: Ta có:  cos 2sin .sin 2 cos .cos2 1 tan cot 2 cos .sin 2 cos .sin 2 sin 2 x xx x x x x x x x x x x      Vững vàng nền tảng, Khai sáng tươg lai Điều kiện: sin2x.(tanx + cot2x) 0 và cotx 1  2 cos sin1 2 sin 2 2.sin cos 1 cos sin 2 sin 2 sin x x PT x x x x x x x         Tìm nghiệm và kết hợp điều kiện ta được:  2 4 x k k      Bài toán 5: Giải PTLG sau: cot sin 1 tan .tan 4 2 x x x x         Nhận xét: “Ở bài toán này ta để ý ở vế trái có chứa 1 tan .tan 2 x x       ta biến đổi trước” HD: Ta có: coscos .cos sin .sin 122 21 tan .tan 2 cos cos .cos cos .cos 2 2 xx x xx x x x x x x x x           Điều kiện: sinx ≠ 0, cosx ≠ 0 2cot tan 4 tan 4.tan 1 0 tan 2 3PT x x x x x          . ĐS:  arctan 2 3x k   Bài toán 6: Giải PTLG sau: (1 2sin x)cosx 3 (1 2sin x)(1 sin x)     Nhận xét: “Biến đổi và sử dụng cách giải PT: a.sinx + b.cosx = c” HD:  2cos sin 2 3. 1 sin 2.sinPT x x x x      cos sin 2 3. cos 2 sinx x x x    “Ta chuyển cùng góc qua một vế để đưa về dạng a.sinx + b.cosx”  cos sin 2 3. cos 2 sinx x x x    3.sin cos sin 2 3.cosx x x x    “Chia hai vế của PT cho 2” Vững vàng nền tảng, Khai sáng tươg lai sin sin 2 6 3 x x                 ĐS: 2 3 , 2 18 3 2 x k x l         Bài toán 7: Giải PTLG sau: 3sin x cosxsin 2x 3cos3x 2(cos4x sin x)    (B – 2009) Nhận xét: “Biến đổi và sử dụng cách giải PT: a.sinx + b.cosx = c” Ở bài toán này ta thấy có chứa tích: cosx.sin2x nên ta biến đổi về tổng và có sin3x nên ta sử dụng công thức nhân ba để hạ bậc 3” HD:   1 3 1 sin sin 3 sin 3 cos3 2(cos 4 sin sin 3 ) 2 4 4 1 3 3 1 sin 3 sin 3 cos3 2cos 4 sin sin 3 2 2 2 2 PT x x x x x x x x x x x x x              sin3 3cos3 2cos4x x x   “Ta chuyển cùng góc qua một vế để đưa về dạng a.sinx + b.cosx” 1 3 sin3x cos3x cos4x 2 2    “Chia hai vế của PT cho 2” cos 3x cos 4x 6         ĐS: 2 x k , x k2 42 7 6         Bài toán 8: Giải PTLG sau: 22.sin 2 sin 7 1 sinx x x   Nhận xét: “Bình phương, khác góc ta thường sử dụng công thức hạ bậc” HD: 1 cos 4 2. sin 7 1 sin 2 x PT x x      sin 7 sin cos 4 0x x x    “Tổng ta thường biến đổi về tích để đặt nhân tử chung” 2cos 4 .s in3x cos 4 0x x   cos 4 0 cos 4 (2s in3x 1) 0 sin 3 sin 6 x x x          Vững vàng nền tảng, Khai sáng tươg lai 2 5 2 : , , 8 4 18 3 6 3 KL x k x k x k             Bài toán 9: Giải PTLG sau: 2 2cos 3x cos2x cos x 0  Nhận xét: “Bình phương, khác góc ta thường sử dụng công thức hạ bậc” HD: 2 2cos 3x.cos2x cos x 0   1+cos6x cos 2 1+cos2x 0 2 2 x    cos6x.cos2 1x  “Tích ta thường biến đổi về tổng”   1 cos8 cos 4 1 2 x x   “Góc 8x và 4x: nên sử dụng công thức nhân đôi” 22.cos 4 cos 4 3 0. S : . 2 x x Ð x k       Bài toán 10: Giải PTLG sau: sin 2x cos2x 3s inx cos x 1 0     Nhận xét: “Góc 2x và 1x: nên sử dụng công thức nhân đôi để biến đổi” HD: 2sin .cos cos 2 3sin cos 1 0PT x x x x x      “Ở đây ta nhóm 2.sinx.cosx với cosx do khi nhóm với 3.sinx ta không giải tiếp được”   2cos . 2sin 1 2sin 3sin 2 0x x x x           cos . 2sin 1 2sin 1 . sin 2 0x x x x        2sin 1 cos sin 2 0x x x         2sin 1 0 1 5 S: 2 , 2 6 6cos sin 2 0 2 , x Ð x k x k x x PTVN               Bài toán 11: Giải PTLG sau: 25.sin 2 3.(1 sin ). tanx x x   Nhận xét: “Đưa về cùng một hàm số lượng giác” Ở bài toán này ta nhận thấy “cùng góc” nên sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản và đưa PT về cùng một hàm số sinx” Vững vàng nền tảng, Khai sáng tươg lai HD: 2 2 25sinx(1 sin x) 2(1 sin x) = 3(1 sinx).sin xPT      3 22sin x+sin x 5sinx+2=0  2( 1)(2 3 2) 0t t t     (t = sinx) 1 1, , 2 2     t t t S: 2 , 2 2 6 Ð x k x k        Bài toán 12: Giải PTLG sau: cos3x cos2x cosx 1 0    Nhận xét: “Đưa về cùng một hàm số lượng giác” Ở bài toán này ta nhận thấy cos3x và cos2x ta đều chuyển được về cosx nên sử dụng công thức nhân ba và công thức nhân đôi để đưa PT về cùng một hàm số sinx” HD: 3 2 cos3x cos2x cosx 1 0 4.cos 3.cos 2cos 1 cos 1 0x x x x            3 22cos x cos x 2cosx 1 0     2(2cos 1)(cos x 1) 0x    1 cos ,sin 0 2    x x 2 S: 2 , 3 Ð x k x k       Bài toán 13: Giải PTLG sau: 3sin .sin 2 sin 3 6cosx x x x  Nhận xét: “Biến đổi đưa về PT dạng: 3 2 2 3a.sin x + b.cos x.sin x + c.cosx.sin x + d.sin x + e.cosx + f.cos x = 0 ” HD: 2 3 32.sin .cos 3sin 4sin 6.cos 0PT x x x x x     Khi cosx = 0 2sin 1x  (không thỏa phương trình). Khi cosx ≠ 0: Chia 2 vế cho cos3x, đặt t = tanx ta được:    3 2 22 3 6 0 2 . 3 0t t t t t        Bài toán 14: Giải PTLG sau: 3 3 2 2sin 3 cos sin .cos 3.sin .cos  x x x x x x Nhận xét: “Biến đổi đưa về PT dạng: Vững vàng nền tảng, Khai sáng tươg lai 3 2 2 3a.sin x + b.cos x.sin x + c.cosx.sin x + d.sin x + e.cosx + f.cos x = 0 ” HD: Khi cosx = 0 2sin 1x  (không thỏa phương trình). Khi cosx ≠ 0: Chia 2 vế cho cos3x, đặt t = tanx ta được: 3 2t 3 3 0t t    2( 3)( 1) 0t t    3, 1t t    S: , 3 4 Ð x k x k          Bài toán 15: Giải PTLG sau: cos cos cos 3 6 4 x x x                         Nhận xét: “Ở bài này ta nhận xét góc: 3 6 2 4 x x x                        nên ta áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích để biến đổi PT” HD: 2.cos .cos cos cos 0 4 12 4 4 PT x x x                            ĐS: 2 x k    Bài toán 16: Giải PTLG sau: 4 4 2sin cos cos 4 tan .tan 4 4 x x x x x                  Nhận xét: “Ở bài này ta nhận xét góc 4 x   và 4 x   phụ nhau, tử ta sử dụng các phép biến đổi thường gặp” HD: Điều kiện: Ta có: 4 4 2 x x                  nên tan cot 4 4 x x                Khi đó: 2 2 3 1 .cos 4 cos 4 4cos 4 cos 4 3 0 4 4 PT x x x x       Vững vàng nền tảng, Khai sáng tươg lai cos 4 1 3 cos 4 4 x x      