Một số phương pháp giải phương trình-Bất phương trình vô tỷ

Nguyễn Văn Sang ................................................................................ qsangtnl@gmail.com 1 BÀI 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH-BÂT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ A. Phương trình - bất phương trình chứa căn thức I. Phương pháp biến đổi tương đương 1. Kiến thức cần nhớ:         2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1. 2. 0 3. , 4. 0 5. , n n n n n n n n n n a a a b a b ab a b a b a b a b a b a b a b a b                      2. Các dạng cơ bản: * Dạng 1:          2 0g x f x g x f x g x       (Không cần đặt điều kiện   0f x  ) * Dạng 2:    f x g x xét 2 trường hợp: TH1:     0 0 g x f x     TH2:    2 ( ) 0g x f x g x    * Dạng 3:          2 ( ) 0 0 f x f x g x g x f x g x         Lưu ý: + g(x) thường là nhị thức bậc nhất (ax+b) nhưng có một số trường hợp g(x) là tam thức bậc hai (ax2+bx+c), khi đó tuỳ theo từng bài ta có thể mạnh dạn đặt điều kiện cho   0g x  rồi bình phương 2 vế đưa phương trìnhbất phương trình về dạng quen thuộc. + Chia đa thức tìm nghiệm: Phương trình 1 2 0 1 2 1 0 n n n n na x a x a x a x a         có nghiệm x= thì chia vế trái cho cho x– ta được    1 20 1 2 1 0n n n nx b x b x b x b          , tương tự cho bất phương trình. * Phương trìnhbất phương trình bậc 3: Nếu nhẩm được 1 nghiệm thì việc giải theo hướng này là đúng, nếu không nhẩm được nghiệm thì ta có thể sử Nguyễn Văn Sang ................................................................................ qsangtnl@gmail.com 2 dụng phương pháp hàm số để giải tiếp và nếu phương pháp hàm số không được nữa thì ta phải quay lại sử dụng phương pháp khác. * Phương trìnhbất phương trình bậc 4, lúc này ta phải nhẩm được 2 nghiệm thì việc giải phương trình theo hướng này mới đúng, còn nếu nhẩm được 1 nghiệm thì sử dụng như phương trìnhbất phương trình bậc 3 và nếu không ta phải chuyển sang hướng khác. “Cũng như không ?!” Ví dụ 1: Giải phương trình: 01312 2  xxx (ĐH Khối D – 2006) Biến đổi phương trình thành: 22 1 3 1x x x     (*), đặt điều kiện rồi bình phương 2 vế ta được: 028116 234  xxxx ta dễ dạng nhẩm được nghiệm x = 1 sau đó chia đa thức ta được: (*) (x – 1)2(x2 – 4x + 2) = 0. Ví dụ 2: Giải bất phương trình:      224 1 2 10 1 3 2x x x     , ĐK: 2 3 x    2 2 1 5 2 3 2 ( 5) 3 2 9 5pt x x x x x x x x             (1), Với 3 2 x   hai vế (1) đều không âm nên ta bình phương 2 vế: x3 – x2 – 5x – 3 0    23 1 0x x    b) Tương tự với 2 dạng: *    f x g x *    f x g x Ví dụ 1: Giải bất phương trình  22 6 1 2 0 1x x x     Giải   21 2 6 1 2x x x     bất phương trình tương đương với hệ: 2 2 2 2 0 3 7 3 7 3 72 6 1 0 3 2 2 2 2 6 1 2 1 3 x x x x x x x x x x x                            Ví dụ 2: Tìm m để phương trình 2 2 1 2x mx m    có nghiêm. Giải * Nếu m < 2  phương trình vô nghiệm. * Nếu m  2  phương trình  x22mxm2+4m3=0. Phương trình này có =2m24m+3>0 với mọi m. Vậy với m  2 thì phương trình đã cho có nghiêm. Ví dụ 3: Tìm m để phương trình 22 3 1x mx x    có hai nghiệm phân biệt. Nguyễn Văn Sang ................................................................................ qsangtnl@gmail.com 3 Giải: Cách 1:  2 1 2 4 0, (*) x PT x m x         , phương trình (*) luôn có 2 nghiệm: 2 2 1 2 2 4 20 2 4 200, 0 2 2 m m m m m mx x           . Phương trình đã cho có 2 nghiệm  (*) có 2 nghiệm 1x      2 22 2 4 1 4 4 20 1 4 4 20 m x m m m m m m m                 Chú ý: + x1 > 0, x2 x2 và a.c < 0 nên pt có 2 nghiệm trái dấu. + Cách 1 thường dùng khi hệ số a luôn dương hoặc luôn âm. + Cách 2: Đặt t = x + 1 suy ra x = t – 1, khi đó với 1 0x t    . (*) trở thành:      21 2 1 4 0t m t      (**). Để (*) có 2 nghiệm 1x   thì (**) phải có 2 nghiệm 0t . Ví dụ 4: (ĐH Khối B – 2006). Tìm m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: 2 2 2 1x mx x    , (1) Giải:    2 2 1 0 3 4 1 0, 2 x pt x m x         để (1) có hai nghiệm thực phân biệt thì (2) có hai nghiệm lớn hơn hoặc bằng 1 2  hay  24 12 0 1 90 2 2 1 2 2 m f m S                      . Chú ý : Cách 2: đặt 1 2 t x  , khi đó để (2) có hai nghiệm lớn hơn hoặc bằng 1 2  thì   21 13 4 1 0 2 2 t m t                có hai nghiệm thực lớn hơn hoặc bằng 0. 3. Các kỹ năng: a. Để bình phương 2 vế phương trình – bất phương trình thì một là ta biến đổi cho 2 vế không âm hai là đặt điều kiện cho 2 vế không âm. Ví dụ 1: Giải bất phương trình: 5 1 1 2 4x x x     (ĐH Khối A – 2005) Nguyễn Văn Sang ................................................................................ qsangtnl@gmail.com 4 Vế phải không âm, nhưng vế trái chưa nhận xét được do đó ta phải biến đổi thành: 5 1 1 2 4x x x     khi đó ta bình phương 2 vế rồi đưa về dạng cơ bản để giải. Ví dụ 2: Giải phương trình:      21 2 2 1x x x x x    . Giải Điều kiện:   1 2 * 0 x x x                        2 2 2 2 22 2 2 2 1 2 2 1 2 4 2 1 2 2 1 4 2 2 1 8 9 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x                    Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x=0, 9 8 x  . (Hãy tìm thêm cách giải khác) Ví dụ 3: Tìm m để phương trình 2 22 4 0x mx x    có nghiệm. HD: Chuyển vế, đặt điều kiện, bình phương hai vế tìm được 2 1,2 16 2 m mx   . Kết hợp với điều kiện ta tìm được |m|  4. b. Chuyển về phương trình – bất phương trình tích: - Đặt nhân tử chung, hằng đẳng thức Lưu ý: Để sử dụng phương pháp này ta phải chú ý đến việc thêm, bớt, tách, phân tích... Ví dụ 4: Giải phương trình: 2 7 7x x   . HD:  Bình phương hai vế.  Dùng hằng đẳng thức a2  b2=0.  Nghiệm 1 292, 2 x x   . Ví dụ 5: Giải các bất phương trình: a.   2 2 4 1 1 x x x     b.  2 23 2 3 2 0x x x x    Nguyễn Văn Sang ................................................................................ qsangtnl@gmail.com 5 ĐS: a. 1x<8, b.    1; 2 3; 2         . Ví dụ 6: (Khối B – 2007): Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m, phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt:  2 2 8 2x x m x    .(1) Giải: ĐK: 2x , do m > 0.            )2(,326 2 242 23 mxx x xmxxpt . Để chứng minh 0m , phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì chỉ cần chứng minh phương trình (2) có một nghiệm khác 2. Thật vậy: đặt   3 26 32, 2f x x x x    , ta có f(2) = 0,    ' 2lim , 3 12 0, 2 x f x f x x x x         nên f(x) là hàm liên tục trên  2;  và đồng biến trên khoảng đó suy ra 0m phương trình (2) luôn có nghiệm x0 mà 2 < x0 <  . Một số dạng chuyển thành tích: - Dạng:    - -a c x b dax b cx d m      Ta biến đổi thành:    ( )m ax b cx d ax b cx d       Ví dụ: Giải phương trình: 34 1 3 2 5 xx x     . ĐS: x=2. - Dạng: u+v=1+uv  (u-1)(v-1)=0 Ví dụ: Giải phương trình: 3 23 31 2 1 3 2x x x x       . ĐS: x=0, x=1. Ví dụ: Giải phương trình: 3 244 1 1x x x x     . ĐS: x=0, x=1. - Dạng: au+bv=ab+uv  (ub)(va)=0 Ví dụ 1: Giải phương trình: 23 2 1 2 4 3x x x x x x       . ĐS: x=0, x=1. Ví dụ 2: Giải phương trình: 3 2 2 23 3 2 3 2 2x x x x x x x        . ĐS: x=0. - Dạng: a3b3  (ab)(a2+ab+b2)=0  a=b Ví dụ: Giải phương trình:    22 332 3 9 2 2 3 3 2x x x x x     . ĐS: x=1. Nguyễn Văn Sang ................................................................................ qsangtnl@gmail.com 6 c. Chuyển về dạng: A1 + A2 +....+ An = 0 với ,0 1iA i n   khi đó pt tương đương với: , ,1 20 0 0 nA A A   . Ví dụ 1: Giải phương trình: 24 3 3 4 3 2 2 1x x x x x      . HD: Phương trình tương đương    24 4 3 3 1 2 2 1 2 1 0x x x x x x         . ĐS: x=1. Ví dụ 2: Giải phương trình: 2 24 2 4x y y x y     . Giải Bình phương hai vế ta được        2 2 2 12 1 2 2 2 4 0 , 2. 2 x y y x y x y           d. Sử dụng lập phương: Với dạng tổng quát 3 3 3a b c  ta lập phương hai vế và sử dụng hằng đẳng thức    3 3 3 3a b a b ab a b     khi đó phương trình tương đương với hệ 3 3 3 33 a b c a b abc c        . Giải hệ này ta có nghiệm của phương trình. Ví dụ: Giải bất phương trình 3 3 31 2 2 3x x x     . ĐS: 31; 2; 2 x x x   . e. Nếu bất phương trình chứa ẩn ở mẩu: - TH1: Mẩu luôn dương hoặc luôn âm thì ta quy đồng khử mẩu: Ví dụ 1: Giải bất phương trình:     22 16 73 1 3 3 x xx x x        (ĐH Khối A2004) Giải ĐK: 4x .      2 21 2 16 3 7 2 16 10 2         x x x x x    22 4 5 10 2 0 10 2 0 10 34 5 2 16 10 2 x x x x x x x                  Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: 10 34 x . - TH2: Mẩu âm dương trên từng khoảng thì ta chia thành từng trường hợp: Nguyễn Văn Sang ................................................................................ qsangtnl@gmail.com 7 Ví dụ 2: Giải các bất phương trình: a.   2 23 4 9x x x    b. 251 2 1 1 x x x     . HD: a. Xét ba trường hợp x=3, x>3 và x<3. ĐS: 5 3 6 x x    . b. Xét hai trừng hợp của x1. ĐS: 1 52 5 1x x      . Bài tập Bài 1: Giải các phương trình sau: a.   22 1 1 0x x x x x x       . HD: Bình phương 2 vế và biến đổi thành: 2 2 3 22 4 4 6 4 0x x x x x x x x        . 2 2( 2)(2 2 2) 0x x x x x       b. 2 24 5 1 2 1 9 3x x x x x       . HD: Nhân lượng liên hợp. Bài 2: Giải bất phương trình sau: 21 2 1 2 2 .x x x     HD: Cách 1: Đặt 4 2 2 41 2 1 2 16 t tt x x x        . Cách 2: Bình phương rồi đưa về dạng:A1+A2 = 0, với A1, A2 0 . Bài 3: Giải phương trình 4 3 10 3 2x x    . (HD: Bình phương hai lần ra phương trình bậc 4 đầy đủ_nhẩm nghiệm (x=3) chia đa thức). Bài 4: Giải phương trình 221 1 3 x x x x     . Bài 5: Giải phương trình 22 6 1 1x x x    . Bài 6: Giải các phương trình sau: 1. 2 1 1x x   2. 3 32 2 3 1x x    3. 3 3 32 2 2 9x x x    4. 33 31 1 2x x x    5. 2 1 1 2 4 xx x     6. 22 3 3 1 4 xx x      7. 5 3 3 1 1x x x     . (HD:Bình phương rồi sử dụng dạng: A1+A2 = 0, với A1, A2 0 ). Bài 7: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: m x m x m    . Bài 8: Tìm m sao cho phương trình: 24x x x m   . Nguyễn Văn Sang ................................................................................ qsangtnl@gmail.com 8 a. Có nghiệm. b. Có hai nghiệm phân biệt. Bài 9: Giải các bất phương trình sau: a. 21 1 4 3x x    . b. 2 2 23 2 6 5 2 9 7x x x x x x        . c. 2 2 22 2 3 4 5x x x x x x        . Bài 10: Giải các phương trình: a. 3 32 23 31x x x x x     . b. 43 4 3 xx x x     . c. 34 3 1 4x x x     . d. 22 3 9 4x x x    . e. 2 22 1 4 3 1 2 2 6x x x x x x       . II. Phương pháp đặt ẩn phụ: Dạng 1:    0nF f x  , đặt  nt f x (lưu ý nếu n chẵn ta phải thêm điều kiện t  0). Ví dụ 1: Giải các phương trình: a. 2 2 11 31x x   . b.     25 2 3 3x x x x    . HD: a. Đặt 2 11, 0t x t   . ĐS: x=5. b. Đặt 2 3 , 0t x x t   . ĐS: 3 109 2 x   . Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2 2 22 2 5 2x x m x x m     . Giải Đặt:  225 2 6 1 0; 6t x x x t           . Khi đó phương trình trở thành  2 22 5 0 * 5t mt m t m       . Phương trình đã cho có nghiệm khi (*) có nghiệm 0; 6t     hay 0 5 6 5 6 5 0 5 6 5 6 5 m m m m                   . Nguyễn Văn Sang ................................................................................ qsangtnl@gmail.com 9 Ví dụ 3: Tìm m để bất phương trình:  2( 2 2 1) 2 0m x x x x      , (1) có nghiệm 0;1 3x     . Giải: Đặt 2 2 22 2 2 2t x x x x t       . Nếu  31;0 x thì    2;111 2  xt BPT trở thành:    21 2 0, 2m t t    Khi đó ta có 2 2 1 t m t    , với 1 2t  . Đặt   2 2 1 tf t t    , dùng đồ thị ta tìm được 2 3 m  . Dạng 2:              2 0m f x g x n f x g x n f x g x p      , đặt    t f x g x  , bình phương hai vế để biểu diễn các đại lượng còn lại qua t. Ví dụ 1: Cho phương trình    3 6 3 6x x m x x       . a. Giải phương trình khi m=3. b. Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm. Giải Đặt:      23 6 9 2 3 6 *t x x t x x         . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy    2 3 6 9x x   nên từ (*) ta có 3 3 2t  . Phương trình đã cho trở thành t22t9=2m (1). a. Với m=3 (1)  t22t3  t =3. Thay vào (*) ta được x=3, x=6. b. PT đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm 3;3 2t     . Xét hàm số   2 2 9f t t t   với 3;3 2t     , ta thấy f(t) là một hàm đb nên:    6 (3) 3 2 9 6 2f f t f      với 3;3 2t     . Do vậy (1) có nghiệm 3;3 2t     khi và chỉ khi 6 2 96 2 9 6 2 3 2 m m        Chú ý: Để tìm miền giá trị của t ta có 2 cách thương dùng như sau: Cách 1: dùng BĐT như bài trên Cách2: dùng pp hàm số ( xem phần PP hàm số ). Ví dụ 2: Giải phương trình  3 33 335 35 30x x x x    . Nguyễn Văn Sang ................................................................................ qsangtnl@gmail.com 10 HD: đặt: 3 3 33 3 3535 35 3 tt x x x t       . ĐS: x=2, x=3. Ví dụ 3: Giải bất phương trình 27 7 7 6 2 49 7 42 181 14x x x x x        . HD: Đặt 7 7 7 6 0t x x      … 6 6 7 x  . Dạng 3:     , 0n nF f x g x  , trong đó F(t) là một phương trình đẳng cấp bậc k. TH1: Kiểm tra nghiệm với   0g x  . TH2: Giả sử   0g x  chia hai vế phương trình cho  kg x và đặt     n f x t g x  . Ví dụ 1: Giải phương trình  3 25 1 2 2x x   . ĐK: 1x   .          3 2 2 25 1 2 2 5 1 1 2 1 2 1x x x x x x x x            2 2 1 12 5 2 0 1 1 x x x x x x           Đặt 2 1 , 0 1 xt t x x      . Phương trình trở thành 2 2 2 5 2 0 1 2 t t t t         .  Với t=2: Phương trình đã cho vô nghiệm.  Với 1 2 t  : Phương trình đã cho có nghiệm 5 37 2 x  . Ví dụ 2: Giải phương trình 2 25 14 9 20 5 1x x x x x       . Giải ĐK: 5x  . 2 2 2 25 14 9 20 5 1 5 14 9 5 1 20x x x x x x x x x x               Bình phương hai vế:        2 22 4 5 3 4 5 4 5 4x x x x x x        Đặt 2 4 5 , 0. 4 x xt t x      phương trình trở thành 2 32 5 3 0 1, 2 t t t t      .  Với t = 1: Phương trình đã cho có nghiệm 5 61 5 615, 5 2 2 x x     .  Với 3 2 t  : Phương trình đã cho có nghiệm 78 5, 5 5 x x     . Nguyễn Văn Sang ................................................................................ qsangtnl@gmail.com 11 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: 5 61 , 8 2 x x  . Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 243 1 1 2 1x m x x     . HD: ĐK 1x  . Xét hai trường hợp x = 1 và x ≠ 1, Chia hai vế phương trình cho 24 1x  đặt 4 41 21 1 1 xt x x        0 1t  . ĐS 11 3 m   . Dạng 4: (Đặt ẩn phụ không triệt để).         0af x g x f x h x   . Đặt  t f x , khi đó phương trình trở thành    2 0at g x t h x   . Ví dụ: Giải phương trình   2 22 1 2 1 2 1x x x x x      . HD Đặt 2 2 1 1 6t x x x       . (Phương pháp này có thể áp dụng cho các phương trình, bất phương trình lượng giác, mũ, logrit,… rất hay!) Bài tập Giải các phương trình sau: 1.  2 32 5 2 4 2 21 20x x x x     ĐS: 9 193 17 3 73, 4 4 x x   . 2.  33 23 2 2 6 0x x x x     Đặt 2y x  , ĐS: 2, 2 2 3x x   . 3.  2 32 3 2 3 8x x x    ĐS: 3 13x   . 4. 1 1 12 1 3xx x x x x       Đặt 11t x   , ĐS: 1 5 2 x  . Dạng 5: (Đặt ẩn phụ với hàm lượng giác). Khi giải các phương trình, bất phương trình lượng giác chúng ta thường tìm mọi cách đặt ẩn phụ để chuyển về phương trình, bất phương trình đại số. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp cách là ngược lại tỏ ra khá hiệu quả, bằng những tính chất của hàm lượng giác ta sẽ đưa các bài toán đại số về bài toán lượng giác và giải quyết bài toán lượng giác này. Lưu ý vài tính chất cơ bản: Nguyễn Văn Sang ................................................................................ qsangtnl@gmail.com 12 * sin 1, cos 1a a  . * 2 2sin cos 1a a  . * 2 2 11 tan cos a a   * 2 2 11 cot sin a a   . Ví dụ 1: Giải phương trình 2 21 1 2x x   . Giải ĐK 1x  . Đặt  cos , 0;x t t   . Khi đó phương trình trở thành 2 2 21 1 cos 2cos 2sin sin 1 0.t t t t       Ta tìm được: 1sin 2 t  . Khi đó 2 3cos 1 sin 2 x t t      . Nhận xét: * Nếu bài toán có tập xác định  u x a . Ta có thể nghĩ đến cách đặt   sin , ; 2 2 u x a t t        hoặc đặt    cos , 0;u x a t t   . * Nếu    0;u x a ta có thể đặt   2sin , 0; 2 u x a t t      . Ví dụ 2: Giải phương trình    33 2 21 2 1x x x x    . HD: Đặt  cos , 0;x t t   dưa về phương trình lượng giác   sin cos 1 sin cos 2 sin cost t t t t t   . Để gải phương trình này ta lại đặt sin cos , 2u t t u   . ĐS: 2 1 2 2 2, 2 2 x x     . Ví dụ 3: Giải phương trình 2 31 4 3x x x   . ĐS: 1 2 2, 42 x x     . Dạng 6: (Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình). * Khi gặp phương trình có dạng       , ,   0n mF f x a f x b f x . Đặt    ,n mu a f x v b f x    . Khi đó ta được hệ phương trình sau:  , 0 n m F u v u v a b       . Giải hệ này tìm u, v rồi ta lại tìm x. Khi tìm x ta chỉ giải một trong hai phương trình  nu a f x  hoặc  mv b f x  . Ví dụ 1: Giải phương trình:    3 6 3 3 6x x x x       . ĐS: 0, 3x x   . Nguyễn Văn Sang ................................................................................ qsangtnl@gmail.com 13 Ví dụ 2: Giải phương trình: 3 24 12 6x x    . ĐS: 24, 88, 3x x x     . Ví dụ 3: Giải phương trình: 4 4 17 3x x   . ĐS: 1, 16x x  . Ví dụ 4: Giải phương trình:        2 23 3 32 7 2 7 3x x x x       . ĐS: 1, 6x x   . Ví dụ 5: Giải phương trình: 33 31 3 2x x    , đặt 3 31, 3,u x v x    pt trở thành: 3 3 3 2 2 u v u v       Ví dụ 6: Giải phương trình: 3 1 1 1 2 2 x x    , đặt 3 1 1, 2 2 u x v x    Ví dụ 7: Với giá trị nào của a thì phương trình: axx  33 11 có nghiệm. Đặt 33 1,1 xvxu  . Phương trình trở thành:   2 2 2a u v uv u v a        TH1: a = 0 hệ phương trình vô nghiệm. TH2: 0a  , hệ phương trình trở thành 21 2 3 u v a uv a a           . Hệ có nghiệm khi 2 4 0 0 2S P a     . Vậy phương trình có nghiệm khi 0 2a  . * Khi gặp phương trình có dạng      n nf x b a af x b . Đặt    , nt f x y af x b   ta có hệ n n t b ay y b at       . Ví dụ 1: Giải phương trình 3 32 1 2 2 1x x   . ĐS: 1 51, 2 x x    . Ví dụ 2: Giải phương trình 2 32 4 2 xx x   . Giải ĐK 3x   .      2 22 1 23 1 12 4 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 xx xx x x x               . Nguyễn Văn Sang ...................................................