Một số phương pháp sử dụng diện tích trong chứng minh hình học

một số phương pháp sử dụng diện tích trong chứng minh hình học 1. Phương pháp 1 Sử dụng diện tích để chứng minh quan hệ độ dài của các đoạn thẳng Ví dụ1 Cho hình bình hành ABCD. Từ điểm B vẽ một cát tuyến cắt cạnh CD tại điểm M. Từ điểm D vẽ một cát tuyến cắt cạnh BC tại điểm N sao cho BM=DN. Gọi I là giao điểm của BM và DN. Chứng minh khoảng cách từ A đến BM bằng khoảng cách từ A đến D N. Nhận xét Đối với bài toán này nếu không dùng phương pháp sử dụng diện tích thì khó mà giải quyết được. Nhưng để phát hiện ra bài toán này phải dùng phương pháp sử dụng diện tích để chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau lại càng khó hơn. Giáo viên phải gợi mở cho học sinh thấy rằng giả thiết đã có BM=DN mà phải chứng minh khoảng cách từ A đến BM và DN bằng nhau lại có hai tam giác BAM và tam giác DAN không thể bằng nhau được. Vậy phải chăng Đó là điều mà người muốn giải quyết bài toán phải nghĩ tới. lời giải ( theo hình 1) A B C D N M F E I kẻ EF đi qua M là EF vuông góc với BC thì Vậy Hình 1 Tương tự qua N kẻ PQ AB . Ta cũng chứng minh được diện tích tam giác AND bằng một nửa diện tích hình bình hành ABCD Vậy Suy ra 2 đường cao hạ từ A tới BM, hạ từ A xuống DN bằng nhau ( vì hai đáy BM = DN theo giả thiết) Ví dụ 2 Cho tam giác ABC, trung tuyến AM, một đường thẳng song song với cạnh BC cắt các cạnh AB, AC và trung tuyến AM lần lượt tại D,E,F. Chứng minh rằng FD = FE. Nhận xét Bài này có thể giải bằng nhiều cách khác nhau nhưng ở đây tôi xin phép trình bầy phương pháp sử dụng diện tích để chứng minh. Lời giải (theo hình 2) Hạ DK và EH vuông góc với AM (K,H AM). Ta có SABM = SACM (1) (có chung đường cao và hai đáy bằng nhau BM = MC). SDBM = SECM (2) (Có đường cao DI = EN và hai đáy bằng nhau). Từ (1) và (2) suy ra SABM - SDBM = SACM - SECM hay SADM = SAEM. Hình 2 mà tam giác ADM và tam giác AEM có chung đáy AM nên hai đường cao thuộc đáy AM bằng nhau tức là: DK = EH. Mặt khác tam giác DKF và EHF có K= H = 900; DK = EH (chứng minh trên) KDF = HEF (so le trong do DK // EH ) Do đó DKF = EHF (g.c.g) FD = FE. 2. Phương pháp 2 Sử dụng diện tích để chứng minh 3 điểm thẳng hàng. Ví dụ Cho tam giác ABC, Trung tuyến AM. Một đường thẳng song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng BE và CD cắt nhau trên AM. Lời giải: (theo hình 3) Gọi giao điểm của AM với DE là F. Theo ví dụ 2 ở phương pháp 1 thì FD = FE Suy ra SBDFM = SBFD + SBFM = SCFE + SCFM = SCEFM (1) Gọi giao điểm của BE và CD là I, nối IF, IM ta có : SDIF = SEIF ( Vì FD = FE ) Và SBIM = SCIM hình 3 SBDI = SCEI ( Do SBDC = SCEB ) Suy ra SBDFIM = SCEFIM Hay đường gấp khúc FIM chia đôi diện tích hình thang BDEC (2) Từ (1) và (2) suy ra: SFIM = 0 Suy ra F, I, M thẳng hàng suy ra I thuộc FM Lưu ý Để chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp sử dụng diện tích ta phải chứng minh tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm ấy có diện tích bằng 0. 3. Phương pháp 3 Sử dụng diện tích hình học để chứng minh hai đường thẳng song song ví dụ 1 Cho hình bình hành ABCD. Các điểm E,F,G,H thứ tự thuộc các cạnh AB,BC,CD,DA sao cho EG không song song với AD. Cho biết diện tích EFGH bằng nửa diện tích hình bình hành. Chứng minh FH//CD. Nhận xét A B D C F G M H E Đối với bài toán này thì từ giả thiết diện tích EFGH bằng nửa diện tích hình bình hành thì người giải toán có thể nhận ra ngay được sử dụng phương pháp diện tích để chứng minh. Nhưng chưng minh như thế nào? vận dụng diện tích như thế nào? để có được FH//CD . đó là một vấn đề hơi khó Lời giải: (theo hình 4) Kẻ EM // AD ( M CD ) Nối F với H; H với M; F với M Gọi khoảng cách giữa hai đường thẳng song song EM và AD là h thì : Hình 4 suy ra Mà AD=EM (vì AEMD là hình bình hành do có EM//AD; AE//MD) Vậy Lại có Tương tự ta cũng có Từ biểu thức (1) và (2) suy ra Vậy Mà (theo giả thiết) Þ SEFMH = S EFGH Þ S FGH = S FMH (Vì có phần chung là tam giác EFH ) Þ khoảng cách từ G và M đến HF bằng nhau Þ HF // CD Ví dụ 2 Cho tam giác ABC , một đường thẳng song song với BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại D và E. Qua D ,E lần lượt kẻ các đường thẳng song song với AC , AB cắt BE, DC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng MN // BC Lời giải (theo hình 5) Hình 5 gọi I là giao điểm của BE và CD vì EN // AB nên SBEN = SDEN(1), (Vì chung đáy EN và có đường cao thuộc EN bằng nhau) mà SBIN = SBEN - SIEN (2) SDIE = SDEN - SIEN (3) Từ (1),(2)Và(3) SBIN = SDIE (4) Ttương tự SCIM = SDIE (5) Từ (4) và (5) SBIN = SCIM mặt khác SBMN = SBIN - SMIN SCMN = SCIM - SMIN do đó SBMN = SCMN hai đường cao BH và CK tương ứng thuộc MN bằng nhau Nên BHKC là hình chữ nhật do đó MN // BC Ví dụ 3 Cho tam giác ABC có AB = 4cm; BC = 5cm; AC = 6cm. Gọi I là giao điểm của các phân giác; G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng IG//BC Lời giải (theo hình6) Ta có SGBM = 1/3 SABM (Vì 2 tam giác có chung đường cao thuộc AM và đáy GM =1/3 AM). Tương tự SGCM =1/3 SACM nên SGBM + SGCM = 1/3(SABM+ SACM) = 1/3 SABC tức là SGBC =1/3SABC (*) Kẻ ID vuông góc với AB, IK Vuông góc với BC; IE vuông góc với AC thì ID = IK = IE đặt chúng bằng r ta có :SIBC = 1/2 BC.IK = 1/2.5.r = 2,5r (1). mà SABC = SIBC + SICA + SIAB = 1/2BC.IK + 1/2CA.IE + 1/2AB.ID =2,5.r + 1/2.6.r +1/2.4.r = 2,5r + 3r + 2r = 7,5r (2). Từ (1) và (2) suy ra SIBC = 1/3SABC (**). Từ (*) và (**) suy ra SIBC = SGBC kẻ GH vuông góc với BC thì IK và GH lần lượt là các đường cao của tam giác IBC và tam giác GBC nên IK = GH suy ra tứ IGHK là hình chữ nhật (vì có IK song và bằng GH; góc K bằng 1V) Hình 6 Suy ra IG//KH mà K, H thuộc BC suy ra IG//BC. 4. phương pháp 4 dùng diện tích hình học để chứng minh ba đường thẳng đồng quy. Ví dụ Chứng minh trong một tam giác ba đường trung tuyến đồng quy và điểm đồng quy chia mỗi trung tuyến theo tỉ số 2/3 kể từ đỉnh. Lời giải (theo hình 7) Gọi G là giao điểm của trung tuyến BE và CF, Nối AG cắt BC tại M. Để chứng minh cho G là giao điểm của 3 trung tuyến , ta chứng minh cho AM cũng là trung tuyến của tam giác ABC tức là chứng minh MB = MC ta có SABE = SACF =1/2SABC Hình 7 suy ra SBGF = SCGE suy ra SAGF = SBGF = SCGE = SAGE suy ra SABG = SACG (1) hạ các đường vuông góc BH, CK với AM ta có BH = CK (do 1) suy ra SBGM = SCGM suy ra BM = CM nên AM là trung tuyến của tam giác ABC. Mặt khác SABG = 2SAGE suy ra BG = 2GE hay BG/BE = 2/3 tương tự ta có AG/AM = CG/CF = 2/3. 5 . Phương pháp 5 Dùng phương pháp diện tích hình học để chứng minh một số hệ thức. Ví dụ 1 Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm M bất kỳ ở miền trong của một tam giác đều đến 3 cạnh không phụ thuộc vị trí của điểm ấy. Nhận xét Nếu bài toán này không sử dụng diện tích để chứng minh thì rất khó mà giải quyết được . Khi sử dụng diện tích của tam giác thì bài toán trở nên rất đơn giản. A C B E F D Lời giải (theo hình 8) Gọi độ dài các cạnh tam giác là a , đường cao là h. Thì Sabc = S AMB +S BMC + SCMA = = Vậy Sabc= hình 8 Mà = Þ MD+ME+MF = h không đổi Ví dụ 2 Bên trong tam giác ABC lấy một điểm O tuỳ ý, tia AO, BO, CO cắt BC, CA, AB tại D, E, F. Chứng minh Lời giải (theo hình 9) Vẽ OK ; AH Suy ra OK // AH Hình 9 mà Nên Tương tự : ; Do đó: hình 9 suy ra Suy ra: 1- Suy ra: Ví dụ 3 Cho hình bình hành ABCD. Các điểm M, N, theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC sao cho AM = CN. Gọi K là giao điểm của AN và CM . Kẻ DH vuông góc với KA; DI vuông góc với KC. Chứng minh : DH . AN = DI . CM Lời giải (theo hình 10) Vì DH ; DI nên ta có : DH . AN = 2 S(1) DI . CM = 2S (2) Mà S = hình 10 (Vì tam giác AND và hình bình hành ABCD có chung đáy AD và đường cao tương ứng bằng nhau) . Tương tự S Nên S (3) Từ (1), (1) và (3) suy ra : DH . AN = DI . CM ví dụ 4 Cho tam giác ABC, O là điểm bất kỳ nằm trong tam giác, các tia AO,BO,CO cắt các cạnh BC,CA,AB lần lượt tại các điểm P,Q,R. Chứng minh rằng: Lời giải. P C R Q Gọi S,S1,S2,S3 lần lượt là diện tích các tam giác ABC, BOC,COA,AOB. Đặt S1=x2, S2=y2,S3=z2(x,y,z lớn hơn 0) Ta được S=x2+y2+z2 suy ra : B hình 11 Tương tự ta có: Do đó Lại có Tương tự ta được: 6. Phương pháp 6 Sử dụng diện tích để chứng minh một số bài toán cực trị trong hình học. Các bài toán cực trị trong hình học thường được trình bày theo hai cách: Cách 1: Chỉ ra một hình rồi chứng minh hình đó có đại lượng cần tìm cực trị lớn hơn hoặc nhỏ hơn yếu tố của mọi hình khác. Cách 2: Thay điều kiện một đại lượng cực trị bằng các điều kiện tương đương, cuối cùng dẫn đến điều kiện xác định được vị trí các đại lượng hình học để đạt cực trị . ví dụ 1 cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, lấy điểm M tùy ý trên đường chéo AC, kê ME AB, MF BC . Xác định vị trí của M trên đường chéo AC để diện tích tam giác DEF nhỏ nhất. Tìm giá trị đó? Lởi giải: (theo hình 12) (Chung đáy EM , đường cao bằng nhau) (Chung đáy FM, đường cao bằng nhau) Þ = Vậy nhỏ nhất khi và chỉ khi BE.BF lớn nhất hình 12 Do BE+BF = a (vì EM = AE = BF do tam giác AEM vuông cân) Þ BE.BF lớn nhất ( đây là hai số dương có tổng không đổi tích lớn nhất khi 2 số bằng nhau) Khi đó M là trung điểm của AC Và Ví dụ 2 a, Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi. Hình nào có diện tích lớn nhất? b, Trong các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình nào có chu vi nhỏ nhất ? Lời giải Gọi các kích thước của hình chữ nhật là a, b ( a, b > 0 ). Ta có : ( a - b )2 0 a2+ b2 2ab ( a + b )2 4ab a, Vì chu vi của hình chữ nhật không đổi nên a + b là hằng số. Do đó ab lớn nhất a = b . Vậy hình vuông có diện tích lớn nhất b, Vì diện tích hình chữ nhật không đổi nên ab là hằng số. Do đó a + b nhỏ nhất a = b. Vậy hình vuông có chu vi nhỏ nhất. Ví dụ 3 Cho tam giác nhọn ABC . M là một điểm thay đổi trên cạnh BC. Hãy xác định vị trí của điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ B và C đến đường thẳng AM là: a, Nhỏ nhất b, Lớn nhất Lời giải (theo hình 13) Kẻ AH ; BE ; CF Ta có: SABC = SAMB + S AMC = hình 13 Hay AM ( BE + CF ) = 2 SABC không đổi nên : a, BE + CF nhỏ nhất AM lớn nhất nên có 2 khả năng xảy ra : - Nếu AB AC thì AM lớn nhất bằng AB và M khi đó tổng BE + CF bằng độ dài đường cao hạ từ đỉnh C xuống cạnh AB. - Nếu AC AB thì AM lớn nhất bằng AC và M , khi đó tổng độ dài BE + CF bằng độ dài đường cao hạ từ đỉnh B xuống cạnh AC. b, BE + CF lớn nhất AM nhỏ nhất. Vì AM AH nên AM Min AM = AH M . Khi đó E và F cũng trùng với H. Nên tổng BE + CF nhận giá trị lớn nhất bằng BC.