Một số ứng dụng của bất đẳng thức Côsi

Một Số ứNG DụNG CủA BấT ĐẳNG THứC CÔ SI ứNG DụNG 1: Chứng minh bất đẳng thức Bài toán số 1. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng *Phân tích: Vế trái chứa a, b, c > 0 và các nghịch đảo của chúng. Vì vậy ta nghĩ đến việc dùng bất đẳng thức Côsi. Lời giải: Cách 1: áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các bộ số a, b, c và ta có: Nhân từng vế của hai bất đẳng thức trên ta được: (đpcm). Cách 2: Dấu "=" xảy ra Bài toán số 1.1 Chứng minh các bất đẳng thức: a. (a, b, c > 0) b. Bài toán số 1.2 Chứng minh rằng: a. áp dụng BĐT Côsi cho 2 số x2 +1 và 1. b. > 1. áp dụng BĐT Côsi cho 2 số x - 1 và 9. c. áp dụng BĐT Côsi ta có Nhân từng vế của 2 BĐT trên ta suy được đpcm. Bài toán số 1.3 Chứng minh rằng: a. b. áp dụng BĐT Côsi cho 6 số . Bài toán số 1.4 a. n số dương a1, a2, ..., an. Chứng minh rằng: b.Nếu a1, a2,...., an dương và a1a2...an = 1 thì a1+ a2 +...+ an áp dụng BĐT Côsi cho n số dương trên) Bài toán số 2. Chứng minh bất đẳng Netbit > 0. Giải. Đặt x= b + c, y = a + c, z = a +b Khi đó x, y, z > 0 và Ta có: Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x= y= z. Cách khác: Khai thác bài toán: Bằng cách tương tự, ta có thể chứng minh được các bất đẳng thức sau: với a, b, c dương ta có: Bài toán số 2.2. Cho x, y > 0. Chứng minh rằng (1) Phân tích: Do x, y > 0 nên BĐT (1) có thể suy ra từ BĐT Côsi hoặc xét hiệu. Giải Cách 1: Sử dụng BĐT Côsic cho 2 số dương x, y: Cách 2. Xét hiệu của 2 vế: (2) Do x > 0, y > 0 nên BĐT (2) luôn đúng. Vậy (1) luôn đúng. (đpcm) Khai thác bài toán: Ta thấy BĐT trên có liên quan đến việc cộng mẫu nên có thể sử dụng để chứng minh BĐT sau: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác, chứng minh rằng: trong đó Bài tập tương tự: Bài 1. Chứng minh rằng: Bài 2. Cho a, b, c, d là các số dương. Chứng minh rằng: Bài 3. Cho . Chứng minh rằng: Bài 4. Cho a > 0, b > 0, c > 0. Chứng minh: Bài 5. Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng: Bài 6. Cho a, b > 0. Chứng minh rằng: Bài 7. Cho x, y > 0. Chứng minh rằng: Bài 8. Cho x, y ≠ 0. Chứng minh rằng: Bài 9. Cho a, b > 0. Chứng minh rằng: áp dụng bất đẳng thức Côsi để chứng minh BĐT trong tam giác Bài toán số 3. Cho a, b, c là độ dài cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: Giải: Cách 1. đặt x = b + c – a; y = a + c - b; z = a + b – c. Khi đó x, y, z > 0 và Vế trái: Dấu bằng xảy ra Cách 2. Nhận xét: Do a, b, c, là độ dài 3 cạnh của tam giác nên ta có: a + b - c > 0; a + c –b > 0; b + c - a > 0 áp dụng BĐT Côsi cho các cặp số dương: Nhận thấy các vế của BĐT trên là các số dương và 3 BĐT này cùng chiều, nhân từng vế của chúng ta được: Ta có: Bài tập 3.1. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác ABC, Chứng minh rằng: (*) Giải Vì để chứng minh (*) ta cần chứng minh: (1) Thật vậy: Ta có: (đpcm) Bài tập 3.2. Chứng minh rằng (*) Trong đó a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Giải Ta có Thật vậy: Luôn đúng suy ra (1) đúng Tương tự: Do đó: Mà: (4) Do: Từ (3) và (4) suy ra điều phải chứng minh. Các bài tập khác: Bài tập 3.3 Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác và có chu vi là 2. Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + 2abc < 2. Bài tập 3.4 Cho a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh rằng: Bài tập 3.5 Giả sử a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh rằng: Bài tập 3.6 Giả sử a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh rằng Bài tập 3.7. Cho a, b, c, d > 0 và a + b + c + d = 1 Chứng minh rằng: ứNG DụNG 2: ứng dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị * Với a 0, b 0 ta có , dấu “=” xảy ra a = b * Với n số không âm: a1 , a2 , , an ta có: Dấu “=” xảy ra a1 = = an * Từ BĐT trên ta suy ra: + Nếu a.b = k (const) thì min(a + b) = 2 a = b + Nếu a + b = k (const) thì max(a.b) = a = b * Mở rộng đối với n số không âm: + Nếu a1.a2an = k (const) thì min(a1 + a2 + + an) = n a1 = a2 = = an + Nếu a1 + a2 + + an = k (const) thì max(a1.a2an) = a1 = a2 = = an Ví dụ: Cho x > 0, y > 0 thoả mãn: Tìm GTNN của A = Bài làm: Vì x > 0, y > 0 nên > 0, > 0, > 0, > 0 . Ta có: Vậy min A = 4 x = y = 4 Nhận xét: Trong ví dụ trên ta đã sử dụng BĐT Côsi theo 2 chiều ngược nhau: + Dùng để dùng điều kiện tổng từ đó được + Dùng “làm giảm” tổng để dùng kết quả Không phải lúc nào ta cũng có thể dùng trực tiếp BĐT Côsi đối với các số trong đề bài. Ta có một số biện pháp biến đổi một biểu thức để có thể vận dụng BĐT Côsi rồi tìm cực trị của nó: * Cách 1: Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực trị của bình phương biểu thức đó. Ví dụ: Tìm GTNN của A = Bài giải Điều kiện: Ta có: A2 = ( 3x – 5 ) + ( 7 – 3x ) + 2 A2 ( 3x – 5 + 7 – 3x ) + 2 = 4 Dấu “=” xảy ra 3x – 5 = 7 – 3x x = 2 Vậy max A2 = 4 max A = 2 x = 2 Ta thấy A được cho dưới dạng tổng của 2 căn thức. Hai biểu thức lấy căn có tổng không đổi (bằng 2). Vì vây, nếu bình phương A sẽ xuất hiện hạng tử là 2 lần tích của 2 căn thức. Đến đây có thể vận dụng BĐT Côsi * Cách 2: Nhân và chia biểu thức với cùng một số khác 0 Ví dụ: Tìm GTLN của A = Bài giải: Điều kiện: x 9. Ta có: Dấu “=” xảy ra Vậy max A = Trong cách giải trên, x – 9 được biểu diễn thành khi vận dụng BĐT Côsi tích này trở thành nửa tổng: có dạng kx có thể rút gọn cho x ở mẫu. ( số 3 được tìm bằng cách lấy , số 9 có trong đề bài) * Cách 3: Biến đổi biểu thức đã cho thành tổng của các biểu thức sao cho tích của chúng là một hằng số. Ví dụ 1: ( Tách một hạng tử thành tổng của nhiều hạng tử bằng nhau) Cho x > 0, tìm GTNN của A = Bài giải A = = A 4.2 = 8 ( dấu “=” xảy ra ) Vậy min A = 8 khi x = 2 Ví dụ 2: (Tách một hạng tử chứa biến thành tổng của một hằng số với một hạng tử chứa biến sao cho hạng tử này là nghịch đảo của một hạng tử khác có trong biểu thức đã cho) Cho 0 < x < 2, tìm GTNN của A = Bài giải Dấu “=” xảy ra Vậy min A = 7 Trong cách giải trên ta đã tách thành tổng . Hạng tử nghịch đảo với nên khi vận dụng BĐT Côsi ta được tích của chúng là một hằng số. * Cách 4: Thêm một hạng tử vào biểu thức đã cho Ví dụ: Cho x, y, z > 0 thoả mãn: x + y + z = 2 Tìm GTNN của P = Bài giải Vì x, y, z > 0 ta có: áp dụng BĐT Côsi đối với 2 số dương và ta được: (1) . Tương tự ta có: Cộng (1) + (2) + (3) ta được: Dấu “=” xảy ra Vậy min P = 1 Nhận xét: Ta đã thêm vào hạng tử thứ nhất có trong đề bài, để khi vận dụng BĐT Côsi có thể khử được (y + z). Cũng như vậy đối với 2 hạng tử còn lại của đề bài. Dấu đẳng thức xảy ra đồng thời trong (1), (2), (3) Nếu ta lần lượt thêm (y + z), (x + z), (x + y) vào thì ta cũng khử được (y + z), (x + z), (x + y) nhưng điều quan trọng là không tìm được các giá trị của x, y, z để dấu của các đẳng thức đồng thời xảy ra, do đó không tìm được GTNN của P. áp dụng các cách trên cùng với việc sử dụng BĐT Côsi ta có các ví dụ khác như sau: VD 1: Cho a, b, c > 0 thoả mãn: a + b + c = 1 Tìm GTLN của P = Phân tích: a, b, c > 0 Do đó có thể khai triển P rồi ước lượng theo BĐT Côsi Bài giải Cách 1: áp dụng BĐT Côsi cho 3 số dương ta có: (1) Mặt khác: (2) (1) + (2) ta có: . Vậy min P = 64 Cách 2: Tổng quát: cho S = a + b + c tìm GTLN của P = VD 2: Tìm GTLN của B = Bài giải max B = VD 3: Cho 2 số dương x, y có x + y = 1 Tìm GTNN của B = Bài giải Ta có: B = = 1 + Vậy min B = 9 VD 4: Cho x, y, z > 0 thoả mãn: Tìm GTNN của P = xyz Bài giải Ta có: Tương tự: Vậy max P = VD 5: Cho M = 3x2 – 2x + 3y2 – 2y + 6 |x| + 1 Tính giá trị của M biết x, y là 2 số thoả mãn x.y = 1 và biểu thức |x + y| đạt GTNN. Bài giải: Ta có: Min |x + y| = 2 khi x = y, khi đó Khi x = y = 1 hoặc x = y = - 1 + Khi x = y = 1 thì M = 9 + Khi x = y = - 1 thì M = 17 VD 6: Cho các số thực không âm a1, , a5 thoả mãn: a1 + + a5 =1 Tìm GTLN của A = a1a2 + a2a3 + a3a4 + a4a5 Bài giải Ta có: A = a1a2 + a2a3 + a3a4 + a4a5 (a1 + a3 + a5)(a2 + a4) Vậy max A = VD 7: Cho a, b > 0. Tìm GTNN của A = ( x > 0) Bài giải . Dấu “=” xảy ra VD 8: Tìm GTNN của hàm y = với 0 < x < 1 Bài giải Ta có: y = ( 0 < x < 1) = Dấu “=” xảy ra VD 9: Cho a, b > 0 cho trước. Các số x, y > 0 thay đổi sao cho Tìm x, y để S = x + y đạt GTNN. Tìm min S theo a, b. Bài giải Ta có: Mà VD 10: Tìm GTNN của P = Bài giải Ta có: P = = Suy ra min P = 64 x = 1 hoặc x = - 3 Bài tập tương tự BT 1: Cho x, y > 0 thoả mãn x. y = 1. Tìm GTLN của A = BT 2: Tìm GTLN của các biểu thức sau: BT 3: Cho a, b, c > 0 thoả mãn . Tìm GTLN của biểu thức Q = abc. BT 4: Cho x, y > 0 thoả mãn x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức P = BT 5: Tìm GTNN của các biểu thức sau: BT 6: Cho x, y > 0 thảo mãn . Tìm GTNN của biểu thức E = BT 7: Tìm GTLN và GTNN của A = BT 8: Tìm GTLN của A = biết BT 9: Cho a, b > 0 thoả mãn a. b = 216 Tìm GTNN của S = 6a + 4b BT 10: Cho a, b > 0 thoả mãn . Tìm GTNN của A = BT 11: Cho a, b > 0 thoả mãn . Tìm GTNN của S = BT 12: Cho x, y, z 0 thoả mãn xy + yz + zx = 100. Tìm GTNN của A = xyz BT 13: Với giá trị nào của a thì tích xy nhận GTLN nếu x, y, a là các số thực thoả mãn BT 14: Tìm GTNN của A = biết a > 0, x > 0 BT 15: Với giá trị nào của số dương a thì biểu thức D đạt GTNN ? A = BT 16: Tìm GTNN của C = BT 17: Tìm GTLN của E = BT 18: Tìm GTLN của tích Biết và BT 19: Tìm GTLN của B = BT 20: Tìm GTNN của N = biết rằng x, y > 0 BT 21: Tìm GTLN của H = với BT 22: Tìm GTLN của biểu thức: P = Với mọi x, y, z biến đổi nhưng luôn thoả mãn BT 23: Tìm GTNN của ; BT 24: Tìm GTLN của BT 25: Tìm GTLN của với x > 1