Một số ứng dụng toán học trong vật lí

-Vật lý là môn khoa học thực nghiệm, các định luật, công thức vật lý được xây dựng trên bi ểu thức toán học phù hợp với kết quả thực nghiệm. -Để xác định các đại lượng vật lý, giải thích sự thay đổi các đại lượng vật lý,giải thích các hiện tượng vật lý nhất thiết phải dùng các công thức toán học như các hàm số sơ cấp, hàm siêu việt, phép tính đạo hàm, tích phân -Việc sử dụng toán học có ý nghĩa và hiệu quả vào bài toán vật lý vẫn là chuyện khó đối với học sinh phổ thông và giáo viên mới ra trường. Làm thế nào để học sinh hiểu phương pháp sử dụng để giải quyết vấn đề quen thuộc, tiết kiệm được thời gian và vận dung linh hoạt vào bài toán lạ. -Sau đây chỉ là một số phương pháp đơn giản để giải quyết 1 phần của vấn đề khó mà các em học sinh được bồi dưỡng để ôn tập trong các kỳ thi học kỳ, tốt nghiệp, đại học, học sinh giỏi

pdf21 trang | Chia sẻ: lylyngoc | Lượt xem: 3871 | Lượt tải: 1download
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Một số ứng dụng toán học trong vật lí, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Trang 1 Tên đề tài A. ĐẶT VẤN ĐỀ CHUNG: -Vật lý là môn khoa học thực nghiệm, các định luật, công thức vật lý được xây dựng trên biểu thức toán học phù hợp với kết quả thực nghiệm. -Để xác định các đại lượng vật lý, giải thích sự thay đổi các đại lượng vật lý, giải thích các hiện tượng vật lý nhất thiết phải dùng các công thức toán học như các hàm số sơ cấp, hàm siêu việt, phép tính đạo hàm, tích phân … -Việc sử dụng toán học có ý nghĩa và hiệu quả vào bài toán vật lý vẫn là chuyện khó đối với học sinh phổ thông và giáo viên mới ra trường. Làm thế nào để học sinh hiểu phương pháp sử dụng để giải quyết vấn đề quen thuộc, tiết kiệm được thời gian và vận dung linh hoạt vào bài toán lạ. -Sau đây chỉ là một số phương pháp đơn giản để giải quyết 1 phần của vấn đề khó mà các em học sinh được bồi dưỡng để ôn tập trong các kỳ thi học kỳ, tốt nghiệp, đại học, học sinh giỏi … B.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG: Bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một đại lượng vật lý khi có một đại lượng vật lý khác thay đổi… khảo sát sự biến thiên của chúng thường gặp ở bài toán điện 1 chiều và xoay chiều. 1.Các phương pháp thực hiện: +Chọn đối số và lập luận hàm số y=f(x) +Dùng 1 trong các phương pháp sau đây để giải a.Phương pháp 1: Dùng bất đẳng thức Côsi: Nội dung: +Áp dụng cho 2 số dương a,b a + b  2. ba.          2 ).( .)( max min baba baba dấu “=” xảy ra khi a=b +Áp dụng cho n số hạng n n n aaa n aaa .... ... 21 21   dấu bất đẳng thức xảy ra khi a1=a2= … = an b.Phương pháp 2: +Dùng định lý hàm số sin trong tam giác: C c B b A a sinsinsin  +Định lý hàm số cosin trong tam giác: a2 = b2 + c2 + 2.b.c.cos .b c   c.Phương pháp 3: Dựa vào hàm số bậc 2: y= f(x)= ax2 + bx + c (a0) +a>0 thì ymin = 24 4 4 ac b a a    khi x= 2 b a  +a<0 thì ymax = 24 4 4 ac b a a    khi x= 2 b a  +Đồ thị: ymin 0 -b/2a ymax 0 -b/2a y x a>0 y x a<0 Trang 2  2 x b a 0 f(b) f(a) y d.Phương pháp 4: Dùng đạo hàm. Nội dung: +Hàm số y=f(x) có cực trị khi f’(x)=0 +Giải phương trình f’(x) = 0 +Lập bảng biến thiên tìm cực trị. +Vẽ đồ thị nếu đề bài yêu cầu khảo sát sự biến thiên. e.Ngoài các phương pháp trên còn có một số phương pháp khác để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một đại lượng vật lý. Tùy theo biểu thức của đại lượng vật lý có dạng hàm số nào mà áp dụng bài toán để giải. Ví dụ: Có những hàm số không có cực trị, chỉ có tính đồng biến hoặc nghịch biến ta tìm được giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong miền nào đó. Trong đoạn: [a,b] f(b) lớn nhất khi x=b f(a) nhỏ nhất khi x=a. Sau đây là một số bài toán tiêu biểu áp dụng cho phương pháp 1. 2.Vấn đề 1: Bài toán 1: Cho 2 điện tích điểm cùng dấu (điện tích dương) q1= q2 = q đặt tại hai điểm A và B cách nhau 2R. a.Xác định cường độ điện trường tổng hợp tại M nằm trên đường trung trực và cách AB một đoạn x. b.Định vị trí M để EM cực đại, cực tiểu. Cách làm: a.Xác định EM: Cường độ điện trường tổng hợp tại M do hai điện tích gây ra. M A BE E E     Độ lớn:EA = EB = 2 2 2 . .k q k q AM R x   (với AM2= 2 2R x ) Vì , 2A B A B E E E E       EM = 2.EA.cos Trong tam giác vuông AOM: cos = 2 2 x x AM R x   thay vào EM = 32 2 2 2 . . ( ) k q x R x b.Định vị trí M để EM cực đại: Đặt y= 32 2 2( ) x R x EM= 2kq.y EM cực đại khi ymax. Dùng bất đẳng thức côsi để tìm ymax như sau: +Tách R2 + x2 thành 3 số không âm: 2 2 R , 2 2 R , x2. 2 2 R + 2 2 R + x2 ≥ 3 2 2 23 . . 2 2 R R x Lũy thừa 3 hai vế: ( 2 2 R + 2 2 R + x2 )3 ≥ 27( 2 2 R . 2 2 R .x2) Lấy căn bậc hai 2 vế: 3 2 2 2 2 23 3 . . 2 2 2 R R x R x         Trang 3  2  2 Chuyển vế: 32 2 2 2 2 3 3. ( ) x y R R x    y 2 2 3 3R  ymin = 2 2 3 3.R khi 2 2 2 R x x= 2 R  (có 2 điểm M nằm đối xứng nhau qua O)tam giác AMB vuông cân tại M thay vào: (EM) max = 2 4. 3 3 kq R Định vị trí M để EM cực tiểu Nhìn vào biểu thức EM ta thấy (EM)min=0 khi x=0, lúc này M trùng O  Nhận xét 1: Qua một bài toán trên nếu tại M ta đặt điện tích thử q0. Tìm vị trí M để lực tĩnh điện tác dụng lên q0 cực đại cực tiểu thì cách làm cũng tương tự áp dụng cho biểu thức lực tổng hợp tại M. FM = q0. EM. Biểu thức cho thấy (EM) max thì (FM) max  Nhận xét 2: Nếu ta cho điện tích q quay 1 2 vòng tròn đường kính 2R bài toán trở thành xác định ME  tại M do vòng dây dẫn mãnh có đường kính 2R mang điện tích dương + Q gây ra. Cách làm: ta thay 2 điện tích điểm thành q nằm đối xứng xuyên tâm tính M A BE E E       32 2 2 .2 .2 .cos ( ) M A k q xE E R x        Cường độ điện trường tổng hợp của cả vòng dây gây ra tại M. M ME E    Độ lớn: 3 32 2 2 22 2 . .2 2 ( ) ( ) M M k x q kxE E q R x R x            2 q = Q 32 2 2 . . ( ) M k x QE R x   Việc đi tìm (EM)max, (EM)min giống như trên. Hình vẽ chỉ cần thay bằng vectơ AE  , BE  , ME  Nhận xét 3: không áp dụng được cho điện thế tại M do 2 điện tích điểm gây ra hoặc vòng dây gây ra vì điện thế là đại lượng vô hướng. Áp dụng được cho cảm ứng từ B  của dòng điện. Từ hình vẽ nếu ta xem hai điện tích dương tại A và B là 2 dòng diện cùng chiều, cùng độ lớn chạy trong hai dây dẫn song song M là điểm nằm trong mặt phẳng vuông góc hai dây dẫn nằm trên đường trung trực AB cách AB một đoạn x. Cảm ứng từ tổng hợp tại M. 1 2MB B B     B1= B2 = 2. 7 7 2 2 10 . 2.10 .I I AM R x    Trang 4 ,r 1 2 1 2 2 B B B B      BM=2B1.cos = 4. 7 7 22 2 . 4.10 .10 . I x I RR x x x      (với cos= 2 2 x R x ) Tìm (BM)max, (BM)min ở biểu thức này đơn giản hơn. 3.Vấn đề 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm công suất P theo biến trở R. Phương pháp thường dùng là bất đẳng thức Côsi hay hàm số bậc 2 phù hợp cho học sinh khối 11. Bài toán 2: Cho mạch điện hình vẽ. Nguồn điện có , r mạch điện ngoài R1 và biến trở x thay đổi được. a.Tính x để công suất tiêu thụ mạch ngoài cực đại. Tính Pmax. b.Tính x để công suất tiêu thụ trên biến trở x cực đại. Tính Pxmax. Giải: a.Tính x để Pmax: Công suất tiêu thụ mạch ngoài P= (R + x) I2. Mà I= R x r    P= 2 2 ( ). ( ) R x R x r    (1) Chia tử và mẫu cho R+x: P = 2 2( )rR x R x     Vì tử số của P là hằng số, Pmax khi mẫu cực tiểu. Theo bất đẳng thức Côsi: rR x r R x     min rR x r R x         rR x R x     R + x = r  x = r – R Thay x vào (1): Pmax = 2 4r  b.Tính x để Pxmax : Công suất tiêu thụ trên x: Px = x.I2 = 2 2 . ( ) x R x r    Px = 2 2( )R rx x    (2) Lý luận tương tự: Pxmax khi R rx x   x = R + r Thay vào (2): Pxmax =   2 4 R r   Bài toán 3: Cho mạch điện hình vẽ: ,r  Trang 5  = 16V; r = 4 ; R2 = 6; R3 = 2. Tìm điện trở của biến trở R1 để: a.Công suất mạch ngoài cực đại. b.Công suất tiêu thụ ở R3 cực đại. c.Công suất tiêu thụ ở R2 cực đại. d.Công suất tiêu thụ ở R1 cực đại. Cách làm: a.Tính R1 để Pmax: Công suất tiêu thụ mạch ngoài. P = Rtđ . I2 với Rtđ = R3 + 1 2 1 2 R R R R P = 2 2 td 2 td td td R . r(R r) ( R ) R      Mẫu số có hai tích số không đổi. Theo bất đẳng thức Côsi tổng nhỏ nhất khi td td rR R   tdR = r  R3 + 1 2 1 2 R R R R = r Giải ra R1 = 3 Pmax = 2 4r  = 16w b.Công suất tiêu thụ trên R3 cực đại: P3 = R3. I2 = 2 3 2 3 12( ) R R R r    P3max khi R12 = 0  1 1 6 6 R R  = 0  R1= 0 P3max= 2 3 2 3( ) R R r   =14,2 w c.Công suất tiêu thụ trên R2 cực đại: P2= R2 22I mà I2 = 2 MNU R P2 = 2 2 MNU R UMN = I.R12 = 3 12R R r    .R12 = 3 12 12 1R r R R    với R12 = 1 2 1 2 .R R R R P2 = 2 2 3 2 12 12 1R rR R R         Để P2max thì R12 =   R1 =  P2 = 2 2R  = 42,6 w d.Công suất tiêu thụ trên R1 cực đại: P1 = R1 2 2 2 1 1 2 1 1 MN MNU UI R R R   + I= 3 12R R   với R12 = 1 2 1 1 2 1 6 6 R R R R R R    Trang 6 + I= 1 1 1 1 1 1 16( 6) 4( 6)16 6 8 12 2 32 6 R R R R R R        + UMN = I.R12 = 1 1 1 1 1 1 4( 6) 6 24. (2 3) ( 6) 2 3 R R R R R R      P1 = 1 1 R . 2 2 1 2 1 2 21 1 1 1 24 24 24 32 3 (2 3) (2 ) R R R R R R         Dùng côsi mẫu số: P1max khi R1 = 1,5 P1max = 2 2 1 24 24 4 6R  = 96w Nhận xét: +Ở câu (a) và câu (d) mẫu số là tổng hai số có tích số không đổi nên áp dụng bất đẳng thức côsi được. +Ở câu (b) và (c) mẫu số là hàm số không có cực trị (tích hai số thay đổi) không dùng bất đẳng thức côsi được. +Nếu đề tài đòi hỏi khảo sát sự phụ thuộc của một đại lượng vật lý vào một đại lượng khác ta dùng đồ thị diễn tả. Bài toán 4: Cho mạch điện hình vẽ. Khảo sát sự phụ thuộc các đại lượng sau đây vào biến trở mạch ngoài mắc kín với nguồn điện. a.Cường độ dòng điện trong mạch (số chỉ A) b.Hiệu điện thế ở 2 cực nguồn điện (số chỉ V) c.Công suất tiêu thụ mạch ngoài. d.Công suất của nguồn điện. e.Hiệu suất của nguồn điện. Cách làm: Lập các biểu thức là hàm số theo biến R a.I = R r   có dạng f(x) = a x b hình 1 b.U = R R r   có dạng f(x) = ax x b hình 2 c.P = R.I2 = 2 2( ) R R r   có dạng f(x) = 2( ) ax x b hình 3 d.P = I = 2 R r   có dạng f(x) = a x b hình 4 e. H = P R P R r   có dạng f(x) = x x b hình 5 H R O E r Hình 1 Hình 2 I R U O R P Hình 3 R=r 2 4 E r R PE O O Hình 4 2E r O R Hình 5 1  Trang 7 Nhận xét: Để vẽ đồ thị của hàm sơ cấp đơn giản có tính liên tục không bị gián đoạn đối với giá trị dương của biến trở R ta chọn 2 trong 3 giá trị R. +Chọn R=0 cho điểm đầu (tìm giới hạn R0) +Chọn R= cho điểm cuối (tìm lim x f(x)) +Nếu hàm có cực trị ta tìm cực trị chọn giá trị R nằm ở phần giữa. Đồ thị hàm số qua giá trị này tăng hoặc giảm. Cụ thể hàm số đang tăng qua giá trị R này đạt cực đại, tiếp tục tăng R thì hàm số không tăng nữa mà giảm. Ngược lại hàm số đang giảm qua giá trị R này đạt cực tiểu, tiếp tục tăng R hàm số không giảm nữa mà tăng lên. Bài toán 5: Khảo sát sự phụ thuộc của đại lượng sau vào cường độ dòng điện trong mạch kín. a.Hiệu điện thế ở hai cực của nguồn điện. b.Công suất tiêu thụ mạch ngoài. c.Công suất của nguồn điện. d.hiệu suất của nguồn điện. Trong thực tế thay đổi I bằng cách thay đổi biến trở R. Cách làm: Lập các biểu thức là hàm số theo biến I. a. U = E – rI có dạng f(x) = b – ax. b. P = EI – rI2 có dạng f(x) = bx – ax2. c. PE = EI có dạng f(x) = ax. d. H = 1 E P rI P E   có dạng f(x) = 1 – ax. Đồ thị có dạnh như sau: 4.Vấn đề 3: Ở lớp 12 bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một đại lượng vật lý như số chỉ thay đổi thế nào khi một đại lượng vật lý khác như R, L, C, W thay đổi: học sinh có nhiều kiến thức toán để giải, như dùng đạo hàm để tìm cực trị hàm số. Tuy nhiên phương pháp 1 và 3 vẫn được dùng nhiều hơn vì nó đơn giản. Tóm lại tùy theo dạng bài toán mà dùng phương pháp nào có lợi hơn, dễ nhớ hơn. Sau đây là một số bài tập minh họa điều này. Bài toán 6: Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ: 1.Thay đổi L hoặc C hoặc W để công suất tiêu thụ trên đoạn mạch AB cực đại Cách làm: Công suất tiêu thụ trên mạch I U E O E/r I P O E/2r E/4r I PE O I H O E/r 1 V A W Trang 8 P= (R+r+)I2= 2 2 2 ( ). ( ) ( )L C R r U R r Z Z     Các đại lượng thay đổi đều nằm trong số hạng: (ZL – ZC)2 Để Pmax thì hiệu ZL – ZC =0, mạch có cộng hưởng điện LCw2 = 1  Tính L hoặc C hoặc w Pmax = 2U R r Nếu đề bài đòi hỏi khảo sát sự biến thiên thì ta lập thêm bảng biến thiên để vẽ đồ thị cụ thể như sau: a.P thay đổi theo L. ta khảo sát P theo ZL và để ý ZL = Lw giữa ZL và L quan hệ đồng biến. Bảng biến thiên: ZL 0 ZL=ZC  P 2 2 2 ( ). ( ) C R r U R r Z    2U R r 0 Đồ thị: Đồ thị có tiệm cận ngang là trục hoành b.Thay đổi theo C. Ta khảo sát P theo ZC và để ý ZC = 1 Cw giữa ZC và C quan hệ nghịch biến. Bảng biến thiên: ZC 0 ZC=ZL  P 2 2 2 ( ). ( ) L R r U R r Z    2U R r 0 Đồ thị: c.P thay đổi theo w (hoặc f) Bảng biến thiên: w 0 1w LC   P 0 2U R r 2( ).R r U C L  Đồ thị: ZC ZL ZL P 2U R r O ZL=ZC P 2U R r O ZC=ZL w 1w LC  P 2U R r O Trang 9 Nhận xét: thay đổi L hoặc C hoặc w để công suất tiêu thụ trên R cực đại, công suất tiêu thụ trên cuộn dây cực đại. Công suất tiêu thụ trên R PR=R.I2 = 2 2 2 . ( ) ( )L C RU R r Z Z   Công suất tiêu thụ trên cuộn dây PR=r.I2 = 2 2 2 . ( ) ( )L C r U R r Z Z   Hai biểu thức PR và Pr có dạng giống biểu thức P nên cùng 1 cách làm và dáng điệu của đồ thị như nhau. 2.Bây giờ ta thay đổi R để a.Công suất tiêu thụ trên mạch AB cực đại. b.Công suất tiêu thụ trên R cực đại. c.Công suất tiêu thụ trên cuộn dây cực đại. Cách làm: a.Tính R để Pmax P= 2 2 ( ). ( ) ( )L C R r U R r Z Z     chia tử và mẫu cho R+r P= 2 2( )( ) L C U Z ZR r R r     Dùng Côsi mẫu số: Pmax = 2 2( ) U R r khi R+r = L CZ Z R0=R= L CZ Z - r Khảo sát sự biến thiên của P theo R R 0 R0= L CZ Z - r  P 2 2 2 . ( )L C r U r Z Z  2 2( ) U R r 0 Đồ thị: b.Tính R để PRmax: PR = R.I2 = 2 2 2 . ( ) ( )L C RU R r Z Z   khai triển mẫu rồi chia tử và mẫu cho R PR = R.I2 = 2 2 2 2 . 2 ( )L C RU R Rr r Z Z    = 2 2 2( ) 2L C U r Z ZR r R     Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho mẫu số: PRmax = 2 2( ) U R r khi R0 =R = 2 2( )L Cr Z Z  R P O Pmax R0 Trang 10 Khảo sát PR theo R R 0 R0  PR 0 PRmax 0 Đồ thị: c.Tính R để Prmax: Pr = r.I2 = 2 2 2 . ( ) ( )L C r U R r Z Z   Prmax = 2 2 2 . ( )L C r U r Z Z  khi R=0 Khảo sát Pr theo R R 0  Pr 2 2 2 . ( )L C r U r Z Z  0 Đồ thị: Bài toán 7: Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ Thay đổi C để số chỉ V1 cực đại. Khảo sát số chỉ V1 khi C thay đổi. Số chỉ V1 chỉ U1 = I. Z1 U1= 2 2 2 2( ) L L C U R Z R Z Z    U1max= 2 2 LU R Z R  khi ZL – ZC = 0; C= 2 1 Lw Ta khảo sát U1 theo ZC và để ý ZC = 1 Cw ZC và C nghịch biến. Bảng biến thiên: ZC 0 ZC=ZL  U1 U 2 2 LU R Z R  0 Đồ thị: O R() Pr(w) Prmax O R P PRmax R0 O ZC() U1(v) U1max U ZL=ZC Trang 11 Nhận xét: đại lượng biến thiên C hoặc L nằm ngoài số chỉ vôn kế đều rơi vào trường hợp công hưởng. Nếu đại lượng biến thiên L hoặc C hoặc w nằm trong số chỉ vôn kế bài toán trở nên phức tạp hơn. Bài toán sau đây minh hoạ điều này. Bài toán 8: Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ 1.Thay đổi R để UR cực đại. 2.Thay đổi L để UL cực đại. 3.Thay đổi C để UC cực đại. 4.Thay đổi w lần lượt để UR cực đại, UL cực đại, UC cực đại. Các làm: 1.Trường hợp câu 1: UR = I.R = 2 2 . ( )L C U R R Z Z  UR = 2 2 ( )1 L C U Z Z R   URmax = U khi R =  Đồ thị: 2.Định L để UL cực đại: Cách 1: UL = I.ZL = 2 2 2 2 2 . . ( ) 2 L L L C L L C C U Z U Z R Z Z R Z Z Z Z       Chia tử và mẫu cho ZL và thu gọn: UL= 2 2 2 21( ) 1CC L L U ZR Z Z Z    Đặt x = 1 LZ Hàm y=ax2 + bx +1 với 2 2 2 C C a R Z b Z       UL= U y Để ULmax thì ymin Vì a>0 nên ymin = 4a   khi x = 2 b a  Thay a, b vào: 1 LZ = 2 2 2 2( ) C C Z R Z +ZL = 2 2 C C R Z Z  L +ymin= 2 2 2 2 4 4 C ac b R a R Z     ULmax = 2 2 CU R Z R  Bảng biến thiên: ZL 0  UR(v) O R() U Trang 12 UL 0 2 2 CU R Z R  U Đồ thị: Cách 2: dùng giản đồ vectơ rồi dựa vào phép tính hình học: uAB= uAM + uMN + uNB Dạng vectơ: AB AM MN NBU U U U       R L CU U U U       Vẽ giản đồ theo cách nối tiếp vectơ: AB= UAB = U AM = UR MN = AN’ = UL NB = UC Kẻ AN’ song song MN và bằng MN để tạo thành tam giác ABN’ Dùng định lý hàm số sin: ' sin sin AB AN     sin sin LUU    UL = .sin sin U   Khi L thay đổi góc  không đổi với tg = ' CZNB N N R  sin= sin(900 - ) = cos = 2 2 2 1 1 C R tg R Z    Còn góc  thay đổi ULmax = sin U  khi sin = 1   = 900 tam giác ABN’ vuông tại B ULmax = 2 2 CU R Z R  lúc này góc BAM  tg = L CZ ZMB AM R    cotg = L CZ Z R  L C C Z ZR Z R    LZ = 2 2 C C R Z Z  Cách 3: dùng đạo hàm để tìm cực trị có tính tổng quát cho mọi bài toán Nhận xét: +Ở cách 2 và 3phức tạp và công phu nên dùng kiến thức toán đơn giản như cách 1 +Đối với mạch xoay chiều phức tạp phương pháp hình học ở cách 2 có lợi hơn. 3.Định C để UC cực đại: UC = I.ZC = 2 2( ) C L C UZ R Z Z  Dùng cách 1 giải như câu 2 chỉ cần thay đổi đại lượng ZC = ZL được kết quả. UCmax= 2 2. LU R Z R  khi ZC = 2 2 LR Z R   C    Trục dòng điện ZL() U ZL=ZC O UL(v) ULmax Trang 13 Đồ thị có dạng như câu 2 4.Thay đổi lần lượt w để a.UR cực đại UR = I.R = 2 2 2 2 . . 1( ) ( )L C U R U R R Z Z R L C        URmax = U khi Lw - 1 c = 0 w0 = 1 LC mạch có cộng hưởng điện Bảng biến thiên: w 0 w0= 1 LC UR 0 U 0 Đồ thị: b.Định w để ULmax UL=I.ZL = 2 2 2 2 2 . . ( ) 2 L L L C L C L C U Z U Z R Z Z R Z Z Z Z       UL= 2 2 2 2 2 . . 1 2 U L LR L C C       chia tử và mẫu cho w và thu gọn lại UL= 2 2 2 4 2 . 1 2 1( ) U L LR L C C     Đặt x = 2 1  y= ax2 + bx + d với 2 2 2 1 2 a C Lb R C d L           UL = .U L y ULmax khi ymin Vì a>0 nên ymin = 4a  khi x= 2 b a  Thay các hằng số a,b,d vào ta tính được ULmax= 2 2 2 . 4 U L R LC C R khi w0= 2 1 2 2LC R C  với điều kiện 22L R C  Bảng biến thiên: w 0 w0  O w UR URmax w0 Trang 14 UL 0 ULmax U Đồ thị: c.Định w để UCmax: UC=I.ZC = 2 2 2 2 2 2 2 . 1 2( ) . . C L C U Z U LR Z Z C R L C C          UC= 2 4 2 2 2 1( 2 ) U LC L R C C     Đặt w2 = x y= ax2 + bx + d với 2 2 2 2 1 a L Lb R C d C           UC = U C y UCmax khi ymin Vì a>0 nên ymin = 4a  khi x= 2 b a  Thay các hằng số a,b,d vào và biến đổi ta được UCmax= 2 2 2 . 4 U L R LC C R khi w0= 22 1 2 L R C L  với điều kiện 22L R C  Đồ thị có dạng như câu b. Nhận xét: có thể dùng đạo hàm để tính UCmax khi w thay đổi. Bài toán 9: cho mạch điện xoay chiều hình vẽ. Hiệu thế 2 đầu đoạn mạch AB là u= 85 2 sin 100 t (v) R= 70; r= 80 cuộn dây có L thay đổi được, tụ điện có C thay đổi được. 1.Điều chỉnh L = 3 2 H rồi thay đổi điện dung C. Tìm điện dung C để UMB cực tiểu. Khảo sát UMB khi C thay đổi 2.Điều chỉnh C = 3 1 .10 7  F rồi thay đổi L. Tìm độ cảm L để UAN cực đại. Khảo sát UAN khi L thay đổi. Cách làm: 1.Tìm C để UMB cực tiểu. ZL = 150 , R= 70, r = 80 UMB = I.ZMB = 2 2 2 2 2 22 2 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) L C L C L CL C U r Z Z r Z ZU R r Z ZR r Z Z           O w(rad/s) (v) ULmax w0 UL U Trang 15 Ở bài toán này biểu thức phức tạp nên thay số vào rồi đặt ẩn số cho giống biểu thức toán Đặt x = (ZL – ZC)2 (x>0) y= 2 2 2 2 2 2 ( ) 80 ( ) ( ) 150 L C L C r Z Z x R r Z Z x         UMB= U y UMB min khi ymin Khảo sát hàm y= 2