Một trăm bài tập hình học lớp 9

0 MỘT TRĂM BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9. Phần 1: 50 bài tập cơ bản. 1 Lời nói đầu: Trong quá trình ôn thi tốt nghiệp cho học sinh lớp 9,chúng ta đều nhận thấy học sinh rất ngại chứng minh hình học. Cũng do học sinh còn yếu kiến thức bộ môn.Hơn nữa giáo viên thường rất bí bài tập nhằm rèn luyện các kỹ năng, đặc biệt là luyện thi tốt nghiệp.Đồng thời do học sinh chúng ta là học sinh có hoàn cảnh gia đình còn nghèo vì vậy học sinh yếu kỹ năng vận dụng nếu chúng ta chỉ chữa một vài bài tập mà thôi. Do để học sinh có thể chủ động trong quá trình làm bài,các bài tập trong tài liệu này chỉ có tính cất gợi ý phương án chứng minh chứ chưa phải là bài giải hoàn hảo nhất. Bên cạnh đó để có bài tập riêng của từng giáo viên,người giáo viên cần biết biến đổi bài tập trong tài liệu này sao cho phù hợp với đối tượng học sinh. Tài liệu được sưu tầm trong các sách và đã được thống kê trong phần phụ lục.Cấm việc in sao,sao chép dưới bất kỳ hình thức nào mà không có sự nhất trí của tác giả. Dù có nhiều cố gắng song tài liệu chắc chắn kông thể không có sai soat.Mong được sự góp ý của bạn đọc.Thư về: 2 Bài 1: Cho ABC có các đường cao BD và CE.Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại hai điểm M và N. 1. Chứng minh:BEDC nội tiếp. 2. Chứng minh: góc DEA=ACB. 3. Chứng minh: DE // với tiếp tuyến tai A của đường tròn ngoại tiếp tam giác. 4. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Chứng minh: OA là phân giác của góc MAN. 5. Chứng tỏ: AM2=AE.AB. Giợi ý: y A x N E D M O B C Ta phải c/m xy//DE. Do xy là tiếp tuyến,AB là dây cung nên sđ góc xAB= 2 1 sđ cung AB. Mà sđ ACB= 2 1 sđ AB. góc xAB=ACB mà góc ACB=AED(cmt) xAB=AED hay xy//DE. 4.C/m OA là phân giác của góc MAN. Do xy//DE hay xy//MN mà OAxyOAMN.OA là đường trung trực của MN.(Đường kính vuông góc với một dây)AMN cân ở A AO là phân giác của góc MAN. 5.C/m :AM2=AE.AB. Do AMN cân ở A AM=AN cung AM=cung AN.góc MBA=AMN(Góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau);góc MAB chung MAE  BAM MA AE AB MA   MA2=AE.AB.  1.C/m BEDC nội tiếp: C/m góc BEC=BDE=1v. Hia điểm D và E cùng làm với hai đầu đoạn thẳng BC một góc vuông. 2.C/m góc DEA=ACB. Do BECD ntDMB+DCB=2v. Mà DEB+AED=2v AED=ACB 3.Gọi tiếp tuyến tại A của (O) là đường thẳng xy (Hình 1) Hình 1 3 Bài 2: Cho(O) đ?ờg kính AC.trên đạ OC lấ để B và vẽđ?ờg tròn tâm O’, đ?ờg kính BC.Gọ M là trung để củ đạ AB.TừM vẽdây cung DE vuông góc vớ AB;DC cắ đ?ờg tròn tâm O’ tạ I. 1.Tứgiác ADBE là hình gì? 2.C/m DMBI nộ tiế. 3.C/m B;I;C thẳg hàng và MI=MD. 4.C/m MC.DB=MI.DC 5.C/m MI là tiế tuyế củ (O’) Gợ ý: D I A M O B O’ C E 3.C/m B;I;E thẳg hàng. Do AEBD là hình thoi BE//AD mà ADDC (góc nộ tiế chắ nử đ?ờg tròn)BEDC; CMDE(gt).Do góc BIC=1v BIDC.Qua 1 để B có hai đ?ờg thẳg BI và BE cùng vuông góc vớ DC B;I;E thẳg hàng. C/m MI=MD: Do M là trung để DE; EID vuông ởIMI là đ?ờg trung tuyế củ tam giác vuông DEI MI=MD. 4. C/m MC.DB=MI.DC. hãy chứg minh MCI DCB (góc C chung;BDI=IMB cùng chắ cung MI do DMBI nộ tiế) 5.C/m MI là tiế tuyế củ (O’) -Ta có O’IC Cân góc O’IC=O’CI. MBID nộ tiế MIB=MDB (cùng chắ cung MB) BDE cân ởB góc MDB=MEB .Do MECI nộ tiế góc MEB=MCI (cùng chắ cung MI) Từđ suy ra góc O’IC=MIB MIB+BIO’=O’IC+BIO’=1v Vậ MI O’I tạ I nằ trên đ?ờg tròn (O’) MI là tiế tuyế củ (O’).  Bài 3: Cho ABC có góc A=1v.Trên AC lấ để M sao cho AM<MC.Vẽđ?ờg tròn tâm O đ?ờg kính CM;đ?ờg thẳg BM cắ (O) tạ D;AD kéo dài cắ (O) tạ S. 1. C/m BADC nộ tiế. 1.Do MA=MB và ABDE tạ M nên ta có DM=ME. ADBE là hình bình hành. Mà BD=BE(AB là đ?ờg trung trự củ DE) vậ ADBE ;là hình thoi. 2.C/m DMBI nộ tiế. BC là đ?ờg kính,I(O’) nên Góc BID=1v.Mà góc DMB=1v(gt) BID+DMB=2vđcm. Hình 2 4 2. BC cắ (O) ởE.Cmr:MR là phân giác củ góc AED. 3. C/m CA là phân giác củ góc BCS. Gợ ý: D S A M O B E C AEM=MED. 4.C/m CA là phân giác củ góc BCS. -Góc ACB=ADB (Cùng chắ cung AB) -Góc ADB=DMS+DSM (góc ngoài tam giác MDS) -Mà góc DSM=DCM(Cùng chắ cung MD) DMS=DCS(Cùng chắ cung DS) Góc MDS+DSM=SDC+DCM=SCA. Vậ góc ADB=SCAđcm.  1.C/m ABCD nộ tiế: C/m A và D cùng làm vớ hai đ?u đạ thẳg BC mộ góc vuông.. 2.C/m ME là phân giác củ góc AED. Hãy c/m AMEB nộ tiế. Góc ABM=AEM( cùng chắ cung AM) Góc ABM=ACD( Cùng chắ cung MD) Góc ACD=DME( Cùng chắ cung MD) Hình 3 5 Bài 4: Cho ABC có góc A=1v.Trên cạh AC lấ để M sao cho AM>MC.Dựg đ?ờg tròn tâm O đ?ờg kính MC;đ?ờg tròn này cắ BC tạ E.Đ?ờg thẳg BM cắ (O) tạ D và đ?ờg thẳg AD cắ (O) tạ S. 1. C/m ADCB nộ tiế. 2. C/m ME là phân giác củ góc AED. 3. C/m: Góc ASM=ACD. 4. Chứg tỏME là phân giác củ góc AED. 5. C/m ba đ?ờg thẳg BA;EM;CD đ?ng quy. Gợ ý: A S D M B E C ABD=ACD (Cùng chắ cung AD) Do MECD nộ tiế nên MCD=MED (Cùng chắ cung MD) Do MC là đ?ờg kính;E(O)Góc MEC=1vMEB=1v ABEM nộ tiếGóc MEA=ABD. Góc MEA=MEDđcm 3.C/m góc ASM=ACD. Ta có A SM=SMD+SDM(Góc ngoài tam giác SMD) Mà góc SMD=SCD(Cùng chắ cung SD) và Góc SDM=SCM(Cùng chắ cung SM)SMD+SDM=SCD+SCM=MCD. Vậ Góc A SM=ACD. 4.C/m ME là phân giác củ góc AED (Chứg minh nhưcâu 2 bài 2) 5.Chứg minh AB;ME;CD đ?ng quy. Gọ giao để AB;CD là K.Ta chứg minh 3 để K;M;E thẳg hàng. Do CAAB(gt);BDDC(cmt) và AC cắ BD ởMM là trự tâm củ tam giác KBCKM là đ?ờg cao thứ3 nên KMBC.Mà MEBC(cmt) nên K;M;E thẳg hàng đcm.  1.C/m ADCB nộ tiế: Hãy chứg minh: Góc MDC=BDC=1v Từđ suy ra A vad D cùng làm vớ hai đ?u đạ thẳg BC mộ góc vuông… 2.C/m ME là phân giác củ góc AED. Do ABCD nộ tiế nên Hình 4 6 Bài 5: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọ và AB<AC nộ tiế trong đ?ờg tròn tâm O.Kẻđ?ờg cao AD và đ?ờg kính AA’.Gọ E:F theo thứtựlà chân đ?ờg vuông góc kẻtừB và C xuốg đ?ờg kính AA’. 1. C/m AEDB nộ tiế. 2. C/m DB.A’A=AD.A’C 3. C/m:DEAC. 4. Gọ M là trung để BC.Chứg minh MD=ME=MF. Gợ ý: A N E O I B D M C F A’ 1/C/m AEDB nộ tiế.(Sửdụg hai để D;E cùng làm vớ hai đ?u đạ AB… 2/C/m: DB.A’A=AD.A’C .Chứg minh đ?ợ hai tam giác vuông DBA và A’CA đ?ng dạg. 3/ C/m DEAC. Do ABDE nộ tiế nên góc EDC=BAE(Cùng bù vớ góc BDE).Mà góc BAE=BCA’(cùng chắ cung BA’) suy ra góc CDE=DCA’. Suy ra DE//A’C. Mà góc ACA’=1v nên DEAC. 4/C/m MD=ME=MF. Gọ N là trung để AB.Nên N là tâm đ?ờg tròn ngoạ tiế tứgiác ABDE. Do M;N là trung để BC và AB MN//AC(Tính chấ đ?ờg trung bình) Do DEAC MNDE (Đ?ờg kính đ qua trung để mộ dây…MN là đ?ờg trung trự củ DE ME=MD.  Gọ I là trung để AC.MI//AB(tính chấ đ?ờg trung bình) A’BC=A’AC (Cùng chắ cung A’C). Do ADFC nộ tiế Góc FAC=FDC(Cùng chắ cung FC) Góc A’BC=FDC hay DF//BA’ Mà ABA’=1vMIDF.Đ?ờg kính MIdây cung DFMI là đ?ờg trung trự củ DFMD=MF. Vậ MD=ME=MF.  Hình 5 7 Bài 6: Cho ABC có ba góc nhọ nộ tiế trong đ?ờg tròn tâm O.Gọ M là mộ để bấ kỳtrên cung nhỏAC.Gọ E và F lầ lư?t là chân các đ?ờg vuông góc kẻtừM đ?n BC và AC.P là trung để AB;Q là trung để FE. 1/C/m MFEC nộ tiế. 2/C/m BM.EF=BA.EM 3/C/M AMPFMQ. 4/C/m góc PQM=90o. Giả: A M F P B E C Do MFEC nộ tiế nên góc ACM=FEM(Cùng chắ cung FM). Góc ABM=FEM.(1) Ta lạ có góc AMB=ACB(Cùng chắ cung AB).Do MFEC nộ tiế nên góc FME=FCM(Cùng chắ cung FE).Góc AMB=FME.(2) Từ(1)và(2) suy ra :EFMABM đpcm. 3/C/m AMPFMQ. Ta có EFMABM (theo c/m trên) MF AM FE AB  ma AM=2AP;FE=2FQ (gt)  FM AM FQ AP MF AM FQ AP  2 2 và góc PAM=MFQ (suy ra từ EFMABM) Vậy: AMPFMQ. 4/C/m góc:PQM=90o. Do góc AMP=FMQ PMQ=AMF PQMAFM góc MQP=AFM Mà góc AFM=1vMQP=1v(đcm).  1/C/m MFEC nộ tiế: (Sửdụg hai để E;F cung làm vớ hai đ?u đạ thẳg CM… 2/C/m BM.EF=BA.EM C/m:EFMABM: Ta có góc ABM=ACM (Vì cùng chắn cung AM) Hình 6 8 Bài 7: Cho (O) đ?ờg kính BC,để A nằ trên cung BC.Trên tia AC lấ để D sao cho AB=AD.Dựg hình vuông ABED;AE cắ (O) tạ để thứhai F;Tiế tuyế tạ B cắ đ?ờg thẳg DE tạ G. 1. C/m BGDC nộ tiế.Xác đ?nh tâm I củ đ?ờg tròn này. 2. C/m BFC vuông cân và F là tâm đ?ờg tròn ngoạ tiế BCD. 3. C/m GEFB nộ tiế. 4. Chứg tỏC;F;G thẳg hàng và G cũg nằ trên đ?ờg tròn ngoạ tiế BCD.Có nhậ xét gì vềI và F A B O C F I D G E Xét hai tam giác FEB và FED có:E F chung; Góc BE F=FED =45o;BE=ED(hai cạh củ hình vuông ABED).BFE=E FD BF=FDBF=FC=FD.đcm. 3/C/m GE FB nộ tiế: Do BFC vuông cân ởF Cung BF=FC=90o. sđóc GBF= 2 1 Sđcung BF= 2 1 .90o=45o.(Góc giữ tiế tuyế BG và dây BF) Mà góc FED=45o(tính chấ hình vuông)Góc FED=GBF=45o.ta lạ có góc FED+FEG=2vGóc GBF+FEG=2v GEFB nộ tiế. 4/ C/m C;F;G thẳg hàng:Do GEFB nộ tiế Góc BFG=BEG mà BEG=1vBFG=1v.Do BFG vuông cân ởFGóc BFC=1v.Góc BFG+CFB=2vG;F;C thẳg hàng. C/m G cũg nằ trên…:Do GBC=GDC=1vtâm đ?ờg tròn ngt tứgiác BGDC là FG nằ trên đ?ờg tròn ngoạ tiế BCD. Dễdàng c/m đ?ợ I F. Bài 8: 1/C/m BGEC nộ tiế: -Sửdụg tổg hai góc đ?i… -I là trung để GC. 2/C/mBFC vuông cân: Góc BCF=FBA(Cùng chắ cung BF) mà góc FBA=45o (tính chấ hình vuông) Góc BCF=45o. Góc BFC=1v(góc nộ tiế chắ nử đ?ờg tròn)đcm. C/m F là tâm đ?ờg tròn ngoạ tiế BDC.ta C/m F cách đ?u các đ?nh B;C;D Do BFC vuông cân nên BC=FC. Hình 7 9 Cho ABC có 3 góc nhọ nộ tiế trong (O).Tiế tuyế tạ B và C củ đ?ờg tròn cắ nhau tạ D.TừD kẻđ?ờg thẳg song song vớ AB,đ?ờg này cắ đ?ờg tròn ởE và F,cắ AC ởI(E nằ trên cung nhỏBC). 1. C/m BDCO nộ tiế. 2. C/m: DC2=DE.DF. 3. C/m:DOIC nộ tiế. 4. Chứg tỏI là trung để FE. A F O I B C E D Ta có: sđóc BAC= 2 1 sđung BC(Góc nộ tiế) (1) Sđgóc BOC=sđung BC(Góc ởtâm);OB=OC;DB=DC(tính chấ hai tiế tuyế cắ nhau);OD chungBOD=CODGóc BOD=COD 2sđgócDOC=sđcung BC sđóc DOC= 2 1 sđungBC (2) Từ(1)và (2)Góc DOC=BAC. Do DF//ABgóc BAC=DIC(Đ?ng vị Góc DOC=DIC Hai để O và I cùng làm vớ hai đ?u đạ thẳg Dc nhữg góc bằg nhau…đcm 4/Chứg tỏI là trung để EF: Do DOIC nộ tiế  góc OID=OCD(cùng chắ cung OD) Mà Góc OCD=1v(tính chấ tiế tuyế)Góc OID=1v hay OIID OIFE.Bán kính OI vuông góc vớ dây cung EFI là trung đểEF.  1/C/m:BDCO nộ tiế(Dùng tổg hai góc đ?i) 2/C/m:DC2=DE.DF. Xét hai tam giác:DEC và DCF có góc D chung. SđócECD= 2 1 sđcung EC(Góc giữ tiế tuyế và mộ dây) Sđgóc E FC= 2 1 sđcung EC(Góc nộ tiế)góc ECD=DFC. DCE DFCđcm. 3/C/m DOIC nộ tiế: Hình 8 10 Bài 9: Cho (O),dây cung AB.Từđể M bấ kỳtrên cung AB(MA và MB),kẻdây cung MN vuông góc vớ AB tạ H.Gọ MQ là đ?ờg cao củ tam giác MAN. 1. C/m 4 để A;M;H;Q cùng nằ trên mộ đ?ờg tròn. 2. C/m:NQ.NA=NH.NM 3. C/m Mn là phân giác củ góc BMQ. 4. Hạđạ thẳg MP vuông góc vớ BN;xác đ?nh vịtrí củ M trên cung AB đ? MQ.AN+MP.BN có giác trịlớ nhấ. Giả:Có 2 hình vẽcách c/m tư?ng tựSau đy chỉC/m trên hình 9-a. M P A I H B Q O N 1/ C/m:A,Q,H,M cùng nằ trên mộ đ?ờg tròn.(Tuỳvào hình vẽđ? sửdụg mộ trong các phư?ng pháp sau:-Cùng làm vớ hai đu …ộ góc vuông. -Tổg hai góc đ?i. 2/C/m: NQ.NA=NH.NM. Xét hai vuông NQM và NAH đ?ng dạg. 3/C/m MN là phân giác củ góc BMQ. Có hai cách:  Cách 1:Gọ giao để MQ và AB là I.C/m tam giác MIB cân ởM  Cách 2: Góc QMN=NAH(Cùng phụvớ góc ANH) Góc NAH=NMB(Cùng chắ cung NB)đcm 4/ xác đ?nh vịtrí củ M trên cung AB đ? MQ.AN+MP.BN có giác trịlớ nhấ. Ta có 2SMAN=MQ.AN 2SMBN=MP.BN. 2SMAN + 2SMBN = MQ.AN+MP.BN Ta lạ có: 2SMAN + 2SMBN =2(SMAN + SMBN)=2SAMBN=2. 2 MNAB =AB.MN Vậ: MQ.AN+MP.BN=AB.MN Mà AB không đ?i nên tích AB.MN lớ nhấ MN lớ nhấMN là đ?ờg kính M là để chính giữ cung AB. Bài 10: Hình 9b Hình 9a 11 Cho (O;R) và (I;r) tiế xúc ngoài tạ A (R> r) .Dựg tiế tuyế chung ngoài BC (B nằ trên đ?ờg tròn tâm O và C nằ trên đ? ờg tròn tâm (I).Tiế tuyế BC cắ tiế tuyế tạ A củ hai đ?ờg tròn ởE. 1/ Chứg minh tam giác ABC vuông ởA. 2/ O E cắ AB ởN ; IE cắ AC tạ F .Chứg minh N;E;F;A cùng nằ trên mộ đ?ờg tròn . 3/ Chứg tỏ: BC2= 4 Rr 4/ Tính diệ tích tứgiác BCIO theo R;r Giả: B E C N F O A I AEBEO là đ?ờg trung trự củ AB hay OEAB hay góc ENA=1v Tư?ng tựgóc EFA=2vtổg hai góc đ?i…?4 để… 3/C/m BC2=4Rr. Ta có tứgiác FANE có 3 góc vuông(Cmt)FANE là hình vuôngOEI vuông ởE và EAOI(Tính chấ tiế tuyế).Ap dụg hệthứ lư?ng trong tam giác vuông có: AH2=OA.AI(Bình phư?ng đ?ờg cao bằg tích hai hình chiế) Mà AH= 2 BC và OA=R;AI=r  4 2BC RrBC2=Rr 4/SBCIO=? Ta có BCIO là hình thang vuông SBCIO= BC ICOB   2 S= 2 )( rRRr   Bài 11: Trên hai cạh góc vuông xOy lấ hai để A và B sao cho OA=OB. Mộ đ?ờg thẳg qua A cắ OB tạ M(M nằ trên đạ OB).TừB hạđ?ờg vuông góc vớ AM tạ H,cắ AO kéo dài tạ I. 1. C/m OMHI nộ tiế. 2. Tính góc OMI. 1/C/m ABC vuông: Do BE và AE là hai tiế tuyế cắ nhau nênAE=BE; Tư?ng tựAE=ECAE=EB=E C= 2 1 BC.ABC vuông ởA. 2/C/m A;E;N;F cùng nằ trên… -Theo tính chấ hai tiế tuyế cắ nhau thì EO là phân giác củ tam giác cân Hình 10 12 3. TừO vẽđ?ờg vuông góc vớ BI tạ K.C/m OK=KH 4. Tìm tậ hợ các để K khi M thay đ?i trên OB. Giả: A O M B H K I Cùng chắ cung OH)OHK=HAB+HAO=OAB=45o. OKH vuông cân ởKOH=KH 4/Tậ hợ các để K… Do OKKB OKB=1v;OB không đ?i khi M di đ?ng K nằ trên đ?ờg tròn đ?ờg kính OB. Khi M≡Othì K≡O Khi M≡B thì K là điểm chính giữa cung AB.Vậy quỹ tích điểm K là 4 1 đ?ờng tròn đ?ờng kính OB.  1/C/m OMHI nộ tiế: Sửdụg tổg hai góc đ?i. 2/Tính góc OMI Do OBAI;AHAB(gt) và OBAH=M Nên M là trự tâm củ tam giác ABI IM là đ?ờg cao thứ3 IMAB góc OIM=ABO(Góc có cạh tư?ng ứg vuông góc) Mà  vuông OAB có OA=OB OAB vuông cân ởO góc OBA=45ogóc OMI=45o 3/C/m OK=KH Ta có OHK=HOB+HBO (Góc ngoài OHB) Do AOHB nộ tiế(Vì góc AOB=AHB=1v) Góc HOB=HAB (Cùng chắ cung HB) và OBH=OAH(Cùng chắ Hình 11 13 Bài 12: Cho (O) đ?ờg kính AB và dây CD vuông góc vớ AB tạ F.Trên cung BC lấ để M.Nố A vớ M cắ CD tạ E. 1. C/m AM là phân giác củ góc CMD. 2. C/m EFBM nộ tiế. 3. Chứg tỏAC2=AE.AM 4. Gọ giao để CB vớ AM là N;MD vớ AB là I.C/m NI//CD 5. Chứg minh N là tâm đ?ờg trèon nộ tiế CIM Giả: C N M A F O B I D AMB+EFB=2vđcm. 3/C/m AC2=AE.AM C/m hai ACEAMC (A chung;góc ACD=AMD cùng chắ cung AD và AMD=CMA cmt ACE=AMC)… 4/C/m NI//CD. Do cung AC=AD CBA=AMD(Góc nộ tiế chắ các cung bằg nhau) hay NMI=NBIM và B cùng làm vớ hai đ?u đạ thẳg NI nhữg góc bằg nhauMNIB nộ tiếNMB+NIM=2v. mà NMB=1v(cmt)NIB=1v hay NIAB.Mà CDAB(gt) NI//CD. 5/Chứg tỏN là tâm đ?ờg tròn nộ tiế ICM. Ta phả C/m N là giao để 3 đ?ờg phân giác củ CIM.  Theo c/m ta có MN là phân giác củ CMI  Do MNIB nộ tiế(cmt) NIM=NBM(cùng chắ cung MN) Góc MBC=MAC(cùng chắ cung CM) Ta lạ có CAN=1v(góc nộ tiếACB=1v);NIA=1v(vì NIB=1v)ACNI nộ tiếCAN=CIN(cùng chắ cung CN)CIN=NIMIN là phân giác CIM Vậ N là tâm đ?ờg tròn…? Bài 13: Cho (O) và để A nằ ngoài đ?ờg tròn.Vẽcác tiế tuyế AB;AC và cát tuyế ADE.Gọ H là trung để DE. 1. C/m A;B;H;O;C cùng nằ trên 1 đ?ờg tròn. 2. C/m HA là phân giác củ góc BHC. 1/C/m AM là phân giác củ góc CMD Do ABCD AB là phân giác củ tam giác cân COD. COA=AOD. Các góc ởtâm AOC và AOD bằg nhau nên các cung bịchắ bằg nhau cung AC=ADcác góc nộ tiế chắ các cung này bằg nhau.Vậ CMA=AMD. 2/C/m EFBM nộ tiế. Ta có AMB=1v(Góc nộ tiế chắ nử đ?ờg tròn) EFB=1v(Do ABEF) 14 3. Gọ I là giao để củ BC và DE.C/m AB2=AI.AH. 4. BH cắ (O) ởK.C/m AE//CK. B E H I D O A K C 1/C/m:A;B;O;C;H cùng nằ trên mộ đ?ờg tròn: H là trung để EBOHED(đ?ờg kính đ qua trung để củ dây …AHO=1v. Mà OBA=OCA=1v (Tính chấ tiế tuyế) A;B;O;H;C cùng nằ trên đ?ờg tròn đ?ờg kính OA. 2/C/m HA là phân giác củ góc BHC. Do AB;AC là 2 tiế tuyế cắ nhau BAO=OAC và AB=AC cung AB=AC(hai dây băg nhau củ đ?ờg tròn đOA) mà BHA=BOA(Cùng chắ cung AB) và COA=CHA(cùng chắ cung AC) mà cung AB=AC COA=BOH CHA=AHBđcm. 3/Xét hai tam giác ABH và AIB (có A chung và CBA=BHA hai góc nộ tiế chắ hai cung bằg nhau) ABHAIBđcm. 4/C/m AE//CK. Do góc BHA=BCA(cùng chắ cung AB) và sđBKC= 2 1 SđcungBC(góc nộ tiế) SđBCA= 2 1 sđcung BC(góc giữ tt và 1 dây) BHA=BKCCK//AB  Bài 14: Cho (O) đ?ờg kính AB=2R;xy là tiế tuyế vớ (O) tạ B. CD là 1 đ?ờg kính bấ kỳGọ giao để củ AC;AD vớ xy theo thứtựlà M;N. 1. Cmr:MCDN nộ tiế. 2. Chứg tỏAC.AM=AD.AN 3. Gọ I là tâm đ?ờg tròn ngoạ tiế tứgiác MCDN và H là trung để MN.Cmr:AOIH là hình bình hành. 4. Khi đ?ờg kính CD quay xung quanh để O thì I di đ?ng trên đ?ờg nào? Hình 13 1/ C/m MCDN nộ tiế: AOC cân ởOOCA=CAO; góc CAO=ANB(cùng phụvớ góc AMB)góc ACD=ANM. Mà góc ACD+DCM=2v DCM+DNM=2v DCMB nộ tiế. 2/C/m: AC.AM=AD.AN 15 M C A O B K D H I N MNIHMN là IOCD.Do ABMN;IHMNAO//IH. Vậ cách dựg I:TừO dựg đ?ờg vuông góc vớ CD.Từtrung để H củ MN dựg đ?ờg vuông góc vớ MN.Hai đ?ờg này cách nhau ởI. Do H là trung để MNAhlà trung tuyế củ vuông AMNANM=NAH.Mà ANM=BAM=ACD(cmt)DAH=ACD. Gọ K là giao để AH và DO do ADC+ACD=1vDAK+ADK=1v hay AKD vuông ởKAHCD mà OICDOI//AH vậ AHIO là hình bình hành. 4/Quỹtích để I: Do AOIH là hình bình hành IH=AO=R không đ?iCD quay xung quanh O thì I nằ trên đ?ờg thẳg // vớ xy và cách xy mộ khoảg bằg R  Hình 14 16 Q Bài 15: Cho tam giác ABC nộ tiế trong đ?ờg tròn tâm O.Gọ D là 1 để trên cung nhỏBC.KẻDE;DF;DG lầ lư?t vuông góc vớ các cạh AB;BC;AC.Gọ H là hình chiế củ D lên tiế tuyế Ax củ (O). 1. C/m AHED nộ tiế 2. Gọ giao để củ AH vớ HB và vớ (O) là P và Q;ED cắ (O) tạ M.C/m HA.DP=PA.DE 3. C/m:QM=AB 4. C/m DE.DG=DF.DH 5. C/m:E;F;G thẳg hàng.(đ?ờg thẳg Sim sơ) A H P O G B F C E M D 4/C/m: DE.DG=DF.DH . Xét hai tam giác DEH và DFG có: Do EHAD nộ tiế HAE=HDE(cùng chắ cung HE)(1) Và EHD=EAD(cùng chắ cung ED)(2) Vì F=G=90oDFGC nộ tiếFDG=FCG(cùng chắ cung FG)(3) FGD=FCD(cùng chắ cung FD)(4) Nhưg FCG=BCA=HAB(5).Từ(1)(3)(5)EDH=FDG(6). Từ(2);(4) và BCD=BAD(cùng chắ cungBD)EHD=FGD(7) Từ(6)và (7)EDHFDG DG DH DF ED  đcm. 5/C/m: E;F;G thẳg hàng: Ta có BFE=BDE(cmt)và GFC=CDG(cmt) Do ABCD nộ tiếBAC+BMC=2v;do GDEA nộ tiếEDG+EAG=2v. EDG=BDC mà EDG=EDB+BDG và BCD=BDG+CDGEDB=CDG GFC=BEFE;F;G thẳg hàng.  1/C/m AHED nộ tiế(Sửdụg hai để H;E cùng làm hành vớ hai đ?u đạ thẳg AD… 2/C/m HA.DP=PA.DE Xét hai tam giác vuông đ?ng dạg: HAP và EPD (Có HPA=EPD đ?) 3/C/m QM=AB: Do HPAEDPHAB=HDM Mà sđAB= 2 1 sđcung AB; SđDM= 2 1 sđcung QM cung AM=QMAB=QM Hình 15 17 Bài 16: Cho tam giác ABC có A=1v;AB<AC.Gọ I là trung để BC;qua I kẻIKBC(K nằ trên BC).Trên tia đ?i củ tia AC lấ để M sao cho MA=AK. 1. Chứg minh:ABIK nộ tiế đ?ợ trong đ?ờg tròn tâm O. 2. C/m góc BMC=2ACB 3. Chứg tỏBC2=2AC.KC 4. AI kéo dài cắ đ?ờg thẳg BM tạ N.Chứg minh AC=BN 5. C/m: NMIC nộ tiế. N M A K B I C KBC=KCB Vậ BMC=2ACB 3/C/m BC2=2AC.KC Xét 2  vuông ACB và ICK có C chungACBICK  CK CB IC AC  IC= 2 BC  CK BC BC AC  2 đcm 4/C/m AC=BN Do AIB=IAC+ICA(góc ngoài IAC) và IAC Cân ởIIAC=ICA AIB=2IAC(1). Ta lạ có BKM=BMK và BKM=AIB(cùng chắ cung AB-tứgiác AKIB nộ tiế) AIB=BMK(2) mà BMK=MNA+MAN(góc ngoài tam giác MNA) Do MNA cân ởM(gt)MAN=MNABMK=2MNA(3) Từ(1);(2);(3)IAC=MNA và MAN=IAC(đđ… 5/C/m NMIC nộ tiế: do MNA=ACI hay MNI=MCI hai để N;C cùng làm thành vớ hai đ?u…  Bài 17: Cho (O) đ?ờg kính AB cốđ?nh,để C di đ?ng trên nử đ?ờg tròn.Tia phân giác củ ACB cắ (O) tai M.Gọ H;K là hình chiế củ M lên AC và AB. 1. C/m:MOBK nộ tiế. 2. Tứgiác CKMH là hình vuông. 1/C/m ABIK nộ tiế (tựC/m)