Nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình tích phân ngẫu nhiên

NGÀNH TOÁN HỌC 87Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190, Số 1 (68) 2020 Nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình tích phân ngẫu nhiên Study stability solution of random integral equations Nguyễn Viết Tuân Email: nguyentuandhsd@gmail.com Trường Đại học Sao Đỏ Ngày nhận bài: 02/3/2020 Ngày nhận bài sửa sau phản biện: 28/3/2020 Ngày chấp nhận đĕng: 30/3/2020 Tóm tắt Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu về sự tồn tại, tính duy nhất, tính ổn định nghiệm của nghiệm ngẫu nhiên của phương trình tích phân ngẫu nhiên bằng phương pháp “Lý thuyết chấp nhận được” và “lý thuyết về toán tử co”. Bài báo cũng chỉ ra mối liên hệ về tính ổn định nghiệm giữa phương trình vi phân ngẫu nhiên và phương trình tích phân ngẫu nhiên. Từ khóa: Tích phân ngẫu nhiên; nghiệm ngẫu nhiên; không gian Banach; ổn định nghiệm. Abstract In this paper, we study the existence, uniqueness, stability of solutions of random solutions of random integral equations by the method of “admissibility theory” and “theory of contraction”. The paper also shows the relationship of root stability between random differential equations and random integral equations. Keywords: Integral equation; random solution; Banach space; stable solution. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Nhiều vấn đề trong toán học cũng như các bài toán thực tế của cơ học, vật lý, kỹ thuật dẫn đến phương trình mà các hàm chưa biết nằm dưới dấu tích phân, đó chính là dạng phương trình tích phân. Đặc biệt khi cả hàm cần tìm và các yếu tố đã cho trong phương trình tích phân đều chứa yếu tố ngẫu nhiên thì được lớp phương trình tích phân ngẫu nhiên. Các lý thuyết cơ bản về phương trình tích phân đã được trình bày trong [3, 5]. Một số kết quả về sự tồn tại, tính duy nhất của phương trình tích phân ngẫu nhiên có trong [4, 5]. Phương trình tích phân Volterra là dạng phương trình tích phân đặc biệt với một cận tích phân chưa xác định, hàm cần tìm nằm dưới dấu tích phân và hàm cần tìm có thể xuất hiện bên ngoài dấu tích phân. Phương trình tích phân Volterra có nhiều ứng dụng trong vật lý như truyền nĕng lượng bức xạ, dao động của dây, trục và màng mỏng và trong các bài toán kỹ thuật Trong bài này, chúng tôi sử dụng một số nội dung của phương pháp “Lý thuyết chấp nhận được” và “Lý thuyết về toán tử co” để nghiên cứu về sự tồn tại, tính duy nhất, tính ổn định nghiệm của nghiệm ngẫu nhiên của phương trình tích phân ngẫu nhiên Volterra có dạng. (1) Trong đó: t ≥ 0, ω là một điểm của Ω; h(t,ω) là hàm ngẫu nhiên xác định với t ≥ 0, ω ∈ Ω; x (t; ω) là hàm ngẫu nhiên chưa biết với t ≥ 0; hạt nhân ngẫu nhiên k (t;t;ω) xác định với 0 ≤ t ≤ t < ∞ và ω ∈ Ω. Ngoài ra, chúng tôi cũng chỉ ra mối liên hệ về tính ổn định nghiệm giữa phương trình vi phân. và phương trình tích phân ngẫu nhiên (1). 2. MỘT SỐ KẾT QUẢ CHUẨN BỊ Trong bài viết này, chúng tôi sử dụng một số ký hiệu như: - là một không gian xác suất, đo được. ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 = + òtx t , h t , k t ,s, f s,x s, dsw w w w ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 . , , , , ,x t A x t f t x t tw w w w= + ³ ( ), , PW FNgười phản biện: 1. PGS.TS. Khuất Vĕn Ninh 2. TS. Đào Trọng Quyết NGHIÊN CỨU KHOA HỌC 88 Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190, Số 1 (68) 2020 - ( )2L PW F, , là không gian các hàm đo được, bình phương khả tích. - ( )( )2, , ,C C L PW+= ! F là không gian các hàm liên tục, bị chặn trên + với giá trị trong ( )2L PW F, , . - ( )( )2, , ,g gC C L PW+= ! F là không gian các hàm liên tục từ + vào ( )2L PW F, , thỏa mãn. Ở đây: z là một số dương và g(t) là một hàm liên tục, dương trên + . - ( )( )2, , ,C CC C L PW+= ! F là không gian các hàm liên tục từ + vào ( )2L PW F, , với tôpô hội tụ đều trên đoạn [0,T] với T ˃ 0. Cho B và D là không gian Banach chứa trong ( )( )2CC L P+! W F, , , và T là một toán tử tuyến tính. Định nghĩa 1. (Xem [3]) Toán tử T được gọi là (B,D) - Chấp nhận được nếu ( )D T B .Í Trước hết, ta xét bổ đề sau. Bổ đề 1. (Xem [4]) Cho T là một toán tử tuyến tính từ ( )( )2CC ,L , ,PW+! F vào chính nó. Nếu B và D là không gian Banach mạnh hơn CC và cặp (B,D) là được chấp nhận đối với T thì T là một toán tử liên tục từ B vào D . Tiếp theo, chúng ta phát biểu và chứng minh định lý về điều kiện tồn tại và tính duy nhất nghiệm của phương trình (1). Đinh lý 1. Nếu có được các điều kiện sau: 1. B và D là không gian Banach mạnh hơn ( )( )2CC ,L , ,PW+! F mà (B,D) là chấp nhận được đối với toán tử. 2. ( ) ( )( ), , ,x t f t x tw w® là toán tử liên tục trên ( ) ( ) ( ){ }, : , , , DS x t x t D x tw w w r= Î £ với giá trị trong B , cũng thỏa mãn ( )( ) ( )( ) ( ) ( ), , , , , , DBf t x t f t y t x t y tw w l w w- £ - Với ( ) ( ), , ,x t y t Sw w Î và l là hằng số. 3. ( )h t Dw Î, . Thì tồn tại duy nhất một nghiệm ngẫu nhiên của phương trình tích phân ngẫu nhiên (1), với điều kiện là: Ở đây: k là chuẩn của toán tử T . Chứng minh: Chúng ta định nghĩa một toán tử U từ S vào D như sau: (2) Bây giờ chúng ta chứng minh rằng U là một toán tử co và ( )U S SÌ . Xét một hàm ( )y t,w trong S . Chúng ta có thể viết: ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 t Uy t, h t , k t ,s, f s, y s, dsw w w w= + ò (3) Trừ phương trình (2) cho phương trình (3), chúng ta được. ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 0 t Ux t, Uy t, k t ,s, f s,x s, f s, y s, dsé ù- = -ë ûòw w w w w Từ ( )U S DÌ và D là không gian Banach thì: ( )( ) ( )( )Ux t, Uy t, Dw w- Î Từ giả thiết (1, 2) suy ra ( )( ) ( )( )f s,x s, f s, y s, Bw wé ù- Îë û từ bổ đề (1) chúng ta thấy rằng T là toán tử liên tục từ không gian Banach B vào D , nó có nghĩa rằng, chúng ta có thể tìm được hằng số 0k > thỏa mãn: ( )( ) ( )D BTx t, k x t ,£w w . Khi đó: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )D BUx t, Uy t, k f t,x t, f t,x t,- £ -w w w w Bây giờ, áp dụng điều kiện Lipschitz’s cho trong (2) chúng ta có. ( )( ) ( )( ) ( ) ( )D DUx t, Uy t, k x t , y t ,- £ -w w l w w Sử dụng điều kiện 1kl < thì U là toán tử. Tiếp theo, chúng ta chứng minh ( )U S SÌ . Với mọi hàm ( )x t, Sw Î chúng ta có: ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 t U x t, h t , k t ,s, f s,x s, dsw w w w= + ò (4) Áp dụng điều kiện (3) và bổ đề 1 chúng ta có thể viết biểu diễn (4) như sau: ( )( ) ( ) ( )( )D D BU x t, h t, k f t,x t,w w w= + (5) Trong (5), ( )( ) Bf t,x t,w có thể viết: ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 B B BB f t ,x t , f t ,x t , f t , f t , f t ,x t , f t , f t , w w w = - + £ - + Sử dụng điều kiện Lipschitz’s chúng ta có: ( )( ) ( ) ( )0 0D BBf t,x t, x t, f t,w l w£ - + Bây giờ chúng ta viết (5) dưới dạng: ( )( ) ( ) ( ) ( )0D D D BU x t, h t , k x t , k f t ,w w l w£ + + (6)   ( ) ( ) ( ) 1 22, ,x t dP zg t t W w w + ì üï ï £ Îí ýï ïî þò !     ( )( ) ( ) ( ) 0 t Tx t , k t ,s, x s, dsw w w= ò ( ) ( ) ( )1 0 1D Bk , h t , k f t , kl w r l-< + £ - ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 t Ux t, h t , k t ,s, f s,x s, dsw w w w= + ò NGÀNH TOÁN HỌC 89Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190, Số 1 (68) 2020 Từ ( )x t, Sw Î và ( ) Dx t ,w r£ , (6) có thể viết là: ( )( ) ( ) ( )0D D BU x t, h t , k k f t ,w w lr£ + + Áp dụng điều kiện của định lý: ( ) ( ) ( )0 1D Bh t, k f t , kw r l+ £ - (7) trở thành ( )( ) ( )1DU x t, k kw r l lr£ - + Hoặc ( )( ) DU x t,w r£ Điều đó có nghĩa là ( )( ) DU x t, Sw Î với mọi biến ngẫu nhiên ( )x t, Sw Î hay ( )U S SÌ . Từ U là toán tử co và ( )U S SÌ , áp dụng định lý Banach về điểm bất động, tồn tại duy nhất nghiệm ngẫu nhiên ( )x t, Sw Î thỏa mãn: ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 t Ux t, h t, k t ,s, f s,x s, ds x t, w w w w w = + ´ = ò Kết quả tổng quát của phương trình tích phân ngẫu nhiên (1) đã được giải quyết. Trong trường hợp đặc biệt, khi cụ thể hóa không gian B, D chúng ta sẽ thu được một số hệ quả của định lý 1. Hệ quả 1. Xét phương trình tích phân ngẫu nhiên (1) trong các điều kiện sau: 1) Tồn tại số 0A > và hàm liên tục g(t) > 0 thỏa mãn. ( ) ( ) 0 , , , t k t s g s ds A tw + £ Îò ! 2) f (t,x) là hàm véctơ liên tục, có giá trị với t +Î ! , ( ),x t w r£ thỏa mãn ( )0 gf t CÎ, , ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )f t x t f t y t g t x t y tw w l w w- £ -, , , , , , 3) ( ),h t x là hàm liên tục bị chặn trên + có giá trị trong ( )2L PW F, , . Thì tồn tại duy nhất một nghiệm ngẫu nhiên ( )x t, Sw Î của phương trình tích phân ngẫu nhiên (1) thỏa mãn: ( ) ( ) ( ) 1 22 0 , sup ,C tx t x t dPW w w w r £ ì üï ï = £í ýï ïî þò Với t + Î ! và ( ) ( )0, , , , gC h t f tw l đủ nhỏ. Hệ quả 2: Xét phương trình tích phân ngẫu nhiên (1) trong các điều kiện sau: 1. Tồn tại số 0A > và hàm liên tục g(t) thỏa mãn ( )k t s Aw £, , và ( ) 0 t g s ds £ ¥ò . 2. f (t,x) là hàm véctơ liên tục, có giá trị với t + Î ! , ( ),x t w r£ thỏa mãn ( )0 gf t CÎ, , 3. h(t,x) là hàm liên tục bị chặn trên + có giá trị trong ( )2L PW F, , . Thì tồn tại duy nhất một nghiệm ngẫu nhiên ( )x t, Sw Î của phương trình tích phân ngẫu nhiên (1) bị chặn trên + khi ( ) ( )0, , , , gCh t f tw l đủ nhỏ. 3. KẾT QUẢ CHÍNH Trong phần này, chúng ta nghiên cứu các tính chất ổn định của nghiệm phương trình (1). Tìm các điều kiện để nghiệm ngẫu nhiên ổn định tiệm cận theo hàm mũ. 3.1. Tính ổn định tiệm cận của nghiệm ngẫu nhiên Định lý 2. Chúng ta xét phương trình tích phân (1) với các điều kiện: 1. ( ) ( ), , t sk t s e aw L - -£ với 0 s t£ £ > . 2. f (t,x) là hàm liên tục từ + ฀  vào  thỏa mãn f (t,0) = 0 và ( ) ( )f t x f t y x y- £ -, , .l 3. ( ), th t x e br -£ , ở đây ,r b là các số dương thỏa mãn 0 b a< < . Thì tồn tại duy nhất nghiệm ngẫu nhiên của phương trình (1) thỏa mãn: ( ) ( ) 1 2 2 / , ,tx t dP e tb W w w r -ì üï ï £ Îí ýï ïî þò ! Chứng minh: Chúng ta phải chứng minh rằng, cặp không gian Banach (C g ,C g ) với ( ) tg t e b-= là chấp nhận được theo điều kiện (1) và (2) của định lý. Đó là (C g ,C g ) là chấp nhận được đối với toán tử được định nghĩa bởi: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , , , , t Tx t k t s x s dsw w w= ò (8) Chuẩn của (8) có thể được viết: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , , , , t Tx t k t s x s dsw w w£ ò (9) Áp dụng điều kiện (1) của định lý, chúng ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , t, t t sTx t e x dsaw L w- -£ ò (10) Do đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , t, / t t sTx t e x g s g s dsaw L w- - é ù£ ë ûò (7) + + + + ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )f t x t f t y t g t x t y tw w l w w- £ -, , , , , , × + (11) NGHIÊN CỨU KHOA HỌC 90 Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190, Số 1 (68) 2020 Sử dụng điều kiện của chuẩn trên không g C , bất đẳng thức (11) có thể viết: Từ 0 b a< < , chúng ta có thể làm trội bất đẳng thức (12) như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 , , t t t Tx t M e e M e t b a b w a b a b - - - - - + £ - - < - Î! Điều đó có nghĩa rằng ( ) ( ), gTx t Cw Î với hàm ( ), gx t Cw Î . Từ đó (Cg,Cg) là chấp nhận được đối với toán tử T , ở đây ( ) tg t e b-= . Điều kiện 3) của định lý có nghĩa rằng ( ), gh t Cw Î . Áp dụng điều kiện 2) chúng ta được: ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) gg CC f t x t f t y t x t y t- £ -, , , , , , .w w l w w Do đó, mọi điều kiện của định lý 2 đã được thỏa mãn, điều đó có nghĩa rằng tồn tại duy nhất nghiệm ngẫu nhiên của phương trình (1) thỏa mãn: ( ) ( ) 1 2 2 tx t dP e- ì üï ï £í ýï ïî þò / , .b W w w r Chú ý, với những điều kiện này được thỏa mãn thì tồn tại nghiệm ngẫu nhiên của phương trình tích phân ngẫu nhiên (1) ổn định tiệm cận theo hàm mũ, tức là: ( ) ( ) 1 222 0 / lim , t x t dP W w w ®¥ ì üï ï =í ýï ïî þò 3.2. Mối liên hệ về tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên và phương trình tích phân ngẫu nhiên Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên sau: ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 . , , , , ,x t A x t f t x t tw w w w= + ³ (13) Trong đó: 1) x (t,ω) là véc tơ ngẫu nhiên chưa biết cấp n × 1; 2 ) A (ω) là ma trận cấp n × n mà các phần tử của nó là các hàm đo được; 3) ( ), , ,f t x t x+Î Î! ! là một hàm véctơ. Bây giờ chúng ta biến đổi phương trình vi phân (13) thành phương trình tích phân dạng đặc biệt của phương trình (1). Nhân 2 vế của (13) với ( )A te w- , ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) . , , , , A t A t A t e x t e f t x t A e x t w w w w w w w - - - æ öç ÷ =ç ÷ç ÷-è ø Nhưng ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / ,/ , , A t A t A t e d dt x td dt e x t A e x t w w w ww w w - - - æ öç ÷= ç ÷ç ÷-è ø Vì vậy: (14) Tích phân từ 0 t đến t hai vế của (14) ta có: (15) Nhân phương trình (14) với ( )A te w- và đặt 0 0t = nó được biến đổi thành. ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )0 0 , , , tA t A t sx t e x e f s x s dsw ww w w-= + ò (16) Ở đây: ( ) ( )0 0,x xw w= . Do đó, nếu chúng ta đặt ( ) ( ) ( )0, A th t e xww w= và ( ) ( )( ), , A t sk t s e ww -= 0 s t£ £ < ¥ , đẳng thức (16) có thể viết thành. ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 , , , , , , t x t h t k t s f s x s dsw w w w= + ò Do đó, phương trình vi phân ngẫu nhiên (13) được biến đổi thành phương trình tích phân ngẫu nhiên (16), đây là một dạng đặc biệt của phương trình (1). Bây giờ chúng ta chứng minh định lý sau: Định lý 3. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn với phương phương trình tích phân ngẫu nhiên (16). 1) Ma trận A (ω) là ổn định ngẫu nhiên, tức là tồn tại số a > 0 thỏa mãn. ( ){ }1 2 1kP k n< - = = Re , , ,...,w Y w a Ở đây ( ) 1 2, , ,...,k k nY w = là giá trị riêng của ma trận A (ω). 2) f (t,x) là hàm liên tục từ n n+ ฀ ฀   thỏa mãn ( ) ( ), ,f t x f t y x yl- £ - ,với ( )0 0,f t = và l đủ nhỏ. Thì tồn tại duy nhất nghiệm ngẫu nhiên của phương trình tích phân ngẫu nhiên (16) thỏa mãn: ( ) ( ) 1 22 0lim , t x t dP W w w ®¥ ì üï ï =í ýï ïî þòChứng minh: Để chứng minh kết quả này, chúng ta chứng minh rằng cặp không gian Banach (C g ,C g ) là chấp nhận được dưới điều kiện 1) và 2) với ( ) tg t e b-= và sau đó áp dụng định lý 2. Ta có chuẩn của không gian ( )( )2, , ,gC L PW+! F được định nghĩa bởi. (12) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 1 , / t t s t t s s tt t t Tx t M e g s ds M e e ds Me e M e e a a b a ba b a w a b a b - - - - - -- - - - £ = æ öé ù= - -ç ÷ë û è ø = - - ò ò + + + ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( )( )/ , , ,A t A td dt e x t e f t x tw ww w- -= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 00 , , , , A t t A s A t t e x t e f s x s ds e x t w w w w w w - - - æ ö-ç ÷ =ç ÷ç ÷è ø ò × → NGÀNH TOÁN HỌC 91Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190, Số 1 (68) 2020 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 221, sup / , gC t x t g t x t dP W w w w Î ì üï ïé ù= í ýë û ï ïî þò! Với mọi hàm ( ) ( )( )2, , , ,gx t C L Pw W+Î ! F chúng ta định nghĩa toán tử tích phân như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , , , , t Tx t k t s x s dsw w w= ò (17) Từ ( ) ( )( ) 0, , ,A t sk t s e s tww -= £ £ < ¥ phương trình (17) trở thành. ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 , , t A t sTx t e x s dsww w-= ò Hoặc ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 t A t sTx t e x s ds-£ ò ww w, , (18) Nó đã được chứng minh trong [2, 3] bởi Morozan rằng tồn tại tập con D WÌ mà ( ) 1P D = và ( )( ) ( )A t s t se kew a- - -£ (19) Với 0,D kw Î > , đặt (19) vào bất đẳng thức (18) chúng ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 , , , / t t s tt s t s Tx t k e x s ds ke e x s g s g s ds a a a w w w - - - - - - £ é ù£ ë û ò ò (20) Từ ( ) 0,tg t e b b a-= < < bất đẳng thức (20) trở thành: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 0 g g t t s t t t st C t t C Tx t k e e x s e ds k x t e e ds k x t e e t - - - - -- - - - £ £ £ - - ³ ò ò , / , , , , a b b a ba b a w w w w a b Bất đẳng thức (21) có thể được làm trội như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) 1, , g t CTx t k x t e bw w a b - -£ - (22) Bởi vì 0 b a< < . Chia bất đẳng thức (22) cho te b- , chúng ta có: ( ) ( ) ( ) ( )1, , g gC C Tx t k x tw a b w-£ - Do đó, với ( ) ( )( )2, , , ,gx t C L Pw W+Î ! F ta có ( )( ) ( )( )2 2, , , , , ,g gTC L P C L PW W+ +Ì! !F F và cặp không gian Banach (C g ,C g ) là chấp nhận được. Phần còn lại của chứng minh tương tự định lý 1. 4. KẾT LUẬN Bài báo trình bày được các điều kiện tồn tại nghiệm, chứng minh sự duy nhất và tính ổn định nghiệm của nghiệm ngẫu nhiên của phương trình tích phân ngẫu nhiên. Cụ thể hóa được dạng nghiệm của một số dạng đặc biệt của phương trình tích phân ngẫu nhiên. Chỉ ra được sự liên hệ về tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên và phương trình tích phân ngẫu nhiên. Một số hướng nghiên cứu tiếp theo như: Phương trình tích phân ngẫu nhiên theo thang thời gian; Mô tả và giải quyết các bài toán kỹ thuật bằng phương trình tích phân. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đặng Hùng Thắng (2013), Xác suất nâng cao, Nhà xuất bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội. [2] Cấn Vĕn Tuất (2005), Phương trình vi phân tích phân, Nhà xuất bản Đại học sư phạm. [3] C. Cordeanu (1973), Integral Equations and Stability of Feedback Systems, Academic Press, New York. [4] Tsokos.C. (1969), On the Stochastic Intergral Equation of the Volterra Type, Mathematical Systems Theory. [5] Bharucha-Reid A.T (1972), Random Integral Equations, Academic Press NewYork. [6] T.A.Burton (1983), Volterra Intergral and Diferential Equations, Academic Press, New York.  + (21) + + Nguyễn Viết Tuân - Tóm tắt quá trình đào tạo, nghiên cứu (thời điểm tốt nghiệp và chương trình đào tạo, nghiên cứu): + Nĕm 2006: Tốt nghiệp Đại học ngành Sư phạm Toán - Tin học, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 + Nĕm 2011: Tốt nghiệp Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích, Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 + Nĕm 2019: Tiến sĩ, Toán giải tích, Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 - Tóm tắt công việc hiện tại: Giảng viên khoa Khoa học cơ bản, Trường Đại học Sao Đỏ - Lĩnh vực quan tâm: Tính ổn định và ổn định hóa đối với một số phương trình trong cơ học chất lỏng - Email: nguyentuandhsd@gmail.com - Điện thoại: 0978 235 234 THÔNG TIN VỀ TÁC GIẢ