Những bài toán giải tích chọn lọc

1 NHỮNG BÀI TOÁN GIẢI TÍCH CHỌN LỌC 2 Nhà xuất bản mong bạn đọc đóng góp ý kiến, phê bình 3 HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN NHỮNG BÀI TOÁN GIẢI TÍCH CHỌN LỌC NHÀ XUẤT BẢN QUÂN ĐỘI NHÂN DÂN HÀ NỘI - 2005 Dùng cho các Nhà trường Quân đội 4 Biên soạn TS. TÔ VĂN BAN 5 MỤC LỤC Trang Lời giới thiệu Một số ký hiệu sử dụng trong sách 9 Chương I. Số thực, giới hạn dãy số, chuỗi số 11 §1.0 Tóm tắt lý thuyết 11 §1.1. Số thực 17 §1.2. Tìm giới hạn theo định nghĩa 24 §1.3. Các phép toán với giới hạn - Thay tương đương 28 §1.4. Dãy đơn điệu 31 §1.5. Định lý kẹp 40 §1.6. Tiêu chuẩn Cauchy 45 §1.7. Tìm biểu thức của số hạng tổng quát 47 §1.8. Thông qua giới hạn hàm số 53 §1.9. Phương pháp tổng tích phân 54 §1.10. Tốc độ phát triển 61 §1.11. Định lí Stolz 66 §1.12. Dãy truy hồi tuyến tính với hệ số hằng số; §1.12a. Cấp 1 70 §1.12b. Cấp 2 71 §1.13. Dãy truy hồi cấp 1 dạng un+1 = f(un,n ); 79 §1.13a. Trường hợp dễ tìm số hạng tổng quát 79 §1.13b. Trường hợp dễ suy được tính đơn điệu 85 §1.13c. Trường hợp ánh xạ co 90 §1.13d. Khảo sát độ lệch 93 §1.13e. Trường hợp tổng quát 96 §1.13f. Lập dãy mới - Dãy qua dãy 105 §1.14. Dãy truy hồi cấp 2 dạng un+2 = f(un+1, un, n) 110 §1.15. Nghiệm các phương trình fn(x) = 0 114 §1.16. Sơ lược về chuỗi số 119 Chương II. Hàm số - Giới hạn - Liên tục 125 §2.0. Tóm tắt lý thuyết 125 §2.1. Giới hạn - liên tục theo ngôn ngữ "ε - δ", theo ngôn ngữ dãy 130 §2.2. Giới hạn - liên tục trái, phải 132 §2.3. Tìm giới hạn - Thay tương đương - Quy tắc L' Hôpital 134 §2.4. Giới hạn - liên tục của hàm đơn điệu 137 §2.5. Các phép toán với các hàm có giới hạn, với các hàm liên tục 141 §2.6. Hàm liên tục trên đoạn đóng - Định lý giá trị trung gian 141 §2.7. Liên tục đều 149 §2.8. Liên tục với hàm ngược 153 6 §2.9. Liên tục và tuần hoàn 155 §2.10. Phương trình hàm không sử dụng tính liên tục, khả vi 167 §2.11. Phương trình hàm với tính liên tục 167 Chương III. Đạo hàm - Vi phân 181 §3.0. Tóm tắt lý thuyết 181 §3.1. Tính đạo hàm của hàm số - Đạo hàm tại một điểm 186 §3.2. Sự khả vi 190 §3.3. Tính đạo hàm cấp cao 192 §3.4. Ứng dụng đạo hàm; §3.4a. Tính đơn điệu của hàm số 196 §3.4b. Cực trị 198 §3.4c. Khảo sát đường cong dưới dạng hiện, tham số và trong toạ độ cực. 202 §3.4d. Bất đẳng thức - Hàm số lồi 213 §3.5. Định lý về giá trị trung bình; §3.5a. Định lý Rolle 219 §3.5b. Định lý Lagrange 229 §3.6. Khai triển Taylor; §3.6a. Phần dư 236 §3.6b. Chọn điểm khai triển - Điểm áp dụng 238 §3.6c. Cấp khai triển 242 §3.6d. Khai triển thành chuỗi Taylor 244 §3.7. Phương trình hàm có sử dụng đạo hàm 246 Chương IV. Tích phân 255 §4.0. Tóm tắt lý thuyết 255 §4.1. Tích phân, đạo hàm theo cận trên 262 §4.2. Đổi biến số 267 §4.3. Tích phân từng phần 278 §4.4. Giá trị trung bình tích phân 284 §4.5. Bất đẳng thức tích phân; §4.5a. Đánh giá hàm dưới dấu tính phân 285 §4.5b. Tách miền lấy tích phân thành các đoạn thích hợp 297 §4.5c. Tích phân từng phần để tăng bậc của hàm dưới dấu tích phân 309 §4.5d. Bất đẳng thức Cauchy - Bunhiacopski - Schwartz 312 §4.5e. Tính dương của tích phân 315 §4.6. Số gia hàm số qua tích phân - Khảo sát nguyên hàm 317 Chương V. Sơ lược về hàm nhiều biến 325 §5.0. Tóm tắt lí thuyết 325 §5.1. Giới hạn 331 §5.2. Sự liên tục 333 §5.3. Đạo hàm riêng 339 §5.4. Hàm ẩn 352 §5.5. Cực trị 355 Tài liệu tham khảo 365 7 7 LỜI GIỚI THIỆU Nhằm góp phần giúp cho sinh viên với một nỗ lực nhất định tiệm cận được tới một số phương pháp luận của toán học, chúng tôi xin ra mắt bạn đọc cuốn "Những bài toán giải tích chọn lọc". Sách là bộ sưu tập những bài tập hay, khá khó, điển hình và rất đa dạng từ các cuộc thi Olympic sinh viên trong nước và quốc tế, từ các cuốn sách của các tác giả nổi tiếng trong và ngoài nước, các tạp chí Americal Mathematical Monthly, Putnam Problem, Delta... với những lời giải đôi khi được cải tiến cùng một số bài tập khác của chúng tôi. Để khắc phục tình trạng thiếu thời gian nghiêm trọng của sinh viên, chúng tôi đã dẫn ra toàn bộ các lời giải - dẫu rằng chúng tôi không bao giờ khuyên độc giả chỉ đọc những lời giải này. Chúng tôi đã cố gắng trình bày theo ý chủ đạo xuyên suốt: Sách không chỉ giúp độc giả biết được lời giải của bài toán, mà hơn cả, làm thế nào để giải được nó, những suy luận nào tỏ ra "có lý"..., các kết luận, nhận xét từ bài tập đưa ra, những thủ pháp chủ đạo thường dùng để giải bài toán liên quan. Để tiện theo dõi, ở đầu mỗi chương chúng tôi đưa vào phần tóm tắt lý thuyết và ở đầu mỗi mục nhỏ chúng tôi đưa ra những cách giải chính. Nội dung được phân làm năm chương. Ở chương một chúng ta có thể tìm thấy những bài toán liên quan đến số thực và chuỗi số cũng như nhiều bài toán liên quan đến dãy số. Chương hai gồm những bài liên quan đến sự liên tục của hàm số. Chương ba chứa đựng những kiến thức về đạo hàm cũng như các ứng dụng của nó. Chương bốn dành cho tích phân xác định: các phương pháp lấy tích phân, các bất đẳng thức tích phân, các ứng dụng...Chúng ta sẽ thấy một số kết quả về hàm nhiều biến như giới hạn, liên tục, hàm ẩn, cực trị... ở chương năm. Hy vọng rằng sách là tài liệu tham khảo tốt cho sinh viên năm đầu ít nhiều có năng khiếu về toán, cho sinh viên các lớp tài năng, cũng như là tài liệu tốt phục vụ các kỳ thi Olympic toán sinh viên. Sách cũng là tài liệu cho học sinh và giáo viên luyện học sinh giỏi ở các trường phổ thông trung học. Tác giả chân thành cảm ơn Nhà xuất bản, Ban chủ nhiệm Khoa CNTT - Học viện KTQS, Ban Chủ nhiệm Bộ môn Toán Khoa CNTT đã đề ra chủ trương xuất bản và tạo những điều kiện tốt nhất dể tài liệu này có thể nhanh chóng hoàn thành. Đặc biệt tác giả bày tỏ lòng qúy trọng với PGS TS Nguyễn Xuân Viên, TS Nguyễn Thanh Hà, TS Nguyễn Bá Long, CN Tạ Ngọc Ánh, CN Tô Văn Đinh, CN Nguyễn Hồng Nam, CN Phạm Văn Khánh, CN Nguyễn Quốc Tuấn đã đọc toàn bộ hoặc từng phần bản thảo cũng như bản đánh máy. Tác giả 8 Trang chẵn bỏ 9 MỘT SỐ KÝ HIỆU DÙNG TRONG SÁCH • R , +R , *+R tập các số thực, tập các số thực không âm, tập các số thực dương. • N , *N tập các số nguyên không âm, tập các số nguyên dương. • Z tập các số nguyên {0; ± 1; ± 2;...}. • Q tập các số hữu tỉ. • C tập các số phức. • (a; b) khoảng mở {x ∈ R , a < x < b}. • [a; b) khoảng nửa mở { x ∈R , a ≤ x < b}. • [a; b] đoạn { x ∈R , a ≤ x ≤ b}. •[x], E(x) phần nguyên của số thực x. •{x} phần phân (lẻ) của số thực x {x} = x - [x] ; tập hợp gồm 1 phần tử x • n ! giai thừa n ! = 1. 2. 3... n. • n!! giai thừa kép (2n-1)!! = 1. 3. 5... (2n-1); (2n)!! = 2. 4. 6... (2n). • knC số tổ hợp chập k của n phần tử, chính là hệ số của khai triển Newton: ( ) !kn!k !nCkn −= 0 ≤ k ≤ n, k, n ∈N . • Max A(MinA) phần tử lớn nhất (nhỏ nhất) của tập A. • Sup A (Inf A) cận trên đúng (cận dưới đúng) của tập A. • x giá trị tuyệt đối của số thực x, modul của số phức x. • Re(z), Im(z) phần thực, phần ảo của số phức z. • f(x)- hàm số; - giá trị của hàm f tại điểm x. • ( ) axxf = - giá trị của hàm f tại điểm x = a. • BA:f → - Ánh xạ từ A vào B; - hàm số với tập xác định là A, tập giá trị chứa trong B. • ∞→n n xlim giới hạn của dãy số {xn}. • ∞→ = n n kxlim hay xn → k (n → ∞) dãy xn dần đến k khi n dần đến ∞. • nn xx lim,lim giới hạn trên, giới hạn dưới của dãy {xn}. 10 • ( ) ax xf → lim giới hạn của hàm số f(x) khi x dẫn đến a. • ( ) ( )( ) −→+→ axax xfxf lim,lim giới hạn của hàm số f(x) khi x dần đến a về bên phải (về bên trái). • ( ) ( ) dx xdfxf ;' đạo hàm bậc nhất của hàm f(x). • ( ) ( )( )00 xfxf '' −+ đạo hàm phía phải (trái) của hàm f(x) tại x0. • ( )( ) ( )n n n dx xfdxf ; đạo hàm bậc n của hàm f(x). • ...f, y f,f, x f , y , x ∂ ∂ ∂ ∂ các đạo hàm riêng bậc một của hàm nhiều biến. • ,...,, '' yx ff x f 2 xx2 2 ∂∂ ∂ ∂ ∂ các đạo hàm riêng bậc hai của hàm nhiều biến. • fd,df 2 ... vi phân cấp một, cấp hai,... của hàm f(x). • ∞.,.,.,. 21 chuẩn, chuẩn tổng các giá trị tuyệt đối, chuẩn Euclide, chuẩn Max trên nR . • B(a,r) hình cầu mở tâm a, bán kính r. ( ) ( )af;af υ∂ ∂ υ∂ ∂ → đạo hàm theo hướng véc tơ 2R∈υ→ • ( )dxxf a∫∞ tích phân suy rộng loại 1 của hàm f(x) trên [ )∞+;a . • ( ) ( ))(xgoxf = f(x) là vô cùng bé bậc cao hơn so với vô cùng bé g(x). • ( ) ( ))(xgOxf = f(x) là vô cùng bé cùng bậc so với vô cùng bé g(x). • ( )xf ∼ )x(g ( )xf là vô cùng bé tương đương với vô cùng bé g(x). 11 Chương I GIỚI HẠN DÃY SỐ §1.0. TÓM TẮT LÝ THUYẾT SỐ THỰC * Ta nói x ∈R là một cận trên của tập A ⊂ R nếu ∀a ∈ A, a ≤ x. Ta nói y ∈R là một cận dưới của tập A ⊂ R nếu ∀a ∈ A, y ≤ a. Ta nói x là phần tử lớn nhất (hay giá trị lớn nhất) hoặc cận trên đúng của tập A ⊂ R nếu: x ∈ A, a ≤ x ∀a ∈ A. Kí hiệu giá trị lớn nhất của tập A là Max (A). Tương tự những điều trên đối với giá trị nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất của tập A kí hiệu là Min (A). Tập A ⊂ R được gọi là bị chặn trên nếu A có ít nhất 1 cận trên; được gọi là bị chặn dưới nếu A có ít nhất 1 cận dưới. A ⊂ R được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới. * Phần tử bé nhất trong các cận trên của A ⊂ R , nếu tồn tại, được gọi là cận trên đúng của A, kí hiệu là Sup (A). Phần tử lớn nhất trong các cận dưới của A ⊂ R , nếu tồn tại, được gọi là cận dưới đúng của A, kí hiệu là Inf(A). Tiên đề về cận trên đúng. Mọi tập con không rỗng và bị chặn trên của R đều có cận trên đúng. Tiên đề trên tương đương với: Mọi tập con không rỗng và bị chặn dưới của R đều có cận dưới đúng. * Nếu A không bị chặn trên, ta quy ước viết Sup(A) = + ∞; nếu A không bị chặn dưới, ta quy ước viết Inf(A) = - ∞. * Cho A ⊂ R là tập con không rỗng. Khi đó: + M là một cận trên của A; M = Sup(A) ⇔ + ∀ε > 0, ∃a ∈ A, M - ε< a ≤ M. * Căn bậc n của số dương. ∀a ∈ +R , ∀n nguyên dương, tồn tại duy nhất 12 b ∈ +R sao cho bn = a. Phần tử b này được kí hiệu bởi n a hay a1/n và gọi là căn bậc n của a. Với n = 2, ta kí hiệu a thay cho 2 a . * Tính chất Archimede. R có tính chất Archimede, cụ thể là: ∀ ε > 0; ∀ A > 0, ∃ n ∈ *N : n ε > A. * Phần nguyên. Với mọi x ∈ R , tồn tại duy nhất số nguyên n ∈Z sao cho n ≤ x < n + 1. Số nguyên như vậy được gọi là phần nguyên của x, kí hiệu [x], hoặc E(x). * Cho 2 tập số thực A, B, hơn nữa A ⊂ B. Ta nói tập A là trù mật trong tập B nếu ε+ε∀∈∀ bab:Aa;0,Bb . * Tập các số hữu tỉ Q trù mật trong R . * Tập các số vô tỉ QR \ trù mật trong R . * Khoảng mở rộng. Cho a, b ∈ R , a < b. Có 9 loại khoảng: [a;b]; [a;b); (a;b]; (a;b); (- ∞;a] ; (-∞; a); [a; + ∞); (a; + ∞); (- ∞; + ∞), được gọi chung là các khoảng mở rộng; 4 loại đầu được gọi là bị chặn; a (b) được gọi là mút của khoảng. DÃY SỐ * Dãy { }nu được gọi là hội tụ đến λ (hay có giới hạn λ) nếu với mọi số ε > 0, tồn tại N ∈ N sao cho ,un ε N. Khi đó ta viết λ= ∞→n n ulim hay un → λ (n →∞). * Ta nói { }nu là dãy hội tụ nếu tồn tại λ ∈ R để λ=∞→n nulim . Ta nói { }nu phân kì nếu nó không hội tụ. * Ta nói { }nu tiến đến + ∞ (hay { }nu dần ra + ∞, hay { }nu nhận + ∞ làm giới hạn) nếu ∀ L > 0; ∃ N ∈N , ∀n > N, un ≥ L. Khi đó ta viết ∞+= ∞→n n ulim hoặc un → +∞ (n →∞). * Ta nói { }nu tiến đến ∞ (hay { }nu có giới hạn ∞,...) và viết ∞=∞→n nulim nếu: ∀ L > 0; ∃ N ∈N , ∀n > N, Aun ≥ . * Tính chất về thứ tự của giới hạn. + Nếu an ≤ bn với n ≥ n0 nào đó, bblim,aalim n n n n == ∞→∞→ thì a ≤ b. 13 + Định lý kẹp. Cho { } { } { }nnn wvu ,, là 3 dãy. Nếu từ một chỉ số N nào đó trở đi xảy ra bất đẳng thức un ≤ wn ≤ vn còn { }nu và { }nv hội tụ đến cùng một giới hạn λ. Khi đó { }nw cũng hội tụ đến λ. * Các tính chất của dãy hội tụ. { }nu , { }nv là 2 dãy; r, λ, 'λ là 3 số thực. Ta có: 1. ( ) ( )∞→→⇒∞→→ nunu nn λλ . 2. ( ) ( )∞→→⇒∞→→ n0un0u nn . 3. ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ∞→±→±⇒∞→→ → .nvunv u ' nn ' n n λλλ λ 4. ( ) ( )∞→λ→λ⇒∞→→ nunu nn λλ . 5. ( ) { } ( )⎩⎨ ⎧ ∞→→⇒ ∞→→ .n0vucnbiv n0u nnn n 6. ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ∞→→⇒∞→→ → .nvunv u ' nn ' n n λλλ λ 7. ( ) { }nn u/1n0u ⇒∞→≠→λ được xác định từ một chỉ số N nào đó và 1/un → 1/λ (n → ∞). 8. un → λ; vn → 0' ≠λ (n → ∞) ⇒ {un/vn} được xác định từ một chỉ số N nào đó và 'n n n v ulim λ λ=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∞→ . * Sự hội tụ của dãy đơn điệu. { }nu được gọi là dãy tăng (giảm) nếu un+1 ≥ un (un+1 ≤ un) với mọi n. { }nu được gọi là tăng (giảm) thực sự nếu un+1 > un (un+1 < un) với mọi n. Dãy tăng hoặc giảm gọi chung là dãy đơn điệu. Dãy tăng (giảm), bị chặn trên (dưới) thì hội tụ. Dãy tăng, không bị chặn trên thì dần ra + ∞. * Dãy kề nhau. Hai dãy { }nu và { }nv được gọi là kề nhau nếu { }nu tăng, { }nv giảm và vn - un → 0 (n → ∞). 14 Hai dãy { }nu và { }nv kề nhau thì chúng hội tụ đến cùng một giới hạn λ. Hơn nữa n1n1nn vvuu ≤≤≤≤ ++ λ ∀n ∈N . * Dãy con. Cho dãy { }nu : u1, u2, u3 ... Dãy { }knu với các chỉ số thoả mãn: n1 < n2 < n3 < ... được gọi là 1 dãy con trích ra từ dãy { }nu . * Nếu { }nu có giới hạn λ thì mọi dãy con trích ra từ đó cũng có giới hạn λ . * Cho { }nu là một dãy, λ∈ R . Khi đó un → λ(n→∞) khi và chỉ khi λ=∞→ n2n ulim và λ=+∞→ 1n2n ulim . Có thể mở rộng định lý này bằng cách tách dãy { }nu thành hai hoặc k dãy con rời nhau. * Bổ đề Bolzano - Weierstrass. Từ một dãy số thực bị chặn luôn có thể trích ra một dãy con hội tụ. * Nếu từ dãy{ }nx có thể trích ra một dãy con { }knx hội tụ đến giới hạn a ∈ R thì a được gọi là điểm giới hạn của dãy đã cho. * Giới hạn trên, giới hạn dưới. { }nu là dãy số. { }knu là một dãy con của nó thoả mãn - λ=∃ ∞→ knk ulim ; - Đối với mọi dãy con { }kmu khác mà 'kmk ulim λ=∃ ∞→ thì λλ ≤' . Khi đó λ được gọi là giới hạn trên của dãy { }nu , kí hiệu nulim . Tương tự ý nghĩa cho nulim . Ta có: a) Luôn tồn tại ∞+≤nulim ; hơn nữa nếu { }nu không bị chặn trên thì ∞+=nulim . b) Nếu { }nu bị chặn trên bởi M thì Mulim n ≤ . c) λλ ==⇔=∞→ nnnn ulimulimulim . * Dãy Cauchy. Dãy { }nu được gọi là dãy Cauchy nếu ∀ ε > 0, ∃N ∈ *N , ∀ m, n > N: ε≤− mn xx . * { }nu là dãy Cauchy 15 ⇔ ∀ ε > 0, ∃N ∈ *N , ∀ n > N: ε≤− +pnn xx , ∀p ≥ 0. * Dãy { }nu là dãy Cauchy khi và chỉ khi nó hội tụ. * Dãy { }na được gọi là vô cùng bé so với dãy { }nb , viết an = o (bn) nếu 0 b a lim n n n =∞→ . * Dãy{ }na được gọi là cùng bậc với dãy { }nb , viết an = O (bn) nếu 0k b a n n n ≠= ∞→ lim . * Dãy { }na được gọi là tương đương với { }nb , nếu 1b a n n n =∞→lim , viết an ∼ bn. * Một số giới hạn đặc biệt + ( );ne n 11 n ∞→→⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + + ( ) ( );0an1an >∞→→ + ( );ne !n 1... !2 111 ∞→→++++ + ( )∞→∞+→++++ n n 1... 3 1 2 11 ; + ( )∞→π→++++ n 6n 1... 3 1 2 11 2 222 . CHUỖI SỐ * Cho { }nu là một dãy số. Tổng hình thức ∑∞ = =++ 1n n21 u...uu được gọi là một chuỗi số. ,...u,u 21 : các số hạng; un: số hạng thứ n hay số hạng tổng quát. n21n u...uuS +++= : tổng riêng thứ n. Nếu tồn tại gới hạn hữu hạn SSlim n n =∞→ ta nói chuỗi hội tụ, có tổng S và viết ∑∞ = = 1n nuS . Trái lại, ta nói chuỗi phân kì. * Chuỗi phần dư. ∑∞ += = 1ni in uR được gọi là phần dư thứ n của chuỗi. Chuỗi hội tụ khi và chỉ khi Rn hữu hạn và ( )∞→→ n0R n . 16 * Sự hội tụ hay phân kì của chuỗi không thay đổi khi ta thêm, hoặc bớt, hoặc thay đổi một số hữu hạn số hạng của chuỗi. * Nếu các chuỗi ∑∑ ∞ = ∞ = 1n n 1n n v,u hội tụ thì các chuỗi ( ) ( ) ( )∑∑ ∞ = ∞ = ±∈∀ 1n nn 1n n vu,aua R cũng hội tụ và ( ) ∑∑∑∑∑ ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = ±=±= 1n n 1n n 1n nn 1n n 1n n vuvu;uaua . * Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của chuỗi số. Chuỗi ∑∞ =1n nu hội tụ :0q,Np,N,0 >∀≥∀∃>ε∀⇔ ε≤=− ∑+ += + qp 1pn npqp uSS . * Khi n0an ∀≥ , chuỗi ∑∞ =1n na được gọi là chuỗi số dương. * Chuỗi số dương ∑∞ =1n na hội tụ khi và chỉ khi dãy tổng riêng{ }nS bị chặn. * Cho hai chuỗi số dương ∑∑ ∞ = ∞ = 1n n 1n n v,u sao cho nn vu0 ≤≤ . Khi đó + Nếu ∑∞ =1n nv hội tụ thì ∑∞ =1n nu hội tụ; + Nếu ∑∞ =1n nu phân kì thì ∑∞ =1n nv phân kì. * Nếu ( )∞+∈=∞→ ;0kv u lim n n n thì hai chuỗi ∑∞ =1n nu và ∑∞ =1n nv cùng hội tụ hoặc cùng phân kì. * Tiêu chuẩn D’Alembert. Giả sử đối với chuỗi số dương ∑∞ =1n nu tồn tại giới hạn λ=+ ∞→ n 1n n u ulim . 17 Nếu 1<λ thì chuỗi ∑∞ =1n nu hội tụ; 1>λ thì chuỗi phân kì. * Tiêu chuẩn Cauchy. Cho chuỗi số dương ∑∞ =1n nu sao cho λ=∞→ n n n ulim . Nếu 1<λ thì chuỗi ∑∞ =1n nu hội tụ; 1>λ thì chuỗi phân kì. * Tiêu chuẩn tích phân. Cho hàm f(x) liên tục, không âm, đơn điệu giảm trên [ )∞+;a . Khi đó tích phân suy rộng ( )dxxf a∫ ∞+ và tổng ∑ ∞ =1n nu với un = f(n) cùng hội tụ hoặc cùng phân kì. §1.1. SỐ THỰC Bài 1.1.1. Tìm Inf, Sup, Min, Max (nếu có) của các tập: a) [ ] [ ]{ }0x:x/1xA >+= ; b) ( ) ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ∈−+= * n n n:n 1 2 1B N ; c) ( ) ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ∈−−+= *2 n n:n n 11C N ; d) ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ∈π+ −= *n: 3 n2sco 1n 1nD N ; e) { }0x:22E x/1x >+= Giải. a) Từ chỗ 1 x 1x = suy ra 1x ≥ hoặc 1 x 1 ≥ . Vậy [ ] 1x ≥ hoặc 1 x 1 ≥⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ , từ đó [ ] 1 x 1x ≥⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡+ . Mặt khác 1 3 2 2 3 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡+⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ . Vậy ,1MinAAInf == đạt được tại, chẳng hạn, x = 3/2. 18 Chúng ta cũng có thể xét hàm ( ) [ ] ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡+= x 1xxf trên các tập { } { } [ ]∞+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⎥⎦ ⎤⎜⎝ ⎛ ;2;1;1\2; 2 1; 2 1;0 rồi suy ra kết luận. Vì ( ) ∞+= ∞+→ xflim x nên SupA = + ∞. b) Đặt ( ) n 1 2 1u n nn −+= . Với *k N∈ ta có: + 2k2k2 u4 3 k2 1 2 1u =≤+= . + ; 8 1 2 1 1k2 1 2 1u 1k21k21k2 ≤≤+−= +++ 2 1u 3 1 1k2 1 1k2 1 2 1u 11k21k2 −=≥−≥+−≥+−= ++ . Vậy . 4 3uMaxBSupB; 2 1uMinBInfB 21 ===−=== c) Đặt ( ) *2nn n,nn 11u N∈−−+= . + ,n2n n 2u 22n −≤−< vậy B không bị chặn dưới. + 1u1 −= . + 242n2u 2n −=−≤−≤ với n = 2, 3, ... Vậy 1uBMaxBSup;BInf 1 −===∞−= . d) Với k = 0, 1, 2, ... ta có + ( ) ( )∞→−↓⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + −=+−=≥ + k2 1 k3 212 1 2k32 k3u0 1k3 . + ( ) ( )∞→−↓⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++ −=+ +−=≥ + k2 1 1k3 212 1 3k32 1k3u0 2k3 . + ( )∞→↑ ++ =+ +=< + k1 2k3 21 1 4k3 2k3u0 3k3 . Vậy 1SupD; 2 1InfD =−= . 19 e) Ta có ( ) 4222222 2x/1xx/1x =≥≥+ + ; Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1/x hay x = 1. Vậy 4MinEInfE == , đạt được tại x = 1. + ( ) ∞+=+∞+→ x/1xx 22lim , vậy ∞+=SupE . Bài 1.1.2. Cho A, B là hai tập con khác trống trong R , kí hiệu: { }Ax:xA ∈−=− ; { };By;Ax:yxBA ∈∈+=+ { }.By;Ax:yxBA ∈∈−=− Chứng minh rằng a) ( ) ( ) InfAASup;SupAAfIn −=−−=− ; b) ( ) ( ) ( )BSupASupBASup +=+ ; c) ( ) ( ) ( )BInfASupBASup −=− . Giải. a) Giả sử A bị chặn trên, đặt M = SupA. Với mọi ( )Ax −∈ thì Ax ∈− nên Mx ≤− hay xM ≤− ; vậy M− là một cận dưới của (-A). Cho n là một cận dưới của ( ) an,Aa:A −≤∈∀− . Suy ra na −< , thế thì n− là một cận trên của A. Vậy nM −≤ hay Mn −≤ . Suy ra M− là cận dưới bé nhất của (-A). Nếu A không bị chặn trên: ∞+=SupA , dễ thấy (-A) không bị chặn dưới hay ( ) ∞−=−AInf Tương tự, Sup(-A) = -InfA ; (a) được chứng minh. b) Giả sử cả A và B đều bị chặn trên đặt M = SupA; N = SupB. Lấy ;BAc +∈ tồn tại Bb;Aa ∈∈ để c = a + b, suy ra NMc +≤ . Điều này chứng tỏ M + N là một cận trên của A + B. Hơn nữa, với mọi 0>ε , tồn tại By;Ax ∈∈ sao cho Ny 2 N;Mx 2 M ≤<ε−≤<ε− do đó NMyxNM +≤+<ε−+ . Vì ,BAyx +∈+ từ định nghĩa suy ra ( )BASupNM +=+ . Nếu A hoặc B (hoặc cả hai) không bị chặn trên thì A + B cũng không bị chặn trên. Từ định nghĩa ta suy ra ( ) SupBSupABASup +=∞=+ . 20 c) Đẳng thức (c) là hệ quả của (a) và (b). Thật vậy, Sup(A-B) = Sup (A+(-B)) = SupA + Sup(-B) = SupA - InfB. Lưu ý. Lập luận tương tự như trên ta còn chứng minh được: + Inf(A+B) = InfA + InfB; + Inf(A-B) = InfA - SupB; + Với ( ) ( )ASup/1AInf;A 1* =⊂ −+R ... Bài 1.1.3. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng ∑ =