Nội suy và xấp xỉ hàm số

Chương 3 Nội suy và xấp xỉ hàm số 3.1. Số gia hữu hạn Cho giá trị của hàm số (x) tại các điểm mốc Là …, 1. Số gia hữu hạn tiến - Số gia hữu hạn tiến bậc 1 của hàm (x) tại điểm x là Số gia hữu hạn tiến bậc 2 và bậc cao hơn: ………………………………………………………. k=1,2,… Hoặc là một số (hệ số binôm) 2. Số gia hữu hạn lùi Số gia hữu hạn lùi bậc 1, 2 và bậc cao hơn của hàm (x) tại điểm x ……………………………………………………………… 3. Số gia hữu hạn trung tâm Số gia hữu hạn trung tâm bậc 1, 2 và bậc cao hơn của hàm (x) tại điểm x …………………………………………………… 3.2. Các bảng số gia Bảng số gia hữu hạn tiến Bảng số gia hữu hạn lùi 3.3. Các phương pháp nội suy 1. Nội suy với mốc cách đều xét cách biểu diễn một đa thức theo số gia hữu hạn Nếu thay cho việc dùng biến x khi các mốc cách đều ta dùng biến Thì các mốc được thay thế bằng u = -m , -m+1, … , 0 , 1 , … , m Nội suy Gregory-Newton tiến Ta dùng một loại đa thức được gọi là đa thức giai thừa Khi đó, theo định nghĩa (3.1), số gia hữu hạn tiến bậc 1 của u[k] Tương tự Nếu |(N+1)(x)|<M1, M1 là một số dương đủ nhỏ thì công thức nội suy Gregory-Newton tiến với sai số EN là i y0 = i PN (x0), i =0, 1, 2, …, N yj = PN (xj) = (xj) , j = 0, 1, 2, …, N, x0 <  < xN Tại điểm x = x0 + ph Nội suy Gregory-Newton lùi Ta dùng một loại đa thức được gọi là đa thức giai thừa Khi đó, theo định nghĩa (3.2), số gia hữu hạn lui bậc 1 của u[k] Tương tự Ta nhận thấy u1 = u[1], u2 = u(u+1)-u = u[2] - u[1], u3 = u(u+1)(u+2) + 3u(u+1) + u = u[3] -3 u[2] + u[1] Tức là uk có thể biểu diễn thành một đa thức của các đa thức giai thừa u[i], i = 1, 2, …, k và do PN(x) = PN(x0+ uh) Là một đa thức bậc N của u[i] , cho nên ta có thể viết Tính c0, c1,…,cN : Tại thời điểm x=x0 hay u=0 ta tính PN(x) và kPN(x)   Như vậy: Nếu |(N+1)(x)|<M1, M1 là một số dương đủ nhỏ thì công thức nội suy Gregory-Newton lui với sai số EN là i y0 = i PN (x0), i =0, 1, 2, …, N yj = PN (xj) = (xj) , j = 0, 1, 2, …, N, x0 <  < xN Tại điểm x = x0 + ph Nội suy Gauss Gauss tiến: Nếu số hạng cuối cùng là (u+k-1)[2k]2kyo/(2k)! thì sai số là: Nếu số hạng cuối là thì sai số là Gauss lùi Nếu số hạng cuối cùng là thì sai số là: Nếu số hạng cuối là thì sai số là 2. Nội suy với mốc không cách đều Nội suy Lagrange Trên đoạn a≤x≤b cho một lưới các điểm chia (điểm nút) xi, i = 0, 1, 2, …, n: a ≤ x0, x1, x2, …, xn ≤ b tại các nút xi cho giá trị của hàm số y = f(x) là yi = f(xi), i = 0, 1, 2, …, n Nội suy bằng đa thức Newton Phương pháp xấp xỉ bình phương cực tiểu Giả sử có 2 dạng đại lượng x và y có liên hệ phụ thuộc nhau theo một dạng đã biết: y = a + bx + cx2 + …. Chưa biết các giá trị cụ thể a, b, c … Các cặp giá trị tương ứng (xi , yi) đã biết: Trường hợp y = a + bx Ta có yi – a – bxi = i i = 1, 2, 3, …., n Là các sai số tại xi, do đó: S = (yi – a – bxi)2 là tổng bình phương của các sai số S phụ thuộc a, b, còn xi, yi đã biết Xác định a, b sao cho S bé nhất  a,b là nghiệm của hệ pt:  na + bxi = yi axi + bxi2 = xiyi Trường hợp: y = a + bx + cx2 Thì a, b, c là nghiệm của hệ chính tắc:  na + bxi + cxi2 = yi axi + bxi2 + cxi3 = xiyi a xi2 + bxi3 + cxi4 =  xi2yi