Ôn tập Tốt nghiệp môn Toán 2010

TN.THPT.2010 90 GV: Dng Phc Sang TRANG GHI CHÚ
℡ .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. .............................................................................................................. TRNG THPT CHU V N AN T TOÁN – TIN Dng Phc Sang Moân Toaùnùùù 2010 OÂn taäp Toát nghieäp www.VNMATH.com www.VNMATH.com GV: Dng Phc Sang 89 TN.THPT.2010 Đề số 30 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số 1 1 x y x + = − có đồ thị ( )C . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số. 2. Tìm tất cả những điểm trên ( )C có toạ độ nguyên. Câu II (3,0 điểm): 1. Giải bpt: 2 0,5 0,5 log (4 11) log ( 6 8)x x x+ < + + 2. Tìm m để hàm số 3 2 2( ) 3 3( 1)f x x mx m x m= − + − + (1) đạt cực tiểu tại điểm x = 2 3. Tính tích phân: 3 2 3. ln e e dx I x x = ∫ Câu III (1,0 điểm): Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA ⊥ (ABC). Biết AC = 2a, SA = AB = a. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ A đến mp(SBC). II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) A. Theo chương trình chuẩn Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian Oxyz, cho M(0;1;–3); N(2;3;1) 1.Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua N và vuông góc với đường thẳng MN. 2.Viết phương trình của mặt cầu (S) đi qua 2,0 điểm M, N và tiếp xúc với mặt phẳng (P). Câu Va (1,0 điểm): Tính 2 2(1 2. ) (1 2. )P i i= + + − B. Theo chương trình nâng cao Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;–3;3), đường thẳng d: 3 1 2 1 x y z + = = − và mp (P): 2 2 9 0x y z+ − + = . 1.Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm A và song song với đường thẳng d. 2.Tìm toạ độ điểm I thuộc đường thẳng ∆ sao cho khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (P) bằng 2. Câu Vb (1,0 điểm): Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện: 4 2 8 16 4z i i z− = − + − ---------- Hết ---------- www.VNMATH.com www.VNMATH.com TN.THPT.2010 88 GV: Dng Phc Sang Đề số 29 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: y = 4 2 1 2 4 y x x= − 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho. 2. Tìm m để pt: 4 28 0x x m− + + = có 4 nghiệm thực phân biệt. Câu II (3,0 điểm): 1. Tìm GTLN,GTNN của 4 ( ) 2 3 f x x x =− + − − trên đoạn 0;2    2. Tính tích phân: ln 2 20 9 x x e dx I e = −∫ 3. Giải phương trình: 4 4 4 log log ( 2) 2 log 2x x+ − = − Câu III (1,0 điểm): Cắt 1 hình nón bằng mp(P) qua trục của nó ta được một thiết diện là tam giác đều cạnh a. Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích khối nón được tạo nên bởi hình nón đó? II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) A. Theo chương trình chuẩn Câu IVa (2,0 điểm): Cho điểm (3; 1;2)I − và ( ) : 2 3 0x y zα − + − = 1. Viết pt đường thẳng đi qua I và vuông góc với mặt phẳng (α). 2. Viết phương trình mặt phẳng (β) đi qua I và song song với mặt phẳng (α). Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α) và (β). Câu Va (1,0 điểm): Tính z , biết: 2 1 ( 3 2 )( 3 2 ) (3 ) 2 z i i i= + − − + B. Theo chương trình nâng cao Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian Oxyz, cho điểm ( 2;1; 1)A − − và đường thẳng 3 4 : 2 1 3 x y z d − − = = − 1. Viết ptmp(P) chứa đường thẳng (d) và đi qua điểm A. 2. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d). 3. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A và cắt (d) tại hai điểm có độ dài bằng 4. Câu Vb (1,0 điểm): Giải phương trình sau trên tập số phức: 2 (3 4 ) ( 1 5 ) 0z i z i− + + − + = ---------- Hết ---------- GV: Dng Phc Sang 1 TN.THPT.2010 Phn I. KH O SÁT HÀM S I. CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 1 Tìm tập xác định D. 2 Tính đạo hàm y ′ . 3 Cho 0y ′ = để tìm các nghiệm x0 và các số xi làm y ′KXĐ. 4 Tính lim ; lim x x y y →−∞ →+∞ và tìm các tiệm cận (nếu có). 5 Vẽ bảng biến thiên và điền đầy đủ các chi tiết của nó. 6 Nêu sự ĐB, NB và cực trị của hàm số. 7 Tìm 1 số điểm đặc biệt trên đồ thị hàm số.  Giao điểm với trục hoành: cho y = 0 và tìm x.  Giao điểm với trục tung: cho x = 0 và tìm y.  Tìm điểm uốn (đối với hàm số bậc ba). 8 Bổ sung 1 số điểm và vẽ đồ thị hàm số. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số a. Dạng 1: Viết pttt tại 1 điểm M0. Xác định x0, y0 (hoành độ & tung độ của điểm M0) Tính y ′ sau đó tính 0 ( )y x′ hay 0 ( )f x′ Dùng công thức để viết pttt 0 0 0 ( )( )y y f x x x′− = − b. Dạng 2: Viết pttt biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước Tính y ′ suy ra 0( )f x′ Cho 0( )f x k′ = để tìm nghiệm x0 (nhớ: x0 chứ không phải x) Có x0, tìm y0 và dùng công thức viết pttt 3. Biện luận số nghiệm phương trình bằng đồ thị (C ):y = f(x) 1 Đưa phương trình về dạng: f(x) = BT(m) 2 Lập luận: số nghiệm của phương trình đã cho bằng với số giao điểm của đồ thị ( )C : y = f(x) và đường thẳng y = BT(m). 3 Vẽ 2 đường đó lên cùng 1 hệ trục toạ độ và lập bảng kết quả Lưu ý: đôi khi bài toán chỉ cho tìm tham số m để pt có 3 hay 4 nghiệm, ta không lập bảng KQ như trên mà dựa vào đồ thị ta nêu trường hợp đúng với yêu cầu của bài toán là được. m BT(m) Số giao điểm… Số nghiệm pt… … … …. …. www.VNMATH.com www.VNMATH.com TN.THPT.2010 2 GV: Dng Phc Sang 4. Tính diện tích hình phẳng a.Hình phẳng giới hạn bởi 1 đường: ( )y f x= , trục hoành, ,x a x b= = (a b≤ ) ( ) b a S f x dx= ∫ Lưu ý: Cho ( ) 0f x = (1) để tìm nghiệm của nó: ☺ Nếu (1) không có nghiệm trên đoạn [a;b] thì ( ) ( ) b b a a S f x dx f x dx= =∫ ∫ ☺ Nếu (1) có đúng 1 nghiệm ;c a b∈ [ ] thì ( ) ( ) ( ) b c b a a c S f x dx f x dx f x dx= = +∫ ∫ ∫ ☺ Nếu (1) có đúng 2 nghiệm 1 2 , ;c c a b∈ [ ] (và < 1 2 c c ) thì 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) b c c b a a c c S f x dx f x dx f x dx f x dx= = + +∫ ∫ ∫ ∫ b.Hình phẳng giới hạn bởi 2 đường: ( )y f x= , ( )y g x= , ,x a x b= = (a b≤ ) ( ) ( ) b a S f x g x dx= −∫ Lưu ý: Để tính tích phân trên ta cũng cho ( ) ( ) 0f x g x− = (2) để tìm nghiệm thuộc [a;b] rồi chia tích phân cần tính thành 1 hoặc nhiều tích phân trên các đoạn con của đoạn [a;b] 5. Tính thể tích vật thể tròn xoay Hình H: ( )y f x= , Ox, ,x a x b= = quay quanh trục hoành Ox 2[ ( )] b a V f x dxpi= ∫ 6. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên đoạn [a ; b] cho trước 1 Ghi nhận xét: hàm số ( )y f x= liên tục trên đoạn [a;b] đã cho. 2 Tính y ′ 3 Cho 0y ′ = để tìm các nghiệm xi ∈ [a;b] và các số jx ∈ [a;b] làm cho y ′không xác định. 4 Tính các f(xi), f(xj) và f(a), f(b) 5 Chọn GTLN và GTNN cho hàm số từ các kết quả ở bước 4. GV: Dng Phc Sang 87 TN.THPT.2010 Đề số 28 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số 4 22y x x= − + . 1. Khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị ( )C của hàm số. 2. Biện luận theo m số nghiệm phương trình: 4 22 0x x m− + = . Câu II (3,0 điểm): 1. Giải phương trình: 3 3 2log log ( 2) log 2 0x x+ + − = 2. Tính tích phân: 2 2 1 3I x x dx= +∫ 3. Tìm GTLN,GTNN của 3 23 9 35y x x x= − − + trên [–4;4]. Câu III (1,0 điểm): Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông tại B,
060ACB = , cạnh BC = a, đường chéo A′B tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 300. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′. II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) A. Theo chương trình chuẩn Câu IVa (2,0 điểm): Cho mặt cầu (S): 2 2 2 2 4 6 0x y z x y z+ + − − − = . 1. Tìm toạ độ tâm mặt cầu và bán kính mặt cầu. 2. Mặt cầu (S) cắt ba trục toạ độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A,B,C khác gốc O. Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Câu Va (1,0 điểm): Chứng minh rằng: 4 2(1 ) 2 (1 ) 0i i i+ − + = . B. Theo chương trình nâng cao Câu IVb (2,0 điểm): Cho hai đường thẳng ∆ và ∆′ lần lượt có phương trình như sau: 23 : 1 2 , : 4 2 2 x tx t y t y t z z t  ′ = − + = +    ′′∆ = − + ∆ =   =  ′= +   1. Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trên. 2. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆ và song song với ′∆ Câu Vb (1,0 điểm): Tìm căn bậc hai của số phức sau: 4 6 5z i= + ---------- Hết ---------- www.VNMATH.com www.VNMATH.com TN.THPT.2010 86 GV: Dng Phc Sang Đề số 27 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số 3 2 x y x + = − . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho. 2. Biện luận theo m số giao điểm của ( )C và (d): y = mx – 1. Câu II (3,0 điểm): 1. Giải bất phương trình: 2 2 log log ( 2) 3x x+ − > 2. Tính tích phân: 2 2 0 1I x dx= −∫ 3. Tìm GTLN,GTNNcủa hàm số y = sin2x – x trên ; 2 2 pi pi  −    . Câu III (1,0 điểm): Tính thể tích hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a. II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) A. Theo chương trình chuẩn Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;4;2) và mặt phẳng (P) có phương trình x + 2y + z – 1 = 0. 1. Viết phương trình đường thẳng d qua A và vuông góc với (P). 2. Tìm toạ độ hình chiếu của điểm A trên (P). Câu Va (1,0 điểm): Giải phương trình z2 – 2z +5 = 0 trên tập số phức và tính môđun của các nghiệm này. B. Theo chương trình nâng cao Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian Oxyz, cho điểm A(–1;2;3) và đường thẳng d có phương trình 2 1 1 2 1 x y z− − = = . 1. Viết phương trình (P) qua A và vuông góc với đường thẳng d. 2. Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với d. Câu Vb (1,0 điểm): Viết dưới dạng lượng giác của số phức z = 1 – 3i . ---------- Hết ---------- GV: Dng Phc Sang 3 TN.THPT.2010 7. Điều kiện để hàm số có cực trị 1 ĐK cần: bài toán cho hàm số ( )y f x= đạt cực trị tại 1 điểm x0 nào đó thì ta dùng 0( ) 0f x′ = (nếu hàm số có đạo hàm tại 0x ) 2 Nếu dấu của y ′ là dấu của một tam thức bậc hai có biệt thức ∆ thì hàm số ( )y f x= có 2 cực trị 0⇔ ∆> 8. Biện luận số giao điểm của (C):y = f(x) với (H): y = g(x) Để biện luận số giao điểm của 2 đường nêu trên ta lập phương trình hoành độ giao điểm của chúng. Số nghiệm của PTHĐGĐ bằng với số giao điểm của 2 đường đã nêu. II. BÀI TẬP MINH HOẠ Bài 1 : Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau đây: a. 3 3 2y x x= − + b. 4 22y x x= − c. 2 3 2 1 x y x + = − Bài giải Câu a: Hàm số 3 3 2y x x= − + TXĐ: D = R Đạo hàm: 23 3y x′ = − Cho 20 3 3 0 1y x x′ = ⇔ − = ⇔ = ± Giới hạn: lim ; lim x x y y →−∞ →+∞ = −∞ = +∞ Bảng biến thiên: x –∞ –1 1 +∞ y ′ + 0 – 0 + y 4 +∞ –∞ 0 Hàm số ĐB trên các khoảng (–∞;–1) và (1;+∞) NB trên khoảng (–1;1) Hàm số đạt cực đại bằng 4 tại CÑ –1x = đạt cực tiểu bằng 0 tại CT 1x = Cho 6 . 0 0y x y x′′ ′′= = ⇔ = . Điểm uốn (0;2)I Giao điểm với trục hoành: 0 2; 1y x x= ⇔ = − = Giao điểm với trục tung: 0 2x y= ⇒ = www.VNMATH.com www.VNMATH.com TN.THPT.2010 4 GV: Dng Phc Sang Đồ thị hàm số: Câu b: Hàm số 4 22y x x= − TXĐ: D = R Đạo hàm: 34 4y x x′ = − Cho 30 4 4 0 0; 1y x x x x′ = ⇔ − = ⇔ = = ± Giới hạn: lim ; lim x x y y →−∞ →+∞ = +∞ = +∞ Bảng biến thiên: x –∞ –1 0 1 +∞ y ′ – 0 + 0 – 0 + y +∞ 0 +∞ –1 –1 Hàm số ĐB trên các khoảng (–1;0) và (1;+∞) NB trên khoảng (–∞;–1) và (0;1) Hàm số đạt cực đại bằng 0 tại CÑ 0x = đạt cực tiểu bằng –1 tại CT 1x = ± Giao điểm với trục hoành: 0 0; 2y x x= ⇔ = = ± Giao điểm với trục tung: 0 0x y= ⇒ = Đồ thị hàm số: GV: Dng Phc Sang 85 TN.THPT.2010 Đề số 26 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: 3 22 3 1y x x=− + − 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số. 2. Viết pttt của ( )C tại điểm có hoành độ x = – 1. Câu II (3,0 điểm): 1. Tính tích phân: 4 20 1 tan cos x I dx x pi + = ∫ 2.Giải bất phương trình: 2 2 1 log 0 1 x x + > − 3.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: ln( 2)y x x= + và Ox Câu III (1,0 điểm): Cho lăng trụ đều .ABC A B C′ ′ ′ có đáy là tam giác đều ABC cạnh bằng a, (a >0), góc
030B CC′ ′ = . Gọi V, V′ lần lượt là thể tích của khối lăng trụ .ABC A B C′ ′ ′ và khối đa diệnABCA B′ ′ . Tính tỉ số V V ′ II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) A. Theo chương trình chuẩn Câu IVa (2,0 điểm):Cho m.cầu (S): 2 2 2 2 4 6 11 0x y z x y z+ + − + − − = 1.Xác định toạ độ tâm và tính bán kính mặt cầu (S). 2.Viết pt mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) tại điểm M(1; 1; –1). Câu Va (1,0 điểm): Xác định phần thực, phần ảo của 1 1 1 2 i z i i − = + + + B. Theo chương trình nâng cao Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2;1;0) và đường thẳng d có phương trình: 1 2 1 x t y t z t  = + = − + = − . Viết phương trình của đường thẳng d’ qua M, vuông góc và cắt d. Câu Vb (1,0 điểm): Trên mặt phẳng phức, hãy tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa 2z i− ≤ . ---------- Hết ---------- www.VNMATH.com www.VNMATH.com TN.THPT.2010 84 GV: Dng Phc Sang Đề số 25 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số 3 23 1y x x= + + . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số. 2. Viết pttt của đồ thị ( )C tại điểm cực đại của ( )C . Câu II(3,0 điểm): 1. Tính tích phân: 4 0 tan cos x I dx x pi = ∫ 2.Giải phương trình: log 2 2 (4.3 6) log (9 6) 1x x− − − = 3.Tìm GTLN,GTNN của 3 22 3 12 2y x x x= + − + trên [ 1;2]− Câu III (1,0 điểm): Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng ABCD, SA = 2a. Xác định tâm và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) A. Theo chương trình chuẩn Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(1; 0; 11), B(0; 1;10), C(1; 1; 8), D(–3; 1; 2). 1.Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B, C. 2.Viết phương trình mặt cầu tâm D, bán kính R = 5. Chứng minh mặt cầu này cắt mặt phẳng (P). Câu Va (1,0 điểm): Cho 2(1 2 )(2 )z i i= − + . Tính môđun của số phức z . B. Theo chương trình nâng cao Câu IVb (2,0 điểm): Cho M(1;−1;1), ( ) : 2 0P y z+ = và 2 đường thẳng 1 1 : 1 1 4 x y z− ∆ = = − , 2 2 : 4 1 x t y t z  = −∆ = + = 1. Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng (∆2). 2. Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt cả hai đường thẳng (∆1), (∆2) và nằm trong mặt phẳng (P). Câu Vb (1,0 điểm): Giải phương trình: 23 2 3 0z z− + = trên tập  ---------- Hết ---------- GV: Dng Phc Sang 5 TN.THPT.2010 Câu c: Hàm số 2 3 2 1 x y x + = − TXĐ: { 1 \ } 2 D =  Đạo hàm: 2 8 0, (2 1) y x D x −′ = < ∀ ∈ − Giới hạn: lim 1 ; lim 1 x x y y →−∞ →+∞ = = ( ) ( ) 1 1 2 2 lim ; lim x x y y − + → → = −∞ = +∞ Suy ra, y = 1 là phương trình tiệm cận ngang. 1 2 x = là phương trình tiệm cận đứng. Bảng biến thiên: x –∞ 1 2 +∞ y ′ – – y 1 –∞ +∞ 1 Hàm số luôn NB trên từng khoảng xác định Hàm số không có cực trị Giao điểm với trục hoành: 3 0 2 y x= ⇔ = − Giao điểm với trục tung: 0 3x y= ⇒ =− Đồ thị hàm số: –3 www.VNMATH.com www.VNMATH.com TN.THPT.2010 6 GV: Dng Phc Sang Bài 2 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C của hàm số: a. 3 3 2y x x= − + tại điểm trên ( )C có hoành độ bằng 2. b. 4 22y x x= − tại điểm trên ( )C có tung độ bằng 8. c. 2 3 2 1 x y x + = − tại giao điểm của ( )C với trục tung. Bài giải Câu a: Cho hàm số 3 3 2y x x= − + và 0 2x = 3 0 0 2 2 3.2 2 4x y= ⇒ = − + = 2 2 0 3 3 ( ) (2) 3.2 3 9y x f x f′ ′ ′= − ⇒ = = − = Vậy, pttt tại 0 2x = là: 0 0 0 ( )( )y y f x x x′− = − 4 9( 2) 4 9 18 9 14 y x y x y x ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ = − Câu b: Cho hàm số 4 22y x x= − và 0 8y = (VN) 2 4 2 4 2 0 0 0 0 0 0 0 2 0 4 2 8 2 8 2 8 0 2 x x y x x x x x  = ⇔ =±= ⇔ − = ⇔ − − = ⇔   =− 34 4y x x′ = − Với 0 02 8