Ôn thi đại học hình học giải tích năm 2012

GV: Ngô Quang Nghiệp BT3 ÔN THI ĐẠI HỌC HÌNH HỌC GIẢI TÍCH NĂM 2012 A.Lí Thuyết : − Công thức tính góc giữa hai đường thẳng 1 2 1 2 . . u u c u u   uur uur uur uuros trong đó 1 2,u u uur uur lần lượt là hai VTCP của hai đường thẳng − Công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng . sin . nu u u   r r r r trong đó ,n u r r lần lượt là hai VTPT và VTCP của mặt phẳng và đường thẳng − Công thức tính góc giữa hai đường thẳng 1 2 1 2 . . n n c n n   uur uur uur uuros trong đó 1 2,n n uur uur lần lượt là hai VTPT của hai mặt thẳng − Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm ( ; ; ); ( ; ; )A A A B B BA x y z B x y z       2 2 2 B A B A B AAB= x -x + y -y + z -z − Khoảng cách từ điểm M0(x0;y0z0) đến mặt phẳng () có phương trình Ax+by+Cz+D=0 là:   0 0 00 2 2 2 Ax +By +Cz +D d M ,(α) = A +B +C − Khoảng cách từ điểm M1 đến đường thẳng  đi qua M0 và có vectơ chỉ phương u ur là: 1d(M ,Δ)= M M ,u 0 1 u      uuuuuuuur ur ur − Khoảng cách giữa hai đường thẳng  và ’, trong đó  đi qua điểm M0, có vectơ chỉ phương u r và đường thẳng ’ đi qua điểm '0M , có vectơ chỉ phương u' ur là: ' 0 0u,u' .M M d( ,Δ')= u,u'          uuuuuurr ur r ur − Công thức tính diện tích hình bình hành : ABCDS = AB,AD    uuur uuur − Công thức tính diện tích tam giác : ABC 1 S = AB,AC 2     uuur uuur − Công thức tính thể tích hình hộp : ABCD.A'B'C'D'V = AB,AD .AA'    uuur uuur uuur − Công thức tính thể tích tứ diện : ABCD 1 V = AB,AC .AD 6     uuur uuur uuur Chú ý : Các công thức tính góc nêu trên có điều kiện : 0 , 2     GV: Ngô Quang Nghiệp BT3 B.VÍ DỤ : Ví dụ 1: Cho đường thẳng   : 1 1 1 x y z d   và hai điểm  0;0;3A ,  0;3;3B . Tìm tọa độ điểm  M d sao cho: 1) MA MB nhỏ nhất. 2) 2 22MA MB nhỏ nhất. 3) 3MA MB uuur uuur nhỏ nhất. 4) MA MB lớn nhất. Hướng dẫn: 1) Chuyển p/trình của  d sang dạng tham số   : x t d y t z t      Gọi tọa độ của  M d có dạng  ; ;M t t t , t ¡ . Ta có            2 2 2 2 2 20 0 3 0 3 3P MA MB t t t t t t              2 23 6 9 3 12 18P t t t t       2 23 2 3 4 6t t t t         2 23 1 2 2 2P t t                  2 22 2 3 1 0 2 2 0 2P t t              Trong mặt phẳng Oxy xét các điểm  ;0N t Ox ;    1; 2 ; 2; 2H K Gọi  1; 2H   là điểm đối xứng của điểm  1; 2H qua trục Ox.  Ta có  3P NH NK  =  3 NH NK  3HK . Dấu “=” xảy ra , ,H N K thẳng hàng N HK Ox   . Đường thẳng HK có vecto chỉ phương  1;2 2HK  uuuur nên có vecto pháp tuyến  2 2; 1n   r và đi qua  1; 2H   nên có phương trình tổng quát    2 2 1 1 2 0 2 2 3 2 0x y x y        . Tọa độ giao điểm N của đường thẳng H K và trục Ox là nghiệm của hệ 3 2 2 3 2 0 2 0 0 xx y y y           . Vậy 3 ;0 2 N       . Vậy   2 2min 3 3. 1 2 2 3 3P HK    . Đạt được khi   3 3 ;0 ;0 2 2 N t N t         . Suy ra MA MB nhỏ nhất bằng 3 3 khi 3 3 3 ; ; 2 2 2 M       GV: Ngô Quang Nghiệp BT3 Cách 2:  Làm như cách 1, đến đoạn    2 23 1 2 2 2P t t          . Xét hàm số      2 21 2 2 2f t t t      Ta có      2 2 1 2 1 2 2 2 t t f t t t               2 2 1 2 0 1 2 2 2 t t f t t t                  2 2 21 1 2 2 2 tt t t            (*)  Xét hàm số   2 2 u g u u   , Ta có     2 22 32 1 2 2 . . 0 22 2 u g u u u uu u              nên hàm số g đồng biến trên ¡ .  Do đó từ (*) ta có     3 1 2 1 2 2 g t g t t t t             Bảng biến thiên của hàm số f : t  32   f t  0   f t  3  Từ bảng biến thiên suy ra   3 min 3 2 f t f        . Vậy  min 3 3MA MB  đạt được tại 3 2 t  , tức là 3 3 3 ; ; 2 2 2 M       . Cách 3: Bước 1 : Tìm tọa độ H và H’ Bước 2 : Tính AH và BH’ Bước 3 : Tìm M thỏa mãn ' ' AH MH MH BH   uuuur uuuuur =>ycbt GV: Ngô Quang Nghiệp BT3 2). Làm tương tự câu 1), ta tính được  2 2 2 22 3 6 9 2 3 12 18Q MA MB t t t t        29 30 45t t   . Biểu thức này là tam thức bậc hai với hệ số 9 0a   nên đạt giá trị nhỏ nhất khi 30 5 2.9 3 t     . Tức là 5 5 5 ; ; 2 2 2 M       . Nhận xét: nếu không nhớ tính chất về đồ thị bậc hai thì có thể khảo sát hàm số   29 30 45f t t t   để tìm giá trị hỏ nhất. 3). Theo câu 1) , gọi  ; ;M t t t . Ta có  ; ;3MA t t t    uuur ,  ;3 ;3MB t t t    uuur . Suy ra       2 2 ; 2 3 ;3 2 3MA MB t t t t t t           uuur uuur  ; 6; 3t t t   .    2 22 22 6 3 3 18 45MA MB t t t t t          uuur uuur  22 3 3 18 18 3 2MA MB t       uuur uuur . Dấu “=” xảy ra 3 0 3t t     hay  3;3;3M . Vậy min 2 3 2MA MB  uuur uuur đạt được tại  3;3;3M . Nhận xét: nếu không phân tích được  22 3 3 18MA MB t    uuur uuur thì có thể khảo sát hàm số   23 18 45f t t t   để tìm giá trị nhỏ nhất. 4). Tương tự câu 1), ta tính được  2 23 2 3 4 6MA MB t t t t          2 23 1 2 2 2MA MB t t           Trong mặt phẳng Oxy xét các điểm  ;0N t Ox ;    1; 2 ; 2; 2H K . Khi đó 3MA MB NH NK   Nhận thấy H, K nằm cùng phía so với trục Ox. Suy ra 3 3MA MB NH NK HK    . Bài toán này vô nghiệm vì ||KH Ox . Cách 2: Khảo sát hàm số như cách 2 ở câu 1  Hàm số không có GTLN. Ví dụ 2: Cho mặt phẳng   : 4 0P x y z    . Tìm điểm  M P sao cho: 1). MA MB nhỏ nhất, biết  1;0;0A ,  1;2;0B . 2). MA MB lớn nhất, biết  1;2;1A ,  0;1;2B . 3). 2 23MA MB nhỏ nhất, biết  1;2;1A ,  0;1;2B . 4). 2 2 23 2MA MB MC  nhỏ nhất, biết  1;2;1A ,  0;1;2B ,  0;0;3C . 5). 3 4MA MB MC  uuur uuur uuuur nhỏ nhất, biết  1;2;1A ,  0;1;2B ,  0;0;3C . GV: Ngô Quang Nghiệp BT3 Hướng dẫn : 1). Cách giải  Xét vị trí tương đối của A, B so với (P). Đặt  ; ; 4f x y z x y z    . Thay tọa độ của A, B vào và tính    ; ; . ; ;A A A B B Bf x y z f x y z . - Nếu    ; ; . ; ; 0A A A B B Bf x y z f x y z  thì A, B ở hai phần không gian khác nhau ngăn cách bởi (P). - Nếu    ; ; . ; ; 0A A A B B Bf x y z f x y z  thì A, B ở cùng phía so với (P).  Nếu A, B ở khác phía so với (P) thì với  M P tùy ý ta có MA MB AB  . Suy ra  min MA MB AB  đạt được khi  M AB P  . - Viết p/trình đường thẳng AB. - Tìm giao điểm M của  AB P . (Giải hệ p/trình của AB và (P)) - Kết luận.  Nếu A, B ở trong cùng phía so với (P) , ta lấy điểm A đối xứng với A qua (P). Khi đó MA MA MA MB MA MB A B         min MA MB A B   đạt được khi  M A B P   Tính tọa độ A : - Viết phương trình đường thẳng  d qua A và    d P - Giải hệ     ;d P tìm được tọa độ của    H d P  là hình chiếu vuông góc của A trên (P). - H là trung điểm của A A . Biết tọa độ của ,A H suy ra tọa độ của A .  Viết p/trình đường thẳng A B .  Giải hệ   ;A B P tìm được tọa độ của  M A B P  . 2). Làm ngược lại của hai trường hợp trên câu 1.  Nếu A, B ở trong cùng phía so với (P) thì MA MB AB   Nếu A, B ở trong cùng phía so với (P), ta lấy điểm A đối xứng với A qua (P). Khi đó MA MA MA MB MA MB A B        Cách làm mỗi trường hợp như câu 1. 3). Xét điểm I tùy ý, ta có   22 2 22 2 .MA MA MI IA MI IA MI IA      uuur uuur uur uuur uur uuur uur   22 2 22 2 .MB MB MI IB MI IB MI IB      uuur uuur uur uuur uur uuur uur A B M A’ B M A H Tr.Hợp 1 Tr.Hợp 2 GV: Ngô Quang Nghiệp BT3 Suy ra  2 2 2 22 22 2 . 2 2 .MA MB MI IA MI IA MI IB MI IB       uuur uur uuur uur uuur uur uuur uur   2 2 22 22 3 2 2 2MA MB MI IA IB MI IA IB       uuur uur uur uuur uur uur  2 2 2 2 22 3 2 2 2MA MB MI IA IB MI IA IB       uuur uur uur Giả sử 2 0 2IA IB IA IB     uur uur r uur uur , ta có tọa độ của I là: 2 1 2.0 1 1 2 3 3 2 2 2.1 4 1 2 3 3 2 1 2.2 5 1 2 3 3 A B A B A B x x x y y I y z z z                    . Hay 1 4 5 ; ; 3 3 3 I       Vậy, với 1 4 5 ; ; 3 3 3 I       , ta có 2 0IA IB  uur uur r nên 2 2 2 2 22 3 2MA MB MI IA IB    . Do I cố định nên 2 2,IA IB không đổi. Vậy 2 22MA MB nhỏ nhất 2MI nhỏ nhất MI nhỏ nhất M là hình chiếu của I trên (P).  Đường thẳng  d qua 1 4 5 ; ; 3 3 3 I       và vuông góc với (P) nhận vecto pháp tuyến  1;1;1n  r của (P) làm vecto chỉ phương nên có p/trình   1 3 4: 3 5 3 x t d y t z t            - Tọa độ giao điểm H của    d P là: 5 14 17 ; ; 9 9 9 H       . - H là hình chiếu của I trên (P).  Vậy M là hình chiếu của I trên (P) nên M H Kết luận: 2 22MA MB nhỏ nhất khi 5 14 17 ; ; 9 9 9 M       4). Làm tương tự câu 3) 5). Cần rút gọn tổng 3 4MA MB MC  uuur uuur uuuur thành một vecto MH uuuur . Khi đó 3 4MA MB MC MH MH    uuur uuur uuuur uuuur nhỏ nhất M là hình chiếu của H trên (P). Làm như câu 3). Bằng cách phân tích    3 4 3 4MA MB MC MI IA MI IB MI IC        uuur uuur uuuur uuur uur uuur uur uuur uur 8 3 4MI IA IB IC    uuur uur uur uur Đến đây chỉ việc tìm tọa độ điểm I sao cho 3 4 0IA IB IC   uur uur uur r rồi làm tiếp theo hướng dẫn trên. GV: Ngô Quang Nghiệp BT3 Chú ý:  13 4 0 3 4 8 IA IB IC OI OA OB OC       uur uur uur r uur uuur uuur uuur Suy ra tọa độ của I là       1 3 4 8 1 3 4 8 1 3 4 8 I A B C I A B C I A B C x x x x y y y y z z z z                . Ví dụ 3:(ĐH – A2008) Cho mặt phẳng 1 2 : 2 1 2 x y z d     . Lập phương trình mặt phẳng ( ) chứa d sao cho khoảng cách từ (2;5;3)A tới ( ) là lớn nhất Hướng dẫn : 1) Phương trình mặt phẳng ( ) chứa d có VTPT : 2 2 2( ; ; ), 0n A B C A B C   r có dạng : ( 1) ( 2) 0A x By C z     Ta có : ( ) . 0 2 2dd u n B A C       uur uur => 2 2 22 2 9 ( ) ( ,( )) 9. 5 8 55 8 5 A C A C d A A AB CA AB C         − TH1: Nếu C = 0 9 ( ,( )) 5 d A   − TH1: Nếu C 0 ,Đặt A t C  2 2 ( 1) ( ,( )) 9. 9 ( ) 5 8 5 t d A f t t t       Xét hàm số 2 2 ( 1) ( ) 5 8 5 t f t t t     => '( ) 0 1f t t    ; 2 ( 1) 0; (1) 9 f f   1 lim ( ) 5t f t   Lập bảng biến thiên => 2 ( ) 5 M f t ax tại t =1 . Vậy 3 2M  axd(A,( )) khi 1 A C  So sánh TH1 và TH2 : ycbt A=C và B=−4C => Phương trình mặt phẳng cần tìm là : x - 4y + z – 3 = 0 Nhận xét : − Có thế mở rộng ra các bài toán như sau : +) Lập phương trình mặt phẳng ( ) chứa d sao cho khoảng cách từ A tới ( ) là nhỏ nhất hoặc khoảng cách đó là hằng số − Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này GV: Ngô Quang Nghiệp BT3 Ví dụ 4: Cho đường thẳng 1 2 : 1 2 1 x y z d      và ' 2 1 : 2 1 2 x y z d      , (Q): x + 2y +2z – 3 =0 . Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho 1) Góc giữa hai mặt phẳng (Q) nhỏ nhất 2) Góc giữa mặt phẳng (P) và đường thẳng d’ lớn nhất Hướng dẫn : 1) Phương trình mặt phẳng ( ) chứa d có VTPT : 2 2 2( ; ; ), 0n A B C A B C   r có dạng : ( 1) ( 2) 0A x B y Cz     Ta có : ( ) . 0 2dd u n C A B      uur uur Gọi góc giữa hai mặt phẳng là , (0 ) 2     => 2 2 22 2 2 ( 2 ) ( ) 9. 2 4 52 4 5 A B A B c A AB BA AB B         os − TH1: Nếu B = 0 2 ( ) 2 c  os (1) − TH2: Nếu B 0 ,Đặt A t B  2 2 ( 2) ( ) 2 4 5 t c t t      os Xét hàm số 2 2 ( 2) ( ) 2 4 5 t f t t t     => 5 ( ) 6 M f t ax tại t =1 hay 1 2 A B  . Vậy 0; 2 30 6 M         ax cos (2) So sánh TH1 và TH2 => min 30 6   cos với 1 2 A B  => Phương trình mặt phẳng cần tìm là : x + 2y + 5z + 3 = 0 2) Phương trình mặt phẳng ( ) chứa d có VTPT : 2 2 2( ; ; ), 0n A B C A B C   r có dạng : ( 1) ( 2) 0A x B y Cz     Ta có : ( ) . 0 2dd u n C A B      uur uur Gọi góc giữa mặt phẳng (P) và đường thẳng d’ là : , (0 ) 2      => 2 2 22 2 4 3 1 (4 3 ) sin( ) . 3 2 4 53. 2 4 5 A B A B A AB BA AB B         − TH1: Nếu B = 0 2 2 ( ) 3  sin (1) GV: Ngô Quang Nghiệp BT3 − TH2: Nếu B 0 ,Đặt A t B  2 2 1 (4 3) ( ) . 3 2 4 5 t t t      sin Xét hàm số 2 2 (4 3) ( ) 2 4 5 t f t t t     => 25 ( ) 7 M f t ax tại t =-7 hay 7 A B   . Vậy 0; 2 5 3 sin 9 M         ax So sánh TH1 và TH2 => m 5 3 9    ax sin với 7 A B   => Phương trình mặt phẳng cần tìm là : 7x - y + 5z - 9 = 0 Nhận xét : − Có thế mở rộng ra các bài toán như sau : +) Lập phương trình mặt phẳng ( ) chứa d sao cho góc giữa hai mặt phẳng hoặc góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thỏa mãn một điều kiện nào đấy − Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này Ví dụ 5: Cho mặt phẳng ( ) : 3 1 0P x y z    . Và các điểm (1;0;0)A ; (0; 2;3)B  . Lập phương trình đường thẳng d nằm trong (P) đi qua A và cách B một khoảng lớn nhất , nhỏ nhất Hướng dẫn : Gọi VTCP của đường thẳng d là: 2 2 2( ; ; ), 0u a b c a b c   r ( ) . 0 2d Pd P u n c a b      uur uur ( 1;2; 3)AB   uuur ; , ( 2 7 ;2 2 ;2 )du AB a b a b a b        uur uuur => 2 2 2 2 , 12 24 54 ( , ) 2 4 5 d d u AB a ab b d B d a ab bu          uur uuur uur − TH1: Nếu b = 0 ( , ) 6d B d  − TH2: Nếu b 0 ,Đặt a t b  2 2 12 24 54 ( , ) ( ) 2 4 5 t t d B d f t t t       ;Xét hàm số 2 2 12 24 54 ( ) 2 4 5 t t f t t t      => 6 ( , ) 14d B d  So sánh TH1 và TH2 => 6 ( , ) 14d B d  +) ( ( , )) 6 0Min d B d b   chọn a =1 => c= 1 => Phương trình đường thẳng cần tìm là : 1 0 x t y z t       +) ( ( , )) 14M d B d a b   ax chọn b = -1 => a =1 , c =-1 GV: Ngô Quang Nghiệp BT3 => Phương trình đường thẳng cần tìm là : 1x t y t z t        Nhận xét : − Có thế mở rộng ra các bài toán như sau : +) Lập phương trình đường thẳng d nằm trong (P) đi qua A và cách B một khoảng thỏa mãn một điều kiện nào đấy − Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này Ví dụ 6: Lập phương trình đường thẳng d đi qua A (1;-1;2),song song với mặt phẳng ( ) : 2 3 0Q x y z    ,đồng thời d tạo với đường thẳng ' 1 1 : 1 2 2 x y z d      một góc lớn nhất , nhỏ nhất Hướng dẫn : Gọi VTCP của đường thẳng d là: 2 2 2( ; ; ), 0u a b c a b c   r / /( ) . 0 2d Qd P u n c a b     uur uur ; ' (1; 2;2)du  uur Gọi góc giữa hai mặt phẳng là , (0 ) 2     => 2 2 22 2 5 4 1 (5 4 ) ( ) . 3 5 4 23 5 4 2 a b a b c a ab ba ab b         os − TH1: Nếu b = 0 1 ( ) . 5 3 c  os − TH2: Nếu b 0 ,Đặt a t b  2 2 1 (5 4) 1 ( ) . . ( ) 3 35 4 2 t c f t t t       os ;Xét hàm số 2 2 (5 4) ( ) 5 4 2 t f t t t     => 5 3 0 ( ) 9 c  os So sánh TH1 và TH2 => 5 3 0 ( ) 9 c  os +) ( ( )) 0Min c  os => 0 4 90 5 m a b    ax => Phương trình đường thẳng cần tìm là : 1 1 2 4 5 3 x y z     +) 5 3 ( ( )) 9 M c  ax os => min 1 5 a b     => Phương trình đường thẳng cần tìm là : 1 1 2 1 5 7 x y z      Nhận xét : − Có thế mở rộng ra các bài toán như sau : GV: Ngô Quang Nghiệp BT3 +) Lập phương trình đường thẳng d đi qua A ,song song với mặt phẳng ( )Q ,đồng thời d tạo với đường thẳng 'd một góc thỏa mãn một điều kiện nào đấy − Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này Ví dụ 7: Lập phương trình đường thẳng d đi qua (0; 1;2)A  và cắt đường thẳng ' 1 2: 2 1 1 x y z d      sao cho 1) Khoảng cách từ (2;1;1)B là lớn nhất , nhỏ nhất 2) Khoảng cách giữ d va 1 2 : 2 1 1 x y z      là lớn nhất Hướng dẫn : 1) ' ( 1 2 ; ;2 ),d d M M t t t t R       => VTCP của d : (2 1; 1; )du AM t t t    uur uuuur (2;2; 1)AB  uuur ; ; (1 ;1;4 2 )dAB u t t      uuur uur => 2 2 , 12 18 18 ( , ) ( ) 6 2 2 d d AB u t t d B d f t t tu           uuur uur uur Xét hàm số 2 2 12 24 54 ( ) 2 4 5 t t f t t t      => 1 ( ) (0) 18; ( ) (2) 11 M t f Min t f   axf f => 1 ( , ) 18 11 d B d  +) 1 ( ( , )) 2 11 Min d B d t   => Phương trình đường thẳng cần tìm là : 3 1 3 2 2 x t y t z t         +) ( ( , )) 18 0M d B d t  ax => Phương trình đường thẳng cần tìm là : 1 2 x t y t z t          2) ' ( 1 2 ; ;2 ),d d M M t t t t R       => VTCP của d : (2 1; 1; )du AM t t t    uur uuuur Từ phương trình  => (2; 2;1)u   uur và (5;0;0)N   (5;1; 2)AN  uuur ; ; ( 1;4 1;6 )du u t t t      uur uur => 2 2 , . (2 ) ( , ) 3. 3. ( ) 53 10 2, d d u u AN t d d f t t tu u                uur uur uuur uur uur Xét hàm số 2 2 (2 ) ( ) 53 10 2 t f t t t     => 4 26 ( ) ( ) 37 9 M t f axf GV: Ngô Quang Nghiệp BT3 => ( ( , )) 26m d d ax => Phương trình đường thẳng cần tìm là : 29 1 41 2 4 x t y t z t         Nhận xét : − Có thế mở rộng ra các bài toán trên thỏa mãn một điều kiện nào đấy cho trước − Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này Ví dụ 8: Lập phương trình đường thẳng d đi qua A (-1;0;-1)và cắt đường thẳng ' 1 2 2: 2 1 1 x y z d       sao cho góc giữa đường thẳng d và 3 2 3 : 1 2 2 x y z       là lớn nhất , nhỏ nhất Hướng dẫn : ' (1 2 ;2 ; 2 ),d d M M t t t t R        => VTCP của d : (2 2; 2; 1 )du AM t t t     uur uuuur Gọi góc giữa hai mặt phẳng là , (0 ) 2     => 2 2 2 2 ( ) . . ( ) 3 36 14 9 t c f t t t     os Xét hàm số 2 2 ( ) 6 14 9 t f t t t    => 9 9 ( ) ( ) 7 5 M t f  axf ; ( ) (0) 0Min t f f +) ( ( )) 0Min c  os => 090 0m t   ax => Phương trình đường thẳng cần tìm là : 1 1 2 2 1 x y z     +) 2 5 ( ( )) 5 M c  ax os => min 9 7 t    => Phương trình đường thẳng cần tìm là : 1 1 4 5 2 x y z    Nhận xét : − Có thế mở rộng ra các bài toán như sau : +) Có thế mở rộng ra các bài toán trên thỏa mãn một điều kiện nào đấy cho trước − Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này GV: Ngô Quang Nghiệp BT3 C.Bài Tập Bài 1 : Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (α) : x − y + z − 1 = 0 và các điểm A (1 ; 2 ;−1) , B (1 ; 0 ; −1) , C (2 ;1 ; −2) . Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (α) sao cho MA2 + MB 2 − MC 2 nhỏ nhất ĐS : M ( 2 3 ; 1 3 ; 2 3 ) Bài 2 : Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (α) : x − 3y + 3z − 11 = 0 và các điểm A ( 3 ; −4 ; 5 ) , B (3 ; 3 ; −3) . Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (α) sao cho | |MA−MB lớn nhất ĐS : M ( − 31 7 ; − 5 7 ; 31 7 ) Bài 3 : Cho đường thẳng  :   x+y−z−1=0 2x−y−1=0 và hai điểm A(2 ; −1 ; 1) , B(1 ;−1;0) Tìm điểm M thuộc đường thẳng  để diện tích tam giác AMB đạt giá trị nhỏ nhất ĐS : M ( 1 6 ; − 2 3 ; − 3 2 ) Bài 4 : Trong các mặt phẳng đi qua các điểm A (1 ; 2 ;−1) , B(−1 ; 1 ;