Phân loại khái niệm bài toán trong dạy học toán phổ thông

TAÏP CHÍ KHOA HOÏC ÑAÏI HOÏC SAØI GOØN Soá 22 - Thaùng 8/2014 93 PHÂN LOẠI KHÁI NIỆM BÀI TOÁN TRONG DẠY HỌC TOÁN PHỔ THÔNG NGUYỄN ÁI QUỐC(*) TÓM TẮT Từ “bài toán” có nhiều nghĩa và là một khái niệm mang tính tương đối. Có bài toán chỉ đơn thuần một bài tập áp dụng các kiến thức vừa học, nhưng có bài toán lại đặt người học trong một tình huống phức tạp đòi hỏi người học tìm tòi nghiên cứu phương pháp giải riêng biệt hay đưa người học đến việc khám phá kiến thức mới. Việc phân loại khái niệm bài toán có thể dựa trên quan điểm thực hành hay quan điểm didactic Toán và được giải thích theo ba quan niệm lớn về dạy học là Thuyết truyền thụ, Thuyết hành vi và Thuyết kiến tạo. Từ khóa: bài toán, phân loại bài toán, khái niệm bài toán. ABSTRACT The word “problem” is polysemous and is a relative concept. One problem may only be an exercise to apply the knowledge acquired, but another may expose the learner to a complex situation which requires him to figure out a particular way of resolution or enable him to discover new knowledge. The classification of “problem” can be based on the practical perspective or the didactic perspective of mathematics and can be explained in accordance with three philosophies on the teaching and learning: transmission, behaviourism and constructivism. Keywords: problems, categories of problems, concept of problem. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ(*) Trong thực tế giảng dạy Toán phổ thông, từ “bài toán” và từ “bài tập” được sử dụng rất thường xuyên trong các sách giáo khoa, sách bài tập, sách tham khảo Tuy nhiên, hai khái niệm này được sử dụng một cách tùy tiện và không dựa trên một cơ sở nào. Đa số giáo viên và học sinh cho rằng bài tập bao gồm các hoạt động áp dụng kiến thức vừa học để giải quyết yêu cầu đặt ra và bài toán là bài tập có đề bài tương đối dài và đòi hỏi nhiều loại kiến thức để giải quyết. Vậy làm thế nào để phân biệt được hai (*)TS, Trường Đại học Sài Gòn khái niệm này? Khái niệm bài toán được định nghĩa như thế nào? Có bao nhiêu loại bài toán? Vai trò của mỗi loại bài toán là gì? 2. BA QUAN NIỆM LỚN VỀ DẠY HỌC Để làm cơ sở cho việc định nghĩa và phân loại khái niệm bài toán, tác giả xin điểm qua ba lý thuyết lớn về dạy học. Trong chương trình dạy học, nếu có một số mục tiêu cần đạt được liên quan đến năng lực mà học sinh phải làm chủ thì người giáo viên sẽ tự do lựa chọn các phương tiện để đạt được các mục tiêu đó. Vì thế, người giáo viên phải có các chiến lược khác nhau để làm cho 94 học sinh của mình đạt được cùng một năng lực. Các chiến lược này đã tạo cơ hội cho lý thuyết hóa hình thành hành ba quan niệm lớn về dạy học: + Thuyết truyền thụ + Thuyết hành vi + Thuyết kiến tạo. a. Thuyết truyền thụ Thuyết truyền thụ còn được gọi là thuyết “đầu rỗng”, quan niệm rằng người học không hề biết gì về tri thức mà người dạy mong muốn truyền đạt cho họ. Người thầy truyền đạt tri thức sao cho học sinh tiếp nhận được và học sinh xây dựng tri thức đó thành các biểu tượng tri thức riêng cho mình. [11] Tuy nhiên, để quá trình này được thực hiện, đòi hỏi người thầy phải trình bày các khái niệm thật rõ ràng và học sinh thì phải chăm chú lắng nghe những gì thầy mình nói. Sau mỗi lần tri thức được truyền đạt, người thầy đặt ra cho học sinh các bài tập luyện tập, củng cố và sau đó là kiểm tra sản phẩm (kết quả bài làm) của học sinh. Quan niệm này cho phép dạy nhiều học sinh cùng lúc trong một lớp học, tiết kiệm được nhiều thời gian và do đó sẽ không cho phép diễn ra các hoạt động tìm tòi nghiên cứu trong tiết học mà bị cho là phung phí thời gian. Quan niệm này cho rằng sai lầm là hiện tượng rất tiêu cực cần phải tránh. Sai lầm có thể sinh ra nếu học sinh không chăm chú nghe giảng hay không cẩn thận khi làm bài. Sai lầm cũng có thể được quy trách nhiệm cho người thầy nếu trình bày kiến thức không rõ ràng hay trình bày quá nhanh. b. Thuyết hành vi Thuyết hành vi với tư cách là học thuyết quan tâm đến việc nghiên cứu các hành vi có thể quan sát và đo được và xem xét trí tuệ như một hộp đen [6]. Từ “Behaviourism” trong tiếng Anh, nghĩa là “Thuyết hành vi”, được John Broadus Watson sử dụng lần đầu tiên vào năm 1913 trong bài báo “Psychology as the behaviorist views it” nói về sự cần thiết quan sát các hành vi để có thể nghiên cứu được chúng [8, tr. 158 – 177]. [11] Hành vi ban đầu Hộp đen Hành vi mong đợi ? Đầu rỗng Đầu nạp đầy 95 Vào năm 1950, một khối lượng lớn thông tin tích lũy từ các thực nghiệm nghiên cứu đã dẫn đến việc xây dựng các lý thuyết mới về hành vi. Các lý thuyết hành vi mới này được kết tinh trong các công trình nghiên cứu của B. F. Skinner. Theo Skinner, hiệu suất của học tập gắn liền với năm nguyên tắc sau: 1. Nguyên tắc tham gia hoạt động: chủ thể phải xây dựng câu trả lời cho chính mình và không được lựa chọn câu trả lời đó trong nhiều khả năng có sẵn như trong trường hợp trắc nghiệm. 2. Nguyên tắc các giai đoạn nhỏ: phân chia một vấn đề khó khăn thành các vấn đề nhỏ để các chủ thể yếu cũng có thể trả lời được. 3. Nguyên tắc tăng dần cấp độ khó. 4. Nguyên tắc tốc độ cá nhân: mỗi chủ thể phải tiến lên với nhịp độ của mình. 5. Nguyên tắc trả lời đúng: Thất bại sẽ làm nãn chí học sinh, cho nên cần hướng dẫn họ [10]. Thuyết hành vi quan niệm rằng không thể tiếp cận được cấu trúc trí tuệ của một cá thể mà chỉ tiếp cận được các hành vi có thể quan sát được của cá thể đó. Vì vậy điều quan trọng là chỉnh sửa hành vi của con người bằng việc tăng cường các phản ứng tích cực với tác nhân kích thích. Người thầy phải xác định hành vi mới dưới dạng mục tiêu mà học sinh phải chấp nhận và mục tiêu được phân tích thành những mục tiêu con theo mức độ khó tăng dần. Người học phải khám phá tri thức thông qua một tình huống do người thầy đặt ra, gồm nhiều nhiệm vụ kế tiếp nhau cần phải thực hiện và tương ứng với các mục tiêu con hệ thống bằng câu hỏi. Tuy nhiên, vì sai lầm được xem là các dấu vết khó phai cần phải tránh, nên người giáo viên theo sát hướng dẫn người học khi thực hiện các hoạt động, giúp học sinh giải quyết các nhiệm vụ thông qua lời nói hay khéo léo bằng một loạt các câu hỏi liên tiếp nhau được soạn thảo để san bằng các khó khăn. Sau mỗi lần nhận được hành vi mong muốn hay đạt được mục tiêu con, người thầy động viên học sinh và đặt ra tiếp các tình huống luyện tập để hành vi này được tự động hóa. Sau đó học sinh vượt qua một cách nhẹ nhàng mục tiêu con tiếp theo khó hơn mục tiêu trước đó và cứ thế tiếp diễn cho đến khi đạt được mục tiêu mong muốn. Thực tế người học luôn trong tình huống thành công vì các nhiệm vụ được đặt ra phù hợp để tránh sai lầm ở họ và được người dạy theo sát hướng dẫn. Dù sao, nếu một sai lầm sinh ra thì đó được xem là dấu hiệu của sự tiến triển không thích hợp do diễn biến quá nhanh đối với học sinh. c. Thuyết kiến tạo Quan niệm này ra đời từ các công trình nghiên cứu của J. Piaget (1923), một nhà tâm lý học người Thụy sĩ, và của J. S. Bruner (1966), một nhà tâm lý học người Mỹ. Thuyết kiến tạo của Bruner dựa trên hai nguyên tắc cơ bản sau: 1. Tri thức được người học xây dựng một cách tích cực và không được tiếp nhận một cách thụ động từ môi trường. 2. Học tập là một quá trình thích ứng dựa trên kinh nghiệm con người có được từ thế giới xung quanh và là một quá trình sửa đổi lâu bền [2]. 96 Trái với người theo thuyết truyền thụ, những người ủng hộ quan niệm này cho rằng người học không có “đầu rỗng”. Theo họ, trước khi một khái niệm được giảng dạy, học sinh đã tự trang bị cho mình một hệ thống giải nghĩa khái niệm đó. Những ý tưởng mà người học tự trang bị cho mình được gọi là các quan niệm hay biểu tượng ban đầu. [11] Theo những người bảo vệ thuyết này, cần phải lưu ý đến sự tồn tại của các biểu tượng ban đầu và cần đưa học sinh vào tình huống đối mặt với các bài toán. Học sinh thử giải quyết bài toán trong khuôn khổ làm việc theo nhóm trong đó sẽ nảy sinh các cuộc tranh luận giữa các thành viên của nhóm. Một trong những mục đích cuối cùng của hoạt động này là làm nảy sinh các mâu thuẫn và xung đột về quan niệm. Thực vậy, để giải quyết một bài toán đặt ra, học sinh sẽ thử sử dụng các quan niệm của mình, mà các quan niệm này không đầy đủ, không thích hợp, không chính xác hay không được chấp nhận bởi những thành viên của nhóm. Vì vậy xung đột nảy sinh và học sinh đang ở trong pha mất cân bằng và khi đó sẽ có một cuộc đấu tranh chống lại các biểu tượng ban đầu. Từ đó dẫn đến sự biến đổi hay hủy bỏ các quan niệm ban đầu này. Khi nhận thấy rằng các biểu tượng ban đầu của mình là sai lầm, không đầy đủngười học chuẩn bị xây dựng một khái niệm mới, nghĩa là chính người học tự xây dựng tri thức cho mình bằng sự khéo léo của các tình huống đặt ra cho họ. Từ đó, khái niệm mới, công cụ cần thiết để giải quyết bài toán đặt ra, sẽ nhận lấy đầy đủ nghĩa của nó. Người học có vai trò rất năng động trong quan niệm kiến tạo xã hội. Họ phải giải quyết bài toán được giao và đồng thời đánh giá sản phẩm của mình, nghĩa là xây dựng tri thức của họ. 3. KHÁI NIỆM BÀI TOÁN Khái niệm “bài toán” có rất nhiều nghĩa và mang tính tương đối. Có bài toán chỉ đơn thuần là một bài tập áp dụng các kiến thức đã học, nhưng có bài toán lại đặt người học trong một tình huống phức tạp đòi hỏi sự phản xạ, đôi khi sáng chế ra một phương pháp giải đặc biệt, hoặc bài toán có thể giải được bằng nhiều hướng khác nhau hoặc đôi khi có thể có nhiều lời giải khác nhau hay nhiều cách khác nhau để trình bày lời giải. Vì thế, việc đưa ra một định nghĩa chính thức khái niệm “bài toán” là không cần thiết, mà điều cần làm ở đây là làm rõ có thể được nghĩa của khái niệm này. 4. PHÂN BIỆT KHÁI NIỆM BÀI TOÁN VÀ BÀI TẬP Trước tiên, chúng ta lưu ý rằng trong Cân bằng cũ Mất cân bằng Cân bằng mới 97 quan niệm truyền thụ, các bài tập được đưa ra cho người học sau mỗi lần tri thức được truyền đạt để áp dụng hay để củng cố tri thức đó, trong khi đối với quan niệm kiến tạo xã hội, người học phải đối mặt với bài toán tình huống cần giải quyết để khám phá ra một tri thức mới. Vì thế, việc sử dụng các cụm từ “bài tập” và “bài toán” dĩ nhiên không phải là vô hại. Hai khái niệm này chắc chắn có một số sự khác biệt mà ta sẽ thử làm sáng tỏ dưới đây. Trước hết, ta xác định xem một bài toán nghĩa là gì. Theo Gérard de VECCHI và Nicole Carmona-Magnaldi, bài toán là: “Một tình huống ban đầu bao hàm một số dữ liệu, áp đặt một mục đích cần đạt, buộc xây dựng một chuỗi các hành động, huy động một hoạt động trí tuệ, làm tham gia một hoạt động nghiên cứu để dẫn đến kết quả sau cùng. Kết quả này lúc khởi đầu chưa biết và lời giải không có sẵn tức thì”[5]. Theo Newell và Simon, có bài toán khi chủ thể tìm cách nhận được lời giải cho một vấn đề nào đó không có lời giải ngay tức thì [7]. Theo D. Boukhssimi, bài toán là “một tình huống trong đó chủ thể thử trả lời một câu hỏi đặt ra hay hoàn thành một nhiệm vụ được xác định, dưới ánh sáng kinh nghiệm của mình, cũng như các thông tin được cung cấp cho chủ thể một cách tường minh hay không. Chủ thể không thể tìm được câu trả lời hay hoàn thành nhiệm vụ này mà không thực sự tìm kiếm hay nhờ đến toán học hay khả năng trí tuệ được sử dụng trong toán học”[9]. Theo J. Brun, “Một bài toán thông thường được định nghĩa như một tình huống khởi đầu có một mục đích cần đạt được, đòi hỏi chủ thể xây dựng một chuỗi các hành động hay phép toán để đạt được mục đích đó. Chỉ tồn tại bài toán trong mối quan hệ chủ thể/tình huống mà lời giải của nó không phải bất chợt có sẵn”. [3, tr. 2] Gérard De Vecchi và Nicole Carmona- Magnaldi đã nhấn mạnh một trong những đặc trưng của bài toán là “tham gia một hoạt động nghiên cứu”[5]. Theo họ, bài toán không phải là sự áp dụng đơn giản các kiến thức (định lý, quy tắcđã biết) mà bao hàm một nghiên cứu, một hiệu chỉnh chiến lược để giải quyết bài toán đó. Trái lại, đối với một bài tập, việc tìm tòi nghiên cứu sẽ không hiện diện và đôi khi là rất ít. Theo quan niệm truyền thụ, người thầy truyền đạt tri thức rồi cho bài tập để áp dụng tri thức đó và không mong đợi bất kỳ nghiên cứu nào ở học sinh hơn là việc áp dụng một quy tắc, một định lý vừa được truyền đạt cho họ để tri thức này được ghi nhớ tốt hơn. Cần lưu ý rằng bài tập cũng có thể được sử dụng trong khuôn khổ dạy học gắn liền với một quan niệm khác với quan niệm truyền thụ. Tuy nhiên trong quan niệm kiến tạo xã hội, các bài tập sẽ không được đưa ra nhằm để học sinh nắm bắt tri thức mới mà là nhằm mục đích để luyện tập và củng cố. 5. PHÂN LOẠI BÀI TOÁN Các bài toán có thể được phân loại dựa trên quan điểm thực hành hay quan điểm didactic Toán. a/ Phân loại thứ nhất : Nếu dựa trên quan điểm thực hành, bài toán được phân loại thành sáu nhóm sau: + Nhóm 1: gồm các bài toán đưa học sinh vào việc xây dựng kiến thức mới, còn được gọi là bài toán tình huống. + Nhóm 2: gồm các bài toán cho phép học sinh sử dụng các kiến thức đã học, còn 98 được gọi là bài toán củng cố. + Nhóm 3: gồm các bài toán cho phép học sinh mở rộng phạm vi sử dụng một khái niệm đã học, còn được gọi là bài toán chuyển đổi. + Nhóm 4: gồm các bài toán phức tạp nhất mà học sinh phải sử dụng cùng lúc nhiều loại kiến thức để giải quyết, còn gọi là bài toán tích hợp hay bài toán tổng hợp. + Nhóm 5: gồm các bài toán mà mục tiêu của chúng là cho phép giáo viên và học sinh điểm lại một môn học mà họ đã làm chủ các kiến thức của nó, còn được gọi là bài toán đánh giá. + Nhóm 6: gồm các bài toán đặt học sinh vào một tình huống nghiên cứu và phát triển năng lực phương pháp, còn được gọi là bài toán mở [4, tr.78–79]. b/ Phân loại thứ hai : Nếu dựa trên quan điểm didactic Toán, bài toán được chia thành ba nhóm bên cạnh nhóm các bài tập áp dụng và bài tập củng cố. + Bài tập áp dụng và bài tập củng cố: là những hoạt động nhằm mục đích để học sinh áp dụng ngay các tri thức vừa học như một quy tắc, một định lý và để củng cố các kiến thức đã được học trước đó, tái sử dụng chúng trong một ngữ cảnh khác. Trong hoạt động giải bài tập áp dụng và bài tập củng cố, người thầy xem học sinh có sử dụng khái niệm mong muốn để giải quyết bài tập đó hay không mà không quan tâm hay không mong muốn thực hiện bất cứ hoạt động tìm tòi nghiên cứu nào. Đặc trưng của bài tập áp dụng và củng cố: 1/ Bài toán đặt ra luôn có một lời giải. 2/ Áp dụng các kiến thức đã học. 3/ Đề bài chứa tất cả dữ liệu cần thiết cho lời giải. 4/ Kết quả thường được trình bày dưới dạng hình thức hay số. Ví dụ 1: Cho một số 384,25. Chữ số hàng chục là gì? Chữ số hàng phần chục? Chữ số hàng đơn vị? Bài tập trong Ví dụ 1 là bài tập áp dụng nhằm mục đích mong muốn học sinh áp dụng định nghĩa số thập phân mà học sinh vừa học xong để giải quyết bài toán. Ví dụ 2: Cho hai bài tập sau: Bài 1. Cho tam giác đều ABC cạnh a có đường cao AH. Tính: a/ .AB AC ; b/ .AH AC . Bài 2. Cho tam giác ABC có I là trung điểm cạnh BC. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 BC AB AC AI   . Bài tập 1 trong Ví dụ 2 là bài tập áp dụng tri thức học sinh vừa học là định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ và điều kiện cần và đủ để hai vectơ khác 0 vuông góc với nhau. Bài tập 2 là bài tập củng cố các tri thức liên quan đến bình phương vô hướng của một vectơ, quy tắc trung điểm của một đoạn thẳng, bình phương vô hướng của một tổng, của một hiệu hai vectơ. + Bài toán phức hợp: là những bài toán có đề bài chứa một số lượng thông tin rất lớn được mô tả trong một đoạn văn, có thể bao gồm một đồ thị hay một sơ đồĐể giải loại bài toán này, học sinh phải đi qua các giai đoạn trung gian. Các giai đoạn trung gian này không được nêu rõ trong đề bài dù chỉ là một chuỗi câu hỏi liên tiếp để dẫn dắt. Vì vậy học sinh phải chia bài toán thành những bài toán nhỏ hơn gọi là bài toán con tương ứng với từng giai đoạn và sử dụng nhiều khái niệm khác nhau để giải quyết các bài toán con đó. Dĩ nhiên các khái niệm được huy động cũng như kiểu lời giải của từng giai đoạn đã được học sinh biết đến. 99 Ví dụ 3: Một công ty xuất ba lô hàng mỗi lô nặng 300kg để trang bị cho một trường học. Lô thứ nhất gồm 15 cái bàn và 30 cái ghế. Lô thứ hai gồm 25 cái bàn. Lô thứ ba gồm 10 cái bàn, 20 cái ghế và 5 cái tủ. Hỏi mỗi cái bàn, mỗi cái ghế, mỗi cái tủ nặng bao nhiêu kg? Để giải bài toán trên, học sinh phải thiết lập được một hệ gồm ba phương trình bậc nhất có ba ẩn x, y, z lần lượt là khối lượng của một cái bàn, một cái ghế và một cái tủ và mỗi phương trình tương ứng với một lô hàng. Để giải hệ phương trình thiết lập được, học sinh có thể sử dụng phương pháp thế hay phương pháp cộng (nếu máy tính bỏ túi không được phép). + Bài toán nghiên cứu (bài toán mở): là bài toán tập trung phát triển khả năng hoạt động nghiên cứu của người học, đề xuất với người học các tình huống mới và đặt họ vào tình huống nghiên cứu, sáng tạo ra một phương pháp, một quy trình để giải bài toán đó. Bài toán mở luôn có thể giải quyết được bằng nhiều cách khác nhau hay bằng nhiều trình tự khác nhau. Hoạt động nghiên cứu được học sinh thiết kế là chính yếu. Người giáo viên quan tâm đến quy trình được học sinh chọn lựa, sáng tạo ra nhiều hơn là quan tâm đến nghiệm của bài toán tìm được. Bài toán mở có thể tập trung vào một hay nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học như số học, hình học, logic, đo đạc Hoạt động giải bài toán mở diễn ra qua nhiều pha. Học sinh sắp xếp thời gian cho hoạt động nghiên cứu cá nhân rồi sau đó cho hoạt động nghiên cứu của nhóm. Những trao đổi bên trong nhóm cho phép học sinh tiến lên trong hoạt động tìm kiến một trình tự cho phép giải được bài toán. Với một bài toán mở, học sinh có thể gọi là đi vào con đường thực nghiệm (thử, dự đoán), cho phép một sự vận hành qua lại giữa lý thuyết và thực hành. Con đường thực nghiệm này có thể góp phần trả lại nghĩa của các nội dung toán học. Nhóm nghiên cứu của Viện nghiên cứu giảng dạy Toán ở Lyon, Pháp đưa ra định nghĩa sau: “Bài toán mở là bài toán có các đặc tính sau: - Đề bài ngắn. - Đề bài không quy kết phương pháp giải cũng như lời giải (không có các câu hỏi trung gian cũng như câu hỏi dạng “chứng minh rằng”). Không có trường hợp nào lời giải quy về việc sử dụng hay áp dụng ngay các kết quả vừa được dạy. - Bài toán nằm trong trường quan niệm mà học sinh khá quen thuộc. Vì thế, học sinh có thể dễ dàng “làm chủ” tình huống và tham gia vào các phép thử, dự đoán, dự án giải quyết, phản ví dụ.” [1, tr. 20] Ví dụ 4: Bài toán xây tháp Sử dụng các lá bài xây tháp như ba hình dưới đây. Hỏi cần bao nhiêu lá bài để xây tháp 5 tầng, 12 tầng, 100 tầng và n tầng? 100 Bài toán trong Ví dụ 4 nhằm mục đích đưa học sinh vào hoạt động nghiên cứu, tìm tòi công thức tổng quát cho phép tính số lượng lá bài cần sử dụng theo số tầng n của tháp. Hoạt động này trãi qua các pha: pha tìm tòi nghiên cứu cá nhân và của nhóm nhóm, pha đánh giá hoạt động của từng nhóm, pha thể chế hóa quy trình và kết quả tìm được của từng nhóm. Bài toán này được thiết kế cho học sinh lớp 11 sau khi các em học khái niệm dãy số. Sau nhiều phép thử, dự đoán, làm việc cá nhân rồi theo nhóm, học sinh có thể tìm thấy hệ thức liên hệ giữa số bài cần sử dụng cho n và n+1 tầng như sau: 1 3 2n nu u n    , trong đó nu chỉ số lá bài cần sử dụng để xây n tầng. Từ đó, học sinh đi đến công thức tính số lá bài cần sử dụng như sau: 2 3 2 n n n u   , trong đó nu chỉ số lượng lá bài cần sử dụng và n chỉ số tần