Phân số bằng nhau
Ví dụ . Lập các cặp phân số bằng nhau từ bốn trong năm số sau: 3; 6; 12; 24; 48. Giải. Từ năm số đã cho , có ba đẳng thức sau: 3. 24 = 6.12 ; 3.48 = 6.24; 6.48 = 12.24. Với đẳng thức 3.24 = 6.12 , trước hết ta lập một cặp phân số 3/6= 12/24 (1). Để lập các cặp phân số bằng nhau khác ta làm như sau: Tráo đổi vị trí số 3 và 24 của (1), ta được cặp phân số 24/6= 12/3. Tráo đổi vị trí số 6 và 12 của (1), ta được cặp phân số 3/12= 6/24. Tráo đổi vị trí số 3 và 24 , 6 và 12 của (1), ta được cặp phân số 24/12= 3
Bạn đang xem nội dung tài liệu Phân số bằng nhau, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 1
Phân số bằng nhau.
Hai phân số
b
a
và
d
c
gọi là bằng nhau nếu : a. b = c. d.
Ví dụ . Lập các cặp phân số bằng nhau từ bốn trong năm số sau: 3; 6; 12; 24; 48.
Giải. Từ năm số đã cho , có ba đẳng thức sau: 3. 24 = 6.12 ; 3.48 = 6.24; 6.48 = 12.24.
Với đẳng thức 3.24 = 6.12 , trước hết ta lập một cặp phân số
6
3
=
24
12
(1). Để lập các cặp phân
số bằng nhau khác ta làm như sau:
Tráo đổi vị trí số 3 và 24 của (1), ta được cặp phân số
6
24
=
3
12
.
Tráo đổi vị trí số 6 và 12 của (1), ta được cặp phân số
12
3
=
24
6
.
Tráo đổi vị trí số 3 và 24 , 6 và 12 của (1), ta được cặp phân số
12
24
=
3
6
.
Tóm lại từ đẳng thức 3.24 = 6.12, ta lập được 4 cặp phân số bằng nhau.
Cách làm tương tự với hai đẳng thức còn lại , ta được 8 cặp phân số bằng nhau nữa.
Vậy có tất cả 12 cặp phân số bằng nhau:
6
3
=
24
12
;
6
24
=
3
12
;
12
3
=
24
6
;
12
24
=
3
6
;
6
3
=
24
48
;
6
48
=
3
24
;
24
3
=
48
6
;
24
48
=
3
6
;
12
6
=
48
24
;
12
48
=
6
24
;
24
6
=
48
12
;
24
48
=
6
12
;
Ví dụ. Tìm các cặp số nguyên x, y biết :
x
2
=
3
y
.
Giải. Từ
x
2
=
3
y
, suy ra xy = - 6.
Để tìm các cặp số nguyên x , y ta phải xét tất cả các cách phân tích số -6 dước dangjtichs của
hai số nguyên:
Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 2
( - 6) = ( - 1).6 = 6 .( -1) = ( -2) .3 = ( - 3) .2.
Vì vai trò của x , y như nhau nên có 8 cặp số nguyên thỏa mãn đề bài :
x -1 6 1 -6 2 -3 -2 3
y 6 -1 -6 1 -3 2 3 -2
Bài tập.
1.Viết các phân số sau dưới dạng phân số co mẫu dương:
37
22
;
19
3
;
39
11
;
57
51
;
2.Tìm các số nguyên x,y biết:
a)
3
x
=
y
7
; b)
y
x
=
11
3
; c)
1y
x
=
19
5
.
3. Tìm các số nguyên x , y ,z ,t biết :
6
12
=
5
x
=
3
y
=
17
z
=
9
t
.
4.Tìm các số nguyên x, y , z biết :
6
24
=
3
x
=
2
4
y
=
2
3
z
.
5. Lập các cặp phân số bằng nhau từ bốn trong sáu số sau :
- 5 ; - 3 ; - 2 ; 6 ; 10 ; 15.
6. Tìm các số tự nhiên a , b , biết rằng a ,b là các số nguyên tố cùng nhau
và
ba
ba
5
7
=
28
29
.
Rút gọn phân số.
1. Muốn rút gọn một phân số ta chia cả tử và mẫu của phân số cho một
số ước chung ( khác 1 hoặc – 1) của chúng để được phân số đơn gian
Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 3
hơn.
2. Phân số tối giản là phân số không thể rút gọn được nữa. phân số
b
a
tối
giản nếu │a│và│b│ là hai số nguyên tố cùng nhau.
Ví dụ. Chứng tỏ rằng phân số
23
35
n
n
là phân số tối giản với
n
N.
Vì n
N , nên 5n + 3
N
*
và 3n + 2
N
*
. do vậy để chứng minh phân số
23
35
n
n
là phân số
tối giản với
n
N. at phải chứng minh 5n + 3 và 3n + 2 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Gọi ƯCLN của 5n + 3 và 3n + 2 là d ( d
N và d≥ 1) , ta có 5n + 3
d và 3n + 2
d , do đó
3(5n + 3)
d và 5(3n + 2)
d . suy ra 5(3n + 2) - 3(5n + 3)
hay 15n + 10 – 15n – 9
d , hay
1
d , do đó d = 1 .vậy phân số
23
35
n
n
là phân số tối giản với
n
N.
Vì dụ . tìm phân số bằng phân số
211109
188887
, biết tổng giữa tử và mẫu của phân số là 6.
Giải . ta có:
211109
188887
=
19
17
. Các phân số pahir tìm có dạng
k
k
19
17
(k
Z , k ≠ 0).
Vì tổng giữa tử và mẫu của phân số là 6 nên – 17k + 19k = 6 suy ra k = 3.
Vậy phân số phải tìm là :
3.19
3.17
=
57
51
Bài tập
1. Rút gọn các phân số sau: a)
5.3.2
3.2
22
3 b)
14.5.2.3
8.7.5.3.)2(
34
533
2. Rút gọn các phân số sau:
a)
32412
2622112
960.8110.6.2
15.12.616.6.5
; b)
125...2525
125...252
22830
4248
3. Chứng tỏ rằng với mọi số nguyên n , các phân số sau là phân số tối giản:
a)
130
115
n
n
b)
13
2
24
3
nn
nn
.
Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 4
4. Tìm tất cả các số nguyên để phân số
721
318
n
n
là phân số tối giản.
5. a) Cho phân số
9
13
. Phải them vào tử và mẫu của phân số , số tự nhiên nào để được
phân số bằng phân số
7
5
?
b) Cho phân số
44
19
. Phải thêm vào tử và mẫu của phân số , số tự nhiên nào để được phân
số bằng phân số
47
22
?
6. Dung một trong chín chữ số từ 1 đến 9 để ghép thành một phân số mà mỗi phân số lần
lượt bằng : 2 ,3, 4, 5,6 ,7 , 8, 9.
7. Tìm phân số tối giản
b
a
, biết:
a) Cộng tử với 4 . mẫu với 10 thì được một phân số bằng phân số đã cho;
b) cộng mẫu vào tử , cộng mẫu vào mẫu thì được một phân sô gấp 2 lần phân số đã cho.
8. Tìm phân số , biết :
a) Phân số đó bằng phân số
20
9
và BCNN của tử và mẫu là 360;
b) Phân số đó bằng phân số
39
20
và ƯCLN của tử và mẫu là 36.
9. Tìm phân số
ab
a
, biết rằng phân số đó bằng phân số
a6
1
.
10. Chứng tỏ rằng nếu phân số
6
15 2 n là số tự nhiên với n N thì cá phân số
2
n
và
3
n
là
các phân số tối giản.
Quy đồng mẫu nhiều phân số.
Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 5
Muốn quy đồng mẫu nhiều phân số với mẫu dương ta làm như sau:
Bước 1 : Tìm một bội chung của các mẫu ( thường là BCNN) để làm mẫu chung.
Bươc 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu ( bằng cách chia mẫu chung cho từng
mẫu).
Bước 3: Nhân tử và mẫu của phân số với thừa số phụ tương ứng.
Ví dụ. Rút gọn rồi quy đồng mẫu số các phân số sau:
3.47.8
11.45.4
;
3.206.5
7.108.15
và
11.7.5.2
7.5.2
23
24 .
Giải. rút gọn các phân số:
3.47.8
11.45.4
=
)37.2(4
)115(4
=
11.4
16.4
=
11
16
;
3.206.5
7.108.15
=
)3.46(5
)7.28.3(5
=
18.5
10.5
=
18
10
=
9
5
;
11.7.5.2
7.5.2
23
24 =
11.7.7.5.2
7.5.5.2.2
3
3 =
11.7
5.2
=
77
10
.
Quy đồng mẫu ba phân số :
11
16
;
9
5
;
77
10
.
Mẫu chung : 7.9.11 = 693.
Các thừa số phụ tương ứng : 9.7 = 63 ; 7.11 = 77 và 9.
Vậy :
11
16
=
63.11
63.16
=
693
1008
;
9
5
=
77.9
77.5
=
693
385
;
77
10
=
9.77
9.10
=
693
90
.
Bài tập:
1. Tìm mẫu chung của các phân số sau :
a)
22 5.3.2
13
và
7.5.3.2
11
24
; b)
11.7.3
19
2
và
13.7.3
23
2
2. Tìm tất cả cá phân số mà tử và mẫu đều là các số tự nhiên khác 0 có một chữ số , tủ kém
mẫu 3 đơn vị và có
Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 6
a) BC của các tử là 210;
b) BC của các mẫu là 210;
c) BC của các tử và mẫu là 210;
3. Tìm các chữ số a , b ,c để:
a) Phân số
ab
36
= a + b;
b) Phân số
cba
1000
=
abc
.
4. Cho ba phân số:
223
22
3.55
3.55
;
11124
956
63.8
120.69.4
;
4041919.2
1012929
Rút gọn rồi quy đồng mẫu các phân số đó.
1. Tìm phân số có mẫu bằng 11 , biết rằng khi cộng tử với – 18, nhân mẫu với
7 thì được một phân số bằng phân số ban đầu.
2. a) Tìm phân số bằng phân số
18
8
, có tích giữa tử và mẫu bằng 324;
b)Tìm phân số biết tích của tử và mẫu là 550 và mẫu của phân số chỉ chứa các số
nguyên tố 2 và 5.
So sánh phân số.
1. Với hai phân số cùng mẫu dương , ta có :
Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 7
a) Nếu a 0 thì
b
a
<
b
c
.
b) Nếu a > c và b > 0 thì
b
a
>
b
c
.
2. Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu , ta viết chúng dưới dạng hai
phân số có cùng một mẫu dương rồi so sánh các tử với nhau. Phân số nào có
tử lớn hơn thì phân số đó lơn hơn.
Ví dụ: Hãy tìm các phân số , thỏa mãn mỗi điều kiện sau:
a) Có mẫu là 30 , lớn hơn
17
5
và nhỏ hơn
17
6
.
b) Có mẫu là 5 , lớn hơn
3
2
và nhỏ hơn
6
1
.
Trong mỗi trường hợp trên hãy sắp xếp các phân số theo thứ tự từ nhỏ đến lơn.
Giải. a) Gọi phân số cần tìm là
30
a
, trong đó a
Z., ta có:
17
5
<
30
a
<
17
6
, quy đồng mẫu chung của ba phân số ta được :
510
150
<
510
17a
<
510
180
; suy ra 150
< 17a < 180 , do đó 8 < a < 11 , mà a
Z. nên a = 8 ,10. vậy có hai phân số thỏa mãn đề bài :
30
9
=
10
3
;
30
10
=
3
1
.
Sắp xếp các phân số theo thứ tự từ nhỏ đến lớn :
17
5
<
10
3
<
3
1
<
17
6
.
b) Cách làm tươn tự : ta tim được ba phân số thỏa mãn đề bài :
5
3
;
5
2
;
5
1
.
Sắp xếp các phân số theo thứ tự từ nhỏ đến lớn :
3
2
<
5
3
<
5
2
<
5
1
<
6
1
.
Bài tập :
1. Điền số thích hợp vào chỗ co dấu …
a)
23
10
<
23
...
<
23
...
<
23
...
<
23
...
<
23
5
;
Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 8
b)
5
1
<
30
...
<
15
...
<
10
1
.
2. Hãy tìm các phân số , sao cho :
a) Có mẫu là 20 , lớn hơn
13
4
và nhỏ hơn
13
5
;
b) Lớn hơn
7
5
và nhỏ hơn
6
5
.
3. a) Cho phân số
5
4
. cùng cộng thêm 3 vào tử và mẫu của phân số thì phân số tìm được
lớn hơn hay nhỏ hơn
5
4
?
b) Cho phân số
4
5
. cùng cộng thêm 3 vào tử và mẫu của phân số thì phân số tìm được
lớn hơn hay nhỏ hơn
4
5
?
4. Cho hai phân số
6
1
và
3
2
. hãy tìm :
a) Năm phân số có tử và mẫu cùng là số dương , sao cho các phân sô đó lớn hơn
6
1
và nhỏ
hơn
3
2
;
b) hai mươi phân số có tử và mẫu cùng là số dương , sao cho các phân sô đó lớn hơn
6
1
và
nhỏ hơn
3
2
;
c) Có nhận xét gì về số các phân số có cùng tử và mẫu cùng là số dương , sao cho các phân số
đó lớn hơn
6
1
và nhỏ hơn
3
2
;
5. Hãy viết ba phân số có mẫu khác nhau , xen giữa hai phân số :
2
1
và
3
1
Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 9
Tính chất cơ bản của phép cộng phân số.
1. Tính chất giao hoán : khi đổi chỗ các phân số trông một tổng thì tổng
không đổi .
Với mọi phân số
b
a
và
d
c
ta có :
b
a
+
d
c
=
d
c
+
b
a
.
2. Tính chất kết hợp : muốn cộng một tổng hai phân số với phân số thứ
ba , ta cố thể cộng phân số thứ nhất với tổng hai phân số còn lại.
Với mọi phân số
b
a
,
d
c
,
q
p
ta có : (
b
a
+
d
c
) +
q
p
=
b
a
+ (
d
c
+
q
p
).
3. Tổng của một phân số với 0 bằng chính phân số đó : Với mọi phân số
b
a
, ta có
b
a
+ 0 =
b
a
+ 0 =
b
a
.
Ví dụ : Tính nhanh các tổng sau:
a) A =
7
2
+
8
3
+
7
4
+
7
1
+
8
5
+
3
1
.
b) B =
2
1
+
3
2
+
4
3
+
5
4
+
6
5
+
7
6
+
8
7
+
7
6
+
6
5
+
5
4
+
4
3
+
3
2
+
2
1
Giải.a) Áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng phân số , gộp các phân số có
cùng mẫu vào từng nhóm, ta có :
A = (
7
2
+
7
4
+
7
1
) + (
8
3
+
8
5
) +
3
1
=
3
1
.
b)Áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng phân số , gộp các phân số có tổng
bằng 0 vào từng nhóm, ta có :
B = (
2
1
+
2
1
)+(
3
2
+
3
2
)+(
4
3
+
4
3
)+(
5
4
+
5
4
)+(
6
5
+
6
5
)+(
7
6
+
7
6
) +
8
7
B =
8
7
.
Bài tập:
1.Thực hiện phép tính một cách hợp lí , tính các tổng sau:
Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 10
A =
9
2
+
4
3
+
5
3
+
15
1
+
57
1
+
3
1
+
36
1
B =
2
1
+
5
1
+
7
5
+
6
1
+
35
3
+
3
1
+
41
1
C = =
2
1
+
5
3
+
9
1
+
127
1
+
18
7
+
35
4
+
7
2
2. Tìm các số nguyên x biết :
a)
3
1
+
5
2
+
6
1
+
5
1
≤ x <
4
3
+
7
2
+
5
3
+
7
5
+
4
1
.
b)
17
5
+
9
4
+
31
20
+
17
12
+
31
11
< x ≤
7
3
+
15
7
+
7
4
+
15
8
+
3
2
3. Cho S =
51
1
+
52
1
+
53
1
+….+
99
1
+
100
1
. Hãy so sánh S với
2
1
4. Ba vòi nước cùng chảy vào một chiếc bể không chứa nước. Nếu mở riêng từng vòi thì vòi
thứ nhất chảy đầy bể trong 3 giờ , vòi thứ hai chảy trong 4 giờ và vòi thứ ba trong 5 giờ.Hỏi:
a) Trong 1 giờ, nõi vòi chảy được mấy phần của bể?
b) Trong 1 giờ,cả ba vòi cùng chảy thì được mấy phần của bể?
