Phân tích sự làm việc tương tác của kết cấu vỏ cống với môi tường đất đá xung quanh

1 chất công trình và Môi trường số 1 (7/2004). 4. Đỗ Minh Đức (2004), Nghiên cứu sự hình thành và biến đổi quá trình bồi tụ-xói lở ở đới ven biển Thái Bình-Nam Định. Luận án Tiến sĩ chuyên ngành Địa chất công trình. 5. Lương Phương Hậu, Trịnh Việt An, Lương Phương Hợp (2002), Diễn biến cửa sông vùng đồng bằng Bắc Bộ. Nhà xuất bản Xây dựng, 2002. 6. Phân viện Hải dương học Hải Phòng (2000). Dự án độc lập cấp nhà nước KHCN-5A, Nghiên cứu dự báo, phòng chống sạt lở bờ biển Bắc Bộ từ Quảng Ninh tới Thanh Hoá. 7. Do Minh Duc, Chu Van Ngoi, Nguyen Huy Phuong, Ta Duc Thinh (2003), “Influences of seadike system on shoreline change in a rapid accretion delta: the example of Thaibinh province, the Red River Delta (Northern Vietnam)”, Hanoi GeoEngineering 2003. 8. U.S. Army Corps of Engineers (2002), Manual of Coastal Engineering. 9. Ton That Vinh et al. (1996), “Sea Dike Erosion and Coastal Retreat at Nam Ha Province, Vietnam”, Coastal Engineering 1996, Chapter 28, p. 2820-2828. ---------------------------------------------------------------- Phân tích sự làm việc tương tác của kết cấu vỏ cống với môi tường đất đá xung quanh Đỗ Như Tráng(1) Vũ Thùy Giang(2) Analyse of interaction of underyround tube with the ground surrounding excaration Abstract: This paper describes the results of reseach on the analyse of the underground tube linings on interactions whith the rock surrounding undergound excavation. Data and graph are demonstrated for calculated results. The conclusions from the results of reseach have been presented. I. Đặt vấn đề Hiện nay trong quy trình tính vỏ cống của nước ta và một số tiêu chuẩn nước ngoài như AASHTO hay JIS v.v có nhiều phương pháp tính toán khác nhau: hoặc dựa trên giả thiết tải trọng cho trước, hoặc chưa xét đầy đủ chế độ cùng làm việc (tương tác) giữa vỏ cống và môi trường đất đá; Bài báo trình bầy phương pháp tính toán vỏ cống theo chế độ tương tác, sơ đồ thuật toán, các kết quả phân tich sự làm việc đồng thời của vỏ với đất đá và các kết luận. II. Mô hình tính Xét kết cấu cống nằm trong lòng đất-trong một lỗ khoét, như một kết cấu nằm trong mặt phẳng đàn hồi, xem xét sự làm việc của kết cấu như kết cấu cùng làm việc với môi trường đất đá xung quanh. Xét một kết cấu có mặt cắt ngang là hình tròn với bán kính trong R đặt tại chiều sâu lớn, nằm trong mặt phẳng đàn hồi có ứng suất tương ứng trên các biên là Py và Px (hình1). 1. Khoa công trình Quân sự - Học viện kỹ thuật quân sự. 100 Đường Hoàng Quốc Việt - Cầu Giấy - Hà Nội. Tel: 9193068, 0903225054 Email: donhtrang2001@yahoo.com 2. Viện Khoa học kỹ thuật GTVT 1252 Đường Láng - Hà Nội. 1 Hình 1 Sơ đồ mặt phẳng đàn hồi và cống khi đặt sâu Các điều kiên biên của bài toán như vậy theo hình 1 sẽ là:             ;0 ; ; xy yy xx P P    (1) Trên biên trong của ống do không có lực tác dụng nên ứng suất có thể viết dưới dạng sau:          ;0 ;0 ;0 0 0 0 xy y x    (2) Khi xét tương tác giữa kết cấu và môi trường đất đá xung quanh, giả thiết trên biên lỗ tồn tại áp lực biên phân bố theo qui luật sau: R S qPq 2 cos00  (3) trong đó : S - Chiều dài đoạn cung biên lỗ tròn tính từ điểm A. Các giá trị P0 và q0 cần được chọn sao cho biến dạng của biên lỗ khoét và biên ngoài của kết cấu là như nhau. Hàm biến dạng trên biên lỗ khoét có dạng như sau:                      3 1 )1( )(4)(2 )1( 1 21 0 21 20 RqRP y (4)                      3 1 )1( )(4)(2 )1( 1 21 0 21 20 RqRP x (5) trong đó R: Bán kính ngoài của vành (kết cấu); Khi đó mômen và lực dọc trong ống được xác định theo các công thức: R SRq P F I M R SqR RPN 2 cos 3 2 cos 3 2 0 01 1 0   (6) Chuyển dịch hướng tâm của các điểm A và B của ống xác định theo các công thức: 1 4 0 01 2 0 1 4 0 1 2 0 9 )( 9 )( EI Rq P EF RP Bv EI Rq EF RP Au   (7) Trong đó: E: Môđun đàn hồi của vật liệu ống; b I I B F F  11 ; b - Chiều rộng ống tính toán dọc trục; F - Diện tích mặt cắt ngang tiết diện ống; J - Mômen quán tính tiết diện tuờng ống. Cho biến dạng ống và biến dạng của các điểm đất đá tương ứng tại các điểm A và B sẽ tìm được các công thức để tính toán P0 và q0.   0)1( '9 )( 2 1 ' )( 21122111 0 2 21211112012212111                paa q EFJ R aaP EF R aa   (8) 0) 11 1( '9 ) 111 ( 2 1 ' ) 111 ( 21 21 21 22 0 2 2121 2212012 2121 22                         a pa q EFJ R aaP EF R aa (9) trong đó, các hệ số như sau: 1 11 12 1 1 1 13 3 22 3 1 - 1 a = , a = . ; E E - 1 1 a = . , a = ; E G   E1 và E3 - Môđun đàn hồi theo các hướng trục tương ứng 1 và 3. (1 - Hệ số Poiison được xác định bằng tỷ lệ giữa biến đạng dọc và biến dạng ngang trong mặt phẳng phân lớp. (3 - Hệ số Poiison được xác định bằng tỷ lệ giữa biến dạng ngang của đất đá trong mặt phẳng bất đẳng hướng và biến dạng dọc. G - Môđun trượt của đất đá; (1, (2 - Nghiệm của phương trình: 0)2( 22 2 2112 4 11  aaaa  (10) Sau khi xác định được P0, q0, có thể dễ dàng tính được nội lực trong ống theo các công thức sau:            2cos 312 ;2cos 3 2 00 2 00 R qPM R qRPN (11) trong đó:                ; ) 3 8 (3 )(4 ; )(1 0 2 2 ' 0 0 ' 0 E FR pp q E RE pp P     (12) trong các công thức trên: ( - Hệ số Poiison của đất đá. R - Bán kính ống ; E - Môđun biến dạng tổng quát củađất đá; E0- Môđun biến dạng tổng quát của vật liệu ống; ( - Chiều dày ống; P‟- áp lực đất đá thẳng đứngtại độ sâu đặt ống cho trước tính từ đỉnh ống H; HP .'  ; ( - Trọng lượng thể tích của đất đá; P - áp lực đất đá nằm (áp lực hông) ngang tại độ sâu kể trên. HP .. 1      Các chuyển vị xuyên tâm sẽ được tính toán theo các công thức sau đây: Tại điểm A;        20 0 0 )( 3 4  R q RP E R uA (13) Tại điểm B: 20 B 0 0 P RR 4 R u q ( ) E 3         (14) Hình 2 Sơ đồ tính ống nằm ở độ sâu nhỏ hơn ba lần đường kính ống(trường hợp nông) Đối với ống nằm ở độ sâu nhỏ hơn ba lần đường kính ống mô hình tính toán là bán mặt phẳng có trọng lượng có lỗ khoét đặt bên trong. Lời giải bài toán trên trong lý thuyết đàn hồi được các tác giả I. G. Aracôvich, I. Ja. Bjaler, I. A. Prusovy giải. Xét bán mặt phẳng đàn hồi có trọng lượng bị suy giảm do tồn tại lỗ khoét hình tròn bán kính R (Hình 2), tâm của ống đặt tại chiều sâu H. Vành (ống) được xem là mỏng chịu tác dụng của hệ lực phân bố. Chuyển vị của các điểm của bán mặt phẳng tại chu vi lỗ khoét sẽ bằng chuyển vị của vành tại các điểm tương ứng do giả thiết ống và đất đá tiếp xúc chặt chẽ với nhau; Từ điều kiện cùng làm việc của bán mặt phẳng và của vành sẽ tìm được các phương trình xác định P0 và q0: 1                ; ))(2(16'9)(3 52 ; )2(16 ) ' ( 0 0 00 324 0 322 0 GG Gea EJ R aeGG G q G ea EF R G ae P a a aa       15) Trong đó: ; 21 2 ;22      G RHa (16) a0 -Toạ độ cực của điểm A; Trong hầu hết các trường hợp thực tế có thể lấy giá trị a0 ( 1,8; Mômen uốn và lực dọc trong ống được tính toán theo các công thức sau đây:           );2cos 3 ( );(2cos 3 0 0 2 00 0 2 00 2 0 a a eqP q RbN eqP F JbbRq M   (17) Sơ đồ khối thực hiện phân tích sự làm việc của vỏ cống như sau: Hình 3. Sơ đồ khối III. Các kết quả tính toán và nhận xét Chọn mô hình kiểm nghiệm hiện hành: Các số liệu tính như sau(số liệu tham khảo khu vực Hà Nội): Bán kính cống tròn(m): r=2m; Khối lượng thể tích đất (T/m3): (=1,8; Chiều dầy ống (m): (=0,15; Hệ số nở hông: (=0,2; Lực dính của đất (T/m2): c= 0,5; Góc ma sát trong(O): ( =3,5 ; Hình 4. Mô hình chọn để so sánh kiểm nghiệm {1} Bảng 1. Giá trị mômen Mmax cho 3 mô hình tính tại các độ sâu khác nhau H(m) 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 A 4,68 7,01 9,35 11,69 14,02 16,36 18,70 21,04 23,37 25,71 28,05 30,39 32,72 35,06 B -0,26 0,27 1,77 4,52 8,82 14,99 23,33 34,15 47,77 64,49 84,63 108,49 136,38 168,62 C 4,68 7,35 10,05 12,75 15,45 18,15 20,85 23,55 26,25 28,95 31,65 34,35 37,05 39,75 Ghi chú:A: Mô hình đặt nông; B: Mô hình đặt sâu; C: Mô hình chọn kiểm nghiệm; 1 Bảng số 2: Giá trị lực dọc Nmax cho 3 mô hình tính tại các độ sâu khác nhau H(m) 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 B 2,33 3,49 4,66 5,82 6,99 8,15 9,31 10,48 11,64 12,81 13,97 15,13 16,30 17,46 A -0,16 0,11 0,85 2,21 4,34 7,40 11,54 16,92 23,69 32,01 42,02 53,89 67,67 83,81 C 6,08 7,88 9,68 11,48 13,28 15,08 16,88 18,68 20,48 22,28 24,08 25,88 27,68 29,48 Hình 5. Biểu đồ giá trị mômen Mmax cho 3 mô hình tại các độ sâu khác nhau Hình 6. Biểu đồ giá trị lực dọc Nmax cho 3 mô hình tính tại các độ sâu khác nhau Bảng số 3. Giá trị mômen Mmax và lực dọc Nmax cho 3 mô hình tính tại các độ sâu khác nhau H(M) 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 A 2,94 2,0 1,5 1,21 1,01 0,87 0,76 0,68 0,61 0,56 0,51 0,47 0,44 0,41 B 1,53 1,03 0,78 0,63 0,53 0,45 0,40 0,35 0,32 0,29 0,27 0,24 0,23 0,21 C 14,4 19,76 7,38 5,93 4,96 4,26 3,74 3,33 3,0 2,73 2,5 2,31 2,15 2,0 D 3,93 2,66 2,01 1,62 1,35 1,16 1,02 0,91 0,82 0,74 0,68 0,63 0,59 0,55 Ghi chú: A:Mô hình đặt nông (Mômen Mmax) ;B: Mô hình đặt nông (Lực dọc Nmax) ;C: Mô hình chọn để kiểm nghiệm (Mômen Mmax) ;B: Mô hình chọn để kiểm nghiệm (Lực dọc Nmax) 1 Hình 7. Biểu đồ giá trị mômen Mmax và lực dọc Nmax cho 3 mô hình tính tại các độ sâu khác nhau Một số nhận xét: 1. Trong khoảng H<3D (khảo sát với D=4m; H=12-15m) Nội lực tính theo mô hình tương tác đặt nông cho giá trị nội lực nhỏ nhất (Hình 5); 2. Trong khoảng H>3D Nội lực tính theo mô hình tương tác đặt sâu cho giá trị nội lực nhỏ nhất (Hình 6 ); 3. Khi chiều sâu đặt cống tăng lên, tại một giá trị nhất định nào đó (H=12 -15m), chiều sâu ít ảnh hưởng tới nội lực và có thể lựa chọn được chiều dầy, cũng như cấu tạo ống hợp l í (Hình 7). 4. Các kết luận trên đây cho thấy tính chính xác và hợp l í trong cấu tạo và tính toán vỏ cống theo mô hình tương tác. Tài liệu tham khảo: 1. Tiêu chuẩn thiết kế 20-TCN-51-84(1989); 2. Đỗ Như Tráng, “áp lực đất đá và tính toán kết cấu công trình ngầm”, Học viên Kỹ Thuật Quân Sự (1997). 3. AASHTO American Standard Specification for Highway Bridge-1994. 4. Borodavkin P. P. Mekhanika Gruntov v Truboprovodnom stroitelstvje M. 1976. ----------------------------- Nghiên cứu Các đặc tính đàn hồi của cát 1 Nguyễn Hồng Nam* Trung Tâm Thuỷ Công, Viện Khoa Học Thuỷ Lợi, 95/3 Chùa Bộc, Hà Nội. Tel: 8522794, Fax: 8533377; Email: hong_nam@yahoo.com Study on quasi-elastic deformation properties of sand Abstract: Quasi-elastic deformation properties of dry, dense Toyoura sand at very small strain level were investigated by conducting a series of triaxial and torsional shear tests on hollow cylindrical specimens. Strains were measured locally by a newly developed pin- typed local deformation transducer. Degradation of vertical Young’s modulus Ez and shear modulus Gz( with the increase of shear stress (z( was observed during torsional shear tests, while keeping the constant values of vertical stress (’z and horizontal stress (’(. Effect of end-restraint at the top cap and pedestal on small strain shear modulus that was measured externally by applying small unload/reload cycles in the torsional direction was found to be significant. I. Đặt vấn đề Các đặc tính đàn hồi cuả đất có ý nghĩa quan trọng khi nghiên cứu bài toán biến dạng nền đất cứng hoặc đá mềm vì biến dạng của các loại nền này thường nhỏ hơn 0.1% (Burland, 1989). Trong vài thập kỷ qua, những kiến thức mới về các đặc tính đàn hồi của đất ở mức biến dạng nhỏ (<0.001% (Tatsuoka và nnk, 1997) đã cho thấy tầm quan trọng của các thiết bị đo biến dạng cục bộ. Hầu hết các thiết bị đo cục bộ nói trên được áp dụng cho các mẫu thí nghiệm 3 trục. Tuy nhiên, đối với các thí nghiệm cắt xoắn sử dụng mẫu hình trụ rỗng nhằm mô phỏng các điều kiện chịu lực tổng quát của đất có xét đến sự quay trục ứng suất chính (ví dụ, do các tải trọng ngang như động đất, sóng biển gây ra) thì việc áp dụng các thiết bị đo loại này còn rất hạn chế. Nghiên cứu này nhằm khảo sát các đặc tính đàn hồi của cát bằng các thí nghiệm 3 trục và xoắn trên các mẫu hình trụ rỗng, sử dụng một loại thiết bị đo biến dạng cục bộ kiểu mũi nhọn (P-LDT) mới được phát triển. II. thiết bị, Vật liệu và các thủ tục thí nghiệm 2.1 Thiết bị thí nghiệm Máy cắt xoắn hình trụ rỗng (hollow cylinder torsional shear apparatus) được phát triển tại Viện Khoa Học Công Nghiệp, Đại Học Tổng Hợp Tokyo (Hình 1). Hai hệ thống gia tải thẳng đứng và xoắn có thể được điều khiển độc lập và tự động bởi một máy vi tính. Năng lực của hệ thống gia tải thẳng đứng là 8 kN; của xoắn là 0.15 kN.m. 1 0 2010 (cm) Screw to rotate the attachment o f④ Screw shaft to ad just the vert ica l ② Bear ing house Ce l l pressure ① ③ ④ ⑤ Back pressure Pressure ce l l Spec imen Burette Pedesta l ⑥ ⑦ pos it ion o f③ Load ing sha ft (φ30mm) P o ro us s to ne ⑥H igh capac ity d if ferent ia l pressure transducer fo r conf in ing s tress ⑤Po tent iometer fo r large ro tat iona l d isp lacement ④Prox im ity transducer for sma l l rotat iona l d isp lacement ③Prox im ity transducer for sma l l vert ica l d isp lacement ②D isp lacement transducer for la rge vert ica l d isp lacement ⑦Low capac ity d if ferent ia l pressure transducer fo r vo lume change ①Two-component load ce l l Do=20cm D i=12cmH =3 0c m Top cap Transducers : Hình 1. Máy cắt xoắn hình trụ rỗng Hình 2. Sơ đồ bố trí thiết bị đo biến dạng AC servo motor được điều khiển bởi hai D-A converter loại 12-bit. áp suất trong và ngoài mẫu được giữ bằng nhau trong quá trình thí nghiệm. Một thiết bị E/P có công suất 980 kPa được dùng để điều khiển áp suất buồng thông qua các D-A converter. 2.2 Vật liệu và thủ tục thí nghiệm Vật liệu thí nghiệm là cát Toyoura ở trạng thái chặt, khô. Toyoura là một loại cát hạt đều ở Nhật Bản (emax = 0,966, emin= 0,600). Hệ số rỗng eini = (0,697-0,740) tại áp suất cố kết (‟c = 30 kPa. Ba loại kích cỡ mẫu hình trụ rỗng được sử dụng trong nghiên cứu này như sau: cỡ mẫu A (đường kính ngoài Do = 20 cm, đường kính trong Di = 16 cm, chiều cao H = 30 cm); cỡ mẫu B (Do = 20 cm, Di = 12 cm, H = 30 cm); và cỡ mẫu C (Do = 10 cm, Di = 6 cm, H = 20 cm). Trong bài báo này chỉ phân tích các kết quả thí nghiệm trên cỡ mẫu B (Do = 20 cm, Di = 12 cm, H = 30 cm). Các mẫu thí nghiệm được tạo bởi phương pháp “mưa cát” trong không khí. Hình 2 thể hiện sơ đồ bố trí các thiết SET1 GS3 SET2 GS2 GS4 Hinge* Conical hole Pin HTPB strip *glued on the surface of specimen 45° Fz GS3 GS1 GS2 GS4 T 3 0 cm 20cm 12cm SET1 P-LDT GS1 1 bị đo biến dạng. Hai bộ P-LDT (SET 1 và SET 2) được lắp tại vùng trung tâm mẫu để tránh các sai số đặt mẫu và liên kết cuối mẫu, và đối xứng qua trục mẫu. Mỗi bộ bao gồm 3 P-LDT được lắp phía ngoài mẫu theo hình một tam giác vuông, và một P-LDT được lắp phía trong mẫu theo phương ngang. Nguyên lý làm việc của P-LDT (Hong Nam và nnk, 2001; Hong Nam và Koseki, 2003; Hong Nam, 2004) tương tự như LDT truyền thống (Goto và nnk., 1991). Biến dạng của đất có thể được xác định thông qua biến dạng của thanh đồng phốt-pho qua xử lý nhiệt. Trên thanh đồng này có gắn các điện trở để tạo thành một mạch cầu Wheatstone. Các đặc tính khác biệt của P-LDT so với LDT truyền thống chính là các kết cấu của hai đầu mũi nhọn của thanh đồng và hai khớp hình nón, cũng được làm bằng đồng phốt-pho qua xử lý nhiệt và được gắn keo với màng cao su bao phía ngoài mẫu, nhằm duy trì sự quay tự do của thanh đồng tại hai điểm tiếp xúc (đáy của các lỗ hình nón) trong quá trình thí nghiệm. Hình 3. Ez,Gz( và (z( đo cục bộ trong IC Để tính 4 thành phần biến dạng trung bình của mẫu ((z, (r, (( và (z(), hai giả thiết sau đây được sử dụng; đó là: i) góc hướng tâm tạo bởi hai điểm cuối của P-LDT nằm ngang và giao điểm của mặt phẳng ngang (chứa chúng) với trục mẫu là hằng số; ii) mẫu luôn duy trì hình trụ rỗng tròn xoay. Vì vậy, các P-LDT nằm ngang lắp bên trong và ngoài mẫu có thể đo được (r và ((. Hai P-LDT theo phương đứng và xiên có thể đo được (z và (z(. Ngoài ra, hai cặp sensor loại không tiếp xúc (GS1 và GS2 cho phương đứng, và GS3 và GS4 cho phương xoắn) với giới hạn 4 mm được dùng để đo (z và (z( tại mũ trên mẫu. Các đường ứng suất được áp dụng như sau: Sau khi cố kết đẳng hướng (IC) từ (‟c = 30 tới 400 kPa và giảm xuống 100 kPa, mẫu chịu vài vòng lực tuần hoàn biên độ lớn theo các đường ứng suất khác nhau, có thể được phân loại như sau:  TC (nén 3 trục) hoặc TE (nở 3 trục): 0,5 ( R ( 3 (R = (‟z/(‟() với (‟r = (‟( = 100 hoặc 200 kPa, -0.0015 -0.0010 -0.0005 0.0000 0.0005 0.0010 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 ' r ='  =constant=200 kPa Small vertical cyclic loading E z =q/ z (a) TOYOG10 E z =282.5 MPa 1  q = ( ' z -  ' ) ( k P a )  z (%) -0.002 -0.001 0.000 0.001 0.002 0.003 -3 -2 -1 0 1 2 ' z =' r ='  =constant=200 kPa Small torsional cyclic loading G z = z / z (b) TOYOG10 G z =122.4 MPa 1   z  ( k P a )  z (%) -0.0015 -0.0010 -0.0005 0.0000 0.0005 0.0010 0.0000 0.0005 0.0010 0.0015 Small vertical cyclic loading ' r ='  =constant=200 kPa TOYOG10 (c)  z =-  / z  z =0.205 1    ( % )  z (%) 1 và 1 ( R < 5 với (‟r = (‟( = 40 hoặc 50 kPa;  TSI (cắt xoắn từ trạng thái ứng suất đẳng hướng): -0,8 < S < 0.8 (S = (z(/(‟() với (‟z = (‟r = (‟( = 80, 100 hoặc 200 kPa;  TSA (cắt xoắn từ trạng thái ứng suất dị hướng): -0,8 < S < 0,8 với (‟r = (‟( = 100 kPa (R = 2,2 . 5, 3). Trong quá trình thí nghiệm, tại các trạng thái ứng suất ổn định sau một khoảng thời gian từ biến khoảng 10-20 phút, 3 vòng lực dỡ tải/chất tải biên độ nhỏ được áp dụng với mẫu theo hướng thẳng đứng và xoắn với biên độ biến dạng đơn, theo thứ tự tương ứng, là 0,001 và 0,0015 % để tính các đặc tính biến dạng cận đàn hồi như mô đun đàn hồi Young theo phương đứng Ez, mô đun kháng cắt Gz(, và hệ số Poisson (z(. Các hình 3a đến 3c cho thấy các ví dụ tính toán điển hình các giá trị này đo bởi P-LDT từ vòng lực biên độ nhỏ thứ hai trong IC (thí nghiệm TOYOG10). III. Kết Quả thí nghiệm và thảo luận 3.1 Mô đun Young Ez Các giá trị Ez đo bởi P-LDT được chuẩn hoá bởi hàm hệ số rỗng f(e) = (2,17 - e)2/(1 + e) (Hardin và Richart, 1963). Hình 4. Ez trong IC, tải 3 trục (a) và cát xoắn (b) 20 40 60 80 100 200 400 20 40 60 80 100 200 400 (a) 1 m E z /f(e) ~' z m IC, m=0.447 TE and TC ('  =100 kPa), m=0.523 f(e)=(2.17-e) 2 /(1+e) TOYOG19 E z/ f( e ) (M P a ) ' z (kPa) -60 -40 -20 0 20 40 60 0 50 100 150 200 250 300 350 (b) TSA, ' z =2'  =200 kPa TSI, ' z ='  =100 kPa TOYOG11 TOYOG16 TOYOG19 f(e)=(2.17-e) 2 /(1+e) TOYOG10 TOYOG11 TOYOG16 TOYOG19 Cyclic torsional loadings E z /f (e ) (M P a )  z (kPa) 20 40 60 80 100 200 400 20 40 60 80 100 200 400 (a) 1 n f(e)=(2.17-e)/(1+e) 2 G z /f(e) ~(' z '  ) 0.5n TOYOG19 IC, n=0.472 TE and TC, '  =100 kPa, n=0.572 G z  /f (e ) (M P a ) (' z '  ) 0.5