Phát hiện và luyện tập các dạng hoạt động nhận thức trong dạy học giải bài tập hình học không gian lớp 11

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Sci. 2012, Vol. 57, No. 9, pp. 46-51 PHÁT HIỆN VÀ LUYỆN TẬP CÁC DẠNG HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC TRONG DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 Đỗ Thị Thanh Trường Đại học Công nghiệp Quảng Ninh ∗Email: thanh.cdm@gmail.com Tóm tắt. Việc phát hiện và luyện tập các dạng hoạt động nhận thức trong giải bài tập hình học không gian lớp 11 là một trong các biện pháp góp phần nâng cao hoạt động nhận thức của học sinh. Bài báo đề xuất các phương thức khai thác bồi dưỡng hoạt động nhận thức cho học sinh trong dạy học giải bài tập hình học không gian lớp 11. Từ khóa: Luyện tập hoạt động nhận thức, dạy học giải bài tập hình học. 1. Mở đầu Từ thực tiễn dạy học giải bài tập hình học không gian lớp 11 ở trường trung học phổ thông cho thấy học sinh còn bộc lộ những khó khăn, yếu điểm sau đây: - Học sinh thiếu năng lực hình dung các hình không gian thông qua các hình biểu diễn, từ đó họ có sự nhầm lẫn các mối liên hệ, quan hệ giữa hình học không gian và hình học phẳng; chẳng hạn ngộ nhận hai đường thẳng chéo nhau có điểm chung. - Chưa biết lợi dụng có hiệu quả những tính chất, quy luật đã nghiên cứu trong hình học phẳng để chuyển sang hình học không gian; khó khăn yếu điểm này do giáo viên chưa quan tâm đúng mức xác lập mối liên hệ việc dạy học hình học không gian với hình học phẳng. Bài viết này nêu các phương thức khắc phục các yếu điểm trên thông qua khai thác bồi dưỡng các hoạt động nhận thức cho học sinh trong dạy học giải bài tập hình học. 2. Nội dung nghiên cứu Nghiên cứu hoạt động nhận thức theo góc độ Tâm lý học, Triết học, phương pháp luận nhận thức Toán học, chúng tôi nhận thấy các dạng hoạt động nhận thức chủ yếu trong dạy học Toán bao gồm: hoạt động biến đổi đối tượng; hoạt động đồng hóa; hoạt động điều ứng; hoạt động phát hiện; hoạt dộng mô hình hóa. Cụ thể hóa một số dạng hoạt động nhận thức nêu trên trong dạy học giải bài tập toán hình học không gian, chúng tôi coi trọng các dạng hoạt động sau đây và chú trọng các phương thức bồi dưỡng các hoạt động tương ứng. 46 Phát hiện và luyện tập các dạng hoạt động nhận thức... 2.1. Dạng 1: Hoạt động tách các bộ phận phẳng của hình không gian để chuyển bài toán không gian về bài toán phẳng Bản chất và ý nghĩa của hoạt động: Hoạt động tách (bằng tư duy) các bộ phận phẳng của hình không gian xảy ra khi các đối tượng, quan hệ, liên hệ hình học cần khảo sát nghiên cứu ẩn chứa trong một hình phẳng nào đó của một hình không gian. Thiếu hoạt động này dẫn tới hình thức của bài toán che đậy nội dung cần khám phá. Hoạt động tách bằng tư duy các bộ phận phẳng để chuyển về bài toán phẳng có bản chất là hoạt động chuyển hóa các liên tưởng từ đối tượng này sang đối tượng khác. Khi học sinh có năng lực hoạt động chuyển hóa nêu trên cũng có ý nghĩa là họ có khả năng liên tưởng bài toán mới với các tri thức đã có. Từ đó họ biết cách huy động kiến thức để giải quyết vấn đề đặt ra khi giải các bài toán hình học. Ngoài ý nghĩa nêu trên, luyện tập cho học sinh hoạt động tách các bộ phận phẳng từ hình không gian sẽ góp phần tăng cường liên hệ với hình học phẳng khi dạy học hình học không gian đồng thời nâng cao hiệu quả rèn luyện kĩ năng giải toán hình học. Để luyện tập hoạt động trên, giáo viên có thể tiến hành tổ chức dạy học theo hướng lựa chọn, bổ sung các bài toán trong SGK Hình học lớp 11 có nhiều khả năng thiết lập liên hệ với các bài toán phẳng. Dạng bài tập trong SGK Hình học lớp 11 trường THPT khá phong phú, sau đây chúng ta khai thác vài ví dụ: Ví dụ 1: Xét bài toán “Cho hình hộp ABCDA1B1C1D1. Chứng minh rằng các đỉnh A, C1 và trọng tâm G của tam giác BDA1 thẳng hàng.” Hình 1. Hình 2. Giáo viên có thể định hướng để học sinh hoạt động: - Xác định G là giao điểm của AC1 với mặt phẳng (BDA1), (Hình 1). - Chứng minh G là trọng tâm của tam giác BDA1, có nghĩa là chứng minh G1O GA1 = 1 2 vì GO là đường trung tuyến. - Có thể định hướng cho học sinh tập trung vào chi tiết phẳng ACC1A1 (Hình 1), hoặc tách hình chữ nhật ACC1A1 ra khỏi hình không gian. 47 Đỗ Thị Thanh - Bài toán cần xác định tỉ số ta thường dùng kiến thức nào đã biết? Yêu cầu để học sinh huy động kiến thức về đồng dạng hay định lý Talet trong tam giác. Do các tam giác GOA và GA1C1 đồng dạng nên GO GA1 = OA A1C1 = OA AC = 1 2 Ví dụ 2: Xét bài toán: “Cho tứ diện ABCD có đáy BCD là tam giác đều cạnh a; AC = AD = a; AB = b. Hãy tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó theo a, b”. Hình 3. Hình 5. Có thể định hướng để học sinh chuyển việc tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD về tính bán kính của đường tròn lớn của mặt cầu đó. Giáo viên gợi động cơ để học sinh hoạt động nhận thức mặt phẳng (ABK), trong đó BK là đường kính của các đường tròn ngoại tiếp tam giác đều BCD, cũng là đường tròn giao của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với mặt phẳng (BCD) là mặt phẳng trung trực của cạnh BC. Từ đó tâm O của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện thuộc hai mặt phẳng (ABK) và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABK là đường tròn lớn của mặt cầu. Hoạt động tách việc tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABK đã được học sinh luyện tập ở lớp 10 nhờ vận dụng định lí sin trong tam giác. Có thể tóm tắt các hoạt động thành phần của học sinh như sau: - Tính cos(̂ABM) theo AB = b; AM = BM = a √ 3 2 . - Tính BK nhờ sử dụng định lí sin cho tam giác BCD: BK = a sin 600 = 2a√ 3 . - Tính AK nhờ sử dụng định lí sin cho tam giác ABK. - Tính R nhờ sử dụng định lí sin cho tam giác ABK. 2.2. Dạng 2: Hoạt động mở rộng bài toán phẳng đến bài toán không gian nhờ kĩ thuật giải của bài toán phẳng Bản chất của hoạt động: Hoạt động trên được thực hiện nhờ sử dụng thao tác tương tự hóa giữa các cấu trúc hình phẳng và hình không gian và sử dụng hoạt động chuyển hóa các liên tưởng từ đối tượng này sang đối tượng khác. Giáo viên Toán ở trường THPT đã 48 Phát hiện và luyện tập các dạng hoạt động nhận thức... nhận thức giữa tam giác và tứ diện có những tính chất tương tự vì chúng là các đơn hình hai chiều và ba chiều. Có thể sáng tỏ điều nói trên qua việc khảo sát bài toán phẳng sau: “Tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh rằng cos2B + cos2C = 1. Học sinh có thể tiến hành bằng hai cách giải bài toán sau (xem Hình 4). Cách 1: Sử dụng công thức lượng giác và góc phụ nhau dẫn tới Hình 4. cos2B + sin2B = 1. Cách 2: cosB = BH AB ; cosC = CH AC ; H là hình chiếu của A lên BC. Nhờ sử dụng các cặp tam giác đồng dạng: HBA; ABC và HCA; ACB suy ra cos2B = BH2 AB2 = AB2 BC2 (1); cos2C = CH2 AC2 = AC2 BC2 (2); Cộng theo vế các đẳng thức (1), (2) suy ra: cos2B + cos2C = 1. Bài toán mở rộng sang không gian và dùng kĩ thuật ở cách 2 để giải như sau: “Cho tứ diện vuông OABC có góc tam diện đỉnh O là góc tam diện vuông. Gọi α, β, γ lần lượt là độ lớn các góc nhị diện cạnh AB; BC; CA của tứ diện trên. Chứng minh rằng cos2 α + cos2 β +cos2 γ = 1”. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Khi đó học sinh có thể chứng minh H là hình chiếu của O lên mặt phẳng (ABC). Giả sử CM, AN, BP là các đường cao. Khi đó ÔMC = α, ÔNA = β, ÔPB = γ. Kí hiệu α’, β’, γ’ là độ lớn các góc ÔCM,ÔAN,ÔBD. Giáo viên gợi động cơ để học sinh hoạt động tương tự hóa đối với các tam giác vuông MOC; NOA; POB để có kết quả: cos2 α + cos2α’ = 1 cos2β + cos2β’ = 1 cos2γ + cos2γ’ = 1 Từ đó bài toán dẫn tới chứng minh cos2α’+ cos2β’ + cos2γ’ = 2 Hướng dẫn học sinh sử dụng các tam giác vuông COM; AON; BOP; sử dụng các tam giác dồng dạng trong mỗi tam giác trên suy ra: cos2α′ + cos2β ′ + cos2γ′ = 3− (HM CM + HN AN + HP BP ) = 2 49 Đỗ Thị Thanh 2.3. Dạng 3: Luyện tập cho học sinh các dạng hoạt động hình dung các hình không gian qua hình biểu diễn và sử dụng phép chiếu song song thích hợp để chuyển việc giải bài toán không gian sang giải bài toán phẳng Ý nghĩa của các hoạt động trên: - Thông qua hình dung các hình không gian qua hình biểu diễn học sinh được rèn luyện, phát triển các biểu tượng không gian, khắc phục các sai lầm ngộ nhận các quan hệ giữa các yếu tố không gian qua hình biểu diễn. - Tăng cường các hoạt động dựng ảnh các hình nhằm khắc sâu các bất biến của các phép chiếu song song và giải thích được khi nào thì có thể chuyển việc giải bài toán không gian sang bài toán phẳng nhờ sử dụng các phép chiếu song song. Có thể luyện tập cho học sinh hình dung các hình không gian qua các ví dụ sau: Hình 6. Giải thích vì sao các Hình 6a, 6b, 6c đều các biểu diễn của hai đường thẳng chéo nhau, trong đó: Ở Hình 6a điểm A biểu diễn đường thẳng a. Ở Hình 6c, hai đường thẳng song song a, b là hình biểu diễn của hai đường thẳng chéo nhau. Yêu cầu học sinh giải thích được ở Hình 6a, hình biểu diễn của hai đường thẳng chéo nhau qua phép chiếu song song có phương song song với đường thẳng a. Học sinh cần giải thích ở Hình 6c hai đường thẳng chéo nhau lần lượt thuộc hai mặt phẳng song song (P), (Q) và hai mặt phẳng (P), (Q) song song với phương chiếu của phép chiếu song song. Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng chéo nhau a, b cùng cắt một mặt phẳng (P). Dựng đoạn thẳng AB sao cho độ dài AB = m (m > 0). Các đầu mút A, B lần lượt thuộc a, b và đường thẳng AB song song với mặt phẳng (P). Sau đây là các ví dụ về chuyển bài toán không gian sang bài toán phẳng. Do mọi đoạn thẳng song song với mặt phẳng chiếu có độ dài không thay đổi qua phép chiếu song song. Từ đó có thể thực hiện phép chiếu song song S có phương chiếu là a và mặt phẳng chiếu (P) (Hình 7). 50 Phát hiện và luyện tập các dạng hoạt động nhận thức... Khi đó S: a→ O; b→ b’ Từ đó chuyển về bài toán phẳng: “Cho mặt phẳng (P), trên (P) cho điểm O và đường thẳng b’. Dựng đoạn OM sao cho M thuộc b’ và OM = m”. Hình 7. Khi có điểm M thì điểm B là giao của đường thẳng qua M song song với a và đường thẳng b. Từ B dựng BA song song OM. Bài toán chỉ có nghiệm khi m ≥ d; d là khoảng cách từ O đến b’. Bạn đọc có thể khảo sát ứng dụng phép chiếu song song qua bài toán sau và định hướng cho học sinh phát hiện lời giải: “Cho ba đường thẳng a, b, c đôi một chéo nhau. Dựng đường thẳng d cắt các đường thẳng a, b, c lần lượt tại A, B, C và BA BC = k, k > 0”. 3. Kết luận Trên đây chúng tôi phân tích hoạt động xác định hình trong dạy học hình học không gian thành một số hoạt động thành phần cốt lõi vận dụng trong dạy học giải bài tập hình học ở lớp 11. Việc luyện tập các hoạt động này sẽ góp phần rèn luyện các kĩ năng giải toán nói riêng và góp phần nâng cao hiệu quả hoạt động nhận thức trong dạy học hình học lớp 11. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Bá Kim, 2002. Phương pháp dạy học môn Toán. Nxb Đại học Sư phạm Hà Nội. [2] Bùi Văn Nghị, 2008. Giáo trình Phương pháp dạy học những nội dung cụ thể môn Toán. Nxb Đại học Sư phạm Hà Nội. [3] Đào Tam, 2005. Phương pháp dạy học hình học ở trường THPT. Nxb Đại học Sư phạm Hà Nội. [4] Đào Tam (Chủ biên), Lê Hiển Dương, 2008. Tiếp cận các phương pháp dạy học không truyền thống vào dạy học toán ở trường đại học và phổ thông. Nxb Đại học Sư phạm Hà Nội. ABSTRACT Discovering and practicing activities in perceptivity in order to improve the teaching and learning of stereometry in grade 11 Discovering and practicing activities that will enhance perceptivity was found to be beneficial in teaching and learning how to solve stereometry problems at the grade 11 level. The article suggests means to improve perceptivity in grade 11 students when teaching stereometry. 51