Phép tính vi phân của hàm một biến

1 1 Giải tích toán học. Tập 1. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007. Từ khoá:Giải tích toán học, giải tích, Phép tích vi phân, Đạo hàm, vi phân, Công thức Taylor, Khai triển Maclaurin, Quy tắc L’hospital. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể được sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả. Mục lục Chương 4 Phép tính vi phân của hàm một biến ....................................................................... 2 4.1 Đạo hàm và cách tính ....................................................................................................... 3 4.1.1 Định nghĩa đạo hàm................................................................................................... 3 4.1.2 Công thức đối với số gia của hàm số ......................................................................... 3 4.2 Các qui tắc tính đạo hàm .................................................................................................. 4 4.2.1 Các qui tắc tính đạo hàm............................................................................................ 4 4.2.2 Đạo hàm của hàm số hợp........................................................................................... 4 4.2.3 Đạo hàm của hàm số ngược ....................................................................................... 6 4.2.4 Đạo hàm theo tham số................................................................................................ 7 4.2.5 Đạo hàm một phía...................................................................................................... 7 4.2.6 Đạo hàm vô cùng ....................................................................................................... 9 4.2.7 Đạo hàm các hàm số sơ cấp ....................................................................................... 9 4.3 Vi phân của hàm số ........................................................................................................ 10 4.3.1 Định nghĩa................................................................................................................ 10 Chương 4. Phép tính vi phân của hàm một biến Lê Văn Trực 2 4.3.2 Các qui tắc tính vi phân ........................................................................................... 11 4.3.3 Vi phân của hàm số hợp........................................................................................... 11 4.3.4 Ứng dụng của vi phân ............................................................................................. 12 4.4 Các định lí cơ bản của hàm khả vi.................................................................................. 12 4.8.1 Cực trị địa phương ................................................................................................... 12 4.5 Đạo hàm và vi phân cấp cao........................................................................................... 18 4.8.1 Định nghĩa đạo hàm cấp cao.................................................................................... 18 4.8.2 Các công thức tổng quát đối với đạo hàm cấp n ...................................................... 18 4.8.3 Vi phân cấp cao........................................................................................................ 19 4.6 Công thức Taylor............................................................................................................ 20 4.8.1 Công thức Taylor ..................................................................................................... 20 4.8.2 Khai triển Maclaurin ................................................................................................ 22 4.7 Qui tắc L’hospital để khử dạng vô định ......................................................................... 25 4.8.1 Dạng vô định 0 0 ....................................................................................................... 25 4.8.2 Dạng vô dịnh ∞ ∞ ...................................................................................................... 27 4.8 Khảo sát hàm số.............................................................................................................. 30 4.8.1 Khảo sát đường cong cho dưới dạng phương trình hiện.......................................... 30 4.8.2 Đường cong cho dưới dạng tham số ........................................................................ 32 4.8.3 Khảo sát đường cong trong tọa độ cực .................................................................... 36 4.9 Bài tập chương 4............................................................................................................. 39 Chương 4 3 3 Phép tính vi phân của hàm một biến 4.1 Đạo hàm và cách tính 4.1.1 Định nghĩa đạo hàm Giả sử U là một tập mở trong \ , :f U → \ và 0x U∈ . Cho x0 một số gia 0xΔ ≠ đủ nhỏ sao cho 0x x U+ Δ ∈ . Khi đó ta gọi 0 0( ) ( )y f x x f xΔ = + Δ − là một số gia của hàm số tương ứng với số gia đối số xΔ tại điểm x0. Xét tỷ số giữa số gia hàm số với số gia đối số. Nếu tỷ số dẫn đến một giới hạn hữu hạn xác định khi 0xΔ → , thì ta nói rằng hàm f khả vi tại điểm x0, giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm số tại x0 và ký hiệu là 0 0 0 0 ( ) ( )( ) l im x f x x f xf x xΔ → + Δ −′ = Δ . (4.1.1) Các ký hiệu y′ hay ( )f x′ là các ký hiệu đạo hàm theo Largrange, còn dy dx hay 0( )df x dx là các kí hiệu theo Leibnitz và Dy hay Df(x0) là các kí hiệu theo Cauchy. Đôi khi để nhấn mạnh biến số lấy đạo hàm, người ta thường viết biến đó thành chỉ số dưới: 0 0, ( ), hay ( )′ ′x x x xy f x D y D f x (4.1.2) Hàm f được gọi là khả vi trên U nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc U. 4.1.2 Công thức đối với số gia của hàm số Nếu hàm y = f(x) khả vi tại 0 ,∈x U ta có thể biểu diễn số gia của hàm số 0 0 0( ) ( ) ( )Δ = Δ = + Δ −y f x f x x f x như sau. Theo định nghĩa 0 00 ( )lim ( )Δ → Δ ′=Δx f x f x x . Đặt 0 0 ( ) ( ) αΔ ′= +Δ f x f x x với 0α → khi 0Δ →x . (4.1.3) Ta có 0 0( ) ( ) .α′Δ = Δ + Δf x f x x x với 0lim 0αΔ → →x . (4.1.4) Kí hiệu . ( )α Δ = ο Δx x và hiển nhiên 0 ( )lim 0Δ → ο Δ =Δx x x . Do đó (4.1.4) có thể viết dưới dạng 0 0( ) ( ) ( ).′Δ = Δ + ο Δf x f x x x (4.1.5) Định lý 4.1.1 Nếu hàm y = f(x) khả vi tại 0x U∈ thì f(x) liên tục tại x0. Chứng minh: Thật vậy ta có 4 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )′+ Δ − = Δ + ο Δf x x f x f x x x , suy ra [ ]0 0 00 0 0 0 00 lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) ( ). Δ → Δ → Δ → Δ → ′+ Δ − = Δ + ο Δ ⇒ + Δ = x x x x f x x f x f x x x f x x f x 4.2 Các qui tắc tính đạo hàm 4.2.1 Các qui tắc tính đạo hàm Trước hết ta hãy nhắc lại các qui tắc tính đạo hàm đã biết Định lí 4.2.1 Cho , :f g U → \ , trong đó U là tập hợp mở trong R, còn f, g là hai hàm khả vi tại 0x U∈ . Khi đó 1 2,c c∀ ∈\ các hàm 1 2 ,c f c g+ .f g và fg (nếu g(x0) 0≠ cũng là các hàm khả vi tại điểm x0 và ta có các công thức sau: a) 1 2 0 1 0 2 0( ) ( ) ( ) ( )c f c g x c f x c g x′ ′ ′+ = + (4.2.1) b) 0 0 0 0 0( , ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( )f g x f x g x g x f x′ ′ ′= + (4.2.2) c) 0 0 0 00 02 0 0 ( ) ( ) ( ). ( )( ) , ( ) ( ) f x g x g x f xf x g x g g x ′ ′ ′−⎛ ⎞ = ≠⎜ ⎟⎝ ⎠ . (4.2.3) 4.2.2 Đạo hàm của hàm số hợp Định lí 4.2.2 Cho :g U V→ và :f V → \ trong đó U, V là hai tập hợp mở trong \ , hàm u=g(x) khả vi tại 0x U∈ và hàm y=f(u) khả vi tại u0=g(x0) V∈ . Khi đó hàm hợp 0f g khả vi tại x0 và ta có công thức 0 0 0 0( ) ( ) ( ( )) ( )f g x f g x g x′ ′ ′= (4.2.4) hay gọn hơn .x u xy y u′ ′ ′= . (4.2.5) Chứng minh: Theo công thức (4.1.5) hàm f khả vi tại u0, nên ta có 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )uf f u u f u f u u u′Δ = + Δ − = Δ + ο Δ . Mặt khác hàm g khả vi tại x0 nên 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )xu g x x g x g x x x′Δ = + Δ − = Δ + ο Δ . Thế uΔ vào biểu thức fΔ ta được [ ]0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ). ( ) ( ) ( ) ( ). u x u x u f u u f u f u g x x x u f u g x x f u x u ο ο ′ ′+ Δ − = Δ + Δ + ο Δ ′ ′ ′Δ + Δ + ο Δ Chia cả 2 vế cho xΔ 5 5 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ). ( ) ( ) .u x u f u u f u x uf u g x f u x x x + Δ − ο Δ ο Δ′ ′ ′= + +Δ Δ Δ Ta thấy do hàm u liên tục tại x0 nên khi 0xΔ → thì 0uΔ → và 0 0 0 0 ( ) ( ( )) ( ), ( ) ( ) ( ( )) ( ). o o f u f g x f g x f u u f u f g x f g x = = + Δ = = = Bây giờ ta hãy viết lại biểu thức trên dưới dạng: 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ). ( ) ( ) . .u x u f g x f g x x u uf u g x f u x x u x − ο Δ ο Δ Δ′ ′ ′= + +Δ Δ Δ Δ Cho 0xΔ → ta được 0 0 0 0( ) ( ) ( ( )). ( ),uf g x f g x g x′ ′ ′= và công thức được chứng minh. Ví dụ 3: i) Ta thấy 0ln x x aa e a= ∀ > nên ln( ) ( )x x aa e′ ′= , đặt u = xlna, ln( ) ' . ln lnu x a xe e a a a= = Do đó ta có công thức sau ln( )x xa a′ = a với 0a∀ > . (4.2.6) ii) Ta có 0ln x e xα α= ∀ >x và α∀ ∈\ Do đó: 1 1ln ln( ) ( ) . . . .x xx e e x x x α α α αα α′ ′= = = . Và ta có công thức sau: 1( ) .x xα αα −′ = . (4.2.7) Ví dụ 4: Tính 1 1 cos x xdI e dx − += với 1x ≠ − Đặt 1 1 cos xu x −= + 1 1 1 1 cos . . cos x u u x x d xI e e u e dx x − + ′−⎛ ⎞′= = = ⎜ ⎟+⎝ ⎠ Lại đặt 1 1 xv x −= + ta có 2 1 1 1 2 1 1 1 1 (cos ) sin . sin sin . ( ) x x xv v v x x x x ′− − −⎛ ⎞′ ′= − = − = −⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠ Cuối cùng 1 1 2 1 12 11 cos . .sin ( ) x x xI e xx − + −⎛ ⎞= − ⎜ ⎟++ ⎝ ⎠ . Ví dụ 5: Cho , :f g U → \ trong đó f(x)>0, x U∀ ∈ và tồn tại ( ), ( )f x g x′ ′ với x U∈ . 6 Khi đó ( ) ( )ln ( ) ( )ln ( ) ( ) ( ( )) ( ( ). ln ( )) ( ) =( ( )) . ( ) ln ( ) ( ). . ( ) g x g x f x g x f x g x d d df x e e g x f x dx dx dx f xf x g x f x g x f x ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ′⎡ ⎤′ +⎢ ⎥⎣ ⎦ 4.2.3 Đạo hàm của hàm số ngược Định lí 4.2.4 Giả sử hàm f(x) khả vi liên tục trên (a,b) với 0( )f x′ ≠ ( , )x a b∀ ∈ . Khi đó hàm f(x) đơn điệu thực sự nên có hàm ngược x = g(y), : ( ( ), ( )) ( , ).g f a f b a b→ Khi đó g(y) cũng khả vi tại y = f(x) và có đạo hàm g’(y) thoả mãn hệ thức: 1( ) ( ) g y f x ′ = ′ (4.2.8) hay gọn hơn: 1y x x y ′ = ′ . (4.2.9) Chứng minh: Do (g.f)(x) = x ( , )x a b∀ ∈ Hay ( ( ))g f x x= ( , )x a b∀ ∈ . Lấy đạo hàm hai vế đẳng thức trên theo x ta được 1 hay 1( ( )). ( ) ( ). ( )g f x f x g y f x′ ′ ′ ′= = suy ra 1( ) ( ) g y f x ′ = ′ ( , )x a b∀ ∈ . Ví dụ 6: i) Xét hàm số y = arcsinx với −1< x <1 và 2 2 yπ π− < < . Ta biết rằng y = arcsinx, tương đương với x = siny, do đó do 2 2 cos , ,yx y y π π⎛ ⎞′ = ∈ −⎜ ⎟⎝ ⎠ thì 0cos y > nên 21yx x′ = − , suy ra 2 1 1 xy x ′ = − . Tương tự, tao có các công thức sau: ii) y = arccosx với −1< x <1, 2 1 1 xy x ′ = − − iii) y = arctgx với x−∞ < < +∞ , 211xy x′ = + 7 7 iv) y = arccotgx với x−∞ < < +∞ , 211xy x −′ = + . 4.2.4 Đạo hàm theo tham số Xét hàm y của biến x được cho dưới dạng tham số ( ) ( ) x x t y y t =⎧⎨ =⎩ với ( , ).t α β∈ Giả sử x là hàm khả vi, liên tục và '( ) 0x t ≠ ( , )t α β∈ . Khi đó x(t) là hàm đơn điệu thực sự trên ( , )α β , vì vậy nó có hàm ngược t = t(x). Khi đó ta có hàm hợp y = y(t) = y(t(x)). Hãy tính xy′ . Cho t một số gia Δ t, Δ x là số gia tương ứng của Δ t, Δ y là số gia tương ứng của Δ x. Ta có y y t xx t Δ Δ Δ= ΔΔ Δ suy ra 0 0 0 l im lim l im t t x x t t y yy ty xx x t Δ → Δ → Δ → Δ ′Δ Δ′ = = =Δ ′Δ Δ . (4.2.10) Ví dụ 7: Xét hàm số 1( sin ), ( cos )x a t t y a t= − = − với 0 2( , )t π∈ . Khi đó 2 2 2 2 1 22 2 sin cossin( ) cot g ( cos ) sin t t a t ty x ta t ′ = = =− . 4.2.5 Đạo hàm một phía Giả sử f(x) được xác định trên (a,b) và 0 ( , )x a b∈ . Ta nói giới hạn hữu hạn, nếu tồn tại 0 0 0 0 ( ) ( )l im l im x x f x x f xy x x+ +Δ → Δ → + Δ −Δ =Δ Δ (4.2.11) là đạo hàm bên phải của hàm f(x) tại điểm x0, kí hiệu là 0( )+′f x (xem hình 4.2.1). Tương tự, ta có đạo hàm bên trái của hàm f(x) tại điểm x0 kí hiệu là 0( ) :−′f x 0 0 0 0 0 ( ) ( )l im lim ( ) x x f x x f xy f x x x− − −Δ → Δ → + Δ −Δ ′= =Δ Δ (4.2.12) Ta thấy muốn có 0( )f x A′ = điều kiện cần và đủ là 0 0( ) ( )f x f x A+ −′ ′= = . 8 Hình 4.2.1 Ví dụ 8: Cho hàm f(x) =|x|, hãy xét đạo hàm của hàm số tại x0 = 0. Ta có 0 0y f x f xΔ = + Δ − = Δ( ) ( ) | | , 0 0 0 0 0 1 0 1 ( ) l im lim , ( ) l im l im . x x x x y xf x x y xf x x + + − − + Δ → Δ → − Δ → Δ → Δ Δ′ = = =Δ Δ Δ −Δ′ = = = −Δ Δ Vậy hàm f(x) liên tục tại x0 = 0, nhưng f’(0) không tồn tại. Ví dụ 9: Cho hàm số 3 khi 0 khi 0 sin ( ) x xf x x a x ⎧ ≠⎪= ⎨⎪ =⎩ 1) Tìm a để hàm số liên tục tại x = 0. 2) Với a tìm được, hãy xét sự khả vi của hàm số tại x = 0 Giải: 1) Do 3 2 0 0 0sin sinl im lim sin x x x x x x x→ → = = Vậy để hàm liên tục tại x = 0 thì phải có a = 0. 2) Với a=0 ta có 3 khi 0 khi 0 sin ( ) 0 x xf x x x ⎧ ≠⎪= ⎨⎪ =⎩ Ta thấy 3 0 0 0 0 0 ( ) ( ) sinl im lim x x f x f x x x→ → − = =− . Vậy 0 0( )f ′ = và hàm khả vi tại x=0. Ví dụ 10: Chứng minh rằng hàm số f(x) =|x−a| ( )ϕ x , trong đó ( )ϕ x là hàm liên tục và 0( )aϕ ≠ , không khả vi tại x = a. 9 9 Ta có 0 0 ( ) ( ) | | ( )( ) l im lim x x f a x f a x a xf x x x ϕ → → + Δ − Δ + Δ′ = =Δ Δ . Suy ra: ( )+′f a = ( )ϕ a và ( )−′f a =– ( )ϕ a . Do ( ) ( )+ −′ ′≠f a f a nên hàm số f(x) không khả vi tại x=a. 4.2.6 Đạo hàm vô cùng Nếu 0 0 0 0 hay ( ) ( )l im lim x x f x x f xy x xΔ → Δ → + Δ −Δ = = +∞ − ∞Δ Δ thì ta nói rằng tại x = x0 hàm f(x) có đạo hàm vô cùng. Khi đó tiếp tuyến với đồ thị f(x) tại x = x0 song song với trục Oy. Ta cần chú ý rằng nếu như 0( )f x′ không là hữu hạn thì hàm f(x) không nhất thiết phải liên tục tại điểm x0. Ví dụ xét hàm 1 khi 0 0 khi 0 1 khi 0 ( ) . x f x x x − ⎩ Với 0xΔ ≠ , ta có 0 1( ) ( ) | | f x f x x Δ − =Δ Δ , do đó 0( )f ′ = +∞ nhưng đương nhiên f(x) không liên tục tại điểm x0 = 0. 4.2.7 Đạo hàm các hàm số sơ cấp Sau đây là bảng đạo hàm của một số hàm sơ cấp: 1 0 2 1 ) ) y c y y x y ′= = ′= = 1 2 3 1 1 1 1 2 ) , , . y x R y x y y x x y x y x α αα α α −′= ∈ ≠ − = −′= = ′= = 4) x xy e y e′= = xy a= với 0 lnxa y a a′> = 5) logay x= với 10 lna y x a′> = 1ln y x y x ′= = 6) sin cosy x y x′= = 10 7) cos siny x y x′= = − 2 2 18 tg) sec cos y x y x x ′= = = 2 2 19) cot g cosec sin y x y x x ′= = − = − 2 110) arcsin 1 y x y x ′= = − 2 111) arccos 1 y x y x ′= = − − 2 112) arctg 1 y x y x ′= = + 2 113) arccot g 1 y x y x ′= = − + 14) sh chy x y x′= = 15) ch shy x y x′= = 2 116) th ch y x y x ′= = 2 117) cth sh y x y x −′= = 2 118) argsh 1 y x y x ′= = + 2 119) arg ch 1 y x y x ′= = − 2 120) arg th 1 y x y x ′= = − 2 121) arg cth . 1 y x y x ′= = − 4.3 Vi phân của hàm số 4.3.1 Định nghĩa Cho hàm y = f(x) xác định trên tập hợp mở U ⊂ \ và 0x U∈ . Cho x0 một số gia 0xΔ ≠ đủ nhỏ sao cho 0x x U+ Δ ∈ . Giả sử f(x)khả vi tại 0x U∈ , khi đó 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )f x x f x f x x xο′+ Δ − = Δ + Δ . (4.3.1) 11 11 Ta gọi biểu thức 0( )f x x′ Δ là vi phân của hàm f(x) tại điểm x0 ứng với số gia xΔ của đối số và kí hiệu là 0 0( , ) ( )df x x f x x′Δ = Δ . (4.3.2) Bây giờ ta xét trường hợp đặc biệt khi f(x) = x. Ta có ( ) 1f x′ = , do đó dx = 1. xΔ = xΔ , vì thế trong biểu thức (4.3.2) ta có thể viết dx thay cho xΔ và dx gọi là vi phân của biến số độc lập. Từ đây, ta có thể xác định vi phân của hàm f tại x U∈ theo công thức Df = ( )f x′ dx (4.3.3) hay dy = ( )y x′ dx (4.3.4) Hệ thức này giải thích lí do ta kí hiệu đạo hàm của hàm y = f(x) là ( ) dyy x dx ′ = . 4.3.2 Các qui tắc tính vi phân Từ các qui tắc tính đạo hàm, ta dễ dàng suy ra các qui tắc tương ứng cho vi phân. 1 2 1 2 1 2) ( ) ,i d c f c g c df c dg c c+ = + ∀ ∈\ ) ( . )i i d f g gdf fdg= + (4.3.5) 2) ( ) nÕu 0 f gdf fdgi i i d g g g −= ≠ . 4.3.3 Vi phân của hàm số hợp Giả sử các hàm y = f(x) và x = g(t) sao cho đối với chúng có thể thiết lập hàm hợp y = f(g(t)). Nếu tồn tại các đạo hàm xy′ và tx′ thì theo quy tắc đạo hàm hàm hợp sẽ tồn tại đạo hàm ty′ = xy′ . tx′ . (4.3.6) Nếu xem x là biến độc lập thì vi phân dy được biểu thị bởi công thức (4.3.4). Bây giờ ta xem x là hàm của biến t, ta có tdy y dt′= (4.3.7) Tuy nhiên nếu thay đạo hàm ty′ bởi biểu thức (4.3.6) và chú ý rằng dx = tx′dt, thì cuối cùng ta được x t xdy y x dt y dx′ ′ ′= = hay dy = ( )y x′ dx, tức là quay trở lại dạng ban đầu của vi phân. Như vậy, ta luôn luôn có quyền viết vi phân của y dưới dạng (4.3.4) dù x có phải là biến độc lập hay không . Điều khác nhau chỉ là ở chỗ, nếu chọn t là biến độc lập thì dx không phải là số gia tuỳ ý mà là vi phân của x xem là hàm của t. Tính chất đó gọi là tính bất biến của dạng vi phân, Ví dụ 1: Cho hàm số 1ln 1 x x ey e += − , hãy tính dy 12 Ta thấy 2 2 1 1 2 2 . 1 1 1 1 x x x x x x x x e e e ey dy dx e e e e ′⎛ ⎞− + −′ = = ⇒ = −⎜ ⎟+ − − −⎝ ⎠ Ví dụ 2: Tính: (sin ) (cos ) d x d x Ta có: (sin ) cos cot g (cos ) sin d x xdx x d x xdx = = −− với , .x k kπ≠ ∈\ 4.3.4 Ứng dụng của vi phân Cho hàm y = f(x) xác định trên tập mở U ⊂ \ và 0x U∈ . Giả sử f khả vi tại 0x U∈ . Cho x0 một số gia h sao cho 0x h U+ ∈ , khi đó 0 0 0 0( , ) ( ) ( ) ( ) ( )f x h f x h f x f x h hο′Δ = + − = + . (4.3.8) Nếu |h| đủ nhở thì ( )hο nhỏ tuỳ ý và ta có xấp xỉ 0 0 0( ) ( ) ( )f x h f x f x h′+ − ≈ hay 0 0 0( ) ( ) ( )f x h f x f x h′+ ≈ + . (4.3.9) Ví dụ 3: Tính gần đúng arctg1,05 . Theo công thức (4.3.9), ta có 12 1arctg1,05 arctg1 | .0,05 0,81 1 xx = ≈ + ≈+ . Ví dụ 4: Tính gần đúng arcsin 0,05 Theo công thức (4.3.9), ta có 02 1arcsin 0,05 arcsin 0 | .0,05 0.05 1 x x =≈ + =− . 4.4 Các định lí cơ bản của hàm khả vi 4.8.1 Cực trị địa phương Cho hàm f(x) xác định trên khoảng (a,b). Ta nói rằng hàm f(x) đạt cực đại địa phương tại điểm ( , )c a b∈ nếu tồn tại một số 0δ > sao cho ( ) ( ) ( , ).f x f c x c cδ δ≤ ∀ ∈ − + (4.4.1) Hàm f đạt cực tiểu địa phương tại ( , )c a b∈ nếu: ( ) ( ) ( , )f x f c x c cδ δ≥ ∀ ∈ − + . (4.4.2) Điểm mà tại đó hàm đạt cực đại hoặc cực tiểu địa phương gọi chung là điểm cực trị. 13 13 Định lí Ferma Cho : ( , )f a b → \ , nếu hàm đạt cực trị tại ( , )c a b∈ và nếu f(x) khả vi tại c thì ( ) 0f c′ = . (4.4.3) Chứng minh: Giả sử hàm đạt cực đại tại c (trường hợp đạt cực tiểu tại c chứng minh tương tự). Do hàm đạt cực đại tại c nên ∀h đủ nhỏ ta có 0( ) ( )f c h f c h+ − ≤ ∀ suy ra 0 0( ) ( )f c h f c h h + − ≤ ∀ > 0 0( ) ( )f c h f c h h + − ≥ ∀ < . Cho nên 0 0( ) ( )( ) l im h f c h f cf c h++ → + −′ = ≤ và 0 0( ) ( )( ) l im h f c h f cf c h−− → + −′ = ≥ . Mặt khác vì f có đạo hàm tại điểm c nên ( ) ( ) ( )f c f c f c+ −′ ′ ′= = , do đó 0( )f c′ = (xem hình 4.4.1) Hình 4.4.1 Chú ý rằng sự triệt tiêu của đạo hàm ( )′f c về phương diện hình học có ý nghĩa là tiếp tuyến tại điểm tương ứng của đường cong song song với trục Ox. Định lý Rolle Cho hàm : [ , ]f a b → \ có tính chất sau: i) f(x) liên tục trên [a,b], ii) f(x) khả vi trên (a,b), iii) f(a)=f(b). Khi đó tồn tại ít nhất một điểm ( , )c a b∈ sao cho ( ) 0f c′ = . Chứng minh: Do f(x) liên tục trên đoạn [a,b] nên theo định lí Weierstrass thứ hai hàm f(x) sẽ đạt giá trị lớn nhất M và giá trị bé nhất m trên đoạn [a,b]: [ , ] [ , ] max ( ), min ( ). x a b x a b M f x m f x ∈ ∈ = = Ta hãy xét hai khả năng có thể xảy ra: 14 1) M = m. Khi đó từ bất đẳng thức ( ) [ , ]m f x M x a b≤ ≤ ∀ ∈ suy ra ( ) , [ , ]f x m x a b= ∀ ∈ Vì vậy 0( ) , [ , ]f x x a b′ = ∀ ∈ . Do đó điểm c là lấy điểm bất kì thuộc khoảng (a,b). 2) m<M. Do f(a)=f(b), hàm f(x) không thể đạt cả hai giá trị m, M tại hai đầu mút của khoảng, có nghĩa là ít nhất một trong hai giá trị đó đạt tại một điểm ( , )c a b∈ . Khi đó, theo định lí Fe