Phương pháp chứng minh bất đẳng thức

MỞ ĐẦU Trong môn Toán ở trường THPT, bất đẳng thức ngày càng được quan tâm đúng mức và tỏ ra có sức hấp dẫn mạnh mẽ nhờ vẽ đẹp và tính độc đáo của phương pháp và kỹ thuật giải chúng cũng như yêu cầu cao về tư duy cho người giải. Các bài toán bất đẳng thức không những rèn luyện tư duy sáng tạo, trí thông minh mà còn đem lại say mê và yêu thích môn Toán của người học. Có nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức: phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp phản chứng, phương pháp quy nạp…Một điều quan trọng là sử dụng các kỹ thuật biến đổi linh hoạt, phù hợp để chứng minh bài toán trong từng phương pháp nhằm có hiệu quả tốt nhất. Trong quá trình giảng dạy khi đứng trước một bài toán bất đẳng thức tác giả thường đặt ra các câu hỏi: Vai trò các biến trong bất đẳng thức như thế nào? Dấu bằng xảy ra khi nào? Bất đẳng thức có đồng bậc không? Biểu thức nào “lớn”, ‘bé’ trong bất đẳng thức? Công thức, đẳng thức nào liên quan đến bất đẳng thức? … Việc trả lời các câu hỏi này giúp chúng ta định hướng cách giải, đánh giá các biểu thức, sử dụng công thức, bất đẳng thức quen thuộc, thay đổi hình thức của bất đẳng thức…để giải quyết bài toán. Trong bài viết này, tác giả đưa ra một số kỹ thuật, phương pháp chứng minh bất đẳng thức (bao gồm các ý tưởng, các ví dụ và bài tập). Lý thuyết bất đẳng thức (các khái niệm, tính chất… ) không được trình bày. NỘI DUNG Kỹ thuật thêm bớt Sử dụng: để tạo ra các bộ phận mới ở hai vế của bất đẳng thức mà có thể đánh giá được các bộ phận với nhau Các ví dụ: Bài 1: Chứng minh rằng với mọi a,b,c>0, ta có: Phân tích: - BĐT đồng bậc nhất - Vai trò a,b,c giống nhau - Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=c - Biểu thức thêm vào là bậc nhất Hướng dẫn: Bài 2: Chứng minh rằng với mọi a,b,c>0, ta có: Phân tích: - BĐT đồng bậc hai - Vai trò a,b,c giống nhau - Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=c - Biểu thức thêm vào là bậc hai Hướng dẫn: Bài 3: Chứng minh rằng với mọi a,b,c>0, ta có: Phân tích: - Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=c Hướng dẫn: Bài tập: Cho a,b,c>0. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1) 2) 3) 4) 5) Cho a,b,c>0 và a+b+c=1. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 6) 7) Chứng minh rằng trong tam giác nhọn ABC, ta có: 8) 9) 10) Kỹ thuật “san sẽ” Xác định: Đại lượng “lớn”, đại lượng “bé” và chọn cách san sẽ phù hợp Các ví dụ: Bài 1: Chứng minh rằng với mọi x,y>0 và x+y=1, ta có: Phân tích: - Vai trò x,y giống nhau - Dự đoán dấu bằng xảy ra khi x=y= - Đại lượng “lớn”: ; Đại lượng “bé”: Hướng dẫn: Bài 2: Chứng minh rằng trong tam giác nhọn ABC, ta có: Phân tích: - Vai trò A,B,C giống nhau - Dự đoán dấu bằng xảy ra khi A=B=C=600 - Đại lượng “lớn”: ; Đại lượng “bé”: Hướng dẫn: Bài tập: Cho a,b,c>0. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1) 2) 3) Cho x,y>0 và x+y=1. Tìm GTNN của biểu thức: Kỹ thuật nhóm đối xứng Bất đẳng thức ở dạng đối xứng (vai trò của các biến là như nhau). Khi đó chúng ta có thể đánh giá một bộ phận của vế này với bộ phận tương ứng của vế kia. Tương tự, suy ra các kết quả đối với các bộ phận còn lại và thu được bất đẳng thức cần chứng minh. Các ví dụ: Bài 1: Chứng minh rằng với mọi a,b,c>0, ta có: Phân tích: - BĐT đồng bậc nhất - Vai trò a,b,c - Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=c Hướng dẫn: Bài 2: Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có: Phân tích: - Vai trò A,B,C giống nhau - Dự đoán dấu bằng xảy ra khi A=B=C=600 Hướng dẫn: Bài 3: Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có: Hướng dẫn: Bài tập: Cho a,b,c>0. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1) 2) Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có: 3) 4) 5) 6) Kỹ thuật đồng bậc hoá Sử dụng giả thiết để biến đổi BĐT về dạng đồng bậc để chứng minh. Các ví dụ: Bài 1: Chứng minh rằng với mọi a,b>0 và a+b=1, ta có: Phân tích: - BĐT không đồng bậc - Vai trò a,b giống nhau - Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b - Sử dụng giải thiết để đồng bậc hoá Hướng dẫn: Bài 2: với mọi a,b,c>0 và a+b+c=1. Chứng minh rằng : Phân tích: - BĐT không đồng bậc - Vai trò a,b giống nhau - Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=c= - Sử dụng giải thiết để đồng bậc hoá Hướng dẫn: Bài tập: 1) Cho a,b,c>0, thoả điều kiện: Chứng minh rằng : 2) Cho a,b>0, thoả điều kiện: Chứng minh rằng : 3) Chứng minh rằng với mọi a,b,c: a+b+c=0, ta có: Kỹ thuật chuẩn hoá Sử dụng tính chất đồng bậc của BĐT để chuẩn hoá. Việc chọn đối tượng để chuẩn hoá là rất quan trọng. Các ví dụ: Bài 1: Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng: Phân tích: - BĐT đồng bậc - Vai trò a,b,c giống nhau - Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=c - Chuẩn hoá: a + b + c = 1 Hướng dẫn: Theo Côsi: 2a(1-a)= => 1- 2a + 2a2 = 1 - 2a (1- a) 1- = > 0 => => VT 4= 4 Bài 2: Cho a, b, c>0. Chứng minh rằng: 6(a + b + c) (a2 + b2 + c2) 27abc + 10 (a2+b2+c2)3/2 (1) Phân tích: - BĐT đồng bậc - Vai trò a,b,c giống nhau - Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=c - Chuẩn hoá: a2 + b2 + c2 =9 Hướng dẫn: (1) 2(a + b + c) - abc 10 VT = 2(a+b+c) - abc = 2a - abc + 2(b+c) = a(2-bc) + 2(b+c) VT2 [a2 + (b+c)2] [(2- bc)2 + 4] G/s: do a2 + b2 + c2 = 9 => a2 3 Đặt t = bc do Nên VT2 (9+2bc) [(2-bc)2 + 4] = (9 + 2t) [(2-t)2 + 4] = f(t) với -3t3 Khảo sát f(t) => f(t) max f(t) = 100 => VT 10 đpcm 1) (a+b) (b+c) (c+a) + abc (a + b + c)3; a, b, c > 0 2) + ; a, b, c > 0 3) a, b, c > 0: 2 4) a, b, c > 0: (a + b + c) ()+ Kỹ thuật lượng giác hoá Kỹ thuật lượng giác hoá với mục đích thay đổi hình thức của bài toán chứng minh một BĐT đại số thành việc chứng minh BĐT lượng giác. Kỹ thuật này được xác định thông qua miền giá trị của các biến, các công thức lượng giác và các đẳng thức lượng giác liên quan. Các ví dụ: Bài 1: Chứng minh rằng: Phân tích: - ĐK: - Công thức lượng giác liên quan - Lượng giác hoá Hướng dẫn: Đặt: ; VT= Bài 2: Cho x,y,z>0; zy+yz+zx=1. Chứng minh rằng: Phân tích: - Đẳng thức lượng giác liên quan - Lượng giác hoá Hướng dẫn: Đặt: ; ABC l à tam giác nhọn Bài 3: Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn: Chứng minh rằng: Hướng dẫn: Đặt , Từ giả thiết ta có: Suy ra, với A,B,C là ba góc của một tam giác Vậy Bài tập: 1) Cho 0<a,b,c<1. Chứng minh rằng: 2) Chứng minh rằng: 3) Chứng minh rằng: 4) Cho a,b,c>0 và abc+a+c=b. Tìm GTLN KẾT LUẬN Bài viết trình bày một số kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức, các ý tưởng, ví dụ và bài tập đã được sắp xếp một cách có hệ thống nhằm giúp cho đối tượng học sinh có điều kiện ôn tập, nghiên cứu, phát triển. Do trình độ còn hạn chế nên trong bài viết không thể tránh khỏi những sai sót về trình bày cũng như về chuyên môn. Rất mong bạn đọc góp ý kiến. Xin chân thành cảm ơn.