Phương pháp điện thế nút giải các bài toán điện một chiều

+ U - R1 R3 R4 R5 B A C D R2 + U - R1 R3 R4 R5 B A C D R2 I1 I5 I2 I4 I3 I PHƯƠNG PHÁP ĐIỆN THẾ NÚT GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐIỆN MỘT CHIỀU Bá Văn Khôi I. Mở đầu Các dạng định luật Ôm đã giúp ta giải quyết được nhiều bài toán mạch điện. Bằng các phép thu gọn mạch điện như dùng điện trở tương đương, nguồn điện tương đương ta đưa được nhiều mạch điện về các dạng đơn giản để có thể áp dụng định luật Ôm cho đoạn mạch, cho mạch kín để giải quyết. Tuy nhiên, khi số các nguồn điện, các điện trở nhiều, mắc thành các mạch hỗn hợp phức tạp thì phương pháp dùng định luật Ôm không giải quyết được. Phương pháp điện thế nút nhằm tới việc thành lập một hệ nhiều phương trình bậc nhất giúp ta về nguyên tắc có thể giải quyết bài toán mạch điện phức tạp bất kỳ. Nút mạng ( gọi tắt là nút) là nơi có từ 3 đoạn mạch trở lên nối vào. Riêng trường hợp đặc biệt của mạch kín đơn giản, mạch điện chỉ có 1 mắt, ta vẫn có thể xem là có 2 nút với mỗi nút chỉ có 2 đoạn mạch nối vào và vẫn áp dụng được phương pháp điện thế nút. Trong phương pháp điện thế nút ta sẽ lấy điện thế của các nút làm ẩn số. Khi đã tìm được điện thế các nút ta dễ dàng tính được hiệu điện thế giữa các cặp nút và sau đó dùng định luật Ôm suy ra dòng điện trong các đoạn mạch. Trong mạng điện có n nút, ta chọn 1 nút xem như nối đất có điện thế bằng 0, còn ( n – 1) nút và ta có ( n – 1) ẩn số Vi ( i = 1, 2,, n – 1). Các ẩn Vi này là các đại lượng đại số, có thể dương hay âm. Trong phương pháp này, khi giải bài toán về mạch điện, hệ phương trình được thiết lập từ các phương trình về nút và các phương trình cho các đoạn mạch giữa các nút. Các phương trình cho đoạn mạch chính là biểu thức định luật Ôm tổng quát viết cho đoạn mạch không phân nhánh nằm giữa các nút. Vì ta chỉ quan tâm đến hiệu điện thế giữa các nút, nên ta có thể chọn gốc tính điện thế là điện thế ở 1 nút bất kỳ nào, nghĩa là đặt điện thế nút đó bằng 0. Như vậy số ẩn số về điện thế giảm đi 1. Giải hệ phương trình ta tìm được các điện thế tại các nút còn lại, nhờ đó tìm được lời giải cho bài toán. II. Phương pháp điện thế nút 1. Biểu diễn cường độ và chiều dòng điện trên các đoạn mạch một cách hoàn toàn tùy ý. 2. Cho điện thế ở một nút nào đó bằng không. Chú ý chọn nút nào để có thể từ điện thế không ở nút đó suy ra ngay được điện thế ở một số nút khác. 3. Viết phương trình cường độ dòng điện tại những nút chưa biết điện thế theo định luật nút mạch. 4. Viết phương trình cường độ dòng điện trên các đoạn mạch theo công thức định luật Ôm tổng quát. 5. Thay các cường độ này vào các phương trình nút để tìm các điện thế chưa biết. 6. Thay các điện thế tìm được vào các phương trình ở bước 4 để tính các cường độ dòng điện. II. Các bài tập ví dụ Bài tập 1. Cho mạch điện như hình vẽ: R1 = R4 = R5 = 1Ω; R2 = R3 = 2Ω; U = 6(V). Tìm cường độ dòng điện qua các điện trở và điện trở tương đương của mạch. Giải Giả sử dòng điện có chiều và cường độ qua các đoạn mạch như hình vẽ. Chọn mốc điện thế tại B (VB = 0). Khi đó UAB = VA –VB = U= 6(v) VA = 6(V) Tại nút C: I1 = I5 + I2 (1) Tại nút D: I4 = I5 + I3 (2) Áp dụng đinh luật Ôm ta có: A C1 A C A 1 V V I V V 6 V R - = = - = - C B C2 2 V V V I R 2 - = = A D D3 3 V V 6 V I R 2 - - = = D B4 D 4 V V I V R - = = I5 = C D C D 5 V V V V R - = - Thay vào phương trình (1) và (2) ta có: 6 – VC = VC –VD + CV 2 VD = VC –VD + D 6 V 2 - Giải hệ phương trình trên ta có: VD = 18 7 (V); VC = 24 7 (V) Thay vào các phương trình dòng điện ta có: I1 = 18 7 (A); I2 = 12 7 (A); I3 = 12 7 (A); I4 = 18 7 (A); I5 = 6 7 (A) Tại nút A ta có I = I1 + I3 = 30 7 (A) Điện trở tương đương của mạch: R = U 6 14 30I 7 = = W Bài tập 2. Cho mạch điện như hình vẽ: e1 = 65V, e2 = 39V, r1 = r2 = 0, R1 = 20Ω, R2 = R3 = R4 = R5 = 10Ω. Tìm tất cả các cường độ dòng điện. Giải Chiều và cường độ dòng điện trên các đoạn mạch được biểu diễn như ở hình vẽ. Chọn điện thế ở nút C bằng 0 (VC = 0) ta có ngay: VB – VC = e2 – I2r2 = e2 = 39V ® VB = 39V Tại nút A: I1 = I3 + I2 Tại nút D: I2 = I4 + I5 (1) Áp dụng định luật Ôm cho các đoạn mạch: B A A1 1 V V 39 V I R 20 - - = = A D A D2 2 V V V V I R 10 - - = = A C A3 3 V V V I R 10 - = = (2) D C D4 4 V V V I R 10 - = = R2 R4 R1 E2 C A B E1 D R5 R6 R3 D B 1 D5 5 (V V ) e V 26 I R 10 - + + = = I6 = I3 + I4 Thay vào (2) vào (1) ta có hệ phương trình: 5VA – 2VD = 39 3VD – VA = - 26 Giải hệ ta có: VA = 5V; VD = - 7V Thay các điện thế tính được vào các phương trình (2) ta thu được: I1 = 1,7A; I2 = 1,2A; I3 = 0,5A; I4 = - 0,7A; I5 = 1,9A; I6 = - 0,2A. Dấu “ – “ ở I4 và I6 chứng tỏ chiều dòng điện biểu diễn trên mạch không phù hợp với chiều thực tế. Bài tập 3. Cho mạch điện hình vẽ: E1 = 5(V); E2=3(V), r1 = r2 = 0(Ω), R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R6 = 1(Ω). Tính cường độ dòng điện qua các nhánh và hiệu điện thế UAB. Giải Giả sử dòng điện có chiều và cường độ như hình vẽ Chọn mốc điện thế tại D( VD = 0) Khi đó UAD = VA –VD = E2 - I r2 = E2 = 3(V) VA = 3(V) Tại nút C: I2 = I4 + I6 (1) Tại nút B: I6 = I5 + I1 (2) A C C D C B 2 3 4 6 V V V V V V R R R R - - - ® = + + C B B D B A 1 6 5 1 V V V V V V E R R R - - - + = + ® 5VC -2VB = 3 VC – 3VB = 2 Giải hệ phương trình ta có: VC = 5 13 (V); VB = - 7 13 (V) Vậy : I1 = 19 13 (A); I2 = 17 13 (A); I3 = 17 13 (A); I4 = 5 13 (A); I5 = - 7 13 (A); I6 = 12 13 (A); I = I2 – I1 = - 0,15(A). I và I5 chạy theo chiều ngược lại ta quy ước. Bài tập 4. Cho mạch điện hình vẽ: E = 29(V); r = 1(Ω); R1 = R5 =5(Ω); R2 =2(Ω); R3 =10(Ω); R4 =30(Ω); R6 =3(Ω). Tính cường độ dòng điện qua các điện trở và điện trở tương đương của mạch AB. Giải Giả sử dòng điện có chiều và cường độ qua các đoạn mạch như hình vẽ. Chọn mốc điện thế tại B (VB = 0). Tại các nút C, D và A, ta có: R2 R4 R1 E2 C A B E1 D R5 R6 R3 I2 I4 I6 I I1 I5 R3 R4 R5 B A C D R2 I1 I5 I2 I4 I3 I6 R6 E, r A C C B C D 1 2 5 1 2 5 C DD B A D 4 3 5 4 3 5 6 1 3 A CB A A D 6 1 3 V V V V V V R R R I I I V VV V V V I I I R R R I I I V VV V E V V R r R R ì - - - = +ï ï= +ì ï -- -ï ï= + ® = +í í ï ï= +î ï -- + - = +ï +ïî A C C C D A C D C DD A D A C D A C D A CA A D V V V V V 5 2 5 2V 9V 2V 0 V VV V V 3V 6V 10V 0 30 10 5 11V 4V 2V 130V V26 V V V 4 5 10 - -ì = +ï - + =ìï --ï ï® = + ® + - =í í ï ï - - =î-- -ï = +ïî Giải hệ phương trình ta có: VA = 15(V), VC =5(V), VD = 7,5(V) Thay vào các phương trình I ta có: I1 = 2(A); I2 = 2,5(A); I3 = 0,75(A); I4 = 0,25(A); I5 = 0,5(A); I6 = 2,75(A). Điện trở tương đương của mạch AB là: ABAB U 15 R 5, 4545 I 2,75 = = » W . Bài tập 5. Cho một mạch tụ như hình vẽ: C1 = C2 = 6µF; C3 = 2µF; C4 = C5 = 4µF; U = 20V. Tìm điện tích từng tụ điện và điện dung của mạch. Giải Giả sử điện tích ở các bản tụ điện có dấu như ở hình. Chọn điện thế ở nút B bằng 0 (VB = 0). Ta có ngay: VA – VB = U = 20V hay VA = 20V. Tại nút C: q1 = q2 + q5 Tại nút D: q4 = q3 + q5 (1) Điện tích của các tụ điện được tính: q1 = C1(VA – VC) = 120.10 -6 – 6.10-6VC q2 = C2(VC – VB) = 6.10 -6VC q3 = C3(VA – VD) = 40.10 -6 – 2.10-6VD (2) q4 = C4(VD – VB) = 4.10 -6VD q5 = C5(VC – VD) = 4.10 -6VC – 4.10 -6VD Thay (2) vào (1) và rút gọn ta có: 4VC – VD = 30 4VC – 10VD = - 40 Giải hệ phương trình ta thu được: VC = 85 9 V; VD = 70 9 V. Thay các điện thế tính được vào (2) ta có: q1 = 5 57 10 9 - C; q2 = 5 51 10 9 - C; q3 = 5 22 10 9 - C; q4 = 5 28 10 9 - C; q5 = 5 2 10 3 - C. Điện dung của mạch: C = q U = 1 3q q U + = 79 180 µF.