Phương pháp nhân lượng liên hợp giải phương trình vô tỉ

CHUYÊN ĐỀ PHƢƠNG TRÌNH- HỆ PHƢƠNG TRÌNH Phƣơng pháp nhân lƣợng liên hợp giải phƣơng trình vô tỉ Thuvienvatly.com - 1 - CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH- HỆ PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp nhân lượng liên hợp giải phương trình vô tỉ Đoàn Thế Hòa-16 tuổi 10A7-THPT Long Khánh - Đồng Nai. I. Các kiến thức cần nhớ. 1. Ta gọi là phương trình vô tỉ, mọi phương trình có chứa ẩn dưới căn thức. Hay nói khác đi, đó là phương trình có dạng   0f x  , trong đó  f x là một hàm số đại số vô tỉ (có chứa căn thức của biến số); x có thể là một biến (khi đó phương trình có một ẩn); x có thể xem là n biến với  1 2, ,...., nnx x x x C  (khi đó phương trình có n ẩn). Ta đã biết rằng trong lý thuyết căn số có các định lý cơ bản sau đây: a) Căn số bậc n của một số phức , 0,a C a  có n giá trị phân biệt. b) Mỗi số thực đều tốn tại một căn số thực bậc lẻ duy nhất cùng dấu với nó. Mỗi số thực âm  , 0a a  không tồn tại căn số thực bậc chẵn bất kì. Mỗi số thực dương  , 0a a  có hai căn số thực bậc chẵn đối nhau, trong đó giá trị dương của căn số được gọi là căn số số học và được kí hiệu bởi 2k a . Căn bậc n bất kì  *n N của số 0 trên mọi trường đều bằng 0. Như vậy khi làm việc với các căn số thực, khi viết 2k A phải nhớ rằng 2 1/ 0 ( ) 2 / 0( )k A decanthuc co nghia A dinh nghia can so so hoc    2. Nhân lương liên hợp để xuất hiện nhân tử chung. a) Phương pháp: Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm 0x như vậy phương trình luôn đưa về được dạng tích    0 0x x A x  ta có thể giải phương trình   0A x  hoặc chứng minh   0A x  vô nghiệm , chú ý điều kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh gía   0A x  vô nghiệm b) Kiến thức cần nhớ:                  2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 4 4 4 4 2 2 2 2 1 2 2 1 ... ... .n n n n n n a ba b a b a b a b a b a ba b a b a ab b a b a ab b a ba b a b a b a b a b a b a b a b a b a a ab b                                               II. Bài tập. 1./ Giải phương trình:   2 21 2 3 1x x x x     Vì 1x   không phải là nghiệm của phương trình trên, ta viết phương trình dưới dạng: 2 2 2 21 2 12 3 2 3 2 1 1 x x xx x x x x x              (*) Thuvienvatly.com - 2 - Vì 2 2 3 2 0x x    . Suy ra: (*)   2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 1 12 3 2 x x x x x x xx x              2 2 2 2 1 2 1 12 3 2 x x x x xx x          Nếu: 2 1 2 2 1 0 1 2 x x x x           Nếu: 2 2 1 0.x x   Suy ra: 2 2 3 2 1x x x     (pt này vô nghiệm) Vậy: tập nghiệm của phương trình đã cho là:  1 2;1 2S    Nhận xét: mấu chốt của lời giải trên là nhận ra lượng liên hợp 2 2 3 2x x   để tìm ra nhân tử chung là 2 2 1x x  . Vậy làm cách nào để nhận ra được điều này. Ta làm như sau: Xét phương trình:   2 2 12 3 1 xx x x         2 2 2 2 12 3 0 1 12 3 1 xx x m m m x x mx mx x m x                   Vì: 2 2 3 0.x x m     Suy ra:     2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 1 12 3 2 3 1 12 3 x x m x x m x mx m xx x m x x m x mx m xx x m                           Bây giờ ta chỉ cần xác định m sao cho: 2 2 22 3 0 1 0x x m x mx m         . Suy ra 22 3 1 2.m m m m          Từ đó ta suy ra lời giải như đã trình bày. 2./ Giải phương trình:  2 32 2 5 1x x   Điều kiện: 1x   Phương trình đã cho tương đương:     2 22 2 5 1 1x x x x     Vì 1x   không là nghiệm phương trình đã cho ta viết lại: Thuvienvatly.com - 3 -                   2 2 2 22 2 2 2 1 1 2 2 5 1 2 2 1 1 5 1 1 2 2 12 2 5 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x                        Vì 2 1 2 0. 1 x x x      Suy ra:       2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 12 2 1 12 10 6 5 1 1 1 2 1 2 10 6 5 3 5 1 1 11 2 1 x x x xx x x x x x x x x x xx x                                        Nếu: 2 5 37 25 3 0 5 37 2 x x x x           Nếu: 2 5 3 0.x x   Suy ra: 25 1 2 2 1 x x x      (pt này vô nghiệm) Vậy: tập nghiệm của phương trình đã cho là: 5 37 5 37; 2 2 S           Nhận xét: bằng phương pháp đã nêu bài toán này ta đã tìm được 2m  . 3./ Giải phương trình: 3 2 43 8 40 8 4 4 0x x x x      Điều kiện: 1x   , phương trình đã cho tương đương: 3 2 4 3 2 4 3 8 40 4 4 (*) 8 3 8 24 4 4 2 8 x x x x x x x x             Vì: 4 4 4 2 0.x    Suy ra:   2 4 4 3 8 4 4 4(*) 8 4 4 2 x x x x         Thuvienvatly.com - 4 - Vì: 4 4 4 4 0.x    Suy ra:       2 4 4 3 8 4 12(*) 8 4 4 2 4 4 4 x x x x x          Nếu: 3 0 3x x    . Nếu: 3 0.x   Suy ra:      2 4 4 8 1 32 4 4 2 4 4 4 x x x        Suy ra: 2 8 0 2 2x x    (vì 1x  ) Dễ thấy VT của   liên tục và luôn đồng biến trên  2 2; , vế phải của   liên tục và luôn nghịch biến trên  2 2; . Lại có 3x  là nghiệm vậy 3x  cũng là nghiệm duy nhất của   . Nghiệm này loại vì 3x  . Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất 3x  . 4./ Giải phương trình:  2 32 8 5 8x x   Điều kiện: 2x   , pt đã cho viết lại:     2 22 8 5 2 2 4x x x x     Vì 2x   không là nghiệm của phương trình đã cho, ta viết dưới dạng:           2 2 2 2 2 2 2 2 8 5 2 4 2 8 2 4 (*) 5 2 2 4 8 2 42 2 5 2 2 4 x x x x x x x x x x x x x x x                       Vì: 2 2 4 2 0. 2 4 x x x      Suy ra:       2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 42 2 2 4 2 410 12(*) 5 2 2 4 2 2 4 10 12 10 12 5 2 2 42 4 2 2 4 x x x x x xx x x x x x x x x x x x xx x                                         Nếu: 2 5 37 10 12 0 5 37 x x x x           Thuvienvatly.com - 5 - Nếu: 2 10 12 0.x x   Suy ra: 25 2 4 2 2 2 4 x x x      (pt này vô nghiệm) Vậy: tập nghiệm của phương trình đã cho là:  5 37;5 37S    5./ Giải phương trình: 2 1 2 1 7 2 41 x xx     Điều kiện: x 1 . Pt đã cho tương đương: 2 1 2 1 31 0 (*) 2 41 x xx       Vì: 1 1 0. 1x    Ta có: (*) 2 1 11 1 2 1 31 1 01 2 41 1 x x x x x                     1 1 2 1 31 1 01 41 1 1 32 2 4 0 11 1 1 x x x x x x x xx x                             Nhận thấy 2x  là một nghiệm của phương trình, xét 2x  , chia cả hai vế của phương trình cho  2 x ta được:   1 3 1 4 0 11 1 1 x xx x             . Dễ thấy VT 0, 1x   . Vậy: phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 2x  . 6./ Giải phương trình: 2 2 2 1 1 2 4 2 1 x x x x x        Điều kiện: 4x   , phương trình đã cho tương đương: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 1 11 4 2 2 21 3 3 3 1 121 1 1 214 x x x x x x x x x xx                    Nhận thấy 3 3x x    là các nghiệm của phương trình. Xét 2 3 0.x   Chia cả hai vế của phương trình cho  2 3x  ta được: Thuvienvatly.com - 6 - 2 2 1 1 1 01 121 1 1 214 x xx        . Dễ thấy 0, 4VT x    . Vậy: tập nghiệm của phương trình đã cho là:  3; 3S   . Nhận xét: mấu chốt của bài toán này là nhận ra được 3x  là nghiệm phương trình. 7./ Giải phương trình: 2 2 12 3 1 2 3 xx x x      Điều kiện: 2 2 2 3 1 0 1 0 2 3 2 3 0 x x x x x           Phương trình đã cho 2 2 3 12 3 1 2 3 x xx x x x          2 2 2 3 1 3 1 2 33 1 x x x x xx x x            Nếu: 2 3 5 23 1 0 3 5 2 x x x x           Xét: 2 3 1 0.x x   Chia hai vế của phương trình cho  2 3 1x x  ta được:    2 2 2 1 1 2 32 3 1 3 3 2 3 1 7 15 8 0 1 7 8 0 1( ) 8 ( ) 7 xx x x x x x x x x x x nhan x loai                        Vậy: tập nghiệm của phương trình đã cho là: 3 5 3 5;1; 2 2 S           Nhận xét: mấu chốt của bài toán này là phải nhận ra 2 3 1x x  là nhân tử chung. 8./ Giải phương trình: 2 2 2 23 7 3 2 3 5 1 3 4x x x x x x x          Điều kiện xác định: Phương trình đã cho tương đương với: Thuvienvatly.com - 7 -   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 7 3 3 5 1 2 3 4 2 4 3 6 3 7 3 3 5 1 2 3 4 3 22 0 2 3 4 3 7 3 3 5 1 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                                            Vậy: phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 2x  . 9./ Giải phương trình:  2 2 2 23 5 1 2 3 1 3 4x x x x x x x          Nhận thấy:      2 23 5 1 3 3 3 2 2x x x x x             2 22 3 4 3 2x x x x      Ta có thể trục căn thức 2 vế:   2 22 2 2 4 3 6 2 3 43 5 1 3 1 x x x x xx x x x             Dễ dàng nhận thấy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình. Vậy: phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 2x  . 10./ Giải phương trình: 2 212 5 3 5x x x     Để phương trình có nghiệm thì : 2 2 512 5 3 5 0 3 x x x x        Phương trình đã cho tương đương:     2 2 2 2 2 2 2 2 4 412 4 3 6 5 3 3 2 12 4 5 3 2 12 3 0 2 12 4 5 3 x xx x x x x x x xx x x x                                  Dễ dàng chứng minh được : 2 2 2 2 53 0, 312 4 5 3 x x x x x            Vậy: phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 2x  . Nhận xét: để thực hiện các bước nhóm và tách như trên ta nhận thấyx 2  là nghiệm của phương trình , như vậy phương trình có thể phân tích về dạng    2 0x A x  . 11./ Giải phương trình: 2 33 1 1x x x    Điều kiện: 3 2x  Nhận thấy x=3 là nghiệm của phương trình , phương trình đã cho viết lại: Thuvienvatly.com - 8 -       22 33 2 32 233 3 3 931 2 3 2 5 3 1 2 51 2 1 4 x x xxx x x x xx x                         Vì:     222 2 23 33 3 31 1 2 1 2 1 4 1 1 3 x x x x x              2 3 3 9 2 5 x x x      nên 3x  . Vậy: nghiệm của phương trình đã cho là 3x  . 12./ Giải phương trình: 235 1 9 2 3 1x x x x      Điều kiện: 1 5 x  Phương trình đã cho tương đương với: 235 1 2 9 2 2 3 5x x x x               2 3 3 5 1 1 1 2 5 5 1 2 9 2 9 4 x x x x x x x                  23 3 5 11 2 5 0 5 1 2 9 2 9 4 x x x x x                    23 3 5 5 1 5 11 2 0 5 1 2 9 2 9 4 xx x x x x                  Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 1. 13./ Giải phương trình: 3 23 1 8 3x x x    Điều kiện: 2 6 2 6 3 3 x   Phương trình đã cho tương đương: 2 3 2 12 1 4 0 8 3 2 x xx x x x           2 2 41 1 0 8 3 2 x x x x x              Xét   28 3 2f x x x    ta có:   2 3' 1 8 3 xf x x     2 3 2'( ) 0 1 38 3 xf x x x          Ta có bảng biến thiên: Thuvienvatly.com - 9 -   6 4 6 3 f x   kết hợp với 2 6 3 x    6 4 60 3 f x     2 4 4 2 6 41 1 1 0 3 6 4 68 3 2 3 x x f xx x               Nên: 2 1 51 0 2 x x x      Vậy: tập nghiệm của phương trình đã cho là: 1 5 1 5; 2 2 S           Nhận xét: ở bài này khó ở chỗ là ta không thể nhẩm ngay ra nghiệm của phương trình để dùng lượng liên hợp. Tuy nhiên với sự hỗ trợ đắc lực của chiếc máy tính Casio fx570 ES thì mọi chuyện có vẻ dễ dàng hơn! Ta sẽ lần lượt dùng chức năng Shift Solve để tìm ra 2 nghiệm của phương trình là: 1 20,6180339887...; 1,618033989...x x   sau đó gán hai nghiệm này vào hai biến A và B. Bây giờ ta sẽ thử tìm xem A và B có mối quan hệ gì với nhau hay không bằng cách tình A + B và AB, ta thu được kết quả “đẹp” sau: 1, 1A B AB    nên A, B là hai nghiệm của phương trình: 2 1 0X X   . Và từ đây, ta có thể dự đoán được 2 1x x  chính là nhân tử của phương trình. Ta viết phương trình đã cho lại thành:  3 23 1 8 3 0x x px q x px q                 2 2 3 2 8 3 3 1 0 2 8 3 px q x x x px q x px q                 2 2 23 2 3 2 8 3 1 0 8 3 p x pqx q x p x q x px q               .Đến đây, để xuất hiện nhân tử 2 1x x  thì    2 2 2 23 2 8 1p x pqx q x x        với  là một hệ số. Chọn  = 4 thì ta được một cặp (p, q) thỏa mãn là (p, q) = (-1; 2). Khi đó (2) trở thành: 2 3 2 12 1 4 0 8 3 2 x xx x x x          như ở trên. Thuvienvatly.com - 10 - 14./ Giải phương trình:  2 21 2 2 2x x x x x      Phương trình đã cho tương đương:              2 2 2 2 2 2 2 2 7 3 2 2 2 2 0 2 7 2 3 2 2 0 1 1 1 2 7 0 2 2 3 1 7 1 7 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                                        Vậy: tập nghiệm của phương trình đã cho là:  1 7;1 7S    Nhận xét: ngoài cách làm như ở trên để tìm được lượng liên hợp ta cũng có thể làm theo cách khác tìm được lượng 2 2 7x x  như sau:do x = -2 không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương trình cho (x + 2) ta được: 2 2 12 2 2 x xx x x       . Giả sử ta cần thêm vào hai vế của phương trình một lượng Ax B , khi đó ta có:     2 2 12 2 2 x xx x Ax B Ax B x                    2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 22 2 A x AB x B A x A B x B xx x Ax B                  . Khi đó, ta cần chọn A, B sao cho  2 22 11 2 1 2 1 2 1 ABA B A A B B         . Từ đó ta có: A = 0, B = 3. 15./ Giải phương trình: 3 23 2 4 4 1x x x x x x x          Điều kiện xác định: 2 3x   Phương trình đã cho tương đương với:     3 23 1 2 4 4x x x x x x x                2 22 2 2 1 2 3 1 2 x x x x x x x x x x x                      1 12 1 2 0 3 1 2 x x x x x x x                  1 2 x x      . Vậy: tập nghiệm của phương trình đã cho là:  1;2S   Thuvienvatly.com - 11 - Nhận xét: với bài này, việc xuất hiện thêm các đa thức chứa trị tuyệt đối tưởng chừng như sẽ gây cho ta thêm khó khăn trong việc giải quyết. Nhưng nhờ sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp, bài toán đã được giải quyết nhanh chóng! Khi ấy, ta chỉ cần chuyển các lượng trên về đúng vị trí và sử dụng phương pháp nhân liên hợp là đủ. 16./ Giải phương trình: 3 2 2 31 3 1 5 6 xx x x x x           Điều kiện: 3x  Phương trình đã cho tương đương với:      3 2 2 31 2 3 1 2 3 26 xx x x x x                  2 2 22 32 23 1 8 1 4 15 23 3 61 21 2 1 4 x x x xx x xxx x                         22 32 23 3 3 3 2 533 1 3 0 61 21 2 1 4 x x x xxx x xxx x                      3x  . Vậy: phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 3x  . 17./ Giải phương trình:  2 23 4 1 4 2x x x x x      Điều kiện: 1x  Phương trình đã cho tương với:              2 2 2 2 2 2 2 3 4 1 4 2 3 4 1 3 4 2 1 1 1 3 4 2 1 0 3 42 1 0 1 1 2( ) 3 4 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x thoa x x x x                                               Với: 2 2 4 1, 1 1 x x x x       ta có pt trên tương đương với:   2 24 3 1 4 5 2 1 0 5( ) 15 1 0 112 1 2 1 x x x x x x x thoa x x xx x                              Thuvienvatly.com - 12 - Ta có: 1 11 2; , 22 1 x x      nên pt 11 2 1 x x     vô nghiệm. Vậy: tập nghiệm của phương trình đã cho là:  2;5S  . 18./ Giải phương trình: 3 1 2 1 1 3 3 x x x x        Điều kiện: 3x  Phương trình đã cho tương đương với:    2 29 3 2 1 1 9 2 1 4 1x x x x x x            Ta sẽ nhân lượng liên hợp để giải quyết phương trình trên, ta có:      2 2 2 2 2 4 22 8 4 4 9 2 1 9 2 1 4 ( ) 24 1 0 2 19 2 1 9 2 1 x xx x x x x x x x x thoa xx x x x x x                                  Với: 2 2 1, 9 2 1 x x x      ta có: 2 9 2 1 2 (2)x x x     Kết hợp (1); (2), ta có: 2 2 1 6 2 1 3 5( )x x x thoa man       Vậy: tập nghiệm của phương trình đã cho là:  4;5S  19./ Giải phương trình: 23 33 3 2 7x x x    Điều kiện: 0x  Phương trình đã cho tương đương với:                  2 2 2 2 2 3 116 173 33 2 4 3 3 0 0 13 33 2 4 3 1 1 17 3 170 1 0 1 13 33 2 4 3 33 2 4 xx xx x x xx x x x x xx x xx x x x                                       2 1 3 17 1 3 33 2 4 x x x x x            Với: 1 0 1 ( )x x thoa     Với:       22 3 17 3 3 33 17 1 6 12 (1) 1 3 33 2 4 x x x x x x x x              Từ phương trình ban đầu ta có: 23 3 33 6 21 9 (2)x x x    Thuvienvatly.com - 13 - Từ (1) và (2) suy ra:          17 1 6 12 6 21 9 11 26 0 64 8 2 1 0 4 ( ) 1 x x x x x x x x x x x x x x thoa man x                      Vậy: tập nghiệm của phương trình đã cho là:  1;4;64S  20./ Giải phương trình: 2 2 2 2 1 2 3 2011... 2011 1 2 3 2011x x x x x x x x              Phương trình đã cho được biến đổi thành:   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 20111 1 1 ... 1 0 1 2 3 2011 ... 0 1 2 3 2011 1 1 1 1... 0 1 2 3 2011 0 0 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                                                            Vậy: phương trình đã cho có tập nghiệm là:  0;1S  21./ Giải phương trình: 2 2 3 2 33 3 1 x xx x      Điều kiện: 1 3 x   Phương trình đã cho tương đương:   2 2 2 2 2 2 3 2 3 1 3 4 13 2 2 3 1 3 13 2 1 3 11 0 3 13 2 x x x x xx x xx x xx xx                          Xét phương trình:    2 2 2 2 2 2 1 3 1 0 3 13 2 1 3 11 3 1 3 1 3 2 3 3 1 3 8 5 3 12 3 1 1 3 1 1 3 1 3 8 5 9 6 1 3 5 9 6 1 6 6 1 x x xx x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                                         Thuvienvatly.com - 14 - Vậy: nghiệm duy nhất của phương trình đã cho là 1x  . 22./ Giải phương trình:     3 3 3 3 34 1 1 34 30 34 1 x x x x x x          Điều kiện: 33 (*) 2 x  Phương trình đã cho tương đương:          2 23 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 34 . 1 34 1 30 34 1 34 . 1 34 1 30 (2) 3 34 . 1 34 1 90 (3) x x x x x x x x x x x x x x                        Cộng    34 1 35x x    vào hai vế của (3), ta được:         3 3 3 3 3 3 3 3 3 34 1 34 . 1 34 1 125 34 1 125 34 1 5 (4) x x x x x x x x x x                     Từ (2) và (4) ta có:       3 3 3 2 5 34 . 1 30 34 1 6 34 1 216 33 182 0 7 ( (*)) 26 x x x x x x x x x thoa x              