Phương trình lượng giác phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số

Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 1 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH ðẠI SỐ A. Tóm tắt lí thuyết I. Phương trình lượng giác 1. Các hằng ñẳng thức: * 2 2sin cos 1α α+ = với mọi α * tan .cot 1α α = với mọi 2 kpi α ≠ * 2 2 1 1 tan cos α α + = với mọi 2kα pi≠ * 2 2 1 1 cot sin α α + = với mọi kα pi≠ 2. Hệ thức các cung ñặc biệt a.Hai cung ñối nhau: α và α− 1) cos( ) cos−α = α 2) sin( ) sin−α = − α 3) tan( ) tan−α = − α 4) cot( ) cot−α = − α b. Hai cung phụ nhau: α và 2 pi α− 1) cos( ) sin 2 pi − α = α 2) sin( ) cos 2 pi − α = α 3)tan( ) cot 2 pi − α = α 4)cot( ) tan 2 pi − α = α c. Hai cung bù nhau: α và pi α− 1) sin( ) sinpi − α = α 2) cos( ) cospi − α = − α 3) tan( ) tanpi − α = − α 4)cot( ) cotpi − α = − α d) Hai cung hơn kém nhau pi :α và pi α+ 1) sin( ) sinpi + α = − α 2) cos( ) cospi + α = − α 3)tan( ) tanpi + α = α 4)cot( ) cotpi + α = α 3. Các công thức lượng giác a. Công thức cộng 1) cos(a b) cosa.cos b sin a.sin b± = ∓ 2) sin(a b) sin a.cos b cosa.sin b± = ± Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 2 tan a tan b 3) tan(a b) 1 tan a.tan b ±± = ∓ b) Công thức nhân 1) sin2a 2sin a cosa= 2 2 2 22)cos2a cos a sin a 1 2 sin a 2 cos a 1= − = − = − 33) sin 3a 3 sin a 4 sin a= − 34) cos3a 4 cos a 3cosa= − c. Công thức hạ bậc 2 1 cos2a1) sin a 2 − = 2 1 cos2a2) cos a 2 + = 3) 2 1 cos 2atan a 1 cos 2a − = + d. Công thức biến ñổi tích thành tổng 1 1) cosa.cos b [cos(a b) cos(a b)] 2 = − + + 1 2) sin a.sin b [cos(a b) cos(a b)] 2 = − − + 1 3) sin a.cos b [sin(a b) sin(a b)] 2 = − + + . e. Công thức biến ñổi tổng thành tích a b a b 1) cos a cos b 2 cos .cos 2 2 + − + = a b a b 2) cosa cos b 2 sin .sin 2 2 + − − = − a b a b 3)sin a sin b 2 sin .cos 2 2 + − + = a b a b 4)sin a - sin b 2cos .sin 2 2 + − = sin(a b) 5) tan a tan b cosa cos b + + = sin(a b) 6) tan a tan b cosa cos b − − = . 4. Phương trình lượng giác cơ bản 1. Phương trình: sin (1)x m= * Nếu: m 1 > ⇒ Pt vô nghiệm * Nếu: m 1 [ ; ] : sin m 2 2 pi pi≤ ⇒ ∃α ∈ − α = Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 3 (1) sin x sin⇒ ⇔ = α ⇔ x k2 x k2  = α + pi  = pi − α + pi ( k Z∈ ). Chú ý : * Nếu α thỏa mãn 2 2 sin m  pi pi − ≤ α ≤   α =  thì ta viết arcsin mα = . *Các trường hợp ñặc biệt: 1) sin x 1 x k2 2 pi = ⇔ = + pi 2) sin x 1 x k2 2 pi = − ⇔ = − + pi 3) sin x 0 x k= ⇔ = pi 2. Phương trình: cos x m (2)= * Nếu: m 1> ⇒ phương trình vô nghiệm * Nếu: m 1 [0; ] : cos m≤ ⇒ ∃α ∈ pi α = (2) cos x cos⇒ ⇔ = α ⇔ x k2 x k2  = α + pi  = −α + pi ( k Z∈ ). Chú ý : * Nếu α thỏa mãn 0 cos m  ≤ −α ≤ pi  α = thì ta viết arccos mα = . * Các trường hợp ñặc biệt: 1) cos x 1 x k2= ⇔ = pi 2) cos x 1 x k2= − ⇔ = pi + pi 3) cos x 0 x k 2 pi = ⇔ = + pi 3. Phương trình : tan x m (3)= Với m ( ; ) : 2 2 pi pi∀ ⇒ ∃α ∈ − tan mα = (3) tan x tan x k⇒ ⇔ = α ⇔ = α + pi . Chú ý : * Nếu α thỏa mãn 2 2 tan m  pi pi − < α <   α =  thì ta viết arctan mα = . * Các trường hợp ñặc biệt: Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 4 1) tan x 1 x k 4 pi = ⇔ = + pi 2) tan x 1 x k 4 pi = − ⇔ = − + pi 3) tan x 0 x k= ⇔ = pi 4. Phương trình: cot x m (4)= Với m ( ; ) : 2 2 pi pi∀ ⇒ ∃α ∈ − cot mα = (4) cot x cot x k⇒ ⇔ = α ⇔ = α + pi . Chú ý : * Nếu α thỏa mãn 2 2 cot m  pi pi − < α <   α =  thì ta viết arc co t mα = . * Các trường hợp ñặc biệt: 1) cot x 1 x k 4 pi = ⇔ = + pi 2) co t x 1 x k 4 pi = − ⇔ = − + pi 3) cot x 0 x k 2 pi = ⇔ = + pi Ghi chú: * u v k2 sin u sin v u v k2  = + pi = ⇔ = pi − + pi (k Z)∈ * cos u cos v u v k2= ⇔ = ± + pi (k Z)∈ * tan u tan v u v k= ⇔ = + pi (k Z)∈ * cot u cot v u v k= ⇔ = + pi (k Z)∈ 5. Phương trình lượng giác thường gặp 1. Phương trình bậc hai một hàm số lượng giác: Là phương trình có dạng 2 sin x sin x cos x cos x a. b. c 0 tan x tan x cot x cot x            + + =               (1) Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 5 Cách giải: ðặt sin x cos x t tan x cot x       =        (*) khi ñó (1) trở thành: 2at bt c 0 + + = giải phương trình này ta tìm ñược t thay vào (*) ta tìm ñược x Chú ý: * Nếu sin xt cos x   =      thì 1 t 1− ≤ ≤ . * Khi gặp phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác ta cũng ñặt hàm số ñó bằng một ẩn phụ và chuyển phương trình ñã cho về phương trình ñại số. 2. Phương trình bậc nhất ñối với sinx và cosx : a sin x b cos x c (1)+ = . Cách giải: Chia hai vế cho: 2 2a b+ và ñặt 2 2 2 2 a b cos ; sin a b a b α = α = + + 2 2 c (1) sin x.cos cos x. sin sin(x ) sin a b ⇒ ⇔ α + α = ⇔ + α = β + . Chú ý: * (1) có nghiệm 2 2 2a b c⇔ + ≥ . * 1 3 sinx 3 cos x 2 sin x cos x 2 sin(x ) 2 2 3   pi± = − = −     * 3 1 3sinx cos x 2 sin x cos x 2 sin(x ) 2 2 6   pi± = ± = ±     * 1 1 sin x cos x 2 sin x cos x 2 sin(x ) 42 2   pi± = ± = ±    . 3. Phương trình ñẳng cấp: Là phương trình có dạng (sin , cos ) 0=f x x trong ñó luỹ thừa của sinx và cosx cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 6 Cách giải: Chia hai vế pt cho cos 0k x ≠ (k là số mũ cao nhất) ta ñược phương trình ẩn là tan x . 4. Phương trình lượng giác không mẫu mực ðể giải phương trình lượng giác không mẫu mực, ta sử dụng các phép biến ñổi lượng giác, ñưa phương trình ñã cho về những dạng phương trình ñã biết. * ðưa phương trình ban ñầu về phương ña thức ñối với một hàm số lượng giác * ðưa phương trình ban ñầu về phương trình bậc nhất ñối với sinx và cosx * ðưa phương trình ban ñầu về phương trình dạng tích II. Phương trình – bất phương trình 1. Phương trình bậc cao: Cách 1: ðưa về dạng tích: ( ) 0 ( ). ( ) 0 ( ) 0 f x f x g x g x  = = ⇔  = . ðể ñưa về một phương trình tích ta thường dùng các cách sau: * Sử dụng các hằng ñẳng thức ñưa về dạng 2 2 3 30, 0,...a b a b− = − = * Nhẩm nghiệm rồi chia ña thức: Nếu x a= là một nghiệm của phương trình ( ) 0f x = thì ta luôn có sự phân thích: ( ) ( ) ( )f x x a g x= − . ðể dự ñoán nghiệm ta dựa vào ñịnh lí sau: ðịnh lí: Nếu ña thức 11 1 0( ) ... n n n n f x a x a x a x a− − = + + + + có nghiệm nguyên thì nghiệm ñó phải là ước của 0a * Sử dụng phương pháp hệ số bất ñịnh Cách 2: ðặt ẩn phụ Dạng 1: Phương trình ñối xứng: Là phương trình có dạng: 4 3 2 0ax bx cx bx a± + ± + = . Cách giải: Chia hai vế phương trình cho 2 ( 0)x x ≠ ta có : 2 2 1 1 ( ) ( ) 0a x b x c xx + ± + + = ðặt 1 t x x = + với 2t ≥ ta có 2 2 2 2 1 1 ( ) 2 2x x t xx + = + − = − thay vào phương trình ta có: 2( 2) 0a t bt c− ± + = Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 7 Dạng 2: ( )( )( )( )x a x b x c x d e+ + + + = trong ñó a b c d+ = + Cách giải: ðặt 2 ( ) t x a b x= + + ta có : ( )( )t ab t cd e+ + = Dạng 3: 4 4( ) ( )x a x b c+ + + = . ðặt 2 a b x t + = − ta ñưa về phương trình trùng phương. 2. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt ñối Cách 1: Dùng ñịnh nghĩa: khi 0 | | khi 0 a a a a a  ≥ =  − < Cách 2: Bình phương hai vế kết hợp với tính chất 2 2| |a a= 1) 2 2 ( ) 0 | ( ) | ( ) ( ) ( ) 0 g x f x g x f x g x  ≥ = ⇔  − = . 2) ( ) ( )| ( ) | | ( ) | ( ) ( ) f x g x f x g x f x g x  = = ⇔  = − . Cách 3: ðặt ẩn phụ 3. Phương trình – bất phương trình vô tỉ Cách 1: Biến ñổi tương ñương * 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0n nf x g x f x g x= ≥= ⇔ * 2 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( )n n g x f x f x g x g x  ≥  = = ⇔ * 2 12 1 ( ) ( ) ( ) ( )nn f x g x f x g x++ = ⇔ = * 2 12 1 ( ) ( ) ( ) ( )nn f x g x f x g x++ > ⇔ > * 2 ( ) ( )n f x g x< ⇔ 2 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( )n f x g x f x g x  ≥  ≥  < * 2 ( ) ( )n f x g x> ⇔ 2 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( )n g x f x g x f x g x  <  ≥  ≥  >    Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 8 Cách 2: ðặt ẩn phụ Dạng 1: ( ( )) 0nF f x = , với dạng này ta ñặt ( )nt f x= (nếu n chẵn thì phải có ñiều kiện 0t ≥ ) và chuyển về phương trình ( ) 0F t = giải phương trình này ta tìm ñược t x⇒ . Trong dạng này ta thường gặp dạng bậc hai: ( ) ( ) 0af x b f x c+ + = . Dạng 2: ( ( ) ( )) 2 ( ). ( ) ( ( ) ( )) 0m f x g x n f x g x n f x g x p± ± + + + = . Vì ta có: 2( ( ) ( )) 2 ( ). ( ) ( ( ) ( ))n f x g x n f x g x n f x g x+ ± = ± Nên với dạng này ta ñặt ( ) ( )t f x g x= ± . Bình phương hai vế ta sẽ biểu diễn ñược những ñại lượng còn lại qua t và chuyển phương trình (bpt) ban ñầu về phương trình (bpt) bậc hai ñối với t. Dạng 3: n( ( ), ( )) 0nF f x g x = , trong ñó ( , )F a b là một biểu thức ñẳng cấp bậc k. Với dạng này ta xét hai trường hợp: TH1: ( ) 0g x = thay vào phương trình ta kiểm tra, TH2: ( ) 0g x ≠ chia hai vế phương trình cho ( )kn g x và ñặt ( ) ( ) n f x t g x = ta ñược phương trình ( ) 0G t = là phương trình ña thức bậc k. Ta thường gặp dạng: . ( ) . ( ) . ( ) ( ) 0a f x b g x c f x g x+ + = . ðặt ( ) ( ) f x t g x = , ta có phương trình : 2 0at ct b+ + = . Dạng 4: . ( ) ( ) ( ) ( ) 0a f x g x f x h x+ + = . Với phương trình dạng này ta có thể ñặt ( )t f x= , khi ñó ta ñược phương trình theo ẩn t: 2 ( ) ( ) 0at g x t h x+ + = , ta giải phương trình này theo t, xem x là tham số (Tức là trong phương trình vừa có t vừa có x) nên ta thường gọi dạng này là dạng ñặt ẩn phụ không triệt ñể. Dạng 5: ( ), ( ), ( )n mF f x a f x b f x c + − =   (I). Ta có thể ñặt: ( ), ( )n mu a f x v b f x= + = − , lúc ñó ta có hệ phương trình: Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 9 ( , ) n m f u v c u v a b  =  + = + giải hệ này ta tìm ñược u, v. Từ ñây ta có ñược x. Chú ý : Khi tìm ñược u,v ñể tìm x ta chỉ cần giải một trong hai phương trình: ( ) n a f x u+ = hoặc ( )m b f x v− = . Dạng 6: ( )( ) ( )n nf x b a af x b+ = − (II) ðể giải phương trình này ta ñặt ( ); ( )nt f x y af x b= = − ta có hệ: n n t b ay y b at  + =  + = . ðây là hệ ñối xứng loại II với hai ẩn t và y. Cách 3: ðánh giá Xét phương trình : ( ) ( )f x g x= xác ñịnh trên D. * Nếu phương trình 2 2 ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0 u x u x v x v x  = ⇔ + = ⇔  = * Nếu ( ) ( ) ( ) ( ) f x m x x D g x m x  ≥ ∀ ∈ ≤ thì : ( ) ( )PT f x g x= với x D∈ ( ) ( ) ( ) ( ) f x m x g x m x  = ⇔  = . Trong cách ñánh giá này ta thường dùng các hằng ñẳng thức và các bất ñẳng thức quen thuộc (như BðT Cauchy, BðT Bunhiacovski, BðT chứa trị tuyệt ñối… )ñể ñánh giá hai vế. III. Hệ phương trình 1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn a. ðịnh nghĩa: Là hệ có dạng: ' ' ' ax by c a x b y c  + =  + = , trong ñó , , , ’, ’, ’a b c a b c là các số thực cho trước và a,b,a’,b’ không ñồng thời bằng không. b. Cách giải: Dùng ñịnh tthức Crame Ta có các ñịnh thức: c c ; ; ' ' ' ' ' c 'x y a b b a D D D a b c b a = = = . Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 10 * Nếu D 0≠ thì hệ có nghiệm duy nhất: ; yx DD x y D D = = . * Nếu 0 x y D D D= = = thì hệ vô số nghiệm: ( 0) x c ax y b b  ∈   − = ≠  ℝ . * Nếu 0 0 0 x y D D D  =   ≠  ≠ thì hệ ñã cho vô nghiệm. 2. Hệ ñối xứng loại I a. ðịnh nghĩa: Là hệ có dạng ( ; ) ( ; ) f x y a g x y b  =  = (I) trong ñó f(x;y),g(x;y) là các biểu thức ñối xứng, tức là ( ; ) ( ; ), ( ; ) ( ; )f x y f y x g x y g y x= = . b. Cách giải: ðặt , S x y P xy= + = . Biểu diễn ( ; ), ( ; )f x y g x y qua S và P ta có hệ ( ; ) 0 ( ; ) 0 F S P G S P  =  = giải hệ này ta tìm ñược S, P. Khi ñó x,y là nghiệm của phương trình : 2 0 (1)X SX P− + = . c. Một số biểu diễn biểu thức ñối xứng qua S và P. 2 2 2 2 3 3 2 2 3 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 ( )( ) 3 ( ) ( ) 2 ( 2 ) 2 x y x y xy S P x y x y x y xy S SP x y y x xy x y SP x y x y x y S P P + = + − = − + = + + − = − + = + = + = + − = − − d. Chú ý: * Nếu (x;y) là nghiệm của hệ (I) thì (y;x) cũng là nghiệm của hệ * Hệ (I) có nghiệm khi (1) có nghiệm hay 2 4 0S P− ≥ . 3. Hệ ñối xứng loại 2 a. ðịnh nghĩa: Là hệ có dạng ( ; ) ( ; ) f x y a f y x a  =  = (II) b. Cách giải: Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta ñược : Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 11 ( ; ) ( ; ) 0f x y f y x− = ( ) ( ; ) 0 ( ; ) 0 x y x y g x y g x y  = ⇔ − = ⇔  = . c. Chú ý: Nếu hệ (II) có nghiệm 0 0( ; )x y thì 0 0( ; )y x cũng là nghiệm của hệ nên hệ (II) có nghiệm duy nhất thì ñiều kiện cần là 0 0x y= . 4. Hệ ñẳng cấp a. ðịnh nghĩa: *Biểu thức f(x;y) gọi là ñẳng cấp bậc k nếu ( ; ) ( ; )kf mx my m f x y= *Hệ: ( ; ) ( ; ) f x y a g x y b  =  = trong ñó f(x;y) và g(x;y) ñẳng cấp gọi là hệ ñẳng cấp b. Cách giải: *Xét x=0 thay vào hệ kiểm tra * Với 0x ≠ ñặt y tx= thay vào hệ ta có: ( ; ) (1; ) ( ; ) (1; ) k k f x tx a x f t a g x tx b x g t b  = =  ⇔  = =   (1; ) (1; ) a f t g t b ⇔ = . 5. Phương pháp thế: ðây là phương pháp khá hữu hiệu thường hay ñược sử dụng trong giải hệ phương trình . Nội dung của phương pháp này từ một phương trình hoặc kết hợp hai phương trình của hệ ta biểu diễn ẩn này qua ẩn kia hoặc một biểu thức này qua biểu thức khác và thế vào phương trình còn lại chuyển về phương trình một ẩn (có thể là ẩn phụ). Mục ñích của việc làm này là giảm số ẩn. Tùy thuộc vào ñặc ñiểm của bài toán mà ta có những cách biến ñổi phù hợp. Trong phương pháp này ta cần lưu ý một số dấu hiệu sau. 1) Nếu trong hệ phương trình có một phương trình bậc nhất ñối với một ẩn thì ta rút ẩn ñó qua ẩn kia thế vào phương trình còn lại và chuyển về giải phương trình một ẩn. 2) Với hai số thực bất kì x 0; y≠ ta luôn có y tx= (t là số thực cần tìm). Với cách làm này ta sẽ ñược hệ về phương trình một ẩn t. 3) Phương trình ( ; ) ( ; )f x y f y x= luôn có một cặp nghiệm x y= , do ñó ta luôn phân tích phương trình ñã cho về dạng: ( ) ( ; ) 0x y g x y− = 4) Trong hệ phương trình nếu biểu thức u(x) xuất hiện ở hai Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 12 phương trình thì ta có thể ñặt ( )t u x= ñể làm ñơn giản hình thức bài toán. 5) Nếu mỗi vế của hai phương trình là những biểu thức ñồng bậc, ta có thể ñặt ( 0)x ty y= ≠ và từ hai phương trình của hệ ta rút ra ñược: ( ) ( ) y f t y g t  =  = , giải phương trình ( ) ( )f t g t= ta tìm ñược t, từ ñó suy ra x và y . B. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1. Giải các phương trình sau 1) + − − =cos 3x cos 2x cos x 1 0 ( D – 2006 ). 2) 6 23 cos 4x 8 cos x 2 cos x 3 0− + + = (B1 – 2003 ). 3) − =2 2cos 3x cos 2x cos x 0 (A – 2005 ). 4) ( )− = − 25 sin x 2 3 1 sin x tan x (B – 2004 ). 5) 4 4 3cos x sin x cos(x ) sin(3x ) 0 4 4 2 pi pi + + − − − = (D – 2005 ). Lời giải. 1) Ta thấy các hàm số lượng giác có mặt trong phương trình ñều biểu diễn ñược qua cosx. Do ñó ta chuyển phương trình ñã cho về phương trình chỉ chứa hàm số cosx. 3 2PT 4 cos x 3 cos x (2 cos x 1) cos x 1 0⇔ − + − − − = 3 22 cos x cos x 2cos x 1 0⇔ + − − = . ðặt t cos x, t 1= ≤ . Ta có:  = ± + − − = ⇔ − + = ⇔  = −  3 2 2 t 1 2t t 2t 1 0 (t 1)(2t 1) 0 1 t 2 . * = ± ⇔ = ± ⇔ = ⇔ = pit 1 cos x 1 sin x 0 x k * pi pi = − ⇔ = − = ⇔ = ± + pi1 1 2 2t cos x cos x k2 2 2 3 3 . Chú ý: Ta có thể giải bài toán trên bằng cách sau Phương trình cos 3 cos (1 cos2 ) 0x x x⇔ − − − = 2 22 sin2 .sin 2 sin 0 sin (2 cos 1) 0x x x x x⇔ − − = ⇔ + = . Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 13 2) Ta chuyển phương trình về phương trình chỉ chứa cos 2x Phương trình 2 33(2 cos 2x 1) (1 cos2x) 1 cos2x 3⇔ − − + + + + 2cos2x(cos 2x 3 cos2x 2) 0⇔ − + = cos 2x 0 x k 4 2 cos 2x 1 x k  pi pi = = +⇔ ⇔ = = pi  . 3) Phương trình (1 cos6x)cos2x 1 cos2x 0⇔ + − − = cos 6x.cos2x 1 0 cos 8x cos 4x 2 0⇔ − = ⇔ + − = pi ⇔ + − = ⇔ = ⇔ =22 cos 4x cos 4x 3 0 cos 4x 1 x k 2 . 4) ðiều kiện : pi≠ ⇔ ≠ + picos x 0 x k 2 . Phương trình 2 2 sin x 5 sin x 2 3(1 sin x) cos x ⇔ − = − 2 2 sin x 5 sin x 2 3(1 sin x) 1 sin x ⇔ − = − − 2 2sin x5 sin x 2 3 (5 sin x 2)(1 sin x) 3 sin x 1 sin x ⇔ − = ⇔ − + = + 22 sin x 3 sin x 2 0⇔ + − =  pi = + pipi ⇔ = = ⇔  pi = + pi  x k21 6sin x sin 52 6 x k2 6 . Kết hợp ñiều kiện, ta có nghiệm của phương trình ñã cho là : 5 x k2 , x k2 6 6 pi pi = + pi = + pi . 5) Ta có: 4 4 21sin x cos x 1 sin 2x 2 + = − 1 sin(3x )cos(x ) sin(4x ) sin2x 4 4 2 2  pi pi pi − − = − +    ( ) ( )21 1cos 4x sin2x 2 sin 2x sin2x 1 2 2 = − + = + − Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 14 Phương trình ( )2 21 1 31 sin 2x 2 sin 2x sin2x 1 0 2 2 2 ⇔ − + + − − = 2sin 2x sin2x 2 0⇔ + − = sin 2x 1 x k 4 pi ⇔ = ⇔ = + pi . Ví dụ 2. Giải các phương trình sau 1) 3 cos5 2 sin 3 cos2 sin 0x x x x− − = (D – 2009 ) 2) 3sin cos sin2 3 cos 3 2(cos 4 sin )x x x x x x+ + = + (B – 2009 ) 3) (1 2 sin )cos 3 (1 2 sin )(1 sin ) x x x x − = + − (1) (A – 2009 ). 4) 2 cos 2 sin cos 3 2cos sin 1 x x x x x − = + − (ðH NN1 – 1998 ). Lời giải. 1) Phương trình ñã cho tương ñương: ( )3 cos5 s in5 sin sin 0x x x x− + − = 3 1 cos5 s in5 sin sin 5 sin 2 2 3 x x x x x pi  ⇔ − = ⇔ − =    5 2 3 x x k pi pi⇔ − = + hoặc 5 2 3 x x k pi pi pi− = − + . Vậy 18 3 x k pi pi = + hoặc ( ) 6 2 x k k pi pi = − + ∈ ℤ . 2) Phương trình ñã cho tương ñương với. 2(1 2 sin )sin cos sin2 3 cos 3 2cos 4x x x x x x− + + = cos2 sin cos cos2 3 cos 3 2 cos 4x x x x x x⇔ + + = sin 3 3 cos 3 2 cos 4x x x⇔ + = cos(3 ) cos 4 6 x x pi ⇔ − = 4 3 2 6 x x k pi pi⇔ = − + hoặc 4 3 2 6 x x k pi pi= − + + Vậy 2 6 x k pi pi= − + hoặc 2 42 7 x k pi pi = + (k Z∈ ). 3) . ðiều kiện: 1 sin 2 sin 1 x x  ≠ −   ≠ Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 15 (1) (1 2 sin )cos 3(1 2 sin )(1 sin )x x x x⇔ − = + − 2cos 2 sin cos 3(1 sin 2 sin )x x x x x⇔ − = + − cos 3 sin sin2 3 cos2x x x x⇔ − = + 2cos( ) 2 cos(2 ) 3 6 x x π π ⇔ + = − . Giải phương trình này ta tìm ñược hai họ nghiệm 2 2 ; 2 18 3 x k x k π π π π= − =− + ðối chiếu với ñiều kiện ta chỉ nhận họ nghiệm: 2 18 3 x k π π =− + . 4) ðK: 2 2 22 sin sin 1 0 7 2 , 2 6 6 x k x x x k x k pi pi pi pi pi pi  ≠ + − − ≠ ⇔   ≠ − + ≠ +  . Phương trình 3 cos2 sin2 cos 3 sinx x x x+ = − 1 3 1 3 sin2 cos2 cos sin 2 2 2 2 x x x x⇔ + = − 2 2 6 3cos(2 ) cos( ) 6 3 2 2 6 3 x x k x x x x k pi pi pipi pi pi pi pi  − = + + ⇔ − = + ⇔   − = − − +  2 2 2 18 3 x k x k pi pi pi pi  = + ⇔   = − +  . ðối chiếu ñiều kiện ta có 2 18 3 x k pi pi = − + là nghiệm của phương trình ñã cho. Ví dụ 3. Giải các phương trình sau 1) 2 sin x(1 cos 2x) sin 2x 1 2 cos x+ + = + ( D – 2008 ). 2) 1+ sin x cos x sin 2x cos 2x 0+ + + = (B – 2005 ). 3)  pi− − =    2 2 2x xsin tan x cos 0 2 4 2 (D – 2003 ). Ôn thi ðH năm 2010 – Câu 2 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 16 4) 1 1 74 sin( x) sin x 3 4 sin(x ) 2 pi + = − pi − (A – 2008 ) 5) 2 23 cot x 2 2 sin x (2 3 2)cos x+ = + 6) 2 sin 2x cos 2x 7 sin x 2 cos x 4− = + − Lời giải. 1) Phương trình 24 sin x cos x 2 sin x cos x 1 2cos x⇔ + = + 2 sin x cos x(2 cos x 1) 2