Phương trình mũ – Logarit

Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH DAÏNG 1. PHÖÔNG TRÌNH CÔ BAÛN Phương trình mũ cơ bản có dạng: xa m= , trong ñó a 0, a 1> ≠ và m là số ñã cho. ● Nếu m 0≤ , thì phương trình xa m= vô nghiệm. ● Nếu m 0> , thì phương trình xa m= có nghiệm duy nhất ax log m.= Bài 1. Giải các phương trình sau: 1) x 1 x x 15 6.5 3.5 52+ −+ − = 2) x 1 x 2 x 3 x x 1 x 23 3 3 9.5 5 5+ + + + ++ + = + + 3) x x 13 .2 72+ = 4) 2 2 2x 3x 2 x 6x 5 2x 3x 74 4 4 1− + + + + ++ = + 5) 2x 1 x 1 x x 15.3 7.3 1 6.3 9− − +− + − + Bài 2. Giải các phương trình sau: 1) ( )3log x x 2 1+ = 2) ( ) ( )22 2log x 3 log 6x 10 1 0− − − + = 3) ( ) ( )log x 15 log 2x 5 2+ + − = 4) ( )x 12log 2 5 x+ − = Bài 3. Bài tập rèn luyện. Giải các phương trình sau: 1) x 1 x 23 2.3 25+ −− = 2) ( ) ( )2 2x 1log log x 1 x 4 2 x 4 − + − + = + 3) x 1 x 2 x x 23.2 2.5 5 2+ − −+ = + 4) 2 xxlog 16 log 7 2− = 5) x 3x 14 7 16 0 7 4 49 −     − =        6) ( ) ( )28 8 42log 2x log x 2x 1 3+ − + = 7) 2log x 1 log x log x 24 6 2.3+ +− = 8) x 1 x 2 x 2 x 11 12.5 .4 .5 4 5 4 + + + + − − = 9) ( ) ( )5 33log x 2 log x 2log x 2− = − 10) x 5 x 73 2 5 2 32− −− = 11) ( ) ( )x x 2 x 1 x 1 x 13 10 6 4.10 5 10 6+ + − −− + = − CHUYEÂN ÑEÀ 1. PHÖÔNG TRÌNH MUÕ – LOGARIT Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH DAÏNG 2. PHÖÔNG PHAÙP ÑÖA VEÀ CUØNG CÔ SOÁ Phương pháp ñưa về cùng cơ số Sử dụng công thức: ● a aα β α β= ⇔ = . ● ( ) a a b 0 c log b log c b c > = ⇔  = hoÆc > 0 Bài 1. Giải các phương trình sau: 1) 2x 1 x 1 x5 7 175 35 0+ ++ − − = 3) x 3 2 x 3 42 x 1 2 x 1x .2 2 .2 2x− + − ++ −+ = + 2) x x 2 x 1 x 11 13.4 .9 6.4 .9 3 2 + + ++ = − 4) ( )22 2 x 1x x 1 x4 2 2 1++ −+ = + Bài 2. Giải các phương trình sau: 1) x x x 16 64 log 2.log 2 log 2= 2) 25x 5 5log log x 1 x + = 3) 2 3 4 20log x log x log x log x+ + = 4) ( ) ( ) ( )2 2 x 3 1log 3x 1 2 log x 1 log 2+ − + = + + 5) ( )229 331 x 1log x 5x 6 log log x 32 2 − − + = + − 6) ( ) ( )2 22 2 2log x 3x 2 log x 7x 12 3 log 3+ + + + + = + Bài 3. Giải phương trình sau: ( ) ( ) ( )84 221 1log x 3 log x 1 log 4x2 4+ + − = Bài 4. Bài tập rèn luyện. Giải các phương trình sau: 1) 2 3x 3x x x 319 27 . 81 3 − +  =    6) ( ) ( )25 5log 6 4x x 2log x 4− − = + 2) x x 1 x 2 x 13.13 13 2 5.2+ + ++ − = 7) ( ) 512log x 1 log x log x 2 − = − 3) ( ) ( )4 2 2 4log log x log log x 2+ = 8) ( )29 3 32log x log x.log 2x 1 1= + − 4) ( )25 5 x 1log x 2x 3 log x 3 − + − = + 9) ( ) ( )224 4 4log x 1 log x 1 log x 2− − − = − 5) ( ) ( )2 34 82log x 1 2 log 4 x log 4 x+ + = − + + Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH DAÏNG 3. ÑÖA VEÀ DAÏNG TÍCH A.B = 0 Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 2x x x x 2x2 4.2 2 4 0+ −− − + = HD: ( ) ( )2 2 2x x x x 2x x x 2x2 4.2 2 4 0 2 1 . 2 4 0+ − −− − + = ⇔ − − = Nhận xét: Mặc dù cùng cơ số 2 nhưng không thể biến ñổi ñể ñặt ñược ẩn phụ do ñó ta phải phân tích thành ( ) ( )2 22 1 . 2 4x x x− − − . ðây là phương trình tích ñã biết cách giải. Bài 1. Giải các phương trình sau: 1) x x x8.3 3.2 24 6+ = + 2) 2 2x x x x 2x2 4.2 2 4 0+ −− − + = 3) x x x 112.3 3.15 5 20++ − = Ví dụ 2: Giải phương trình: ( ) ( )29 3 32 log x log x.log 2x 1 1= + − . Nhận xét: Tương tự như trên ta phải biến ñổi phương trình thành tích ( )3 3 3log 2log 2 1 1 .log 0x x x − + − =  . ðây là phương trình tích ñã biết cách giải. Tổng quát: Trong nhiều trường hợp cùng cơ số nhưng không thể biến ñổi ñể ñặt ẩn phụ ñược thì ta biến ñổi thành tích. Bài 2. Giải phương trình: 2 7 2 7log x 2.log x 2 log x.log x+ = + . DAÏNG 3. PHÖÔNG PHAÙP ÑAËT AÅN PHUÏ Sử dụng công thức về hàm số mũ và lôgarit ñể biến ñổi bài toán, sau ñó ñặt ẩn số phụ, quy phương trình ñã cho về các phương trình ñại số (phương trình chứa hoặc không chứa căn thức). Sau khi giải phương trình trung gian ta quy về giải tiếp các phương trình mũ hoặc lôgarit cơ bản A - Phương pháp ñặt ẩn phụ dạng 1. PHÖÔNG TRÌNH MUÕ ● Phương trình kx (k 1)x (k 2)x xk k 1 k 2 1 0a a a ... a 0α α α α α − − − − + + + + + = , khi ñó ta ñặt x ,a 0t t= > . ● Phương trình x x1 2 3a b 0α α α+ + = , với a.b 1= . Khi ñó ñặt x x 1t a , t 0 b t = > ⇒ = , ta ñược phương trình: 21 3 2t t 0α α α+ + = . ● Phương trình 2x x 2x1 2 3a (ab) b 0α α α+ + = . Chia hai vế cho 2xa hoặc 2xb ta ñược 2x x 1 2 3 a a 0 b b α α α     + + =        , ñặt x a t , t 0 b   = >    . Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH Bài 1. Giải các phương trình sau: 1) 2 2x x 2 x 1 x 24 5.2 6 0+ − − + −− − = 2) 3 2cos x 1 cos x4 7.4 2 0+ +− − = 3) ( ) ( ) ( )x x x26 15 3 2 7 4 3 2 2 3 1+ + + − − = Bài 2. Giải các phương trình sau: 1) ( ) ( )x x2 3 2 3 14− + + = 3) 3x x3x x 18 12 6 2 12 2 −   − − − =       2) 3 x 1 5 3x5.2 3.2 7 0− −− + = 4) x x x27 12 2.8+ = PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT ● Nếu ñặt ( )at log x, x 0= > thì k ka x 1log x t ; log a , 0 x 1.t= = < ≠ . ● Nếu ñặt blog xt a= thì blog at x= . Vì b blog c log aa c= . Bài 1. Giải các phương trình sau: 1) ( ) ( )x 1 x2 2log 4 4 .log 4 1 3+ + + = 4) x 3 3x 1log 3 log x log 3 log x 2+ = + + 2) ( ) ( )4 2 2 4log log x log log x 2+ = 5) ( )2 x 1log x 1 log 16++ = 3) ( ) 2x 25log 125x .log x 1= 6) ( )3 9x 3 42 log x log 3 1 1 log x − − = − Bài 2. Giải các phương trình sau: 1) ( )x xlog 6.5 25.20 x log 25+ = + 3) 82 4 16 log 4xlog x log 2x log 8x = 2) 2 22 xlog x.log (4x ) 12= 4) ( )2 3log x log x 2= + B - Phương pháp ñặt ẩn phụ dạng 2. PHÖÔNG TRÌNH MUÕ Phương pháp: Ý tưởng là sử dụng một ẩn phụ chuyển phương trình ban ñầu thành một phương trình với một ẩn phụ nhưng các hệ só vẫn còn chứa ẩn x. Khi ñó thường ta ñược một phương trình bậc 2 theo ẩn phụ có biệt số ∆ là một số chính phương. Ví dụ : Giải phương trình: ( )x x9 2 x 2 3 2x 5 0+ − + − = . HD: ðặt ( )xt 3 *= , khi ñó ta có: ( )2t 2 x 2 t 2x 5 0 t 1, t 5 2x+ − + − = ⇒ = − = − . Thay vào (*) ta tìm ñược x. Lưu ý: Phương pháp này chỉ sử dụng khi ∆ là số chính phương. Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH Bài 1. Giải phương trình: ( )2 2x 2 x 29 x 3 3 2x 2 0+ − − + = Bài 2. Giải phương trình: 2x 3x 1 x 34 2 2 16 0+ ++ + − = PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT Ví dụ 2: Giải phương trình: ( ) ( ) ( )23 3log x 1 x 5 log x 1 2x 6 0+ + − + − + = HD: ðặt ( )3t log x 1= + , ta có: ( )2t x 5 t 2x 6 0 t 2, t 3 x+ − − + = ⇒ = = − . Suy ra x 8, x 2.= = Bài 1. Giải phương trình: ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2lg x 1 x 5 lg x 1 5x 0+ + − + − = Bài 2. Giải các phương trình sau: 1) ( )2 2 2lg x lgxlog 4x 2log x 0− + = 2) 4 3 2lg x lg x 2lg x 9lgx 9 0+ − − − = C - Phương pháp ñặt ẩn phụ dạng 3. PHÖÔNG TRÌNH MUÕ Phương pháp: Lựa chọn ẩn phụ thích hợp rồi chuyển phương trình về hệ ñơn giản. Bài 1. Giải phương trình: 2 2 2x 1 1 x (x 1)4 2 2 1+ − ++ = + Bài 2. Giải phương trình: 2 2 2x 3x 2 x 6x 5 2x 3x 74 4 4 1− + + + + ++ = + PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT Sử dụng 2 ẩn phụ cho 2 biểu thức logarit trong phương trình và khéo léo biến ñổi phương trình thành phương trình tích. Bài 1. Giải phương trình: ( ) ( )2 22 2 2log x x 1 log xlog x x 2 0− + − − = Bài 2. Giải phương trình: 22 2 3 2 3log x log x log x log xlog x 0− + − = Bài 3. Giải phương trình: ( ) ( )2 2log x log x 22 2 x 2 2 1 x+ + − = + D - Phương pháp ñặt ẩn phụ dạng 4. ðặt ẩn phụ chuyển thành hệ phương trình. PHÖÔNG TRÌNH MUÕ Ví dụ : Giải phương trình: x x 1 x x 1 1 x 8 2 18 2 1 2 2 2 2 2− − − + = + + + + HD: Viết phương trình dưới dạng x 1 1 x x 1 1 x 8 1 18 2 1 2 2 2 2 2− − − − + = + + + + , ñặt x 1 1 xu 2 1, v 2 1; u, v 0− −= + = + > . Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH Nhận xét: . .u v u v= + Từ ñó ta có hệ: 8 1 18 . u v u v u v u v  + = +  = + Bài 1. Giải phương trình: 2x x2 2 6 6− + = PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT Bài 1. Giải phương trình: ( ) ( )2 22 2log x x 1 3log x x 1 2− − + + − = Bài 2. Giải phương trình: 3 2 lgx 1 lgx 1− = − − Bài 3. Giải phương trình: ( ) ( )2 22 23 log x 4x 5 2 5 log x 4x 5 6+ − + + − − + = E - Phương pháp ñặt ẩn phụ dạng 5. PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT Sử dụng một ẩn phụ chuyển phương trình ban ñầu thành một hệ phương trình với một ẩn phụ và một ẩn x. Ta thực hiện các bước: + ðặt ñiều kiện có nghĩa cho phương trình. + Biến ñổi phương trình về dạng: f(x; φ (x)) = 0. + ðặt y = φ (x) ñưa về hệ: ( )( ; ) 0 y x f x y φ=  = . Chú ý: ðối với phương trình logarít có một dạng rất ñặc biệt, ñó là phương trình dạng . ( )ax b ss c log dx e xα β+ = + + + . Với ;d ac e bcα β= + = + . Cách giải: - ðiều kiện có nghĩa của phương trình: 0 1 0 s dx e < ≠  + ≠ - ðặt ( )say b log dx e+ = + khi ñó phương trình ñã cho trở thành: ( ) ( ) (1) ( ) (2) ax b ax b ax b ay b ay b s s c ay b x s acy x bc s acy d ac x e ay b log dx e s dx e s dx e α β α β+ + + + +   = + + + = + + + = + − + ⇔ ⇔   + = + = + = +  - Lấy (1) trừ cho (2) ta ñược: ax b ay bs acx s acy+ ++ = + (3). - Xét hàm số ( ) at bf x s act+= + là hàm số dơn ñiệu trên R. Từ (3) ta có f(x) = f(y) ⇔ x = y, khi ñó (2) ax bs dx e+⇔ = + (4) dùng phương pháp hàm số ñể xác ñịnh nghiệm phương trình (4). Ví dụ: Giải phương trình: ( )x 1 77 6log 6x 5 1− = − + HD: ðặt ( )7y 1 log 6x 5− = − . Khi ñó chuyển thành hệ Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH ( ) ( ) x 1 x 1 x 1 y 1 y 1 7 7 6 y 1 1 7 6y 5 7 6x 7 6y y 1 log 6x 5 7 6x 5 − − − − −  = − +  = −  ⇔ ⇒ + = +  − = − = −  . Xét hàm số ( ) t 1f t 7 6t−= + suy ra x y= , Khi ñó x 17 6x 5 0− − + = . Xét hàm số ( ) x 1g x 7 6x 5−= − + . Nhẩm nghiệm ta ñược 2 nghiệm: x 1, x 2.= = Bài 2. Giải các phương trình sau: 1) 22 2log x log x 1 1+ + = 3) 22 2 23log x 1 4log x 13log x 5+ = + − 2) 2lgx 1 lg x 4lgx 5+ = + + 4) 22 2 23log x 1 4log x 13log x 5+ = − + − Bài 3. Giải các phương trình sau: 1) 2lgx 1 lg x 4lgx 5+ = + + 3) ( )x 66 3log 5x 1 2x 1= − + + 2) 3 32 3log x 2 3 3log x 2+ = − 4) 3 3x 1 3 2x 1+ = − Bài 4. Bài tập rèn luyện. Giải các phương trình sau: 1) x x9 10.3 9 0− + = 16) ( ) ( )cosx cosx 57 4 3 7 4 3 2+ + − = 2) 2 2x x4 6.2 8 0− + = 17) ( ) ( )x x x2 3 2 3 2+ + − = 3) 2 2 2x x x15.25 34.15 15.9 0− + = 18) ( ) ( )x x4 15 4 15 8− + + = 4) ( ) ( )x x2 3 2 3 4+ + − = 19) ( ) ( )x x x7 3 5 7 3 5 14.2+ + − = 5) x 1 x 25 5.0,2 26− −+ = 20) x 3log 3x .log x 1 0+ = 6) x x x25 12.2 6,25.0,16 0− − = 21) 82 4 16 log 4xlog x log 2x log 8x = 7) 1 33 x x64 2 12 0 + − + = 22) ( )x 2 51 2log 5 log x 2++ = + 8) x x 1 x x4 4 3.2+ +− = 23) ( ) ( )3log log x log log x 2 0+ − = 9) x x9 8.3 7 0− + = 24) ( ) ( )x x 13log 3 1 .log 3 3 6+− − = 10) 2x 1 x 11 .4 21 13.4 2 − −+ = 25) ( )x2log 9 2 3 x− = − 11) 1 1 1 x x x6.9 13.6 6.4 0− + = 26) 3 x 5log x log 3 2 + = 12) 3 3 3x x x25 9 15 0− + = 27) 82 3log xlog x2x 2x 5 0−+ − = 13) 2 2sin x cos x9 9 10+ = 28) 2 2log x log 55 2.x 15+ = Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 14) 2 2sin x cos x2 5.2 7+ = 29) ( )225 5log 5x 1 log 77 x 0− − = 15) 2cos2x cos x4 4 3+ = 30) log x log525 5 4.x= + F - Một số bài toán (ñặc biệt là các bài logarrit) ta thường phải ñưa về phương trình – hệ phương trình – bất phương trình mũ rồi sử dụng các phương pháp trên. ●Dạng 1. Khác cơ số Ví dụ: Giải phương trình: 7 3log x log ( x 2)= + . ðặt t7t log x x 7= ⇒ = . Phương trình trở thành ( ) t tt t t3 7 1t log 7 2 3 7 2 1 2.3 3   = + ⇔ = + ⇔ = +        ●Dạng 2. Khác cơ số và biểu thức trong dấu log phức tạp Ví dụ 1: Giải phương trình: ( ) ( )4 2 26 5log x 2x 2 2log x 2x 3− − = − − . ðặt 2t x 2x 3= − − , ta có ( )6 5log t 1 log t+ = . Ví dụ 2: Giải phương trình: ( )6log x2 6log x 3 log x+ = . ðặt 6t log x= , phương trình tương ñương t t t t t 36 3 2 3 1 2   + = ⇔ + =    . ●Dạng 3. ( )blog x ca x+ = . (ðiều kiện: b a c= + ) Ví dụ 1. Giải phương trình: ( )7log x 34 x+ = . ðặt ( ) t7t log x 3 7 x 3= + ⇒ = + Phương trình trở thành: t t t t 4 14 7 3 3. 1 7 7     = − ⇔ + =        . Ví dụ 2. Giải phương trình: ( )3log x 52 x 4.+ = + ðặt t x 4= + . Phương trình trở thành: ( )3log t 12 t+ = . Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH DAÏNG 5. PHÖÔNG PHAÙP LOÂGARIT HOÙA Sử dụng công thức lấy logarit hai vế của phương trình với cơ số thích hợp. PHÖÔNG TRÌNH MUÕ ● Dạng 1: f (x) a 0 a 1, b 0 a b f (x) log b.  = ⇔  = ● Dạng 2: f (x) g(x) f (x) g(x )a a aa b log a log b f (x) g(x).log b. = ⇔ = ⇔ = Bài 1. Giải các phương trình sau: 1) ( )44 3 log x 1log x 2x 2 −− = 2) 2 3lg x lg x 3 2x 1 1 1 1 1 1x x + + = − + − + + Bài 2. Giải các phương trình sau: 1) 4x 1 3x 22 1 5 7 + +     =        2) lg x 2x 1000x= PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT ● Dạng 1: a b 0 a 1 log f (x) b f (x) a < ≠ = ⇔  = . ● Dạng 2: a a 0 a 1 log f (x) log g(x) f (x) g(x) 0 < ≠ = ⇔  = > Bài 1. Giải các phương trình sau: 1) ( )2xlog x 4x 4 3+ − = 3) ( )xlog x 6 3+ = 2) ( ){ }4 3 2 2 1log 2log 1 log 1 3log x 2  + + = Bài 2. Giải các phương trình sau: 1) 3 2x 3log x2 1 −      = 3) 2 32 2log (x 1) 2log (x x 1)− = + + 2) ( ) ( )22 1 2 log x 1 log x 1− = − 4) xx lg(1 2 ) xlg5 lg6+ + = + Bài 3. Bài tập rèn luyện. Giải các phương trình sau: 1) x 1 2x 14.9 3 2− += 2) x x3 22 3= 3) 2x 2x x2 .3 1,5− = 4) 2x x5 .3 1= 5) 2x 1 x x 15 .2 50 − + = 6) x x x 23 .8 6+ = 7) 3x x x 23 .2 6+ = . Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH DAÏNG 6. PHÖÔNG PHAÙP SÖÛ DUÏNG TÍNH ÑOÀNG BIEÁN, NGHÒCH BIEÁN CUÛA HAØM SOÁ ● Nhẩm nghiệm và sử dụng tính ñơn ñiệu ñể chứng minh nghiệm duy nhất (thường là sử dụng công cụ ñạo hàm) ● Ta thường sử dụng các tính chất sau: Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = C có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b). ( do ñó nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = C thì ñó là nghiệm duy nhat của phương trình f(x) = C) Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khoảng (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khoảng (a;b). ( do ñó nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì ñó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x)) Tính chất 3 : ðịnh lí Rôn: Nếu hàm số ( )y f x= lồi hoặc lõm trên khoảng ( )a;b thì phương trình ( )f x 0= có không qua hai nghiệm thuộc khoảng ( )a;b . Ví dụ 1: Giải phương trình: 2log xx 2.3 3+ = HD: 2 2log x log xx 2.3 3 2.3 3 x+ = ⇔ = − , vế trái là hàm ñồng biến, vế phải là hàm nghịch biến nên phương trình có nghiệm duy nhất x 1= . Ví dụ 2: Giải phương trình: x x x x6 2 5 3+ = + . HD: Phương trình tương ñương x x x x6 5 3 2− = − , giả sử phương trình có nghiệm α. Khi ñó: 6 5 3 2α α α α− = − . Xét hàm số ( ) ( )f t t 1 tα α= + − , với t 0> . Ta nhận thấy ( ) ( )f 5 f 2= nên theo ñịnh lý lagrange tồn tại ( )c 2;5∈ sao cho: ( ) ( ) 1 1f ' c 0 c 1 c 0 0, 1α αα α α− − = ⇔ + − = ⇔ = =  , thử lại ta thấy x 0, x 1= = là nghiệm của phương trình. Ví dụ 3: Giải phương trình: ( )2 2x x x 12 2 x 1− −− + = − . HD: Viết lại phương trình dưới dạng 2x 1 x x 22 x 1 2 x x− −+ − = + − , xét hàm số ( ) tf t 2 t= + là hàm ñồng biến trên R (???). Vậy phương trình ñược viết dưới dạng: ( ) ( )2 2f x 1 f x x x 1 x x x 1− = − ⇔ − = − ⇔ = . Ví dụ 4: Giải phương trình: x x3 2 3x 2+ = + . HD: Dễ dàng ta tìm ñược nghiệm: x 0= và x 1= . Ta cần chứng minh không còn nghiệm nào khác. Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH Xét hàm số ( ) ( )x x x 2 x 2f x 3 2 3x 2 f '' x 3 ln 3 2 ln 2 0 = + − − ⇒ = + > ⇒ ðồ thị của hàm số này lõm, suy ra phương trình không có quá hai nghiệm. (ðịnh lí Rôn) Ví dụ 5: Chứng minh hệ phương trình x 2 y 2 y2007 y 1 x2007 x 1 e e  = − −   = −  − có ñúng hai nghiệm thỏa mãn x 0, y 0.> > HD: Dùng tính chất 2 ñể chỉ ra x y= khi ñó xét hàm số ( ) x 2 xf x 2007 x 1 e= + − − . ● Nếu x 1< − thì ( ) 1f x 2007 0e−< − < suy ra hệ phương trình vô nghiệm. ● Nếu x 1> dùng ñịnh lý Rôn và chỉ ra với 0x 2= thì ( )f 2 0< ñể suy ra ñiều phải chứng minh. Ví dụ 6: Cho a b 0≥ > . Chứng minh rằng: b a a b a b 1 12 2 2 2     + ≤ +        HD: Bất ñẳng thức a b a b a b a b 1 1ln 2 ln 2 1 1 2 2b ln 2 a ln 2 2 2 a b     + +           ⇔ + ≤ + ⇔ ≤        . Xét hàm số ( ) x x 1ln 2 2f x x   +    = với x 0> , Suy ra ( )f’ x 0 nên hàm số nghịch biến vậy với a b 0≥ > ta có ( )f(a) f b≤ . Bài 1. Giải các phương trình sau: 1) x x x3 4 5+ = 7) x x4 3 1− = 2) ( )2 3log 1 x log x+ = 8) ( )6log x2 6log x 3 log x+ = 3) 2 2 2log 9 log x log 32x x .3 x= − 9) ( )x 2 x 23.25 3x 10 5 3 x 0− −+ − + − = 4) ( )2 x x 3 2x .3 3 12 7x x 8x 19x 12+ − = − + − + 5) ( ) ( ) ( ) ( )2 34 x 2 log x 3 log x 2 15 x 1− − + − = +   6) x x x x 3 2 x x x 1 1 15 4 3 2 2x 5x 7x 17 2 3 6 + + + = + + − + − + Bài 2. Giải các phương trình sau: Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 1) x x 22 1 3= + 4) ( )x x25 2 3 x 5 2x 7 0− − + − = 2) 3 x 22 x 8x 14− = − + − 5) x 3 x8 x.2 2 x 0−− + − = 3) 2log x 3 x= − 6) ( )22 2log x x 1 log x 6 2x+ − = − Bài 3. Bài tập rèn luyện. Giải các phương trình sau: 1) x x x4 9 25+ = 2) ( ) ( ) ( ) ( )23 3x 2 log x 1 4 x 1 log x 1 16 0+ + + + + − = 3) ( )x x9 2 x 2 .3 2x 5 0+ − + − = 4) ( ) ( )2x log x x 6 4 log x 2+ − − = + + 5) ( ) ( ) ( ) ( )23 3x 3 log x 2 4 x 2 log x 2 16+ + + + + = DAÏNG 7. MOÄT VAØI BAØI KHOÂNG MAÃU MÖÏC Bài 1. Giải phương trình: ( ) ( )x x x x4 2.2 2 2 1 sin 2 y 1 2 0− + − + − + = HD: phương trình ( ) ( )x x x x4 2.2 2 2 1 sin 2 y 1 2 0− + − + − + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 x x x 2 x 2 x 2 x x 2 x x x x 2 1 2 2 1 sin 2 y 1 sin 2 y 1 cos 2 y 1 0 2 1 sin 2 y 1 cos 2 y 1 0 2 1 sin 2 y 1 0 cos 2 y 1 0 ⇔ − + − + − + + − + + − =  ⇔ − + + − + + − =   − + + − = ⇔  + − = Bài 2. Giải phương trình: ( ) ysinx 1+sinx4 2 cos xy 2 0− + = . HD: phương trình ( ) ysinx 1+sinx4 2 cos xy 2 0− + = ( ) ( )2 ysinx 22 cos xy 2 cos xy 0  ⇔ − + − =    Ta có ( ) 2sinx2 cos xy 0 − ≥  và ( ) ( ) y y 2 2 2 1 2 cos xy 0 cos xy 1  ≥  ⇒ − ≥  ≤ Do ñó ( ) ( )2 ysinx 22 cos xy 2 cos xy 0  − + − ≥    Vậy phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sinx sinx y y2 2 2 cos xy 0 2 cos xy 1 2 cos xy 0 2 cos xy 0 2  − = =  ⇔ ⇔  − = − =   Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH ( ) ( ) ( ) y 22 y 02 1 2 y 0. cos x.0 1cos xy 1  ==  ⇔ ⇔ ⇔ =  ==   Thay vào (1) ta ñược x kπ= . Bài 3. Giải phương trình: ( ) 2x 1 3 2x 2 3 82 2 log 4x 4x 4 + −+ = − + . HD: Ta có ( )224x 4x 4 2x 1 3 3− + = − + ≥ nên ( )23log 4x 4x 4 1− + ≥ Suy ra ( )23 8 8 log 4x 4x 4 ≤ − + (1) Mặt khác 2x 1 3 2x 2x 1 3 2x 2x 1 3 2x2 2 2 2 .2 2 2 8+ − + − + + −+ ≥ = = (2) Bài 4. Giải phương trình: ( )2 23 3log x x 1 log x 2x x+ + − = − . HD: ðiều kiện x 0.> Phương trình ( )2 23 3log x x 1 log x 2x x+ + − = − ( )23 1 log x 1 1 x 1 x   ⇔ + + = − − +    Ta có ● 3 1 1 1 x 2 x 1 3 log x 1 1 x x x   + ≥ ⇒ + + ≥ ⇒ + + ≥    ● ( )21 x 1 1− − + ≤ Vậy phương trình ( ) 3 2 1log x 1 1 x x 1 1 x 1 1    + + =   ⇔ ⇔ =  − − + = . Nhận xét: Bài toán tương ñương là giải phương trình 2 2 21 3 x xx x x − + + = . Bài 5. Giải phương trình: ( )2 3 1log x 2 4 log 8 x 1   − + = +  −  . HD: ðiều kiện x 2> . ● ( )2x 2 4 4 log x 2 4 2− + ≥ ⇒ − + ≥ ● Với x 2> ta có 1 1x 1 1 1 8 9 x 1 x 1 − ≥ ⇒ ≤ ⇒ + ≤ − − 3 1 log 8 2 x 1   ⇒ + ≤  −  Bài 6. Giải phương trình: ( )2 2 x x 1 24x 8 2 x 4 x x .2 x.2 2 x++ − = + − + − . Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH HD: ðiều kiện 2 x 2− ≤ ≤ . Phương trình ( )( ) ( )x 2 4 x.2 x 1 2 2 x 0 *⇔ − − + − = Ta có 3 x 2 2x 2 x.2 2.2 2.2 4≤ ⇒ ≤ < = . Do ñó ( ) 2* x 1 2 2 x 0⇔ − + − = . Bài 7. Giải phương trình: 2 3 4 2 22 25x 6x x x log x (x x) log x 5 5 6 x x+ − − = − + + + − . HD: ðiều kiện 2 x 0 0 x 3 6 x x 0 > ⇔ <