Phương trình vi - tích phân trung tính kiểu sóng khuếch tán

NGÀNH TOÁN HỌC Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(60).2018 51 PHƯƠNG TRÌNH VI - TÍCH PHÂN TRUNG TÍNH KIỂU SÓNG KHUẾCH TÁN NEUTRAL INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATIONS OF DIFFUSION-WAVE TYPE Nguyễn Thị Diệp Huyền, Dương Thị Hương, Phạm Thị Hường Email: diephuyendhsaodo@gmail.com Trường Đại học Sao Đỏ Ngày nhận bài: 7/3/2018 Ngày nhận bài sửa sau phản biện: 26/3/2018 Ngày chấp nhận đăng: 28/3/2018 Tóm tắt Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại của nghiệm phân rã cho phương trình vi - tích phân trung tính kiểu sóng khuếch tán bằng cách sử dụng phương pháp điểm bất động. Từ khóa: Phương trình vi - tích phân; nghiệm tích phân; điểm bất động. Abstract In this paper, we study the existence optical-beam-deflection neutral integro-differential equations of diffusion-wave type by using a fixed point approach. Keywords: Integro-differential equations; integral solution; fixed point. 1. GIỚI THIỆU Ta xét bài toán sau trong một không gian Banach X: ( ) -2 0 ( - )( )( ) ( )( ) -1) ( , ( ), ), 0, (1) ( ) ( )( ) ( ), [- ,0], (2) t t d t sH u t AH u s ds dt f t u t u t u s g u s s s α α ϕ t = Γ + > + = ∈ ∫ (1) (2) trong đó: , A là một toán tử đóng, tuyến tính và không bị chặn, ,f g và h là các hàm vectơ. Với (1, 2)α ∈ và tu là kí hiệu hàm trễ theo thời gian t , tức là, Chúng tôi muốn chỉ ra sự tồn tại của nghiệm phân rã (hay nghiệm ổn định) với (1) - (2) với một tỉ lệ phân rã xác định của bài toán này. Để tìm các nghiệm phân rã của (1) - (2), chúng tôi sử dụng phương pháp điểm bất động được khởi xướng bởi Burton và Furumochi cho các phương trình vi phân hàm thường gặp (xem [1, 2]). Chúng tôi sẽ xây dựng một không gian phù hợp gồm các hàm triệt tiêu tại vô cùng với tỉ lệ phân rã xác định, trong đó toán tử nghiệm của bài toán có một điểm bất động. 2. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Cho ( )L X là không gian các toán tử tuyến tính bị chặn trên X. Ta nhắc lại một vài chú ý và kết quả đối với toán tử giải thức bậc phân số sẽ sử dụng cho phần tiếp theo. Định nghĩa 1. Cho A là toán tử tuyến tính đóng với miền xác định ( )D A trong không gian Banach X . Ta nói A sinh ra giải thức α nếu tồn tại ω ∈ và hàm liên tục mạnh ( ):S L Xα + → thỏa mãn { } ( ): Re Aαλ λ ω ρ> ⊂ (tập giải của A ), và ( ) ( )11 0 ,tI A x e S t xdtα α λ αλ λ ∞−− −− = ∫ Re ,λ ω> .x X∈ Ta biết rằng, trong trường hợp 1α = , ( ) ( )1. .S Sα = là 0C − nửa nhóm, nếu 2α = ta có họ cosin ( )2 . .S Nếu A sinh ra giải thức β với β α> thì nó cũng sinh ra giải thức α. Trường hợp riêng, nếu A sinh ra họ cosin, khi đó tồn tại giải thức α sinh bởi A với ( )1,2 .α ∈ Đặc biệt, cho A là toán tử đóng và trù mật. Giả sử A là toán tử quạt kiểu ( ),ω θ , tức là, tồn tại ,ω ∈ 0, , 2 π θ  ∈    0M > sao cho ( ) ,\A ω θρ ⊂ ∑ và ( ) ( ) 1 , L X MI Aλ λ ω −− ≤ − , , ω θ λ ∉∑ trong đó: 52 NGHIÊN CỨU KHOA HỌC Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(60).2018 ( ){ }, : , arg 0 .ω θ ω λ λ λ= + ∈ − <∑  Trong trường hợp ( )0 1 / 2 ,θ π α≤ ≤ − ( ).Sα tồn tại và được cho bởi công thức: ( ) ( ) 111 ,2 tS t e I A d i λ α α α γ λ λ λ π −−= −∫ 0,t ≥ ở đây γ là đường phù hợp nằm ngoài , .ω θ∑ Hơn nữa ta có khẳng định sau đây về ( ).Sα : Định lý 1 [3]. Cho :A X X→ là toán tử quạt kiểu ( ),ω θ với ( )0 1 / 2 .θ π α≤ ≤ − Khi đó tồn tại 0C > độc lập với t thỏa mãn ( ) ( ) ( ) 1/1 , 0, , 0, 1 t L X C t e S t C t αα ω α α ω ω ω ω  + ≥ ≤  < + với 0.t ≥ Ta sẽ tìm khái niệm phù hợp về nghiệm tích phân của bài toán (1) - (2). Ký hiệu L là phép biến đổi Laplace của hàm nhận giá trị trong X xác định trên + . Đặt ( ) ( )( )y t H u t= và áp dụng biến đổi Laplace đối với bài toán (1) - (2), ta có: [ ]( ) ( ) [ ]( ) [ ]( )1 10 .L y y AL y L fαλ λ λ λλ − − = + Do đó ( ) ( )( ) ( ) [ ]( )1 10 .I A L y y L fα α αλ λ λ λ λ− −− = + Như vậy [ ]( ) ( ) ( ) ( ) [ ]( ) 11 11 0 , L y I A y I A L f α α α α λ λ λ λ λ λ −− −− = − + + − với λ thỏa mãn ( )Re 0, .Aαλ λ ρ> ∈ Cho ( ).Sα là giải thức α sinh bởi ,A khi đó [ ]( ) ( ) ( ) ( ) [ ]( )0 .L y L S y L S L fα αλ λ λ λ= +       (3) Sử dụng định lý phép tịnh tiến thứ hai và định lý tích chập của biến đổi Laplace đối với nghịch đảo của (3), ta được ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 , , , 0. t s y t S t y S t s f s u s u ds t α α = + − ≥∫ Điều này suy ra rằng ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ), 0 0 0,tu t h t u S t g u S t h g uα αϕ ϕ = + − − −  ( ) ( )( ) 0 , , , 0. t sS t s f s u s u ds tα+ − ≥∫ (4) Cho 0,T > ta ký hiệu [ ]( ), ;TC C T Xt= − là không gian các hàm liên tục [ ]: , .u T Xt− → Khi đó, TC là không gian Banach với chuẩn [ ] ( ) , : sup .TC t T u u t t∈ − = Từ (4) ta định nghĩa nghiệm tích phân của bài toán (1) - (2) như sau: Định nghĩa 2. Hàm Tu C∈ gọi là nghiệm tích phân của bài toán (1) - (2) trong khoảng [ ],Tt− nếu và chỉ nếu ( ) ( ) ( )( )u t t g u tϕ= − với [ ],0t t∈ − và ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 0 , 0 0 0, , , , t t s u t h t u S t g u S t h g u S t s f s u s u ds α α α ϕ ϕ  = + −  − − + −∫ với mọi [ ]0, .t T∈ Cho : T TF C C→ , trong đó ( )( ) ( ) ( )( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) [ ] 0 , ,0 , , 0 0 0, , , , 0, . t t s t g u t t h t u S t g u F u t S t h g u S t s f s u s u ds t T α α α ϕ t ϕ ϕ  − ∈ −   + −  = − −   + − ∈  ∫ Khi đó u là một nghiệm tích phân của bài toán (1) - (2) nếu nó là điểm bất động của toán tử nghiệm F . 3. KẾT QUẢ ỔN ĐỊNH NGHIỆM Đặt [ ]( ),0 ;C C Xt t= − . Để nghiên cứu bài toán (1) – (2) ta xét các giả thiết sau đây: (A) Toán tử A là toán tử quạt kiểu ( ),ω θ sao cho 0ω < và ( )0 1 / 2θ π α≤ < − , tức là giải thức α, ( ).Sα sinh bởi A là liên tục theo chuẩn với 0.t > (F) Hàm phi tuyến :f X C Xt + × × → thỏa mãn: ( )., ,f v w là đo được với mỗi ,v X∈ ,w Ct∈ ( ),.,.f t là hàm liên tục với ( ), ,0,0 0t f t+∈ = và tồn tại ( )1 ,k L +∈  sao cho ( ) ( ) ( )( ) 1 1 2 2 1 2 1 2 , , , , , , X X C f t v w f t v w k t v v w w t t + − ≤ − + − ∈ với mọi 1 2,v v X∈ , 1 2, .w w Ct∈ (G) Hàm không cục bộ : Tg C Ct→ liên tục, thỏa mãn ( )0 0g = và có số η không âm sao cho ( ) ( )1 2 1 2 ,TCCg w g w w wt η− ≤ − với mọi 1 2, Tw w C∈ , với mọi 0.T > (H) Hàm :h C Xt + × → thỏa mãn: (1) h liên tục; ( ),0 0h t = (2) ( ),.h t thỏa mãn điều kiện Lipschitz, tức là NGÀNH TOÁN HỌC Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(60).2018 53 ( ) ( ) ( )1 2 1 2, , ,CXh t v h t v l t v v t− ≤ − với mọi 1 2,v v Ct∈ , trong đó l là hàm giá trị thực, bị chặn trên + . Bây giờ ta sẽ tìm nghiệm ổn định của bài toán (1) - (2), ta xét không gian hàm sau [ ]( ) ( ){ ( ) } , ; : 1 , 0 X BC u C X t u t O t α α t= ∈ − ∞ = < < ∞ với chuẩn ( )sup .Xt u u t t ∞ ≥− = Khi đó, BCα là không gian Banach. Ta có kết quả sau đây: Định lý 2. Giả sử các giả thiết (A), (F), (G) và (H) thoả mãn. Khi đó bài toán (1) - (2) có duy nhất nghiệm tích phân u thỏa mãn ( ) ( )Xu t O t α−= khi t → ∞ , với điều kiện ( ) ( ) ( ) ( )00 1 2sup 1, t L Xt l l S S t s k s ds α α η ∞∞ ∞ ≥ + + + − <∫ trong đó ( ) 0 sup t S S tα α ∞ ≥ = và ( ) 0 sup . t l l t∞ ≥ = Chứng minh. Ta sẽ chứng tỏ rằng toán tử nghiệm F ánh xạ BCα vào chính nó và là ánh xạ co. Ta nhắc lại rằng ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) [ ] 0 , 0 0 0, + , , , 0, , ,0 . t t s h t u S t g u S t h g u F u t S t s f s u s u ds t t g u t t α α α ϕ ϕ ϕ t   + − −  − − + =   − >   − ∈ − ∫ Cho u BCα∈ sao cho 0.R u ∞= > Ta chứng minh rằng ( ) ,F u BCα∈ tức là, ( )( ) ( )1Xt F u t O α = khi .t → ∞ Do u BCα∈ , tồn tại hằng số 0K > sao cho ( ) ,Xt u t K α ≤ [ ] ( ) ,0 sup , .t C Xt u t u t K tt α α µ t µ t ∈ − = + ≤ ∀ ∈ (5) Khi đó với 0,t > ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) , tX X CL X C F u t h t u S t g u t t α ϕ ≤ + + + ( ) ( ) ( )( )CL X Cl S t g ut tα ϕ∞+ + ( ) ( ) ( )( )0 , , t sL X X S t s f s u s u dsα+ −∫ ( ) ( ) ( )( )1t CC L Xl u S t R ltt α ϕ η∞ ∞≤ + + + ( ) ( ) ( ) ( )( )0 t s CL X X S t s k s u s u ds t α+ − +∫ ( ) ( ) ( )1 2 3 ,E t E t E t= + + (6) ở đây ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 2 3 0 , 1 . t C CL X t s CL X X E t l u E t S t R l E t S t s k s u s u ds t t t α α ϕ η ∞ ∞ = = + + = − +∫ Sử dụng (5) ta được ( ) ( )1 1t Ct E t l t u Ot α α ∞= = khi .t → ∞ Liên quan đến ( )2 ,E t sử dụng Định lý 1 ta có ( ) ( ) ( ) ( )( )2 1CL Xt E t t S t R ltα α α ϕ η ∞= + + ( )( ) ( )1 11 C Ct R l O t t α α ϕ ηω ∞ ≤ + + = + khi .t → ∞ Với ( )3 ,E t ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) /2 3 0 /2 t t L Xt s CX t E t t S t s k s u s u ds t α α α  = + −    + ∫ ∫ ( ) ( )3 3 ;a bt E t t E tα α= + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 3 /2 0 a t s CL X X t E t t S t s k s u s u ds t α α α= − +∫ ( ) ( ) /2 0 2 1 / 2 tRCt k s ds t α αω ≤ + ∫ ( ) ( ) ( )12 1 , 1 / 2 L RCt k O t α αω +≤ = +  khi .t → ∞ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 /2 /2 t b L X Xt t s CL Xt t E t t S t s k s u s ds t S t s k s u ds t α α α α α = − + + − ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) /2 /2 t L X Xt t s CL Xt tS t s k s s u s ds s tS t s k s s u ds s t α α α α α α  = − +     + −     ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) /2 / 2 1 t t t s KC k s ds t s α αω ≤ + −∫ ( ) ( )1 1 1 /2 2 2 . t Lt KC k s ds KC kα α ++ +≤ ≤∫  54 NGHIÊN CỨU KHOA HỌC Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(60).2018 Do đó ( )3 (1)t E t Oα = khi .t → ∞ Thay vào (6) ta được ( )( ) ( ) ( ) ( )1 2 3t F u t t E t E t E tα α  ≤ + +  ( )1 ,O= khi .t → ∞ Điều này chỉ ra rằng ( ) .F BC BCα α⊂ Ta chứng minh F là ánh xạ co. Giả sử , ,u v BCα∈ sử dụng (F), (G) và (H) ta có ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 0 0 t t C L X X F u t F v t l t u v S t g u g v t α − ≤ − + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( )L X Cl t S t g u g v tα+ − ( ) ( ) ( )( ) ( )( )0 , , , , t s sL X X S t s f s u s u f s v s v dsα+ − −∫ l u v S u v l S u vα αη η ∞ ∞ ∞ ∞∞ ∞ ∞ ≤ − + − + − ( ) ( ) ( )02 . t L X S t s k s ds u vα ∞  + − −   ∫ Suy ra ( ) ( ) ,F u F v u v ∞∞− ≤ − trong đó ( ) ( ) ( ) ( )00 1 2sup 1. t L Xt l l S S t s k s ds α α η ∞∞ ∞ ≥ = + + + + − ≤∫  Hoàn thành chứng minh. Sau đây chúng ta xét một ví dụ về mô hình bài toán đặt ra: Ví dụ: Cho Ω là miền bị chặn trong n với biên trơn .∂Ω Xét bài toán sau đây: ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 0 , , 1 t x t s H u t x H u s x ds t α α −−∂ = ∆ ∂ Γ −∫ ( )  ( ) ( )( ), , , , , 0, ,k t f x u t x u t x t xt+ − > ∈ Ω (7) ( ), 0, 0, ,u t x t x= > ∈ ∂Ω ( ) ( ) ( ) [ ] 1 , , , ,0 , m i i i u s x u t s x s sβ ϕ t = − + = ∈ −∑ (8) trong đó ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0 , , , ,H u t x u t x a s u t s x ds t− = − +∫ x∆ là toán tử Laplace (đối với biến x ), tức là 2 2 1 . n x ii x= ∂ ∆ = ∂∑ Cho ( )2 ,X L= Ω xA = ∆ với ( ) ( ) ( )2 10 .D A H H= Ω ∩ Ω Ta biết rằng A là toán tử quạt kiểu ( )1,0λ với 1 0λ < là giá trị riêng đầu tiên của A , tức là ( ) ( ){ }2 221 sup : 1 .L Lv vλ Ω Ω− = ∇ = Hệ phương trình (7) - (8) là dạng tổng quát của (1) - (2) với ( )( ) ( )  ( ) ( )( ), , , , , ,f t v w x k t f x v x w xt= − ( )( )( ) ( ) 1 , , m i i i g u s x u t s xβ = = − +∑ ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0 2, , , ,0;h t w x a s w s x ds a L t t − = ∈ −∫  với [ ] ( )( ) ( )2 2, ; , ,u C L v Lt∈ − ∞ Ω ∈ Ω và [ ] ( )( )2: ,0 ; ,w C C Lt t∈ = − Ω ở đây { }0, , 1,..., .i it i mβ> ∈ ∈ Giả sử rằng ( )1k L +∈  và  :f Ω× × →   sao cho  ( ),0,0 0,f x =  ( )  ( ) ( )( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 1 2 , , , , , , f x y z f x y z x y y z z Lµ µ ∞ − ≤ − + − ∈ ∞ với mọi 1 2 1 2, , , , .x y y z z∈ Ω ∈ Cho 1 2 1 2, , , ,v v X w w Ct∈ ∈ khi đó ta có ( ) ( ) 21 1 2 2, , , , Xf t v w f t v w− ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 2 22 1 2 2 1 2 2 , , k t v x v x dx w x w x dx µ t t ∞ Ω Ω ≤ − + − − − ∫ ∫ ( ) ( ) ( )( )2 22 21 2 1 22 ,. ,.X Xk t v v w wµ t t∞≤ − + − − − ( ) ( )2 2 2 21 2 1 22 .X Ck t v v w w tµ ∞≤ − + − Vì vậy ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 1 2 , , , , 2 . X X C f t v w f t v w k t v v w w t µ ∞ − ≤ − + − Với hàm không cục bộ ,g rõ ràng rằng ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) 2 1 2 22 1 2 ,0 1 sup , , C m i i i s i g u g u m u t s x u t s x dx t t β Ω∈ − = − ≤ + − +∑ ∫ 22 1 2 1 ,T m i C i m u uβ = ≤ −∑ NGÀNH TOÁN HỌC Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 1(60).2018 55 với mỗi 0,T > ở đây [ ] ( )( )2, ; .TC C T Lt= − Ω Do đó, ( ) ( )1 2 1 2 1 , 0. T m i CC i g u g u m u u T t β =   − ≤ −     ∀ > ∑ Với 1 2, ,w w Ct∈ ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 20 1 2 , , , , X h t w h t w a s w s x w s x ds dx tΩ − −   = −   ∫ ∫ ( ) ( ) ( )( )2 0 22 1 2,0 , ,La w s x w s x dx dst t− − Ω  ≤ − ∫ ∫ ( ) ( ) ( )2 0 22 1 2,0 ,. ,.L Xa w s w s dst t− − ≤ −∫ ( )2 2 2 1 2,0 .L Ca w w ttt −≤ − Do đó ( ) ( ) ( )21 2 1 2,0, , L CXh t w h t w a w w ttt −− = − . Áp dụng Định lý 2, bài toán (7) - (8) có duy nhất nghiệm tích phân trong ,BCα với điều kiện ( ) ( ) ( ) ( )00 1 2 2 sup 1, t L Xt l l S S t s k s ds α α η µ ∞ ∞ ∞ ∞ ≥ = + + + + − ≤∫  trong đó ( )2 ,0Ll a tt∞ −= và 1 . m i i mη β = = ∑ TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. T.A. Burton (2006). Stability by Fixed Point Theory for Functional Differential Equations. Dover Publications, New York. [2]. T.A. Burton, T. Furumochi (2001). Fixed points and problems in stability theory for ordinary and functional differential equations. Dyn. Sys. Appl. 10 89-116. [3]. E. Cuesta (2007). Asymptotic behaviour of the solutions of fractional integro-differential equations and some time discretizations. Discrete Contin. Dyn. Syst. (Supplement) 277-285.