Qui trình vận dụng khái niệm toán học theo quan điểm kiến tạo cho học sinh giỏi cấp trung học cơ sở

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Sci. 2012, Vol. 57, No. 4, pp. 3-10 QUI TRÌNH VẬN DỤNG KHÁI NIỆM TOÁN HỌC THEO QUAN ĐIỂM KIẾN TẠO CHO HỌC SINH GIỎI CẤP TRUNG HỌC CƠ SỞ Nguyễn Anh Tuấn∗ Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Phí Thị Thùy Vân Phòng Giáo dục, thành phố Hải Dương ∗E-mail: tuandhsphn@gmail.com Tóm tắt. Các tác giả đặt ra và giải quyết vấn đề vận dụng lí thuyết kiến tạo trong dạy học khái niệm toán học ở Trung học Cơ sở (THCS) (thể hiện qua một số khái niệm hình học), thực hiện đổi mới phương pháp dạy học môn Toán theo hướng tích cực hóa hoạt động học tập, góp phần nâng cao chất lượng dạy Toán cho đối tượng học sinh giỏi. Từ khóa: Lí thuyết kiến tạo, Toán học, Hình học, tích cực hóa hoạt động. 1. Mở đầu Trong môn Toán, khái niệm giữ vai trò đặc biệt quan trọng, làm “nền móng” cho nhận thức toán học của học sinh (HS). Có thể nói dạy học khái niệm hình học là một tình huống tương đối khó trong môn Toán ở phổ thông, đặc biệt đối với bậc học THCS, khi mà HS bước đầu được tiếp cận Hình học theo quan điểm tiên đề, mang tính lí thuyết tổng quát và chặt chẽ. Làm thế nào để HS THCS có thể học khái niệm hình học một cách hứng thú, hiệu quả, qua đó phát triển được tư duy, bồi dưỡng cho các em niềm say mê khoa học, ham hiểu biết và sáng tạo trong học tập? Trong bài viết này, chúng tôi đặt vấn đề vận dụng lí thuyết kiến tạo vào dạy học khái niệm toán học ở THCS (thể hiện qua một số khái niệm hình học) với mong muốn góp phần trả lời câu hỏi trên. 2. Nội dung nghiên cứu 2.1. Quy trình kiến tạo trong dạy học khái niệm toán học cho học sinh giỏi Theo Brandt (1997, [2]) thì “lí thuyết kiến tạo (constructivism) là một lí thuyết dạy học dựa trên cơ sở nghiên cứu về quá trình học tập của con người, với quan điểm cho rằng mỗi cá nhân tự xây dựng nên tri thức của riêng mình, không đơn thuần chỉ là tiếp nhận tri thức từ người khác”. 3 Nguyễn Anh Tuấn và Phí Thị Thùy Vân Trên cơ sở vận dụng phối hợp ba con đường hình thành khái niệm là quy nạp, suy diễn, kiến thiết [1] vào chu trình nhận thức của HS theo quan điểm kiến tạo: Tri thức đã có→ Dự đoán→ Kiểm nghiệm→(Thất bại)→ Thích nghi→ Tri thức mới và vận dụng, chúng tôi xây dựng một qui trình dạy học khái niệm toán học theo quan điểm kiến tạo cho HS giỏi như sau: Bước 1. Giáo viên (GV) tiến hành gợi động cơ để học sinh tiếp cận khái niệm. GV sử dụng các cách gợi động cơ, đặc biệt là triệt để khai thác phương tiện trực quan trong môn Toán, để HS được tiếp cận với những đối tượng, tình huống chứa đựng khái niệm. Bước 2. GV tổ chức học sinh dự đoán những thuộc tính đặc trưng cho khái niệm. Dưới sự tổ chức gợi ý hướng dẫn của GV, HS (dựa vào vốn kiến thức kinh nghiệm của mình) tiến hành quan sát, phân tích, so sánh... và đặc biệt là khái quát hóa để rút ra dự đoán những thuộc tính đặc trưng cho một nhóm đối tượng (thuộc về khái niệm mới). Bước 3. Kiểm tra tính đúng đắn trong những trường hợp cụ thể (kiểm nghiệm và thích nghi). GV hướng dẫn HS kiểm tra lại nhận xét và dự đoán của mình bằng cách xem xét từng đối tượng cụ thể, đối chiếu với nhóm thuộc tính đã chọn, kiểm nghiệm sự đúng sai trong phán đoán của các em về những thuộc tính đặc trưng cho nhóm đối tượng (thuộc khái niệm mới). Thực chất đây chính là thao tác cụ thể hóa, nên trong trường hợp có HS nhầm lẫn sai sót ở bước 2, thì các em sẽ nhận ra sai lầm (thất bại) và điều chỉnh dự đoán của mình (điều ứng) cho thích hợp (thích nghi). Bước 4. Định nghĩa khái niệm (tri thức mới). GV tổ chức HS phát biểu định nghĩa khái niệm: dựa trên dự đoán và kiểm nghiệm ở trên, bằng ngôn ngữ của mình mô tả một cách khái quát về loại đối tượng mới. GV cùng với HS chính xác hóa lại định nghĩa của khái niệm mới và phát biểu theo một vài cách diễn đạt (bằng lời, bằng ngôn ngữ ký hiệu toán học). Bước 5. Củng cố, vận dụng khái niệm. Cấp độ 1: Nhận dạng và thể hiện trực tiếp Dựa vào định nghĩa khái niệm, GV đề nghị HS nhận dạng và thể hiện khái niệm trong những tình huống đơn giản: + Trước hết là kiểm nghiệm lại với những đối tượng đã xét ở bước 1 và một số đối tượng khác do GV đưa ra (bao gồm cả những đối tượng không thuộc khái niệm mới). + Yêu cầu HS tự đưa ra ví dụ về những đối tượng thỏa mãn định nghĩa (hoặc phản ví dụ). Cấp độ 2: Vận dụng khái niệm trong chứng minh định lí, giải toán (nhận dạng và thể hiện trong tình huống tổng hợp). Cấp độ 3: Vận dụng sáng tạo (với đối tượng HS khá giỏi) GV tổ chức HS vận dụng khái niệm trong những tình huống khó (chứng minh định lý, giải bài toán phức tạp, bài toán có nội dung thực tiễn): thực chất là đồng thời cả nhận 4 Qui trình vận dụng khái niệm toán học... dạng và thể hiện khái niệm trong mối liên kết với vốn tri thức, kỹ năng đã có, đòi hỏi HS phải tư duy sáng tạo. Bước 6. Mở rộng và hệ thống hóa khái niệm. + GV hướng dẫn HS tìm mối quan hệ giữa khái niệm mới với những khái niệm (gần gũi) đã có, sắp xếp khái niệm mới vào hệ thống khái niệm, biểu diễn dưới dạng sơ đồ. + Khai thác khái niệm đã có để mở rộng sang khái niệm mới, có phạm vi rộng hơn. 2.2. Ví dụ minh họa Dạy học một số khái niệm trong “Bài 6. Đối xứng trục” (Hình học 8). 2.2.1. Bước 1. GV gợi động cơ và cho học sinh tiếp cận với những đối tượng trực quan “hình ảnh” Hướng dẫn HS quan sát các đồ vật xung quanh và rút ra nhận xét: + Cửa ra vào lớp học và nhận xét về vị trí của hai cánh cửa so với đường khe giữa hai cánh cửa. + Hai bóng đèn tuýp ghép đôi và nhận xét về vị trí của hai bóng đó với đường khe giữa 2 bóng đèn. + Mặt đồng hồ treo tường và nhận xét về vị trí giữa các cặp số (1 và 11), (2 và 10), (3 và 9), (4 và 8) , (5 và 7) so với “trục” thẳng đứng đi qua vạch 6 giờ và 12 giờ. + GV đưa ra một số hình vẽ (dùng bảng phụ hoặc trình chiếu) cho HS quan sát và nhận xét: - Đặc điểm, mối quan hệ của các cặp điểm (A;A′), (B;B′), (C;C ′) so với đường thẳng d (Hình 1). - Rút ra đặc điểm, mối liên hệ giữa hai hình (H) và (H ′) so với đường thẳng d (Hình 2). Nhận xét: Các đối tượng xét ở trên có cùng đặc điểm là “ở hai phía của một đường thẳng và cách đều đường thẳng đó”. Ở đây là những “đường thẳng” đi qua khe cửa; đi qua khe giữa 2 bóng đèn tuýp đôi; đi qua vạch 6 giờ và 12 giờ trên mặt đồng hồ; và đường thẳng d (ở các hình 1 và 2). 5 Nguyễn Anh Tuấn và Phí Thị Thùy Vân Trong thực tế, người ta gọi hiện tượng đó là tính đối xứng qua một đường thẳng (trục). Vậy thế nào là sự đối xứng của hai điểm, hai đường thẳng, hai hình qua một đường thẳng? 2.2.2. Bước 2. Khái quát hóa và dự đoán nhóm thuộc tính đặc trưng Dựa vào các ví dụ đã nêu ở bước 1, GV tổ chức HS phân tích, so sánh và dự đoán: + Câu hỏi 1: Thế nào là hai điểm đối xứng với nhau qua một đường thẳng? - Trong hình 1, các điểm A và A′ (tương tự như vậy đối với B và B′;C và C ′) là hai điểm đối xứng với nhau qua đường thẳng d và ta thấy đường thẳng nối 2 điểm đó vuông góc với d, và khoảng cách của chúng đến d là bằng nhau. - Các em hãy nhận xét đường thẳng d có quan hệ gì đối với đoạn thẳngAA′, BB′, CC ′? - Sau khi HS phát hiện được d là đường trung trực của các đoạn thẳng nối 2 điểm A,A′; ... các em rút ra phỏng đoán: Hai điểm đối xứng với nhau qua đường thẳng d khi mà đoạn thẳng nối chúng nhận d là đường trung trực. + Câu hỏi 2: Thế nào là hai đoạn thẳng đối xứng với nhau qua một đường thẳng? Tương tự như vậy (và ở mức độ khái quát hơn): - Quan sát hình 1, HS tiến hành tương tự đối với cặp các đoạn thẳng (AB,A′B′); (AC,A′C ′);... và rút ra phỏng đoán: Hai đoạn thẳng đối xứng với nhau qua đường thẳng d khi cặp điểm đầu (cuối) của chúng là những cặp điểm đối xứng với nhau d. - Ở hình 1, hãy cho biết: Có phải là khi AC và A′C ′ đối xứng với nhau qua d, thì mỗi điểm D ∈ AC, đều có điểm D′ ∈ A′C ′ là điểm đối xứng với D qua d? Và ngược lại đối với mỗi điểm trên A′C ′? + Câu hỏi 3: Thế nào là hai tam giác đối xứng với nhau qua một đường thẳng? Tương tự như vậy (và ở mức độ khái quát cao hơn): - Quan sát hình 1, HS xét hai∆ABC và∆A′B′C ′,... và rút ra phỏng đoán: Hai tam giác đối xứng với nhau qua đường thẳng d khi các cặp đỉnh tương ứng của chúng (A và A′, B và B′, C và C ′) đối xứng với nhau qua đường thẳng đó. + Câu hỏi 4: Thế nào là hai hình đối xứng với nhau qua một đường thẳng? Cho HS quan sát hình 2, mặc dù HS có thể sử dụng thao tác so sánh và xét tương tự, tuy nhiên các em khá khó khăn trong dự đoán... do mức độ yêu cầu tổng quát khá cao. Để trợ giúp HS phỏng đoán được những thuộc tính để hai hình đối xứng với nhau qua đường thẳng, đến đây GV đưa ra các tình huống sau để HS kiểm nghiệm lại về hai điểm, hai đoạn thẳng, hai tam giác đối xứng với nhau qua đường thẳng. 2.2.3. Bước 3. Kiểm nghiệm Bằng cách sử dụng phần mềm G.Sketchpad (hoặc G. Cabri), GV tổ chức cho HS kiểm nghiệm tính đúng đắn các phán đoán của các em về những thuộc tính đặc trưng cho các khái niệm trên. + Trên cơ sở hình 1, dùng chức năng “phép đối xứng trục” của phần mềm để: - Dựng các điểm A,B,C và các điểm A′, B′, C ′ lần lượt đối xứng với chúng qua d. 6 Qui trình vận dụng khái niệm toán học... - Dựng các đoạn thẳng AB,BC,CA và các đoạn thẳng A′B′, B′C ′, C ′A′ lần lượt đối xứng qua d. - Dựng điểm D ∈ AC, và điểm đối xứngD′ đối xứng với nó qua d. + Dùng chức năng đo khoảng cách và góc: - Kiểm tra sự bằng nhau của AI và IA′, tính vuông góc của d đối với AA′,... để thấy rõ đặc trưng của cặp điểm đối xứng qua d. Đồng thời tiến hành tương tự đối với điểm D để thấy rõ đặc trưng của cặp đoạn thẳng đối xứng. - Kiểm tra tương tự như vậy đối với các điểm A,B,C... để thấy rõ đặc trưng của hai tam giác đối xứng với nhau qua d. + Trên cơ sở các hình 1 và 2, dùng chức năng chuyển động điểm: - Cho điểm D chuyển động trên AC, HS quan sát vị trí chuyển động của điểm D′; sau đó lại cho điểm D′ chuyển động trên A′C ′ và các em quan sát vị trí của điểm D. - Tiến hành tương tự như trên đối với các điểmM,N, P trên hình (H),... đặc biệt là khi cho một điểmM chuyển động khắp hình (H), quan sát điểmM ′, rồi kiểm tra một vài thuộc tính... để thấy rõ “khiM chạy khắp hình (H) thì điểm đối xứng với nóM ′ sẽ chạy khắp hình (H ′), và ngược lại, khi cho M ′ chạy trên (H ′)”. Tức là: mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với mỗi điểm tương ứng thuộc hình kia qua d, và ngược lại. Từ đó, HS có thể chỉnh sửa những cách hiểu chưa chính xác... để đi đến dự đoán hai hình sẽ đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu như mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với mỗi điểm tương ứng thuộc hình kia qua d, và ngược lại. 2.2.4. Bước 4. Định nghĩa khái niệm “Hai hình đối xứng qua một đường thẳng” - GV yêu cầu HS sử dụng ngôn ngữ để làm rõ “Thế nào là hai hình đối xứng với nhau qua đường thẳng d?” - GV tổ chức cho HS tham gia phát biểu theo cách diễn đạt của mình, đối chiếu với sách giáo khoa để chính xác hóa định nghĩa: “Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với mỗi điểm thuộc hình kia qua đường thẳng d và ngược lại”; và đường thẳng d được gọi là trục đối xứng của hai hình đó. 2.2.5. Bước 5. Vận dụng khái niệm 1. Nhận dạng và thể hiện khái niệm trực tiếp. + GV cho HS kiểm nghiệm lại với những đối tượng đã xét ở bước 1: - Hai cánh cửa lớp học, hai cánh cửa tủ,... so với đường khe cửa. - Hai bóng tuýp so với đường khe giữa hai bóng. + Yêu cầu HS tự đưa ra (thể hiện) những cặp hình đối xứng (hoặc không đối xứng) với nhau qua một đường thẳng. Chẳng hạn: - Trên mặt đồng hồ, nếu ta kẻ một đường thẳng d đi qua vạch 9 giờ và 3 giờ, hãy tìm những cặp số đối xứng với nhau qua d? + Tìm trong thực tế hình ảnh hai hình đối xứng với nhau qua một trục: - Hai chiếc lá mọc đối xứng với nhau qua cành lá. 7 Nguyễn Anh Tuấn và Phí Thị Thùy Vân - Tìm những cặp hình đối xứng và trục đối xứng trên mặt sàn lát gạch hoa,... Bài toán 1: Giải bài tập 35 (Sách giáo khoa Toán 8, tập 1) Trong các hình vẽ sau, hãy vẽ hình đối xứng với hình đã cho qua trục d Vận dụng khái niệm trong chứng minh tính chất, giải bài toán. Thực chất là: Tổ chức HS nhận dạng và thể hiện trong tình huống vận dụng tổng hợp. Bài toán 2: Bài 60 (Sách bài tập Toán 8). Cho tam giác ABC có Â = 700, điểmM thuộc cạnhBC. Vẽ điểmD đối xứng vớiM quaAB, vẽ điếm E đối xứng vớiM quaAC. a) Chứng minh rằng: AD = AE. b) Tính số đo góc D̂AE. Bài toán 3: Bài 65 (Sách bài tập Toán 8). Tứ giácABCD cóAB = BC,CD = DA (hình cánh diều). Chứng minh rằng điểm A đối xứng với điểm C qua đường thẳng BD. Từ những ví dụ ở trên, GV hướng dẫn HS rút ra một số tính chất và chứng minh dưới dạng bài tập: Bài toán 4: (Tính chất 1) Nếu các điểm A và A′, B và B′ đối xứng với nhau qua đường thẳng d thì hai đoạn thẳng AB và A′B′ bằng nhau. Từ đó suy ra hai tam giác (góc) đối xứng với nhau qua một đường thẳng thì chúng bằng nhau. Bài toán 5: (Tính chất 2) Nếu các điểm A và A′, B và B′, C và C ′ đối xứng với nhau qua đường thẳng d trong đó C nằm giữa A và B thì C ′ nằm giữa A′ và B′. Từ đó suy ra: a) Nếu hai đoạn thẳng AB và A′B′ có A đối xứng với A′, B đối xứng với B′ qua đường thẳng d thì hai đoạn thẳng AB và A′B′ đối xứng với nhau qua đường thẳng d. b) Nếu hai tam giác ABC vàA′B′C ′ có A đối xứng với A′, B đối xứng với B′ và C đối xứng với C ′ qua đường thẳng d thì∆ABC và∆A′B′C ′ đối xứng với nhau qua đường thẳng d. 3. Vận dụng linh hoạt, sáng tạo khi giải bài toán khó, bài toán có nội dung thực tiễn. Bài toán 6: a) Cho hai điểm A,B thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường 8 Qui trình vận dụng khái niệm toán học... thẳng d, AB không vuông góc với d (hình 6). Gọi A′ là điểm đối xứng với A qua xy, C là giao điểm của A′B và xy. Gọi M là điểm bất kì khác C thuộc xy. Chứng minh rằng: AC + CB < AM +MB. b) Bạn Tú đang ở vị trí A, cần đến bờ sông d lấy nước rồi đi đếnB. Con đường ngắn nhất Tú nên đi là con đường nào? c) Hai địa điểm dân cư A và B ở cùng phía một con sông (hình 7). Cần đặt cầu ở vị trí nào để tổng khoảng cách từ cầu đến A và B nhỏ nhất. d) Hai công trường A và B ở cùng phía một con đường thẳng. Cần đặt trạm biến thế ở vị trí nào trên con đường để tổng độ dài đường dây từ trạm biến thế đến A và đến B là nhỏ nhất. Gợi ý: GV hướng dẫn HS vẽ hình và vận dụng linh hoạt khái niệm đối xứng trục. Bài toán 7: Cho góc nhọn x̂Oy và một điểm A cố định nằm trong góc đó. Hãy tìm các điểm B,C trên các cạnh Ox,Oy sao cho chu vi tam giác ABC là nhỏ nhất. Bài toán 8: Chứng minh rằng: Trong tất cả các tam giác có cùng diện tích và có chung một cạnh, tam giác cân có chu vi nhỏ nhất. 2.2.6. Bước 6. Mở rộng khái niệm và hệ thống hoá khái niệm GV hướng dẫn HS mở rộng một số khái niệm: hai điểm đối xứng qua một đường thẳng d mở rộng thành hai đoạn thẳng đối xứng qua d; tiếp tục mở rộng thành hai đường thẳng đối xứng qua d; hai tam giác đối xứng qua d; hai tứ giác (hai đa giác) đối xứng qua d; tiếp tục mở rộng thành hai hình (bất kì) đối xứng qua d. GV có thể giới thiệu cho HS thấy: + Hai hình đối xứng qua một trục là kết quả của phép đối xứng trục. Đây là một trong các “phép biến hình” (một khái niệm sẽ được học ở THPT). Ngoài phép đối xứng trục, các em sẽ được học một số phép biến hình lí thú khác trong môn Toán. Chẳng hạn, người ta có thể thay thế đường thẳng d bởi một điểm O, khi đó ta có một phép biến hình rất gần gũi với đối xứng trục, đó là phép đối xứng tâm. + GV hướng dẫn học sinh vẽ sơ đồ hệ thống các khái niệm: Vận dụng lí thuyết kiến tạo, chúng tôi đã xây dựng quy trình dạy học khái niệm toán 9 Nguyễn Anh Tuấn và Phí Thị Thùy Vân học cho học sinh giỏi THCS và vận dụng vào dạy học một số khái niệm hình học cụ thể ở THCS. Các kết quả thu được bước đầu cho thấy quy trình đã phát huy tác dụng và hiệu quả tốt với đối tượng học sinh giỏi, các em hứng thú học tập, nắm vững khái niệm và vận dụng một cách sáng tạo trong giải toán hình học. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Bá Kim, 2009. Phương pháp dạy học môn Toán. Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội. [2] Tôn Thân và các tác giả, 2006. Sách giáo khoa Toán 8, tập 1. Nxb Giáo dục, Hà Nội. [3] Tôn Thân và các tác giả, 2008. Bài tập Toán 8, tập 1. Nxb Giáo dục, Hà Nội. [4] Tôn Thân và các tác giả, 2004. Sách giáo viên Toán 8, tập 1. Nxb Giáo dục, Hà Nội. [5] www.thirteen.org, “Constructivism is basically a theory - based on observation and scientific study - about how people learn”. ABSTRACT Applying constructivism theory to teach math concepts in secondary school The authors set and solve a problem applying constructivism theory to teach math concepts in secondary school (also including geometry concepts), providing an innovative method of teaching math with active learning orientation, the result being improved math teaching to students. 10