Rèn luyện khả năng sáng tạo cho học sinh thông qua việc ra đề bài toán hình học với nhiều hướng suy nghĩ khác nhau

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Science in Mathematics, 2014, Vol. 59, No. 2A, pp. 122-127 This paper is available online at RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA VIỆC RA ĐỀ BÀI TOÁN HÌNH HỌC VỚI NHIỀU HƯỚNG SUY NGHĨ KHÁC NHAU Nguyễn Sơn Hà Trường Trung học phổ thông Chuyên - Đại học Sư phạm Hà Nội Tóm tắt. Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh là một trong những nhiệm vụ quan trọng đối với quá trình dạy học nói chung và dạy học môn Toán nói riêng. Bài báo đưa ra một số biện pháp và những ví dụ cụ thể về việc ra đề bài toán hình học có nhiều phương án thực hiện lời giải cũng như hướng dẫn học sinh ra đề toán phù hợp với một yếu tố cho trước nhằm nâng cao năng lực phát triển tư duy sáng tạo của học sinh. Từ khóa: Ra đề, bài toán hình học, hướng suy nghĩ khác nhau, khả năng sáng tạo. 1. Mở đầu Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh là một trong những nhiệm vụ quan trọng trong dạy học môn Toán ở trường phổ thông. Dạy học thông qua việc sáng tạo và giải các bài toán có thể góp phần phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh. Phương pháp chung để giải bài toán được đưa ra bởi tác giả Polya. Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của Polya, tác giả Nguyễn Bá Kim viết phương pháp chung để giải bài toán: Bước 1. Tìm hiểu nội dung đề bài; Bước 2. Tìm cách giải; Bước 3. Trình bày lời giải; Bước 4. Nghiên cứu sâu lời giải [1]. ‘Nhiều nhà tâm lí học coi sự có mặt của tư duy phân kì là dấu hiệu của sáng tạo. Tư duy phân kì, theo Guilford, là khả năng đưa ra những ý tưởng độc đáo với nhiều phương án, giải pháp cho vấn đề’ [2]. Trong dạy học, khi giáo viên ra đề bài toán hoặc hướng dẫn học sinh sáng tạo ra đề bài toán thì một việc cần thiết là nên chọn những bài toán có thể làm cho học sinh có nhiều hướng suy luận khác nhau nhằm rèn luyện khả năng suy nghĩ không dập khuôn, không áp dụng một cách máy móc, rèn luyện khả năng tìm hiểu nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau, từ đó có thể rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh. Trong bài báo này, tác giả trình bày một số biện pháp và ví dụ cụ thể nhằm Rèn luyện khả năng sáng tạo cho học sinh thông qua việc ra đề bài toán hình học với nhiều hướng suy nghĩ khác nhau. Liên hệ: Nguyễn Sơn Hà, e-mail: sonhadhsphn@gmail.com. 122 Rèn luyện khả năng sáng tạo cho học sinh thông qua việc ra đề bài toán hình học... 2. Nội dung nghiên cứu 2.1. Biện pháp ra đề toán có nhiều phương án thực hiện lời giải Bài toán có nhiều phương án thực hiện lời giải là bài toán có nhiều cách giải hoặc có nhiều phương án trả lời và học sinh chỉ ra được một phương án đúng là hoàn thành nhiệm vụ đặt ra. * Bài toán 1. Cho hình bình hành ABCD. Hãy viết một đẳng thức giữa ba véc tơ khác −→ 0 có chung điểm đầu. * Lời giải: Hướng thứ nhất. Chọn điểm đầu là A. Theo quy tắc hình bình hành, ta có −→ AC = −−→ AB+ −−→ AD. Hướng thứ hai. Chọn điểm đầu là B. Theo quy tắc hình bình hành, ta có −−→ BD = −−→ BA+ −−→ BC. Hướng thứ ba. Chọn điểm đầu là C. Theo quy tắc hình bình hành, ta có −→ CA = −−→ CB + −−→ CD. Hướng thứ tư. Chọn điểm đầu là D. Theo quy tắc hình bình hành, ta có −−→ DB = −−→ DA+ −−→ DC . Bài toán 1 có thể thay thế cho việc giáo viên yêu cầu học sinh nhắc lại quy tắc hình bình hành, học sinh chỉ cần thực hiện một trong 4 phương án trả lời. Các học sinh có thể độc lập đưa ra các phương án trả lời khác nhau. * Bài toán 2. Cho hình bình hành ABCD. Đẳng thức sau có thể được chứng minh bằng những cách nào?. AC2 +BD2 = AB2 +BC2 +CD2 +DA2 Hướng thứ nhất. Sử dụng véc tơ AC2 = (−−→ AB + −−→ BC )2 = −−→ AB2 + −−→ BC2 + 2 −−→ AB. −−→ BC BD2 = (−−→ BA+ −−→ BC )2 = −−→ BA2 + −−→ BC2 + 2 −−→ BA. −−→ BC ⇒ AC2 +BD2 = AB2 +BC2 +BA2 +BC2 + 2 (−−→ BA+ −−→ AB ) . −−→ BC = AB2 +BC2 + CD2 +DA2 Hướng thứ hai. Sử dụng định lí cô sin. Áp dụng định lí cô sin cho các tam giác ABC,ABD ta có: AC2 = AB2 +BC2 + 2AB.BC cos ÂBC, BD2 = AB2 +AD2 + 2AB.AD cos B̂AD, ⇒ AC2 +BD2 = AB2 +BC2 + CD2 +DA2 + 2AB.BC ( cos ÂBC + cos B̂AD ) = AB2 +BC2 + CD2 +DA2 (do ÂBC + B̂AD = 1800) Hướng thứ ba. Sử dụng công thức tính trung tuyến Gọi giao điểm của AC và BD là I. Ta có I là trung điểm của AC và BD. Xét tam giác ABC áp dụng công thức trung tuyến, ta có: BI2 = AB2 +BC2 2 − AC 2 4 123 Nguyễn Sơn Hà ⇒ AC2 +BD2 = AC2 + 4BI2 = 2AB2 + 2BC2 = AB2 +BC2 +CD2 +DA2 Bài toán 2 nhằm rèn luyện cho học sinh kĩ năng chứng minh đẳng thức hình học sau khi học xong nội dung tích vô hướng và ứng dụng. Với bài toán này khi ra đề bài câu hỏi được đưa ra là: Đẳng thức sau có thể được chứng minh bằng những cách nào? sẽ gợi cho học sinh nhiều hướng suy nghĩ về các phương pháp chứng minh đẳng thức hình học. 2.2. Biện pháp hướng dẫn học sinh ra đề toán phù hợp với một yếu tố cho trước Với bài toán hình, có thể xây dựng đề toán từ hình vẽ cho trước. Hình vẽ cho trước phải thể hiện được các đối tượng đã biết, đối tượng chưa biết (thường kí hiệu bằng dấu ?), mối quan hệ giữa các yếu tố (quan hệ song song, quan hệ vuông góc, độ dài,. . . ). Mỗi hình vẽ có thể nói lên nhiều mối liên hệ giữa các đối tượng hình học tùy thuộc vào khả năng ra đề của giáo viên và khả năng sáng tạo của học sinh. Thông qua hình vẽ, học sinh có thể bổ sung thêm giả thiết về đối tượng chưa biết để ra đề toán. * Bài toán 3. Hãy cho một đề toán phù hợp với Hình 2. Trong bài toán này nếu học sinh gặp khó khăn thì giáo viên có thể bổ sung câu hỏi trung gian: Đối tượng nào đã biết? Đối tượng nào chưa biết? Ta có thể sử dụng công thức nào để chỉ ra mối liên hệ giữa các đối tượng này? Hướng thứ nhất. Cho độ dài cạnh BC, tính độ dài trung tuyến. Bài tập: Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 5, BC = 6. Tính độ dài của trung tuyến AM . Lời giải: AM2 = AB2 +AC2 2 − BC 2 4 = 8⇒ AM = 2√2 Hướng thứ hai. Cho độ dài trung tuyến AM, tính độ dài cạnh BC. Bài tập: Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 5, độ dài của trung tuyến AM bằng √ 6. Tính độ dài cạnh BC. Lời giải: AM2 = AB2 +AC2 2 − BC 2 4 ⇒ BC = 2√11 * Bài toán 4. Hãy cho một đề toán phù hợp với Hình 2. Đây là bài toán có nhiều hướng suy nghĩ khác nhau. Nếu học sinh gặp khó khăn thì giáo viên có thể thêm câu hỏi trung gian: Đối tượng nào đã biết? Đối tượng nào chưa biết? Để viết phương trình đường thẳng, ta phải biết thêm yếu tố nào? Hướng thứ nhất. Cho biết thêm một điểm thứ hai thuộc đường thẳng. Viết phương trình đường thẳng. Bài 1: Viết phương trình đường thẳng d biết rằng d đi qua các điểmM(1; 2), N(−1; 1). 124 Rèn luyện khả năng sáng tạo cho học sinh thông qua việc ra đề bài toán hình học... Hình 1. Hình 2. Hướng thứ hai. Cho biết thêm véc tơ chỉ phương. Viết phương trình đường thẳng. Bài 2: Viết phương trình đường thẳng d biết rằng d đi qua điểmM(1; 2) và d có véc tơ chỉ phương là −→u = (3; 1). Hướng thứ ba. Cho biết thêm véc tơ pháp tuyến. Viết phương trình đường thẳng. Bài 3: Viết phương trình đường thẳng d biết rằng d đi qua điểmM(1; 2) và d có véc tơ pháp tuyến là −→n = (−2; 5). Hướng thứ tư. Cho biết thêm hệ số góc. Viết phương trình đường thẳng. Bài 4: Viết phương trình đường thẳng d biết rằng d đi qua điểmM(1; 2) và d có hệ số góc là k = 1 3 . * Bài toán 5. Hãy ra đề toán phù hợp với Hình 3. Hình 3. Hình 4. Đây là bài toán có nhiều hướng suy nghĩ khác nhau. Nếu học sinh gặp khó khăn thì giáo 125 Nguyễn Sơn Hà viên có thể thêm câu hỏi trung gian như sau: Đối tượng nào đã biết? Đối tượng nào chưa biết? Để viết phương trình đường tròn, ta phải biết thêm yếu tố nào? Bán kính của đường tròn có thể tính được khi biết yếu tố nào? Hướng thứ nhất. Bổ sung giả thiết về độ dài cạnh AB. Viết phương trình đường tròn. Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độOxy cho điểm I(1;−1) và đường thẳng∆ : 4x+3y+14 = 0. Viết phương trình đường tròn (C) tâm I biết rằng (C) cắt ∆ tại 2 điểm A, B thỏa mãn AB = 10 (Hình 4). Trong bài này, sử dụng khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng ∆, sử dụng trung điểm của AB và định lí Py-ta-go để tính bán kính của đường tròn. IH = d (I,∆) = |4.1 + 3.(−1) + 14|√ 42 + 32 = 3; AH = 1 2 AB = 5. IA2 = IH2 +AH2 = 32 + 52 = 34 ⇒ R = √ 34 Như vậy, nếu biết độ dài đoạn thẳng AB thì có thể tính được bán kính của đường tròn. Trong trường hợp học sinh không tự ra được đề toán này thì giáo viên có thể ra đề toán này làm mẫu. Từ đó giáo viên gợi ý học sinh ra các đề toán khác. Hướng thứ hai. Bổ sung giả thiết về diện tích của tam giác IAB. Viết phương trình đường tròn Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độOxy cho điểm I(1;−1) và đường thẳng∆ : 4x+3y+14 = 0. Viết phương trình đường tròn (C) tâm I biết rằng (C) cắt ∆ tại 2 điểm A,B thỏa mãn diện tích tam giác IAB bằng 40 Hướng thứ ba. Bổ sung giả thiết về dạng đặc biệt của tam giác IAB. Viết phương trình đường tròn. Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độOxy cho điểm I(1;−1) và đường thẳng∆ : 4x+3y+14 = 0. Viết phương trình đường tròn (C) tâm I biết rằng (C) cắt ∆ tại 2 điểm A,B thỏa mãn tam giác IAB đều. Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độOxy cho điểm I(1;−1) và đường thẳng∆ : 4x+3y+14 = 0. Viết phương trình đường tròn (C) tâm I biết rằng (C) cắt ∆ tại 2 điểm A,B thỏa mãn tam giác IAB vuông. Hướng thứ tư. Bổ sung giả thiết về số đo của ÂIB. Viết phương trình đường tròn. Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độOxy cho điểm I(1;−1) và đường thẳng∆ : 4x+3y+14 = 0. Viết phương trình đường tròn (C) tâm I biết rằng (C) cắt ∆ tại 2 điểm A,B thỏa mãn tam giác IAB có góc bằng 120◦. Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độOxy cho điểm I(1;−1) và đường thẳng∆ : 4x+3y+14 = 0. Viết phương trình đường tròn (C) tâm I biết rằng (C) cắt ∆ tại 2 điểm A,B thỏa mãn ÂIB = 150◦. Hướng thứ năm. Bổ sung giả thiết về chu vi của tam giác IAB. Viết phương trình đường tròn. Bài 7. Trong mặt phẳng tọa độOxy cho điểm I(1;−1) và đường thẳng∆ : 4x+3y+14 = 0. 126 Rèn luyện khả năng sáng tạo cho học sinh thông qua việc ra đề bài toán hình học... Viết phương trình đường tròn (C) tâm I biết rằng (C) cắt ∆ tại 2 điểm A,B thỏa mãn chu vi tam giác IAB bằng 18. Hướng thứ sáu. Bổ sung giả thiết về đường tròn. Bài 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ∆ : 4x+ 3y + 14 = 0 và đường tròn (C) : (x − 1)2 + (y + 1)2 = 25. Chứng minh rằng đường thẳng cắt đường tròn. Tìm tọa độ của các giao điểm. Tác giả đã tiến hành dạy thực nghiệm ở các lớp tại trường THPT Nguyễn Tất Thành và Trường THPT Chuyên thuộc Trường Đại học Sư phạm Hà Nội có áp dụng các biện pháp ra đề bài toán và hướng dẫn học sinh sáng tạo ra đề bài toán với nhiều hướng suy luận khác nhau. Sau một năm dạy học (năm học 2013 - 2014) tại lớp thực nghiệm (lớp 10A1) của trường THPT Nguyễn Tất Thành, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, nghiên cứu đã cho thấy có kết quả tích cực từ phía học sinh như sau: - Học sinh có thói quen tìm nhiều khả năng có thể có trước mỗi bài toán; - Học sinh biết cách sáng tạo ra những đề bài toán mới từ bài toán ban đầu; - Học sinh có nhiều giải pháp hay, độc đáo trước bài toán có nhiều hướng suy luận. Ngoài hai biện pháp: ‘Ra đề toán có nhiều phương án thực hiện lời giải’ và ‘yêu cầu học sinh ra đề toán phù hợp với một yếu tố cho trước’ còn có nhiều biện pháp ra đề bài toán để làm cho học sinh có nhiều hướng suy luận khác nhau như: Tổng quát hóa một kết quả cho trước, tìm ứng dụng của một kết quả cho trước,. . . Như vậy, giáo viên có thể chọn lựa để ra đề nhiều bài toán hình học với nhiều hướng suy luận khác nhau nhằm tăng khă năng sáng tạo cho học sinh. 3. Kết luận Bài báo đã đưa ra những biện pháp giúp giáo viên ra đề bài toán và hướng dẫn học sinh sáng tạo ra đề bài toán với nhiều hướng suy luận khác nhau nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh. Kết quả thực nghiệm cũng cho thấy những hiệu quả tích cực của học sinh từ những biện pháp đã áp dụng. Khi được tham gia vào việc sáng tạo đề bài, học sinh có thể tự nêu vấn đề và tự giải quyết vấn đề; có thể nhận ra những kết quả mới từ điều kiện quen thuộc; rèn luyện khả năng áp dụng kết quả đã có trong nhiều hoàn cảnh khác nhau. Trong dạy học, giáo viên nên căn cứ vào chuẩn kiến thức kĩ năng của mỗi nội dung môn Toán và căn cứ vào vùng phát triển gần của học sinh để ra đề bài toán với nhiều hướng suy luận khác nhau nhằm phát huy tích cực tính sáng tạo của học sinh. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Bá Kim, 2008. Phương pháp dạy học môn Toán. Nxb Đại học Sư phạm, tr. 389. [2] Phạm Thành Nghị, 2013. Tâm lí học sáng tạo. Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, tr. 215. ABSTRACT Training creative thinking through creating geometric problems with many different minds Teaching students creative thinking is an important tasks in teaching. This paper shows some measures and examples of creating geometric problems with many different minds in order to enhance creative thinking for students. 127