Rèn luyện khái quát hóa cùng với đặc biệt hóa và hệ thống hóa cho học sinh trong khi dạy học môn Toán ở trường phổ thông

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE 2012, Vol. 57, No. 10, pp. 19-25 RÈN LUYỆN KHÁI QUÁT HÓA CÙNG VỚI ĐẶC BIỆT HÓA VÀ HỆ THỐNG HÓA CHO HỌC SINH TRONG KHI DẠY HỌCMÔN TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG Thái Thị Hồng Lam∗, Nguyễn Thị Mỹ Hằng Trường Đại học Vinh ∗Email: hlamdhv@gmail.com Tóm tắt. Tập luyện cho học sinh khai thác các hoạt động khái quát hóa, đặc biệt hóa, phát hiện mối quan hệ chung - riêng trong quá trình dạy học toán ở trường phổ thông là việc cần thiết và có thể thực hiện được. Bài báo nêu một số ví dụ và khái quát hóa được sơ đồ dạy học theo hướng khai thác mối quan hệ giữa các hoạt động, thông qua đó góp phần phát triển cho học sinh khả năng hệ thống hóa. Từ khóa: Khái quát hóa, đặc biệt hóa, hoạt động trí tuệ. 1. Mở đầu Việc rèn luyện các hoạt động trí tuệ cơ bản cho học sinh là một trong những mục đích cần đạt được trong dạy học Toán ở trường phổ thông. Khái quát hóa là hoạt động trí tuệ có vai trò quan trọng trong hoạt động nhận thức nói chung và trong học tập môn Toán nói riêng. Vì vậy, giáo viên cần khai thác triệt để các tình huống có thể để tập luyện hoạt động này cho học sinh trong quá trình dạy học. Tuy nhiên, việc tập luyện hoạt động này không thể tiến hành một cách độc lập, riêng biệt, mà phải kết hợp cùng với một số hoạt động khác liên quan thì mới đạt hiệu quả cao. Tập luyện cho học sinh khai thác các hoạt động khái quát hóa, đặc biệt hóa, phát hiện mối quan hệ chung - riêng trong quá trình dạy học Toán ở trường phổ thông là việc cần thiết và có thể thực hiện được. Trong bài báo này chúng tôi quan tâm việc rèn luyện hoạt động phát hiện mối quan hệ chung - riêng, khái quát hóa và đặc biệt hóa, qua đó góp phần phát triển cho học sinh khả năng hệ thống hóa. 2. Nội dung nghiên cứu 2.1. Một số khái niệm Hệ thống hóa là sự sắp xếp trong tư duy các đối tượng và hiện tượng theo nhóm và nhóm nhỏ, tùy theo các mặt giống nhau và khác nhau của chúng [4;55]. Một trong những phương diện của hệ thống hóa là làm rõ những mối quan hệ giữa những kiến thức khác nhau liên quan đến khái quát hóa. Trên cơ sở các quá trình khái quát hóa và hệ thống hóa học sinh lĩnh hội hệ thống tri thức - đó là hệ thống biểu tượng và khái niệm. Thiếu khái quát hóa và hệ thống hóa thì học sinh không thể lĩnh hội tốt tri thức. 19 Thái Thị Hồng Lam, Nguyễn Thị Mỹ Hằng K.Đ.Usinxki cũng đã khẳng định rằng: Tri thức mà không có hệ thống tựa như một cái kho trong đó mọi thứ được quăng ném vào lộn xộn và bản thân ông chủ kho cũng không tìm thấy được gì [4;55]. Khái quát hóa (KQH) là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập xuất phát (tức là đi từ cái riêng đến cái chung). Đặc biệt hóa (ĐBH) là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập hợp đã cho (tức là đi từ cái chung đến cái riêng) [1;51]. Thông thường, chúng ta tiến hành đặc biệt hóa khi chuyển từ cả một lớp đối tượng đến một đối tượng của lớp đó. Theo chúng tôi, hoạt động phát hiện mối quan hệ chung - riêng (PHCR) là nghiên cứu hai tập hợp đối tượng, quan hệ cho trước có mối quan hệ với nhau như thế nào (Tập nào nằm trong tập nào và dựa theo dấu hiệu gì?). Mối quan hệ giữa ba hoạt động trên được thể hiện ở bảng sau [2;12]: Bảng 1. Quan hệ giữa ba hoạt động: KQH, ĐBH, PHCR Hoạt động Cho trước Tìm Phát hiện mối quan hệ chung - riêng - A - B - Mối quan hệ chung - riêng giữa A và B Khái quát hóa - A - Mối quan hệ chung - riêng: B tổng quát hơn A - B Đặc biệt hóa - B - Mối quan hệ chung - riêng: B tổng quát hơn A - A Trong đó A, B không phải là các tập hợp đối tượng, quan hệ bất kỳ, mà một số phần tử của A và B cùng thỏa mãn một điều kiện nào đó. Khai thác mối quan hệ giữa ba hoạt động trên trong việc tập luyện cho học sinh khái quát hóa, không chỉ yêu cầu họ đi từ cái riêng đến cái chung (khái quát hóa) mà còn đòi hỏi họ đi từ cái chung đến cái riêng (đặc biệt hóa) và làm rõ mối quan hệ chung - riêng giữa cái đạt được và cái xuất phát. Tập luyện các hoạt động theo hướng này là phù hợp với quy luật chung nhất của hoạt động nhận thức mà V. I. Lênin đã tổng kết: “Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng và từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn, đó là con đường biện chứng của sự nhận thức chân lý, của sự nhận thức thực tại, khách quan”. Chúng tôi đề xuất một phương thức để bồi dưỡng cho học sinh các hoạt động trên bao gồm các bước sau đây: Bước 1: Tổ chức quan sát các sự vật, hiện tượng riêng lẻ (xét các trường hợp riêng dựa trên các ví dụ cụ thể). Bước 2: Xác định các dấu hiệu, các đặc điểm, các thuộc tính, các mối liên hệ của các đối tượng riêng lẻ. 20 Rèn luyện khái quát hóa cùng với đặc biệt hóa và hệ thống hóa cho học sinh... Bước 3: So sánh các dấu hiệu, các đặc điểm, các thuộc tính, các mối liên hệ đó để tìm ra các dấu hiệu chung và bản chất. Bước 4: Tùy theo mục đích, tách các dấu hiệu, các đặc điểm, các thuộc tính chung và bản chất khỏi các đối tượng riêng lẻ. Bước 5: Chuyển từ việc nghiên cứu các đối tượng riêng lẻ sang nghiên cứu một tập lớn hơn chứa các đối tượng riêng lẻ đó. Kết quả của quá trình trên ta thu được một cái tổng quát (một khái niệm, một định lí, một qui tắc hay một bài toán tổng quát, ...). Bước 6: Đặc biệt hóa để có được cái xuất phát, làm rõ mối quan hệ chung - riêng giữa cái đạt được và cái xuất phát. Tiếp tục đặc biệt hóa để có các trường hợp riêng khác nữa. 2.2. Một số ví dụ Ví dụ 1: Dạy học quy tắc tìm tập giá trị của hàm số. Mặc dù khái niệm tập giá trị không được dạy tường minh trong các sách giáo khoa hiện hành, nhưng vì nó có nhiều ứng dụng nên chúng ta cần thiết và có thể dạy cho học sinh ngay từ lớp 10. Chúng ta có thể định nghĩa khái niệm tập giá trị của hàm số y = f(x) như sau: “Cho hàm số y = f(x) xác định trên D, tập hợp tất cả các số thực y sao cho tồn tại x ∈ D để f(x) = y được gọi là tập giá trị của hàm số y = f(x)”. Quá trình dạy học quy tắc tìm tập giá trị của hàm số và ứng dụng để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cần quan tâm khai thác mối quan hệ của ba hoạt động trên nhằm nâng cao kỹ năng giải bài tập dạng này cho học sinh. Xét một số bài toán cụ thể sau: Bài toán 1.1: Tìm tập giá trị của các hàm số sau: a) y = √ x(1− x); b) y = x+ 1 x ; c) y = x− 1 x Chúng ta sẽ hướng dẫn học sinh làm các bài tập trên, chẳng hạn câu a) với các câu hỏi gợi ý như sau: - Nếu y0 là một giá trị bất kỳ của hàm số y = √ x(1 − x) thì mối quan hệ giữa x0 thuộc tập xác định của hàm số và y0 sẽ như thế nào? Dựa vào định nghĩa tập giá trị các em sẽ trả lời được: sẽ tồn tại x0 ∈ [0; 1] sao cho y0 = √ x0(1− x0) - Việc tồn tại x0 ∈ [0; 1] sao cho √ x0(1− x0) = y0 cụ thể hơn như thế nào? Nghĩa là phương trình √ x(1− x) = y0 có nghiệm x0 ∈ [0; 1]. - Vậy y0 phải thỏa mãn điều kiện gì để nó là một giá trị bất kỳ của hàm số y =√ x(1− x)? y0 phải làm cho phương trình √ x(1 − x) = y0 có nghiệm. - Hãy tìm điều kiện cần và đủ của y0 để phương trình √ x(1− x) = y0 có nghiệm. - Hãy suy ra tập giá trị của hàm số y = √ x(1− x). - Tương tự hãy giải tiếp câu b) và câu c). 21 Thái Thị Hồng Lam, Nguyễn Thị Mỹ Hằng - Từ việc tìm tập giá trị của các hàm số trên hãy nêu dấu hiệu chung của các lời giải trên là gì? Thực chất của bước này là giáo viên đã yêu cầu học sinh thực hiện hoạt động “Khái quát hóa một quá trình diễn ra trên một số đối tượng riêng lẻ thành một quá trình diễn ra trên một lớp đối tượng” [2;56]. Ta mong đợi học sinh trả lời: Tìm điều kiện của y0 để phương trình y0 = f(x) có nghiệm trên miền xác định của hàm số. Khái quát hóa quá trình trên, sản phẩm của chúng ta thu được chính là một quy tắc tìm tập giá trị của hàm số (phương pháp sử dụng định nghĩa tập giá trị), bao gồm các bước sau: Bước 1: Tìm miền xác địnhD của hàm số Bước 2: Gọi T là tập giá trị của hàm số, lấy phần tử y0 bất kì thuộc T. Khi đó, tồn tại x0 ∈ D sao cho f(x0) = y0, hay phương trình f(x) = y0 có nghiệm thuộc D. Bước 3: Tìm điều kiện cần và đủ của y0 để phương trình f(x) = y0 có nghiệm x ∈ D. Bước 4: Kết luận về T . Sau khi học sinh đã khái quát hóa được quy tắc tìm tập giá trị ở trên, với mục đích kiểm tra việc khái quát đó, có thể yêu cầu học sinh đặc biệt hóa cái tìm được với các hàm số cụ thể để nhận được cái xuất phát, thông qua đó nhấn mạnh mối quan hệ chung - riêng giữa cái tìm được và cái xuất phát: Ở sản phẩm tìm được, nếu chọn f(x) = √ x(1− x) thì được một trường hợp riêng, đó là một trong những cái xuất phát. Bây giờ học sinh đã được trang bị một phương pháp tổng quát để tìm tập giá trị của hàm số. Ở thời điểm này, học sinh chỉ mới tìm được tập giá trị của các hàm số f(x) mà việc tìm y0 để phương trình f(x) = y0 có nghiệm có thể đưa về việc tìm điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai. Khi học chương trình Đại số - Giải tích 11, sau khi học sinh học bài “Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx”, giáo viên cần thiết và có thể yêu cầu học sinh tìm tập giá trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số f(x) mà việc tìm điều kiện của y0 để phương trình f(x) = y0 có nghiệm có thể đưa về việc tìm điều kiện có nghiệm của phương trình a sin x+ b cos x = c. Bài toán 1.2: Tìm tập giá trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) y = 3 cosx+ 4 sin x+ 2; b) y = cosx+ 2 sin x+ 3 2 cosx− sin x+ 4 ; c) y = sin2 x−3 cos2 x+2 sin 2x+1; d) y = sin 2 2x− 2 cos2 2x+ 3 sin 2x cos 2x 2 cos2 2x+ 2 . Để giải được các bài tập trên (cái riêng), học sinh phải liên hệ với phương pháp tổng quát (cái chung) để tìm tập giá trị của hàm số, tức là họ phải khái quát hóa. Sau khi khái quát hóa, họ lại phải đặc biệt hóa ứng với là một trong những hàm số cụ thể nêu trên. Nếu học sinh biết được tất cả các giá trị của hàm số (tập giá trị) thì họ có thể tìm được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đó (nếu có). Do vậy, với bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, chúng ta có thể giải được, bằng cách tìm tập giá trị của hàm số dựa vào qui tắc tìm tập giá trị đã chỉ ra ở trên. 22 Rèn luyện khái quát hóa cùng với đặc biệt hóa và hệ thống hóa cho học sinh... Chúng ta cũng có thể mở rộng phương pháp tìm tập giá trị của hàm số hai biến thông qua các ví dụ sau: Bài toán 1.3: a) Cho hai số thực x và y thỏa mãn x + 2y = 1. Hãy tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2 + 2y2 + xy + 5x b) Cho hai số thực x và y thỏa mãn (x− 2)2 + (y + 1)2 = 4. Hãy tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2 + y2 c) Cho hai số thực dương x và y thỏa mãn (x+ y)2 = 4. Hãy tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2 + y2. Để giải được các bài tập trên, có thể gợi ý như sau, chẳng hạn với câu a): - Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cũng là một giá trị nào đó của A. Do đó vấn đề đặt ra là ta đi tìm tất cả các giá trị có thể có của A. - Nếu gọi m là một giá trị bất kỳ của A thì sẽ như thế nào? Tồn tại hai số x và y sao cho x+ 2y = 1 và x2 + 2y2 + xy + 5x = m. - Việc tồn tại hai số x và y sao cho x+ 2y = 1 và x2 + 2y2 + xy + 5x = m có thể được phát biểu như thế nào? Tức là hệ phương trình { x+ 2y = 1 x2 + 2y2 + xy + 5x = m có nghiệm. - Từ đó, tìm điều kiện cần và đủ của m để hệ phương trình trên có nghiệm. - Có điều kiện của m ta suy ra tập giá trị của A, có tập giá trị của A ta tìm được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của A. Những thao tác trên hoàn toàn tương tự như quy tắc tìm tập giá trị của hàm một biến. Ví dụ 2: Tính các tích phân sau: a) I1 = 1∫ −1 x2 2012x + 1 dx (1); b) I2 = pi 2∫ − −pi 2 cosx 2x + 1 dx; c) I3 = 2∫ −2 |x| 3x + 1 dx; d) I4 = 1∫ −1 1 (x2 + 1)(2x + 1) dx Chúng ta sẽ hướng dẫn học sinh giải các bài tập trên, chẳng hạn câu a) với các gợi ý như sau: - Hãy nhận xét cận của tích phân và hàm số dưới dấu tích phân? Cận đối xứng. Hàm số lấy tích phân là tích của x2 (hàm chẵn) với 1 2012x + 1 . - Từ tính chất cận đối xứng và tính chẵn của hàm số có thể chọn phép đổi biến như thế nào? Có thể đặt x = −t. - Với phép đổi biến như vậy thì tích phân được viết dưới dạng như thế nào? 23 Thái Thị Hồng Lam, Nguyễn Thị Mỹ Hằng I1 = −1∫ 1 − (−t)2 2012−t + 1 dt = 1∫ −1 2012tt2 2012t + 1 dt - Tích phân không phụ thuộc vào biến số lấy tích phân, do đó I1 có thể được viết như thế nào? I1 = 1∫ −1 2012xx2 2012x + 1 dx (2) - Từ (1) và (2) có thể suy ra điều gì? Hãy cộng (1) và (2) vế theo vế! 2I1 = 1∫ −1 x2dx⇒ I1 = 1 2 ∫ x2dx. Tích phân cuối cùng được tính một cách dễ dàng. - Tương tự, hãy tính các tích phân ở câu b), c), d). - Các tích phân trên có điểm chung gì? Cận lấy tích phân đối xứng, mẫu số của hàm lấy tích phân đều chứa biếu thứcmx+1, tử số của hàm lấy tích phân là hàm chẵn f(x). - Hãy khái quát hóa tích phân tổng quát và phương pháp giải! Sản phẩm chúng ta có được là bài toán tổng quát sau và phương pháp giải: Bài toán tổng quát: Tính tích phân I = a∫ −a f(x) mx + 1 dx (1), trong đó f(x) là hàm chẵn, liên tục trên [−a, a],m là số thực dương khác 1. Phương pháp giải: Đặt x = −t, tích phân đã cho được viết dưới dạng: I = a∫ −a mtf(t) mt + 1 dt = a∫ −a mxf(x) mx + 1 dx (2) Cộng vế với vế của (1) và (2) ta suy ra: I = 1 2 a∫ −a f(x)dx. Sau khi đã có bài toán tổng quát trên, tiếp tục yêu cầu học sinh đặc biệt hóa để có cái xuất phát (chẳng hạn với a = 1, f(x) = |x| , m = 3 thì ta có câu c), làm rõ mối quan hệ chung - riêng giữa cái đạt được và cái xuất phát. Tiếp tục đặc biệt hóa để có được các trường hợp riêng khác nữa. Chẳng hạn, ta có được các bài toán tính tích phân sau: pi 2∫ − pi 2 sin6 x+ cos6 x 2x + 1 dx; 2∫ −2 x4 + 3x2 + 1 2012x + 1 dx; 1∫ −1 √ 1− x2 10x + 1 dx . . . Hoạt động khái quát hóa, đặc biệt hóa, phát hiện mối quan hệ chung - riêng diễn ra trong suốt quá trình dạy học. Giáo viên cần thiết và có thể tạo cơ hội cho học sinh được tập luyện thường xuyên. Chẳng hạn, sau khi học sinh học hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến ở lớp 10, có thể cho học sinh giải các phương trình như: √ x+ 1 = −x3+29; 3 √ 7− 3x = x3 + 3x − 13, khái quát lên phương pháp giải phương trình dạng f(x) = g(x), x ∈ (a, b), trong đó f(x) và g(x) đơn điệu ngược chiều nhau trên (a, b). Tại thời 24 Rèn luyện khái quát hóa cùng với đặc biệt hóa và hệ thống hóa cho học sinh... điểm này có ít cơ hội để học sinh được tập luyện giải những phương trình dạng trên. Tuy nhiên, lên lớp 12, học sinh được học mối quan hệ giữa dấu của đạo hàm và tính đồng biến, nghịch biến của hàm số, các hàm số mũ và logarit thì sẽ có nhiều cơ hội để luyện tập hơn. Khái quát hóa quá trình trên ta thu được sơ đồ dạy học góp phần rèn luyện khả năng khái quát hóa cùng với hệ thống hóa và đặc biệt hóa: Cái riêng Cái chung Cái riêng khác 3. Kết luận Như vậy, việc tập luyện và khai thác các hoạt động khái quát hóa, đặc biệt hóa, phát hiện mối quan hệ chung - riêng là cần thiết và có thể thực hiện được trong quá trình dạy học Toán ở trường phổ thông. Thực hiện các hoạt động theo hướng này là phù hợp với một trong những nguyên tắc của phương pháp nhận thức biện chứng: Phương pháp đi từ cái chung đến cái riêng chỉ có thể phát huy tác dụng nếu nó liên hệ hữu cơ và kết hợp với phương pháp tiến từ cái riêng đến cái chung. Hai phương pháp này không phải là hai phép biện chứng - biện chứng tiến và biện chứng thoái, mà chính là hai mặt của cùng một phép biện chứng, hai nhân tố của phương pháp nhận thức biện chứng thống nhất [3;73]. Hơn nữa, thông qua việc tập luyện và khai thác các hoạt động trên cũng góp phần phát triển cho HS khả năng hệ thống hóa và đảm bảo tính thống nhất của suy luận quy nạp và suy luận diễn dịch. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Bá Kim, 2002. Phương pháp dạy học môn Toán. Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội. [2] Nguyễn Bá Kim, Tôn Thân, Vương Dương Minh, 1990. Khuyến khích một số hoạt động trí tuệ của học sinh qua môn toán. Nxb Giáo dục, Hà Nội. [3] A. P. Sep - Tu - Lin. Phương pháp nhận thức biện chứng. Nxb Sách Giáo khoa Mác - Lênin. [4] M. Alêcxêep, V. Onhisuc, M. Crugliăc, V. Zabôtin, X. Vecxcle, 1976. Phát triển tư duy học sinh. Nxb Giáo dục, Hà Nội. ABSTRACT Teaching generalization, specialization and systemization when teaching mathematics Teaching mathematics students that exploring generalized and specialized activities in order to discover relationships between that which is general and that which is specific is both necessary and possible. This paper provides examples and a generalized diagram which illustrates the relationship between the general and specific in order to improve student’s ability to make use of systemization 25