Số âm trong máy tính

Số âm trong máy tính Trong toán học, các số âm (bất kể thuộc hệ cơ số nào) đều được biểu diễn bằng cách thông thường là đặt trước số dương tương ứng một dấu "−" (trừ). Ví dụ: với hệ thập phân, số nguyên âm năm được biểu diễn là −5. Tuy nhiên, trong máy tính, khi mọi ký hiệu, con số, ... đều được biểu diễn dưới hệ nhị phân thông qua hai chữ số 0 và 1 thì mọi chuyện lại trở nên phức tạp hơn. Có nhiều cách được sử dụng để biểu diễn số âm trong máy tính. Bài này chỉ giới thiệu bốn phương pháp chủ yếu nhất, đó là: phương pháp dấu lượng (sign-and-magnitude), bù 1, bù 2 và số quá N (excess-N). Các máy tính hiện nay hầu hết đều sử dụng phương pháp biểu diễn số bù 2. Tuy nhiên, trong vài tình huống, các phương pháp khác vẫn có thể được sử dụng. Dấu lượng Phương pháp dấu lượng dùng bit cực trái làm bit dấu (sign bit) – tức đại diện cho dấu của số – theo quy ước: nếu bit dấu là 0 thì số là số dương (0 tương đương với dấu "+"), ngược lại, nếu nó là 1 thì số là số âm (1 tương đương với dấu "−"). Các bit còn lại được dùng để biểu diễn độ lớn của số (hay giá trị tuyệt đối – absolute value – của số). Theo phương pháp này, một byte 8 bit sẽ có 7 bit (trừ đi bit dấu) được dùng để biểu diễn cho các số có giá trị từ 0000000 (0) đến 1111111 (127). Khi sử dụng bit dấu, ý nghĩa của 7 bit trên sẽ thay đổi, và ta có thể biểu diễn các số từ −127 đến +127. Phương pháp này làm cho số âm lẫn trị tuyệt đối của nó (như −5 với +5) đều được biểu diễn theo cùng một cách ở 7 bit biểu diễn độ lớn. Trong phương pháp dấu lượng, số 0 có thể được biểu diễn ở hai dạng, đó là 00000000 (+0) và 10000000 (−0). Dấu lượng –Ví dụ Ví dụ: giả sử mẫu 8 bit, khi sử dụng phương pháp dấu lượng, số 5 được biểu diễn sang hệ nhị phân là: 00000101, còn số −5 là 10000101. So sánh với cách biểu diễn số âm mà ta thường sử dụng, ta thấy phương pháp dấu lượng có nhiều điểm tương đồng. Trong hệ thập phân, khi muốn biểu diễn số có dấu, ta đặt dấu cần biểu diễn ngay trước giá trị tuyệt đối của số. Phương pháp dấu lượng cũng đặt dấu ngay trước giá trị tuyệt đối của số, chỉ có khác ở chỗ thay dấu "+" bằng "0" và "−" bằng "1". Có lẽ vì sự tương đồng này, một vài máy tính thế hệ đầu tiên (như IBM 7090) đã sử dụng phương pháp dấu lượng khi biểu diễn số âm. Phương pháp bù 1 Phương pháp bù 1 biểu diễn số âm theo cách sau: Thứ nhất, bit dấu là 0 nếu số là số dương, và 1 nếu số là số âm. Thứ hai, sử dụng toán tử thao tác bit (bitwise) NOT để đảo tất cả các bit của số nhị phân dương (dĩ nhiên không tính bit dấu) để biểu diễn số âm tương ứng. Như vậy, phương pháp bù 1 hoàn toàn giống như phương pháp dấu lượng, duy chỉ khác ở cách biểu diễn độ lớn của số. Ví dụ: dạng bù 1 của 00101011 (43) là 11010100(−43) (xem bài chính về bù 1 để biết cách biểu diễn số thập phân sang nhị phân bằng phương pháp bù 1). Giống phương pháp dấu lượng, một byte 8 bit áp dụng phương pháp bù 1 cũng có thể biểu diễn các số từ −127 đến +127 (chú ý: đã mất đi một bit dùng làm bit dấu). Bù 1 cũng có hai dạng biểu diễn cho số 0, bao gồm: 00000000 (+0) và 11111111 (−0) (mẫu 8 bit). Bù 1 ( tt) Khi thực hiện phép cộng giữa hai số biểu diễn theo phương pháp bù 1, ta cũng thực hiện theo quy tắc cộng nhị phân thông thường, tuy nhiên, sau khi đã thực hiện xong, nếu còn phát sinh bit nhớ thì phải tiếp tục cộng bit nhớ này vào kết quả vừa thu được. Về vấn đề này, xin xem thêm ở bài chính về bù 1. Phương pháp biểu diễn số bù 1 được sử dụng rộng rãi trong các thế hệ máy tính cũ, điển hình là các dòng máy PDP-1 và UNIVAC 1100/2200. Bù 1 (tt) Bù 1 (tiếng Anh: one's complement) là một số trong hệ nhị phân mà nó chính là bù cơ số trừ 1 (radix-minus-1 complement) của một số khác. Một số bù 1 có thể có được do đảo tất cả các bit có trong số nhị phân (đổi 1 thành 0 và ngược lại). Bên cạnh phương pháp bù 2, bù 1 cũng thường được sử dụng để biểu diễn số âm trong máy tính. Theo phương pháp này, bit cực trái (là bit nằm bên trái cùng của byte) được sử dụng làm bit dấu (sign bit - là bit tượng trưng cho dấu của số) với quy ước: nếu bit dấu là 0 thì số là số dương, còn nếu nó là 1 thì số là số âm. Ngoài bit dấu này ra, các bit còn lại được dùng để diểu diễn độ lớn của số. Ví dụ: số −5 được biểu diễn trong máy tính theo phương pháp bù 1 như sau (với mẫu 8 bit): đầu tiên, xác định số 5 được biểu diễn trong máy tính: 0000 0101. Tiếp theo, đảo tất cả các bit có trong số 5: kết quả sau khi đảo: 1111 1010. Vì là biểu diễn số âm nên bit bên trái cùng luôn giữ là 1. Vậy với phương pháp bù 1, số −5 được biểu diễn trong máy tính như sau: 1111 1010. Bù 1 (tt) Khi thực hiện phép tính cộng với số âm biểu diễn theo phương pháp bù 2, ta thực hiện như phép cộng nhị phân bình thường. Trong trường hợp khi đã thực hiện phép cộng đến bit cực trái mà vẫn phát sinh bit nhớ thì ta cộng tiếp bit nhớ này vào kết quả vừa nhận được. Ví dụ: 1. Cộng hai số thập phân −5 với 2 (mẫu 8 bit): Ví dụ 1111 1010 (số bù 1 của −5) + 0000 0010 (số 2 ở hệ nhị phân) =========== 1111 1100 (số bù 1 của −3) Công bù với 8 bits 2. Cộng hai số thập phân −5 với −7 (mẫu 8 bit): 1111 1010 (số bù 1 của −5) + 1111 1000 (số bù 1 của −7) =========== 1111 0010 (còn nhớ 1) + 1 (cộng tiếp với bit nhớ) =========== 1111 0011 (số bù 1 của −12) Ví dụ Ta thấy: khi cộng hai bit cực trái của hai số 1111 1010 và 1111 1000, ta được kết quả là 1111 0011 và còn nhớ 1, do đó, ta tiếp tục cộng bit nhớ vào kết quả vừa nhận được để ra kết quả cuối cùng Bù 1 và tràn số Xét trường hợp ta đang có hai số âm −5 và −6 ở hệ thập phân. Biểu diễn nhị phân bằng phương pháp bù 1 với mẫu 4 bit của hai số trên lần lượt là 1010 và 1001. Giả sử, bây giờ, ta cần cộng hai số này. Ta thực hiện phép cộng: Bù 1 và tràn số (tt) 1010 (số bù 1 của −5) + 1001 (số bù 1 của −6) ====== 0011 (còn nhớ 1) + 1 ====== 0100 Ta thấy, kết quả nhận được là 0100. Nếu đổi ra hệ thập phân, đây là số nguyên dương 4 chứ không phải −11 như mong đợi. Vấn đề như trên được gọi là tràn số. Nó xảy ra khi ta lấy số lượng bit để biểu diễn quá ít (như trong ví dụ trên là mẫu 4 bit). Bù 2 Trong phương pháp bù 2, các số âm được biểu diễn giống như phương pháp bù 1, tuy nhiên, phải cộng thêm 1 vào kết quả (ở hệ nhị phân). Ví dụ: số −5 được biểu diễn sang hệ nhị phân (xét mẫu 8 bit) sử dụng phương pháp bù 1 là 11111010. Để biểu diễn theo phương pháp bù 2, ta cộng thêm 1 vào số nhị phân ở bù 1, tức cộng 1 cho 11111010: 11111010 + 1 = 11111011. Vậy 11111011 là biểu diễn bằng bù 2 của −5 trong máy tính. Phương pháp biểu diễn số bù 2 ra đời khi người ta gặp vấn đề với hai phương pháp dấu lượng và bù 1, đó là: Có hai cách biểu diễn cho số 0. Bit nhớ phát sinh sau khi đã thực hiện phép tính phải được cộng tiếp vào kết quả. Bù 2 (tt) Với phương pháp bù 2, số 0 chỉ có một cách biểu diễn duy nhất là 00000000 (mẫu 8 bit). Việc đổi dấu một số – kể cả từ âm sang dương hay từ dương sang âm – đều được thực hiện theo cùng một cách, đó là: đảo tất cả các bit rồi cộng thêm một vào kết quả. Việc thực hiện phép cộng với số biểu diễn theo phương pháp bù 2 được thực hiện hoàn toàn giống như cộng hai số nhị phân bình thường, tuy nhiên, khi phát sinh bit nhớ ở bit dấu, ta có thể bỏ nó đi. Về vấn đề này, xin xem thêm ở bài chính về bù 2. Với mẫu 8 bit, phương pháp bù 2 có thể biểu diễn tốt các số nguyên có giá trị từ −128 đến +127 (so với từ −127 đến +127 theo phương pháp dấu lượng và bù 1) do được lợi từ việc tiết kiệm được một cách biểu diễn số 0 (không phân biệt giữa −0 và +0). Bù 2 (tt) Bù 2 (tiếng Anh: two's complement) là một số trong hệ nhị phân là bù đúng (true complement) của một số khác. Một số bù 2 có được do đảo tất cả các bit có trong số nhị phân (đổi 1 thành 0 và ngược lại) rồi thêm 1 vào kết quả vừa đạt được. Thực chất, số biểu diễn ở dạng bù 2 là số biểu diễn ở bù 1 rồi sau đó cộng thêm 1. Phương pháp bù 2 thường được sử dụng để biểu diễn số âm trong máy tính. Theo phương pháp này, bit cực trái (là bit nằm bên trái cùng của byte) được sử dụng làm bit dấu (sign bit - là bit tượng trưng cho dấu của số) với quy ước: nếu bit dấu là 0 thì số là số dương, còn nếu nó là 1 thì số là số âm. Ngoài bit dấu này ra, các bit còn lại được dùng để diểu diễn độ lớn của số. Ví dụ Ví dụ: số nguyên −5 ở hệ thập phân được biểu diễn trong máy tính theo phương pháp bù 2 như sau (với mẫu 8 bit): Bước 1: xác định số nguyên 5 ở hệ thập phân được biểu diễn trong máy tính là: 0000 0101. Bước 2: đảo tất cả các bit nhận được ở bước 1. Kết quả sau khi đảo là: 1111 1010. Bước 3: cộng thêm 1 vào kết quả thu được ở bước 2: kết quả sau khi cộng: 1111 1011. Bước 4: vì là biểu diễn số âm nên bit bên trái cùng luôn giữ là 1. Vậy với phương pháp bù 2, số −5 ở hệ thập phân được biểu diễn trong máy tính như sau: 1111 1011. Ngoài cách làm theo định nghĩa như trên ra, ta còn có thể áp dụng phương pháp bù 2 theo quy tắc sau: với biểu diễn nhị phân của một số dương cho trước, để biểu diễn số âm tương ứng, ta bắt đầu tìm từ phải sang trái cho đến khi gặp bit đầu tiên có giá trị 1. Khi gặp được bit này, ta đảo tất cả các bit từ ngay kề trước nó (tức trước bit có giá trị 1 vừa nói tới) cho đến bit cực trái, và luôn nhớ: bit cực trái là 1. Ví dụ: ta cũng biểu diễn lại số nguyên −5 ở hệ thập phân sang hệ nhị phân theo quy tắc mới này (giả sử với mẫu 8 bit): Bước 1: xác định số nguyên 5 ở hệ thập phân được biểu diễn trong máy tính là: 0000 0101. Bước 2: bắt đầu tìm (từ phải qua trái) bit đầu tiên có giá trị 1, ta thấy, đó là bit thứ nhất (tính từ phải qua). Bước 3: đảo tất cả các bit nằm trước bit thu được ở bước 2. Kết quả nhận được: 1111 1011 Bước 4: vì là biểu diễn số âm nên bit bên trái cùng luôn giữ là 1. Vậy số −5 ở hệ thập phân được biểu diễn trong máy tính theo phương pháp bù 2 là: 1111 1011 (hoàn toàn giống như kết quả trong ví dụ trên). Thực hiện phép cộng với số bù 2 Khi thực hiện phép tính cộng với số âm biểu diễn theo phương pháp bù 2, ta thực hiện như phép cộng nhị phân bình thường, tuy nhiên, trong trường hợp khi đã thực hiện phép cộng đến bit cực trái mà vẫn phát sinh bit nhớ thì ta bỏ bit nhớ này đi. Ví dụ: 1. Cộng hai số thập phân −5 với 2 (mẫu 8 bit): Ví dụ Ví dụ: Cộng hai số thập phân −5 với 2 (mẫu 8 bit): 1111 1011 (số bù 2 của −5) + 0000 0010 (số 2 ở hệ nhị phân) =========== 1111 1101 (số bù của −3) Ví dụ Cộng hai số thập phân −5 với −7 (mẫu 8 bit): 1111 1011 (số bù 2 của −5) + 1111 1001 (số bù 2 của −7) =========== 1111 0100 (số bù của −12) Tràn Số Xét trường hợp ta đang có hai số âm −6 và −4 ở hệ thập phân. Biểu diễn nhị phân bằng phương pháp bù 2 với mẫu 4 bit của hai số trên lần lượt là 1010 và 1100. Giả sử, bây giờ, ta cần cộng hai số này.Ta thực hiện phép cộng: Tràn số (tt) 1010 (số bù 2 của −6) + 1100 (số bù 2 của −4) ====== 0110 Ta thấy, kết quả nhận được là 0110. Nếu đổi ra hệ thập phân, đây là số nguyên dương 6 chứ không phải −10 như mong đợi.