Sổ tay toán cấp III

Tập hợp   1. Mét sè kh¸i niÖm + TËp hîp A, chøa c¸c phÇn tö x, y, ..., A = {x, y, ...}, x  A, y  A + TËp hîp A chøa c¸c phÇn tö x tháa m·n ®iÒu kiÖn P. A = {x\ x tháa m·n ®iÒu kiÖn P} +  gäi lµ tËp rçng (tËp hîp kh«ng cã phÇn tö). + A  B th× A lµ tËp con cña tËp B. + A = B th× tËp A vµ tËp B ®Òu lµ tËp con cña nhau. 2. C¸c phÐp to¸n vÒ tËp hîp + Hîp A  B = {x  A hoÆc x  B} + A  B = B  A ; (A  B)  C = A  (B  C) A  A = A ; A  A  B ; B  A  B A   = A + Giao A  B = {x  A vµ x  B} + A  B = B  A ; A  B  B ; A  B  A A  A = A ; (A  B)  C = (A  C)  (B  C) A   =  ; (A B)  C = (A  C)  (B  C) + (A  B)  C = A  (B  C) + HiÖu A \ B = {x | x  A vµ x  B} A \ A =  (A \ B)  C = (A  C) \ B = (A  C) \ (B  C) A \ B = A \ (A  B) A = (A  B)  (A \ B) + PhÇn bï CAS = A\ S (S  A) 3. TËp hîp sè + TËp hîp sè tù nhiªn N = {0, 1, 2, ...} + TËp hîp sè nguyªn Z = {... -2, -1, 0, 1, 2, ...} + TËp hîp sè h÷u tØ + TËp hîp sè thùc R = {a0, a1, a2, ...| a0  Z, ak  {0, 1, 2, ..., 9}} Nh vËy ta cã : N  Z  Q  R 1. TÝnh chÊt c¸c phÐp to¸n trªn sè + TÝnh chÊt giao ho¸n cña phÐp céng vµ nh©n a + b = b + a ab = ba + TÝnh chÊt kÕt hîp cña phÐp céng vµ nh©n (a + b) + c = a + (b + c) (a.b).c = a.(b.c) + TÝnh chÊt ph©n phèi cña phÐp nh©n ®èi víi phÐp céng (a + b)c = ac + bc + TÝnh chÊt ph©n phèi cña phÐp nh©n ®èi víi phÐp trõ (a - b)c = ac - bc 2. BiÓu thøc ph©n + TÝnh chÊt c¬ b¶n cña ph©n thøc + C¸c phÐp to¸n cña ph©n thøc 3. TØ lÖ thøc + TØ lÖ thøc lµ mét ®¼ng thøc cña hai tØ sè a, d lµ hai ngo¹i tØ ; b, c lµ hai trung tØ. + TÝnh chÊt c¬ b¶n cña tØ lÖ thøc : ad = bc + Mét sè tÝnh chÊt kh¸c Víi a, b, c, d 0 vµ th× : BiÓu thøc ®¹i sè   Lòy thõa C¨n bËc n Luü thõa vµ c¨n sè + Mét sè ®Þnh nghÜa * Luü thõa sè mò nguyªn * Luü thõa sè mò h÷u tØ * Luü thõa sè mò v« tØ (a > 0, x lµ sè v« tØ > 0) (xn) lµ d·y sè gÇn ®óng thiÕu cña x) + C¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña luü thõa Gi¶ sö a > 0, b > 0 x, y  R ta cã : + Mét sè tÝnh chÊt kh¸c * x, y  R, x < y + Víi a > 1  ax < ay + Víi 0 ay * (xn)  R, a > 0 mµ : Luü thõa + §Þnh nghÜa : n  N*, c¨n bËc n cña sè a lµ mét sè b sao cho bn = a, kÝ hiÖu lµ * Mäi sè a chØ cã mét c¨n bËc lÎ * Sè ©m kh«ng cã c¨n bËc ch½n * Sè d¬ng cã hai c¨n bËc ch½n, hai c¨n Êy cã sè trÞ ®èi nhau. Gi¸ trÞ d¬ng cña c¨n bËc ch½n n cña sè a > 0 kÝ hiÖu lµ . + víi a > 0 gäi lµ c¨n sè häc + C¨n bËc n   D·y sè CÊp sè céng CÊp sè nh©n Mét sè c«ng thøc kh¸c D·y sè - CÊp sè céng - CÊp sè nh©n + §Þnh nghÜa Gäi N* = {1, 2, 3, ...} Mét d·y sè lµ mét hµm sè u tõ N* tíi R u : N*  R n  U(n) KÝ hiÖu Un = U(n), viÕt d·y sè díi d¹ng U1, U2, U3, ....Un + C¸ch cho d·y sè * D·y sè cho bëi c«ng thøc : Un = 2n + 1 * D·y sè cho bëi c¸ch m« t¶ c¸c sè h¹ng liªn tiÕp cña nã * D·y sè cho bëi c«ng thøc truy håi ch¼ng h¹n d·y sè Phibonasi : U1 = U2 = 1, Un = Un - 2 + Un - 1 víi n  3 DÔ dµng ta cã d¹ng khai triÓn cña d·y : 1, 1, 2, 3, 5, 8... * D·y sè b»ng quy n¹p : - Cho sè h¹ng thø nhÊt U1 - Víi n > 1 cho c«ng thøc Un khi biÕt Un - 1 + D·y sè t¨ng, gi¶m * D·y sè (Un) gäi lµ t¨ng nÕu n  N *, Un < Un + 1 * D·y sè (Un) gäi lµ gi¶m nÕu n  N *, Un > Un + 1 + D·y sè bÞ chÆn * D·y sè (Un) bÞ chÆn trªn nÕu  M sao cho n  N *, Un  M * D·y sè (Un) bÞ chÆn díi nÕu  M sao cho n  N *, Un  m * Un gäi lµ bÞ chÆn nÕu  M, m sao cho m  Un  M. + C¸c phÐp to¸n trªn d·y sè * (Un)  (Vn) = (Un ± Vn) * (Un) = (Un) * (Un).(Vn) = (Un.Vn) D·y sè   + §Þnh nghÜa CÊp sè céng lµ mét d·y sè trong ®ã, kÓ tõ sè h¹ng thø hai ®Òu lµ tæng cña sè h¹ng ®øng ngay tríc nã víi mét sè kh«ng ®æi kh¸c 0 gäi lµ c«ng sai. n  N*, Un + 1 = Un + d + TÝnh chÊt cña cÊp sè céng * Un + 1  Un = Un + 2  Un + 1 + Sè h¹ng tæng qu¸t Un = U1 + d(n  1) + Tæng n sè h¹ng ®Çu CÊp sè céng   + §Þnh nghÜa CÊp sè nh©n lµ mét d·y sè trong ®ã sè h¹ng ®Çu kh¸c kh«ng vµ kÓ tõ sè h¹ng thø hai ®Òu b»ng tÝch cña sè h¹ng ®øng ngay tríc nã víi mét sè kh«ng ®æi kh¸c 0 vµ kh¸c 1 gäi lµ c«ng béi. n  N*, Un + 1 = Un.q + TÝnh chÊt : + Sè h¹ng tæng qu¸t : Un = U1.q n - 1 + Tæng n sè h¹ng ®Çu tiªn + Tæng cña cÊp sè nh©n v« h¹n Víi |q| < 1 CÊp sè nh©n   Mét sè c«ng thøc kh¸c cña d·y sè   1. Kh¸i niÖm LogaN (a > 0, a 1, N > 0) lµ logarit cña N theo c¬ sè a. 2. C¸c ®¼ng thøc c¬ b¶n cña logarit * lgN lµ logarit thËp ph©n (c¬ sè 10) * LnN lµ logarit tù nhiªn (logarit c¬ sè e) 3. TÝnh chÊt cña logarit 4. §æi c¬ sè 5. Logarit thËp ph©n L«garÝt   Ho¸n vÞ ChØnh hîp Tæ hîp Tam gi¸c Pascal C«ng thøc Newt¬n Tæ hîp - C«ng thøc Newt¬n + §Þnh nghÜa Mét ho¸n vÞ cña n phÇn tö lµ mét bé gåm n phÇn tö ®ã, ®îc s¾p xÕp theo mét thø tù nhÊt ®Þnh, mçi phÇn tö cã mÆt ®óng mét lÇn. Sè tÊt c¶ c¸c ho¸n vÞ kh¸c nhau cña n phÇn tö ký hiÖu lµ Pn + C«ng thøc : Pn =1.2.3.....n = n  Ho¸n vÞ   + §Þnh nghÜa Mét chØnh hîp chËp k cña n phÇn tö (0 < k  n) lµ mét bé s¾p thø tù gåm k phÇn tö lÊy ra tõ n phÇn tö ®· cho. Sè tÊt c¶ c¸c chØnh hîp chËp k cña n phÇn tö ký hiÖu lµ . C«ng thøc : (Qui íc 0! = 1) ChØnh hîp   + §Þnh nghÜa Cho mét tËp hîp A gåm n phÇn tö (n nguyªn d¬ng). Mét tæ hîp chËp k cña n phÇn tö (0  k  n) lµ mét tËp con cña A gåm k phÇn tö. Sè tÊt c¶ c¸c tæ hîp chËp k cña n phÇn tö ký hiÖu lµ + C«ng thøc + TÝnh chÊt Tæ hîp   n = 0 1 n = 1 1 1 n = 2 1 2 1 n = 3 1 3 3 1 n = 4 1 4 6 4 1 n = 5 1 5 10 10 5 1 n = 6 1 6 15 20 15 6 1 n = 7 1 7 21 35 35 21 7 1 n = 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 n = 9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 n = 10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 Tam gi¸c Pascal   Tk lµ sè h¹ng thø k + 1 cña khai triÓn nhÞ thøc : C«ng thøc Newt¬n   Ph¬ng tr×nh HÖ ph¬ng tr×nh Ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh 1. Mét sè khai triÓn + §¼ng thøc f(x) = g(x) (1) trong ®ã f(x) vµ g(x) lµ nh÷ng biÓu thøc cña x, ®îc gäi lµ ph¬ng tr×nh mét Èn sè, x lµ Èn sè. + Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) lµ t×m gi¸ trÞ x = x0 ®Ó cã ®¼ng thøc ®óng f(x0) = g(x0). + T¬ng tù f(x1, x2, x3, ...., xn) = g(x1, x2, x3, ...., xn) ®îc gäi lµ ph¬ng tr×nh n Èn, (n  N *) + TËp hîp c¸c gi¸ trÞ x0 gäi lµ tËp hîp c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh kÝ hiÖu lµ M, nÕu ph¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm th× tËp hîp c¸c nghiÖm lµ tËp . 2. Ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng - phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng + Ph¬ng tr×nh f(x) = 0 (1) cã tËp hîp nghiÖm lµ M1. Ph¬ng tr×nh g(x) = 0 (2) cã tËp hîp nghiÖm lµ M2. * NÕu M1 = M2  (1) vµ (2) t¬ng ®¬ng + NÕu M1  M2  (2) lµ ph¬ng tr×nh hÖ qu¶ cña ph¬ng tr×nh (1). + Hai ph¬ng tr×nh f(x) = 0 (1) vµ f(x) + h(x) = h(x) (2) lµ t¬ng ®¬ng nÕu h(x) cã miÒn x¸c ®Þnh chøa tËp nghiÖm (1). + Hai ph¬ng tr×nh f(x) = 0 (1) vµ f(x).h(x) = 0 (2) t¬ng ®¬ng  h(x) 0 vµ miÒn x¸c ®Þnh h(x) chøa miÒm x¸c ®Þnh cña f(x). 3. Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt + D¹ng ax + b = 0 (x lµ Èn a, b  R miÒn x¸c ®Þnh lµ R). NghiÖm * a 0 : cã nghiÖm duy nhÊt : * a = 0, b 0 : V« nghiÖm * a = 0, b = 0 : V« sè nghiÖm trªn R 4. Ph¬ng tr×nh bËc hai + ax2 + bx + c = 0.  = b2 - 4ac * NÕu  > 0 th× M = {x1, x2} khi b = 2b', '' = b'2 - ac th× : * NÕu  = 0, th× M = {x1} * NÕu  < 0, th× M = . + Mét sè trêng hîp thêng gÆp NÕu  > 0, M = {x1, x2}  < 0, M = . * ax2 + bx + c = 0 cã a + b + c = 0 Ph¬ng tr×nh   §Þnh lÝ ViÐt NÕu ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 cã + XÐt dÊu nghiÖm (quy íc x1 > x2) 5. Ph¬ng tr×nh quy vÒ bËc hai * ax4 + bx2 + c = 0 (1) (a 0) (ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng) §Æt : Ph¬ng tr×nh (1) ®a vÒ ay2 + by + c = 0 (2). Gi¶i ph¬ng tr×nh (2) t×m nghiÖm y  0, sau ®ã t×m x b»ng c«ng thøc * (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = 0 víi a + b = c + d. §Æt y = (x + a)(x + b) §Æt : Chia hai vÕ cña ph¬ng tr×nh cho x2 (v× x = 0 kh«ng ph¶i nghiÖm cña ph¬ng tr×nh). 6. Ph¬ng tr×nh bËc ba + D¹ng x3 + px + q = 0 (1) C«ng thøc nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) (c«ng thøc Cac®an«) + D¹ng y3 + ay2 + by + c = 0 §Æt ta cã ph¬ng tr×nh d¹ng x3 + px + q = 0 vµ cã c«ng thøc gi¶i nh trªn. 7. Ph¬ng tr×nh chøa c¨n bËc hai 8. Ph¬ng tr×nh tuyÖt ®èi 9. Ph¬ng tr×nh mò * N  0 ph¬ng tr×nh v« nghiÖm * N > 0 ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt 10. Ph¬ng tr×nh logarit logax = N (a > 0, a 1) cã nghiÖm duy nhÊt x = a N 1. HÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt * NÕu D 0 hÖ ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm duy nhÊt * NÕu D = 0 vµ (Dx 0) hoÆc (Dy 0) hÖ ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm. * NÕu D = Dx = Dy = 0 - Trêng hîp a = a' = b = b' = 0, c 0, c' 0 hÖ ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm. - C¸c trêng hîp kh¸c hÖ (1) v« sè nghiÖm. 2. HÖ ph¬ng tr×nh bËc hai + HÖ ph¬ng tr×nh bËc hai hai Èn sè cã d¹ng Ta chØ xÐt hai hÖ sau : + HÖ ph¬ng tr×nh ®èi xøng ®èi víi x vµ y (khi thay x bëi y hoÆc y bëi x th× hÖ ph¬ng tr×nh kh«ng ®æi) Ch¼ng h¹n : §èi víi hÖ ph¬ng tr×nh tr×nh nµy ®Æt S = x + y, P = xy. + HÖ ph¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc hai cã d¹ng NÕu x = 0, y = 0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm th× ®Æt y = kx vµ ta ®îc ph¬ng tr×nh bËc hai theo k. HÖ ph¬ng tr×nh   BÊt ph¬ng tr×nh vµ hÖ bÊt ph¬ng tr×nh bËc nhÊt BÊt ph¬ng tr×nh bËc hai Mét sè bÊt ph¬ng tr×nh kh¸c BÊt ph¬ng tr×nh + DÊu cña nhÞ thøc ax + b + BÊt ph¬ng tr×nh bËc nhÊt thêng cã d¹ng ax + b > 0, ax + b  0, ax + b < 0, ax + b  0. ax + b > 0  ax > -b * NÕu a = 0, b > 0 bÊt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm tuú ý M = R. * NÕu a = 0, b < 0 bÊt ph¬ng tr×nh v« nghiÖm M = . + HÖ bÊt ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn sè lµ tËp hîp gåm nhiÒu bÊt ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn sè. T×m miÒn nghiÖm cña tõng bÊt ph¬ng tr×nh, sau ®ã tæng hîp t×m miÒn nghiÖm cña hÖ. BÊt ph¬ng tr×nh vµ hÖ bÊt ph¬ng tr×nh bËc nhÊt   + Tam thøc cã hai nghiÖm th× : + DÊu cña tam thøc *  0 x  R *  = 0 th× a.f(x) > 0 *  > 0 + So s¸nh nghiÖm ph¬ng tr×nh bËc hai + BÊt ph¬ng tr×nh bËc hai BÊt ph¬ng tr×nh bËc hai   ChØ viÖc nh©n hai vÕ cña bÊt ph¬ng tr×nh víi -1 sÏ ®a vÒ hai trêng hîp trªn. + BÊt ph¬ng tr×nh chøa gi¸ trÞ tuyÖt ®èi * |f(x)| < m m > 0  -m < f(x) < m m < 0  M =  * |f(x)| > m + BÊt ph¬ng tr×nh chøa c¨n bËc hai + BÊt ph¬ng tr×nh mò * ax > N * ax < N + BÊt ph¬ng tr×nh logarit Mét sè bÊt ph¬ng tr×nh kh¸c   1. BÊt ®¼ng thøc + MÖnh ®Ò A > B (A lín h¬n B) hoÆc A < B (A nhá h¬n B) gäi lµ bÊt ®¼ng thøc. + BÊt ®¼ng thøc suy réng : A  B hoÆc A  B + KiÓm nghiÖm bÊt ®¼ng thøc A > B  A - B > 0 2. TÝnh chÊt 1) a > b vµ b > c  a > c (tÝnh chÊt b¾c cÇu) a + b > c  a > c – b (chuyÓn vÕ th× ®æi dÊu) 3. Mét sè tÝnh chÊt cña gi¸ trÞ tuyÖt ®èi 4. C¸c bÊt ®¼ng thøc thêng dïng + BÊt ®¼ng thøc C«si DÊu "=" x¶y ra  a = b DÊu "=" x¶y ra  a = b = c * Tæng qu¸t BÊt ®¼ng thøc   * Tæng qu¸t a1, a2, a3, ..., an kh«ng ©m th× DÊu "=" x¶y ra a1 = a2 = a3 = .... = an + BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pxki (C«si - Svacx¬) * Víi hai cÆp sè (a , b), (x , y) th× : (ax + by)2  (a 2 + b2)(x2 + y2) DÊu "=" x¶y ra (víi quy íc tö b»ng 0 th× mÉu b»ng 0) * Tæng qu¸t a1, a2, a3, ..., an, x1, x2, ..., xn  R th× : DÊu "=" x¶y ra + BÊt ®¼ng thøc Trªbsep * Víi hai cÆp sè (a ; b), (A ; B) * Víi ba cÆp sè (a ; b ; c), (A ; B ; C) * Tæng qu¸t DÊu "=" chØ x¶y ra khi a1 = a2 = ... = an hoÆc b1 = b2 = ... = bn + BÊt ®¼ng thøc Becnuli * Víi a > -1, n  N, (1 + a)n  a + na DÊu "=" chØ x¶y ra khi a = 0, hoÆc n = 0, hoÆc n = 1. * Víi a > -1  1,  R (1 + a)  1 + a DÊu "=" chØ x¶y ra khi hoÆc a = 0 hoÆc  = 1. + Mét sè bÊt ®¼ng thøc kh¸c. §¼ng thøc chØ x¶y ra khi ab = 0 * |a + b|  |a| + |b| |a - b|  |a| - |b| |a - b|  |a| + |b| |a - b|  | |a| + |b| | |a|  |b|  -b  a  b ¸nh x¹ Hµm sè Nh÷ng hµm sè c¬ b¶n Hµm sè Cho hai tËp hîp X, Y. Mét ¸nh x¹ f tõ X ®Õn Y, Y lµ mét qui t¾c cho øng víi mçi x  X mét vµ chØ mét phÇn tö y  Y, ký hiÖu lµ X lµ tËp nguån, Y lµ tËp ®Ých, phÇn tö y = f(x) lµ ¶nh cña phÇn tö x  X. ¸nh x¹ tÝch Th× F gäi lµ ¸nh x¹ tÝch cña hai ¸nh x¹ f vµ g, ký hiÖu lµ F = g0f. Ánh x¹   Cho hai tËp hîp sè X vµ Y (X  R, Y  R). Mét ¸nh x¹ f tõ X ®Õn Y lµ mét hµm sè f tõ X ®Õn Y, ký hiÖu lµ : x gäi lµ ®èi sè y = f(x) gäi lµ hµm sè * TËp x¸c ®Þnh TËp hîp c¸c sè thùc x sao cho nhê biÓu thøc cña hµm sè ta tÝnh ®îc y = f(x), ®ã lµ tËp x¸c ®Þnh X = Df * TËp gi¸ trÞ E = {f(x)| x  X} E = f(X) + §å thÞ hµm sè (C) = {(x ; y)| x  X, y = f(x)} + TÝnh chÊt cña hµm sè * Hµm sè ®¬n ®iÖu Y = f(x) ®ång biÕn trªn y = f(x) nghÞch biÕn trªn * Hµm sè ch½n x  X  -x  X vµ f(-x) = f(x) * Hµm sè lÎ x  X  -x  X vµ f(-x) = -f(x) * Hµm sè tuÇn hoµn chu kú T x  X  x + T  X; x - T  X vµ f(x + T) = f(x) = f(x - T) + Hµm sè hîp y = f(u) tËp x¸c ®Þnh D, u = g(x) tËp x¸c ®Þnh D y = f[g(x)] lµ hµm hîp víi tËp x¸c ®Þnh + Hµm sè ngîc Gi¶ sö hµm sè y = f(x) ®¬n ®iÖu t¨ng (hoÆc gi¶m) trªn D vµ miÒn gi¸ trÞ T. Hµm sè ngîc cña f lµ : Thêng ký hiÖu lµ Gi¶ sö ®å thÞ cña hµm sè y = f(x) lµ (C) vµ hµm sè lµ (C') trong hÖ täa ®é Oxy th× (C) ®èi xøng víi (C') qua ®êng ph©n gi¸c cña gãc I vµ gãc III : y = x. Hµm sè   1. Hµm sè bËc nhÊt y = ax + b (1) (a 0; a, b  R), D = R, E = R. a > 0 hµm sè (1) ®ång biÕn, a < 0 hµm sè nghÞch biÕn. (C) lµ mét ®êng th¼ng 2. Hµm sè bËc hai D = R Víi a > 0, Hµm sè ®ång biÕn : Hµm sè nghÞch biÕn : §å thÞ (C) lµ mét parabol cã trôc ®èi xøng lµ ®êng th¼ng , cã täa ®é ®Ønh vµ cã bÒ lâm quay vÒ phÝa trªn. Víi a < 0, Hµm sè ®ång biÕn : Hµm sè nghÞch biÕn : (C) lµ parabol, cã trôc ®èi xøng vµ ®Ønh vµ cã bÒ lâm quay xuèng díi. 3. Hµm sè lòy thõa y = x , tËp x¸c ®Þnh vµ tËp gi¸ trÞ, ®å thÞ tuú thuéc vµo   R. 4. Hµm sè mò y = ax D = R, E = (0 ; +) Víi a > 1 hµm sè ®ång biÕn Víi 0 < a < 1 hµm sè nghÞch biÕn §å thÞ 5. Hµm sè logarit D = (0 ; +), E = R Víi a > 1 hµm sè ®ång biÕn Nh÷ng hµm sè c¬ b¶n   Víi 0 < a < 1 hµm sè nghÞch biÕn §å thÞ Trêng hîp a = e > 1 ta cã y = lnx (®å thÞ nh h×nh díi) 1. Giíi h¹n cña d·y sè 2. C¸c ®Þnh lÝ vÒ giíi h¹n cña d·y §Þnh lÝ 1 (§iÒu kiÖn cÇn) NÕu mét d·y sè cã giíi h¹n th× d·y sè ®ã bÞ chÆn. §Þnh lÝ 2 (tÝnh chÊt duy nhÊt cña giíi h¹n) NÕu mét d·y (Un) cã giíi h¹n th× giíi h¹n ®ã lµ duy nhÊt. §Þnh lÝ 3 (§iÒu kiÖn ®ñ ®Ó d·y sè cã giíi h¹n) Mét d·y sè cã t¨gn vµ bÞ chÆn trªn th× cã giíi h¹n. Mét d·y sè gi¶m vµ bÞ chÆn díi th× cã giíi h¹n. §Þnh lÝ 4 Cho hai d·y sè (Un) vµ (Vn) cã c¸c giíi h¹n th× : 3. Giíi h¹n cña hµm sè §Þnh nghÜa 4. Mét sè giíi h¹n ®¸ng chó ý 5. C¸c ®Þnh lÝ vÒ giíi h¹n §Þnh lÝ 1 : lµ duy nhÊt §Þnh lÝ 2 : Giíi h¹n cña hµm sè   §Þnh lÝ 2 §Þnh lÝ 3 : Ba hµm sè f(x), g(x), h(x) x¸c ®Þnh t¹i mét l©n cËn cña ®iÓm x0 (cã thÓ trõ ra ®iÓm x0) x x0 thuéc l©n cËn ®ã f(x)  g(x)  h(x) 1. Mét sè ®Þnh nghÜa Cho hµm sè y = f(x), tËp x¸c ®Þnh D. Hµm sè y = f(x) liªn tôc t¹i x0 nÕu : Thay cho (2), nÕu chØ cã th× hµm sè f(x) liªn tôc vÒ bªn ph¶i cña x0. Thay cho (2), nÕu chØ cã th× hµm sè liªn tôc vÒ bªn tr¸i cña x0. Hµm sè y = f(x) lµ liªn tôc t¹i ®iÓm x0, x0  D nÕu Hµm sè y = f(x) liªn tôc trªn kho¶ng (a ; b) nÕu nã liªn tôc t¹i mäi ®iÓm thuéc kho¶ng (a ; b). Hµm sè y = f(x) liªn tôc trªn ®o¹n [a ; b] nÕu nã liªn tôc trªn kho¶ng (a ; b) ®ång thêi nã liªn tôc vÒ bªn ph¶i ®iÓm a vµ liªn tôc vÒ bªn tr¸i ®iÓm b. 2. C¸c ®Þnh lÝ vÒ hµm sè liªn tôc Gi¶ sö y = f(x) vµ y = g(x) lµ hµm sè liªn tôc t¹i x0 th× : f(x) + g(x) ; f(x) - g(x) vµ f(x)g(x) liªn tôc t¹i x0. liªn tôc t¹i x0 Gi¶ sö hµm sè y = f(x) liªn tôc trªn kho¶ng (a ; b) vµ x1, x2  (a ; b) víi f(x1) f(x2). Khi ®ã víi mçi sè M n»m gi÷a f(x1), f(x2) ®Òu tån t¹i mét ®iÓm c  (a ; b) sao cho f(c) = M. HÖ qu¶ : gi¶ sö hµm sè y = f(x) liªn tôc trªn kho¶ng (a ; b) cã gi¸ trÞ d¬ng vµ gi¸ trÞ ©m trªn kho¶ng ®ã, th× ph- ¬ng tr×nh f(x) = 0 cã Ýt nhÊt mét nghiÖm x = c thuéc kho¶ng (a ; b). 3. TÝnh liªn tôc cña c¸c hµm sè s¬ cÊp y = f(x) lµ hµm sè s¬ cÊp x¸c ®Þnh trªn D th× hµm sè nµy liªn tôc trªn D. 4. TÝnh liªn tôc cña hµm sè hîp NÕu y = f(u), u = g(x) lµ nh÷ng hµm sè liªn tôc th× hµm sè hîp y = f[g(x)] lµ mét hµm sè liªn tôc. Hµm sè liªn tôc   §Þnh nghÜa ®¹o hµm C¸c c«ng thøc tÝnh ®¹o hµm §¹o hµm cÊp cao Vi ph©n §¹o hµm vµ liªn tôc Qui t¾c L'hospital §¹o hµm §¹o hµm cña hµm sè y = f(x) t¹i ®iÓm x0 lµ : §¹o hµm bªn ph¶i t¹i x0 : §¹o hµm bªn ph¶i t¹i x0 : Hµm sè y = f(x) cã ®¹o hµm trªn kho¶ng (a ; b) hµm sè cã ®¹o hµm t¹i mäi ®iÓm x0 .(a ; b) Hµm sè y = f(x) ®¹o hµm trªn ®o¹n [a ; b] nÕu nã cã ®¹o hµm trªn kho¶ng (a ; b) vµ cã ®¹o hµm bªn ph¶i t¹i a vµ bªn tr¸i t¹i b. C¸ch tÝnh ®¹o hµm : Muèn tÝnh ®¹o hµm hµm sè y = f(x), ta cÇn thùc hiÖn 3 bíc sau : 1) Cho sè gia x t¹i x0 vµ tÝnh 2) LËp tØ sè : 3) T×m §Þnh nghÜa ®¹o hµm   13) y = f(x) cã hµm sè ngîc C¸c c«ng thøc tÝnh ®¹o hµm   y = f(x) cã ®¹o hµm t¹i x, y' = f'(x) y' = f'(x) cã ®¹o hµm t¹i x th× ®¹o hµm nµy lµ ®¹o hµm cÊp 2, ký hiÖu lµ y'' = f''(x) = [f'(x)]'. §¹o hµm cÊp n cña hµm sè y = f(x) §¹o hµm cÊp n cña mét hµm sè §¹o hµm cÊp cao   y' = f(x), D = (a ; b) vµ cã f'(x) t¹i , vi ph©n cña hµm sè t¹i ®iÓm x lµ dy = y'dx (hoÆc df(x) = f'(x)dx) Vi ph©n hµm sè hîp : y = f(u) vµ u = g(x) th× dy = f'(u)du øng dông vi ph©n vµo phÐp tÝnh gÇn ®óng Vi ph©n   NÕu hµm sè y = f(x) ®¹o hµm t¹i ®iÓm th× nã liªn tôc t¹i ®iÓm ®ã. §iÒu ®¶o l¹i kh«ng ®óng. Mét hµm sè liªn tôc t¹i mét ®iÓm cã thÓ kh«ng cã ®¹o hµm t¹i ®iÓm ®ã. §¹o hµm vµ liªn tôc   Dïng ®Ó tÝnh giíi h¹n c¸c d¹ng v« ®Þnh vµ . NÕu hai hµm sè y = f(x) vµ y = g(x) x¸c ®Þnh trªn (a ; b) chøa vµ cã ®¹o hµm trªn (a ; b) th× : Qui t¾c L'hospital   1. Nh¸nh v« tËn (C) lµ ®å thÞ hµm sè y = f(x) cã nh¸nh v« tËn  x  hay f(x) . 2. TiÖm cËn cña ®êng cong §êng th¼ng (D) ®îc gäi lµ tiÖm cËn cña nh¸nh v« tËn (N)  (C) nÕu kho¶ng c¸ch MH tõ M ®Õn (D) (M  (N)) dÇn ®Õn 0 khi M ch¹y trªn (N) ra xa v« tËn. 3. C¸c ®êng tiÖm cËn cña (C) : y = f(x) TiÖm cËn ®øng x = x0 nÕu : hay TiÖm cËn ngang (C) cã tiÖm cËn ngang y = y0 nÕu : Cã tiÖm cËn ngang vÒ bªn ph¶i y = b nÕu : Cã tiÖm cËn ngang vÒ bªn tr¸i y = b' nÕu : TiÖm cËn xiªn §êng th¼ng (D) y = ax + b lµ tiÖm cËn xiªn vÒ bªn ph¶i nÕu : §êng th¼ng (D) y = ax + b lµ tiÖm cËn xiªn vÒ bªn tr¸i nÕu : §êng tiÖm cËn xiªn (D), y = ax + b (vÒ bªn ph¶i) (h÷u h¹n) (D) vÒ bªn tr¸i th× t¬ng tù. 4. §êng tiÖm cËn cña ®å thÞ (C) mét sè hµm hay gÆp : cã hai ®êng tiÖm cËn TiÖm cËn ®øng TiÖm cËn ngang cã hai ®êng tiÖm cËn. TiÖm cËn ®øng §êng tiÖm cËn   TiÖm cËn xiªn víi cã hai ®êng tiÖm cËn. TiÖm cËn xiªn vÒ bªn ph¶i (D1) : TiÖm cËn xiªn vÒ bªn ph¶i (D2) : Chó ý : NÕu ph©n tÝch ®îc f(x) = g(x) + (x), trong ®ã g(x) lµ ®a thøc bËc lín h¬n 1 vµ th× (C) cã tiÖm cËn cong y = g(x). 1. DÊu hiÖu ®ång biÕn, nghÞch biÕn cña hµm sè + §Þnh lÝ Lag¬r¨ng NÕu hµm sè y = f(x) liªn tôc trªn ®o¹n [a ; b] vµ cã ®¹o hµm trªn kho¶ng (a ; b) th× tån t¹i mét ®iÓm c  (a ; b) sao cho f(b) - f(a) = f'(c)(b - a). DÊu hiÖu ®ång biÕn, nghÞch biÕn cña hµm sè y = f(x) cã ®¹o hµm trªn kho¶ng (a ; b). + NÕu f'(x) > 0 x  (a ; b)  f(x) ®ång biÕn trªn (a ; b). + NÕu f'(x) > 0 x  (a ; b)  f(x) nghÞch biÕn trªn (a ; b). + §iÓm tíi h¹n y = f(x), tËp x¸c ®Þnh D. §iÓm x0  D mµ f'(x0) = 0  x0 gäi lµ ®iÓm tíi h¹n cña hµm sè f(x). 2. Cùc ®¹i vµ cùc tiÓu + §Þnh nghÜa Cho hµm sè y = f(x) liªn tôc trªn kho¶ng (a ; b) chøa x0 + §iÓm x0 ®îc gäi lµ ®iÓm cùc tiÓu cña hµm sè f(x), nÕu tån t¹i mét - l©n cËn cña x0(x0 –  ; x0 + ) sao cho víi mäi x x0 cña l©n cËn ®ã ta cã f(x) > f( x0) + §iÓm x0 ®îc gäi lµ ®iÓm cùc ®¹i cña hµm sè f(x), nÕu tån t¹i mét - l©n cËn cña x0(x0 –  ; x0 + ) sao cho víi mäi x x0 cña l©n cËn ®ã ta cã f(x) < f( x0) + C¸c dÊu hiÖu ®iÓm cùc trÞ + §iÒu kiÖn cÇn Cho hµm sè y = f(x) cã ®¹o hµm trªn (a ; b) chøa x0. Hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i x0 khi x0 lµ ®