Sóng gió Chương 2 các phương trình cơ bản của cơ học chất lỏng

Ch−¬ng 2 c¸c ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n cña c¬ häc chÊt láng 2.1 C¸c ph−¬ng ph¸p m« t¶ dßng ch¶y cña chÊt láng Cã hai ph−¬ng ph¸p m« t¶ dßng ch¶y cña chÊt láng. Ph−¬ng ph¸p thø nhÊt lµ ph−¬ng ph¸p Lagrange. Ph−¬ng ph¸p nµy kh¶o s¸t chuyÓn ®éng cña tõng h¹t láng trong kh«ng gian vµ theo thêi gian. Ph−¬ng ph¸p thø hai lµ ph−¬ng ph¸p Euler, kh¶o s¸t biÕn tr×nh thêi gian cña c¸c tÝnh chÊt vËt lý cña chÊt láng t¹i nh÷ng ®iÓm cè ®Þnh trong kh«ng gian. Trong bµi gi¶ng nµy, chØ trõ khi nãi râ rµng, ta mÆc nhiªn thõa nhËn lµ ph−¬ng ph¸p Euler sÏ ®−îc dïng ®Ó m« t¶ chuyÓn ®éng cña chÊt láng do tÝnh thuËn tiÖn cña nã. Trong ph−¬ng ph¸p nµy, mét hÖ täa ®é cÇn ®−îc thiÕt lËp vµ chuyÓn ®éng cña chÊt láng ®èi víi hÖ täa ®é ®ã sÏ ®−îc xem xÐt. HÖ täa ®é nµy cã thÓ lµ hÖ täa ®é ®−îc vÏ trªn h×nh 1.4 hoÆc trªn h×nh 2.1. 2.2 §¹o hµm thêi gian Gi¶ thiÕt r»ng ta dïng ph−¬ng ph¸p Lagrange ®Ó m« t¶ chuyÓn ®éng cña chÊt láng vµ kh¶o s¸t sù thay ®æi cña mét tÝnh chÊt vËt lý s cña mét h¹t láng chuyÓn ®éng cïng víi chÊt láng. Tèc ®é thay ®æi toµn bé cña tÝnh chÊt vËt lý nµy cã thÓ ®−îc chia thµnh hai phÇn: mét phÇn biÓu thÞ thay ®æi theo thêi gian cña tÝnh chÊt vËt lý t¹i vÞ trÝ cho tr−íc vµ mét phÇn biÓu thÞ sù thay ®æi cña tÝnh chÊt vËt lý g©y ra do sù thay ®æi vÞ trÝ cña h¹t láng. Nh− vËy, cã thÓ viÕt ph−¬ng tr×nh sau: i i x su t s dt ds ∂ ∂+∂ ∂= (2.1) ë ®©y, quy ®Þnh Eistein vÒ viÖc tæng ®−îc lÊy theo chØ sè lÆp l¹i trong mét sè h¹ng ®¬n ®· ®−îc ¸p dông. Trong ph−¬ng tr×nh (2.1), ký hiÖu biÓu thÞ tèc ®é thay ®æi toµn phÇncña tÝnh chÊt vËt lý s cña h¹t láng vµ ®−îc coi lµ ®¹o hµm toµn phÇn hoÆc lµ ®¹o hµm Lagrange. Ký hiÖu dtd / t∂∂ / biÓu thÞ tèc ®é thay ®æi theo thêi gian cña tÝnh chÊt vËt lý t¹i mét ®iÓm cè ®Þnh vµ ®−îc gäi lµ tèc ®é thay ®æi ®Þa ph−¬ng theo thêi gian cña tÝnh chÊt vËt lý ®ã. 2.3 Ph−¬ng tr×nh thÓ tÝch kiÓm tra H×nh 2.1 chØ ra mét thÓ tÝch kiÓm tra cè ®Þnh trong kh«ng gian trong mét hÖ täa ®é cho tr−íc. T¹i mét thêi gian cho tr−íc t nµo ®ã, mét khèi chÊt láng lÊp ®Çy thÓ tÝch kiÓm tra nµy. Mét l¸t sau, t¹i thêi ®iÓm t + Δt, mét phÇn cña khèi chÊt láng nµy ®· ch¶y ra khái thÓ tÝch kiÓm tra vµ chÊt láng tõ ngoµi thÓ tÝch kiÓm tra sÏ ch¶y vµo trong ®Ó thay thÕ. 7 y O z ThÓ tÝch kiÓm tra x H×nh 2.1 ThÓ tÝch kiÓm tra vµ khèi chÊt láng t¹i c¸c thêi ®iÓm t vµ t + Δt. Gi¶ thiÕt lµ B biÓu thÞ tæng l−îng cña mét tÝnh chÊt nµo ®ã cña chÊt láng (nh− khèi l−îng, ®éng l−îng hay nhiÖt l−îng v.v.) chøa trong thÓ tÝch kiÓm tra V. Ký hiÖu b lµ l−îng cña B trªn mét ®¬n vÞ khèi l−îng (mËt ®é cña B) sao cho ∫= V bdVB ρ (2.2) §Þnh luËt b¶o toµn cña tÝnh chÊt vËt lý yªu cÇu r»ng tèc ®é thay ®æi tæng céng cña tÝnh chÊt vËt lý bªn trong thÓ tÝch kiÓm tra b»ng tèc ®é thay ®æi ®Þa ph−¬ng cña tÝnh chÊt vËt lý céng víi tèc ®é cña tÝnh chÊt vËt lý ra khái thÓ tÝch kiÓm tra trõ ®i tèc ®é cña tÝnh chÊt vËt lý ®i vµo trong thÓ tÝch kiÓm tra. §iÒu nµy khi thÓ hiÖn b»ng ph−¬ng tr×nh th× cã thÓ ®−îc viÕt nh− sau: t BBbdV tdt dB inout t CV Δ −+∂ ∂= →Δ∫ 0limρ (2.3) ë ®©y vµ lÇn l−ît lµ l−îng cña tÝnh chÊt vËt lý ra khái vµ ®i vµo thÓ tÝch kiÓm tra trong kho¶ng thêi gian . outB inB tΔ H×nh 2.2 Mét diÖn tÝch v« cïng bÐ trªn bÒ mÆt cña thÓ tÝch kiÓm tra Bëi v× tÝnh chÊt B chuyÓn ®éng cïng víi chÊt láng, tèc ®é ch¶y ra cña B tõ thÓ tÝch 8 kiÓm tra chØ cã thÓ lµ hµm sè cña vËn tèc dßng ch¶y trªn bÒ mÆt thÓ tÝch kiÓm tra. Nh− chØ ra trªn h×nh 2.2, khèi l−îng chÊt láng ch¶y ra khái thÓ tÝch kiÓm tra trong kho¶ng thêi gian Δt qua mét diÖn tÝch rÊt nhá trªn bÒ mÆt thÓ tÝch kiÓm tra lµ ( ) tAnu ΔΔ⋅ rrρ víi nr lµ vector ®¬n vÞ vu«ng gãc víi phÇn tö bÒ mÆt AΔ vµ h−íng ra ngßai. ( )nu rr ⋅ ký hiÖu tÝch v« h−íng cña hai vector. §¹i l−îng B ch¶y ra khái phÇn tö bÒ mÆt trong kho¶ng thêi gian v« cïng bÐ nµy sÏ lµ ( ) tAnub ΔΔ⋅ rrρ . TÝch ph©n trªn toµn bé bÒ mÆt cho ta: ( )dAnub t BB S inout t ∫ ⋅=Δ−→Δ rrρ0lim (2.4) Nh− vËy, ph−¬ng tr×nh (2.3) cã thÓ ®−îc viÕt lµ: ( )dAnubbdV tdt dB SCV ∫∫ ⋅+∂∂= rrρρ (2.5) víi S lµ diÖn tÝch cña bÒ mÆt thÓ tÝch kiÓm tra. NÕu nh− kh«ng cã ®iÓm nguån hoÆc ®iÓm hót cña tÝnh chÊt vËt lý ë bªn trong thÓ tÝch kiÓm tra th× ta sÏ cã ph−¬ng tr×nh sau: ( ) 0=⋅+∂ ∂= ∫∫ dAnubbdVtdtdB SCV rrρρ (2.6) T¹i ®iÓm nµy, ta cã ®−îc ph−¬ng tr×nh b¶o toµn cho thÓ tÝch kiÓm tra. Tuy nhiªn, rÊt khã ®¸nh gi¸ tõng sè h¹ng trong ph−¬ng tr×nh (2.6). §Ó cã thÓ lµm ®−îc ®iÒu nµy, nh− ®· chØ ra trªn h×nh 2.3, thÓ tÝch kiÓm tra ®−îc chia nhá thµnh mét sè v« h¹n c¸c thÓ tÝch kiÓm tra v« cïng bÐ. Sau ®ã, thay v× kh¶o s¸t tèc ®é ch¶y cña tÝnh chÊt vËt lý ra khái thÓ tÝch kiÓm tra, ta kh¶o s¸t tèc ®é ch¶y cña tÝnh chÊt vËt lý ra khái mçi thÓ tÝch kiÓm tra v« cïng bÐ. Tèc ®é ch¶y ra khái mét thÓ tÝch nh− thÕ nµy trõ ®i tèc ®é ch¶y vµo thÓ tÝch nµy lµ ( ) ( ) Vuzyx z u y u x uyxuzxuzyu xyz z uuzxy y u uzyx x uu zyx zyx z z y y x x Δ⋅∇=ΔΔΔ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂=ΔΔ+ΔΔ+ΔΔ− ΔΔ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ Δ∂ ∂++ΔΔ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ Δ∂ ∂++ΔΔ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ Δ∂ ∂+ rr (2.7) ë ®©y zkyjxi ∂∂+∂∂+∂∂=∇ /// rrrr víi ji rr , vµ kr lÇn l−ît lµ c¸c vector ®¬n vÞ theo c¸c h−íng x, y vµ z. LÊy tæng cña tÊt c¶ tèc ®é ch¶y ra tõ mçi thÓ tÝch kiÓm tra víi giíi h¹n lµ thÓ tÝch cña 9 mçi phÇn tö tiÕn tíi zero sÏ cho ta tèc ®é ch¶y ra tõ thÓ tÝch kiÓm tra. Sau ®ã, dïng ®Þnh lý ph©n kú ®Ó liªn hÖ gi÷a c¸c tÝch ph©n thÓ tÝch vµ bÒ mÆt, ta cã: ( ) ( )dVubdAnub CVS ∫∫ ⋅∇=⋅ rrrr ρρ (2.8) Nh− vËy, tõ c¸c ph−¬ng tr×nh (2.5), (2.6) vµ (2.8), ta cã thÓ rót ra ph−¬ng tr×nh sau: ( ) ( ) 0=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⋅∇+∂ ∂∫ dVubbtCV rr ρρ (2.9) H×nh 2.3 C¸c thÓ tÝch v« cïng bÐ bªn trong thÓ tÝch kiÓm tra Bëi vµ thÓ tÝch kiÓm tra CV lµ tuú ý chän, râ rµng lµ nÕu cã mét ®iÓm trong kh«ng gian mµ t¹i ®ã ®¹i l−îng trong ngoÆc vu«ng bªn vÕ tr¸i cña ph−¬ng tr×nh (2.9) kh¸c zero, ta cã thÓ ®iÒu chØnh thÓ tÝch kiÓm tra sao cho nã chØ chøa ®iÓm nµy. §iÒu nµy cã nghÜa lµ tÝch ph©n bªn vÕ tr¸i cña ph−¬ng tr×nh (2.9) kh¸c zero vµ ph−¬ng tr×nh nµy kh«ng ®−îc tháa m·n ®èi víi thÓ tÝch kiÓm tra nµy. Nh− vËy, ®Ó ®¶m b¶o lµ ph−¬ng tr×nh (2.9) ®−îc tháa m·n cho toµn bé miÒn tÝnh, ®¹i l−îng trong ngoÆc vu«ng ë vÕ tr¸i cña ph−¬ng tr×nh (2.9) ph¶i lµ zero t¹i tÊt c¶ mäi ®iÓm trong miÒn nghiªn cøu. Hay nãi c¸ch kh¸c ( ) ( ) 0=⋅∇+∂ ∂ ubb t rr ρρ (2.10) 2.4 §Þnh luËt b¶o toµn vËt chÊt vµ ph−¬ng tr×nh liªn tôc NÕu nh− ®¹i l−îng vËt lý nãi ë trªn ®−îc lÊy lµ khèi l−îng chÊt láng th× b trong ph−¬ng tr×nh (2.10) b»ng 1, vµ ph−¬ng tr×nh b¶o toµn vËt chÊt trë thµnh ( ) 0=⋅∇+∂ ∂ u t rr ρρ or ( ) 0=∂ ∂+∂ ∂ i i u xt ρρ (2.11) Ph−¬ng tr×nh (2.11) th−êng ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh liªn tôc cña dßng ch¶y láng. 10 2.5 §Þnh luËt b¶o toµn ®éng l−îng vµ ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng 2.5.1 Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña Cauchy Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng ®−îc rót ra b»ng c¸ch liªn hÖ B víi ®éng l−îng cña toµn hÖ thèng. §éng l−îng lµ mét ®¹i l−îng vector, lµ tÝch cña khèi l−îng vµ vËn tèc. Nh− vËy, b lµ vector vËn tèc . Tõ ®Þnh luËt chuyÓn ®éng cña Newton, tèc ®é thay ®æi cña ®éng l−îng trong mét hÖ víi khèi l−îng bÊt biÕn b»ng lùc t¸c dông: ur F dt Bd r r = (2.12) ë ®©y F r lµ lùc t¸c dông lªn hÖ. Nh− vËy b»ng c¸ch sö dông ph−¬ng tr×nh (2.12), ph−¬ng tr×nh (2.5) trë thµnh: ( ) ( )dAnuudVu t F SCV ∫∫ ⋅+∂∂= rrrr r ρρ (2.13) Trong ®ã F r lµ tæng cña tÊt c¶ c¸c lùc t¸c dông lªn chÊt láng trong thÓ tÝch kiÓm tra. Ký hiÖu lùc t¸c ®éng lªn mét ®¬n vÞ khèi l−îng láng (mËt ®é lùc) lµ f r , ta cã: ∫= CV dVfF rr (2.14) Dïng ®Þnh lý ph©n kú vµ ph−¬ng tr×nh (2.14), cã thÓ viÕt ph−¬ng tr×nh (2.13) cho mçi thµnh phÇn trªn mçi h−íng nh− sau: ( ) ( ) 0=⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ∂ ∂−∂ ∂−∫ CV ji j ii dVuux u t f ρρ (2.15) Bëi v× thÓ tÝch kiÓm tra lµ tuú ý, tõ ph−¬ng tr×nh (2.15) ta cã thÓ rót ra ph−¬ng tr×nh sau: ( ) ( ) iji j i fuux u t =∂ ∂+∂ ∂ ρρ (2.16) Dïng ph−¬ng tr×nh liªn tôc (Eq. 2.11), ta cã thÓ viÕt l¹i ph−¬ng tr×nh (2.16) nh− sau: 11 i j i j i f x uu t u =∂ ∂+∂ ∂ ρρ (2.17) H×nh 2.4 Lùc ¸p suÊt theo h−íng x Ph−¬ng tr×nh (2.17) lµ ph−¬ng tr×nh Cauchy cña chuyÓn ®éng cña chÊt láng. Sè h¹ng ®Çu tiªn trong vÕ tr¸i cña ph−¬ng r×nh biÓu thÞ tèc ®é thay ®æi ®Þa ph−¬ng cña ®éng l−îng t¹i mét ®iÓm trong khi sè h¹ng thø hai biÓu thÞ tèc ®é thay ®æi cña ®éng l−îng t¹i ®iÓm ®ã g©y ra do dßng ch¶y (¶nh h−ëng cña hiÖn t−îng b×nh l−u). §èi víi bµi to¸n sãng träng lùc bÒ mÆt, chØ cã ¸p suÊt, øng suÊt c¾t vµ träng lùc lµ cÇn ®−îc xem xÐt. ¸p suÊt d− t¸c ®éng lªn mét ®¬n vÞ thÓ tÝch cña chÊt láng cã thÓ t×m ®−îc dÔ dµng b»ng c¸ch xem xÐt h×nh lËp ph−¬ng v« cïng bÐ nh− chØ ra trªn h×nh 2.4. Trong h×nh, chØ cã lùc ¸p suÊt t¸c ®éng lªn c¸c bÒ mÆt vu«ng gãc víi trôc x lµ ®−îc vÏ. Lùc ¸p suÊt d− t¸c ®éng theo h−íng x lªn mét ®¬n vÞ thÓ tÝch lµ: x pzyx x ppzyp V ∂ ∂−=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ΔΔ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ Δ∂ ∂+−ΔΔΔ 1 (2.18) øng suÊt c¾t t¸c ®éng theo h−íng x lªn mét thÓ tÝch v« cïng bÐ ®−îc chØ ra trªn h×nh 2.5. Trong h×nh, chØ sè thø nhÊt cñaτ chØ trôc täa ®é vu«ng gãc víi bÒ mÆt cña h×nh lËp ph−¬ng vµ chØ sè thø hai chØ ra h−íng cña thµnh phÇn cña øng suÊt. Thµnh phÇn cña øng suÊt t¸c ®éng theo h−íng vu«ng gãc víi bÒ mÆt ®−îc bao hµm trong ¸p suÊt vµ nh− vËy kh«ng ®−îc tÝnh ®Õn. Nh− ®· chØ ra trong h×nh, lùc d− trªn mét ®¬n vÞ thÓ tÝch do øng suÊt nhít g©y ra theo h−íng i lµ: ( ) j jiziyixi i xzyx f ∂ ∂−=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂−= τττττ (2.19) Träng lùc theo h−íng i lµ tÝch cña träng l−îng cña phÇn tö ®−îc xem xÐt nh©n víi cosine cña gãc gi÷a ph−¬ng th¼ng ®øng vµ h−íng i. 12 ( ) i gi x hgf ∂ ∂−= ρ (2.20) ë ®©y, chiÒu d−¬ng cña h h−íng lªn phÝa trªn. TiÕp theo, dïng c¸c ph−¬ng tr×nh tõ (2.18) tíi (2.20), ph−¬ng tr×nh (2.17) trë thµnh j ji iij i j i xx hg x p x uu t u ∂ ∂−∂ ∂−∂ ∂−=∂ ∂+∂ ∂ τρρρ (2.21) H×nh 2.5 øng suÊt c¾t theo h−íng x trªn thÓ tÝch v« cïng bÐ Ph−¬ng tr×nh (2.21) chøa tensor øng suÊt c¾tτ . §Ó cã thÓ viÕt ®−îc ph−¬ng tr×nh nµy d−íi d¹ng ¸p dông ®−îc, tensor nµy nhÊt ®Þnh ph¶i ®−îc biÓu thÞ d−íi d¹ng nh÷ng ®¹i l−îng c¬ b¶n nh− vËn tèc vµ nh÷ng ®¹o hµm cña nã. §Ó cã thÓ lµm ®−îc viÖc nµy, ta ph¶i kh¶o s¸t kü c¸c ®Æc tÝnh cña chÊt láng chuyÓn ®éng. 2.5.2 ChuyÓn dÞch, quay vµ vËn tèc biÕn d¹ng H·y xem xÐt mét ®iÓm trong mét chÊt láng mµ t¹i ®ã vËn tèc lµ 0ix 0ur (xem h×nh 2.6). T¹i mét ®iÓm l©n cËn víi täa ®é lµ , vËn tèc lµ xxi Δ+0 uu rr Δ+0 . Gi¶ thiÕt r»ng ur lµ mét hµm liªn tôc cña c¸c biÕn kh«ng gian th× ta cã thÓ khai triÓn Taylor hµm nµy t¹i l©n cËn ®iÓm nh− sau: 0ix ( ) ...... !2 2 2 2 00 +Δ∂ ∂+Δ∂ ∂+=Δ+ i i i i x x ux x uuuu rrrrr (2.22) Bá qua c¸c sè h¹ng bËc hai vµ nhá h¬n, tõ ph−¬ng tr×nh (2.22) ta cã thÓ rót ra ph−¬ng tr×nh sau: 13 j j i i xx uu Δ∂ ∂=Δ (2.23) Hay, b»ng c¸ch céng vµo vµ trõ ®i nh÷ng sè h¹ng gièng nhau vµo vÕ ph¶i cña ph−¬ng tr×nh (2.23), ta cã: j i j j i j i j j i i xx u x ux x u x uu Δ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂+Δ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂=Δ 2 1 2 1 (2.24) Nh− vËy tensor ®· ®−îc chia thµnh mét tensor bÊt ®èi xøng ji xu ∂∂ / ijω vµ mét tensor ®èi xøng lÇn l−ît ®−îc ®Þnh nghÜa nh− sau: ijd ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂= i j j i ij x u x u 2 1ω (2.25) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂= i j j i ij x u x ud 2 1 (2.26) H×nh 2.6 ChuyÓn ®éng cña nh÷ng ®iÓm l©n cËn H×nh 2.7 Mét phÇn tö láng ë vÞ trÝ ban ®Çu 14 Thêi ®iÓm t+Δt H×nh 2.8 ChuyÓn ®éng cña phÇn tö láng H·y xem xÐt mét phÇn tö láng h×nh ch÷ nhËt víi mét gãc n»m t¹i gèc täa ®é, nh− trªn h×nh 2.7. ChÊt láng chuyÓn ®éng víi vËn tèc biÕn ®æi trong kh«ng gian vµ vËn tèc chuyÓn ®éng cña chÊt láng t¹i gèc täa ®é lµ 0ur , vËn tèc t¹i ®iÓm a lµ ( ) yyuuu a Δ∂∂+= /0 rrr , vµ vËn tèc t¹i ®iÓm c lµ ( ) xxuuu c Δ∂∂+= /0 rrr . H·y xem xÐt h¹t láng nµy sau mét kho¶ng thêi gian Δt, nh− thÊy trªn h×nh 2.8. §iÓm o chuyÓn ®éng ®−îc mét qu·ng ®−êng tu Δ0r , ®iÓm a chuyÓn ®éng ®−îc mét qu·ng ®−êng tu aΔr , v.v. Bëi v× vËn tèc chuyÓn ®éng t¹i c¸c ®iÓm kh¸c nhau nãi chung lµ kh¸c nhau mét chót, phÇn tö láng ®· bÞ biÕn d¹ng vµ kh«ng cßn lµ h×nh ch÷ nhËt n÷a. §Ó cã thÓ thÊy râ tÝnh chÊt cña sù biÕn d¹ng nµy, tr−íc hÕt ta h·y xem xÐt tr−êng hîp x u y u yx ∂ ∂−=∂ ∂ vµ 0=∂ ∂=∂ ∂ y u x u yx (2.27) Bëi v× kh«ng cã sù biÕn ®æi vËn tèc chuyÓn ®éng theo h−íng x däc theo trôc x, c¸c c¹nh a-b vµ o-c kh«ng dµi ra vµ còng kh«ng ng¾n ®i; t−¬ng tù, c¸c c¹nh o-a vµ b-c còng gi÷ nguyªn chiÒu dµi. Sau mét kho¶ng thêi gian Δt, h¹t láng trë thµnh h×nh d¹ng nh− trªn h×nh 2.9. §iÓm a ®· chuyÓn ®éng ®−îc mét qu·ng ®−êng dµi h¬n mét kho¶ng lµ theo h−íng x so víi ®iÓm o, vµ ®iÓm c ®· chuyÓn ®éng ®−îc mét qu·ng ®−êng dµi h¬n mét kho¶ng lµ tyyux ΔΔ∂∂ / txxu y ΔΔ∂∂ / theo h−íng y so víi ®iÓm o. Gãc gi÷a c¹nh o-a vµ ph−¬ng th¼ng ®øng lµ ; gãc gi÷a c¹nh o-c vµ ph−¬ng n»m ngang lµtyux Δ∂∂ / txu y Δ∂∂ / . Nh− vËy, víi nh÷ng gi¶ thiÕt nh− trªn, phÇn tö láng ®· tr¶i qua mét qu¸ tr×nh dÞch chuyÓn vÞ trÝ vµ quay. Më réng lý luËn cho ba chiÒu, ta thÊy r»ng ®iÒu kiÖn cho chuyÓn ®éng nh− thÕ nµy lµ 0≠ijω vµ 0=ijd . Xem xÐt tiÕp tensor ijω ta thÊy r»ng nã m« t¶ chuyÓn ®éng quay cña phÇn tö láng. §Ó ®Þnh l−îng sù biÕn d¹ng cña phÇn tö láng, mét vector xo¸y ®−îc ®Þnh nghÜa nh− 15 sau: ur rr ×∇= 2 1ω (2.28) Víi ký hiÖu × biÓu thÞ tÝch vector cña hai vector. Thêi ®iÓm t+Δt H×nh 2.9 Sù quay cña phÇn tö láng Bëi v× ijω ®· ®−îc x¸c ®Þnh lµ vËn tèc quay cña phÇn tö láng, cã thÓ ®−îc xem lµ vËn tèc biÕn d¹ng cña phÇn tö láng. Cã nghÜa lµ ijd ijω biÓu thÞ sù quay cña phÇn tö láng nh− lµ mét vËt r¾n trong khi ®ã biÓu thÞ sù chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi cña c¸c ®iÓm kh¸c nhau trªn phÇn tö láng. Nh− vËy, chuyÓn ®éng cña mét chÊt láng bao gåm: ijd 1. mét sù di chuyÓn cña chÊt láng nh− víi vËt r¾n céng víi 2. mét sù quay cña chÊt láng nh− víi vËt r¾n (tensor bÊt ®èi xøng) céng víi 3. mét sù biÕn d¹ng (tensor ®èi xøng). C¸c hiÖu øng trªn ®−îc diÔn t¶ b»ng mét chuyÓn ®éng ®¬n gi¶n víi vËn tèc biÕn ®æi nh− thÊy trªn h×nh 2.10. Mét phÇn tö láng gÇn gèc täa ®é bÞ biÕn d¹ng vµ quay nh− trªn h×nh vÏ ®Ó t¹o ra mét dßng ch¶y nh− thÕ nµy. H×nh 2.10 Dßng ch¶y víi vËn tèc biÕn ®æi t¹o ra chuyÓn ®éng quay vµ 16 chuyÓn ®éng biÕn d¹ng thuÇn tóy 2.5.3 Mèi liªn hÖ gi÷a vËn tèc biÕn d¹ng vµ øng suÊt – Ph−¬ng tr×nh Navier-Stokes Trong ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña chÊt láng, tensor øng suÊt c¾t nhÊt ®Þnh ph¶i ®−îc liªn hÖ víi nh÷ng tÝnh chÊt vËt lý cña dßng ch¶y. C¬ së cho mèi liªn hÖ nµy lµ ®Þnh luËt Newton vÒ tÝnh nhít. NÕu nh− cã mét chÊt láng víi vËn tèc ch¶y theo h−íng trôc x chØ biÕn ®æi theo h−íng trôc y th× øng suÊt c¾t t¸c ®éng lªn mét ®¬n vÞ diÖn tÝch bÒ mÆt vu«ng gãc víi trôc y chØ cã mét thµnh phÇn theo h−íng x vµ ®−îc biÓu thÞ nh− sau: dy dux yx μτ −= (2.29) Trong ®ã μ lµ hÖ sè tû lÖ gi÷a øng suÊt nhít vµ gradient vËn tèc vµ ®−îc gäi lµ ®é nhít (hay ®é nhít ®éng lùc) cña chÊt láng. §é nhít lµ mét tÝnh chÊt cña chÊt láng vµ lµ mét h»ng sè c¬ b¶n theo quan ®iÓm c¬ häc chÊt láng. Mét chÊt láng tu©n theo ®Þnh luËt Newton ®−îc gäi lµ chÊt láng Newton. C¸c chÊt láng kh«ng tu©n theo ®Þnh luËt nµy ®−îc gäi lµ c¸c chÊt láng phi Newton. May m¾n lµ n−íc vµ kh«ng khÝ trong nh÷ng ®iÒu kiÖn th«ng th−êng nhÊt lµ c¸c chÊt láng Newton. DÊu ©m trong ph−¬ng tr×nh (2.29) cã nghÜa lµ ®éng l−îng ®−îc vËn chuyÓn tõ n¬i cao (víi vËn tèc lín) tíi n¬i thÊp (víi vËn tèc nhá). Dïng ®Þnh luËt Newton vÒ tÝnh nhít, ta cã thÓ rót ra ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng c¬ b¶n cña chÊt láng, ph−¬ng tr×nh Navier-Stokes nh− sau i i i ij i j ii g x u x p x uu t u dt du ρμρρ +∂ ∂+∂ ∂−=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂= 2 2 (2.30) víi lµ thµnh phÇn gia tèc träng tr−êng theo ph−¬ng i. ig Ph−¬ng tr×nh Navier-Stokes cã thÓ viÕt d−íi d¹ng vector nh− sau: ρμρ +Δ+∇−=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∇⋅+∂ ∂ upuu t u rrrrrr g (2.31) ë ®©y lµ ký hiÖu cña to¸n tö Laplace, vµ g vector gia tèc träng tr−êng. 222222 /// zyx ∂∂+∂∂+∂∂=Δ Ph−¬ng tr×nh Navier-Stokes (2.31) biÓu thÞ sù b¶o toµn ®éng l−îng cña chÊt láng. Sè h¹ng ®Çu tiªn trong ngoÆc ®¬n ë vÕ tr¸i cña ph−¬ng tr×nh nµy biÓu thÞ tèc ®é biÕn ®æi ®Þa ph−¬ng cña ®éng l−îng, sè h¹ng thø hai biÓu thÞ tèc ®é biÕn ®æi cña ®éng l−îng g©y ra do 17 b×nh l−u (hay ®èi l−u); sè h¹ng thø nhÊt ë vÕ ph¶i biÓu thÞ sù biÕn ®æi cña ®éng l−îng g©y ra bëi ¸p suÊt, sè h¹ng thø hai biÓu thÞ sù khuyÕch t¸n ®éng l−îng g©y ra bëi ®é nhít, vµ sè h¹ng cuèi cïng biÓu thÞ sù thay ®æi cña ®éng l−îng g©y ra bëi träng lùc. C¸c ph−¬ng tr×nh Navier-Stokes cho c¸c thµnh phÇn vËn tèc dßng ch¶y theo c¸c h−íng (2.30) cïng víi ph−¬ng tr×nh liªn tôc (2.11) t¹o nªn mét hÖ bèn ph−¬ng tr×nh cho bèn Èn dïng ®Ó m« t¶ dßng ch¶y: ba thµnh phÇn vËn tèc dßng ch¶y theo ba h−íng vµ ¸p suÊt. §èi víi c¸c bµi to¸n c¬ häc chÊt láng nãi chung, mËt ®é cña chÊt láng còng lµ nh÷ng ®¹i l−îng ch−a biÕt vµ cÇn ph¶i ®−îc x¸c ®Þnh dùa trªn ph−¬ng tr×nh tr¹ng th¸i. Tuy nhiªn, trong c¸c bµi to¸n vÒ sãng giã, mËt ®é n−íc cã thÓ xem lµ kh«ng ®æi. 2.5.4 ChÊt láng lý t−ëng Mét chÊt láng cã ®é nhít b»ng kh«ng ®−îc gäi lµ chÊt láng lý t−ëng. §èi víi lo¹i chÊt láng nµy, ph−¬ng tr×nh liªn tôc vµ ph−¬ng tr×nh ®éng l−îng cã thÓ ®−îc viÕt nh− sau: ( ) 0=∂ ∂+∂ ∂ i i u xt ρρ (2.32) i ij i j i g x p x uu t u ρρ +∂ ∂−=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂ (2.33) Ph−¬ng tr×nh (2.33) ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh Euler cña dßng ch¶y. Trong c¸c bµi to¸n vÒ sãng, lo¹i trõ sãng vì gÇn bê, sãng gÇn c«ng tr×nh vµ sãng trong n−íc rÊt n«ng, ¶nh h−ëng cña ®é nhít lµ cã thÓ bá qua vµ n−íc ®−îc coi lµ chÊt láng lý t−ëng. §èi víi nh÷ng vÊn ®Ò thuéc ®éng lùc sãng, n−íc cã thÓ ®−îc coi lµ kh«ng nÐn ®−îc vµ nh− vËy c¸c ph−¬ng tr×nh (2.32) vµ (2.33) trë thµnh: 0=∂ ∂ i i x u (2.34) i ij i j i g x p x uu t u +∂ ∂−=∂ ∂+∂ ∂ ρ 1 (2.35) ChuyÓn ®éng cña chÊt láng lý t−ëng cã thÓ coi lµ kh«ng xo¸y mÆc dï trong thùc tÕ nã cã thÓ quay víi mét tèc ®é quay kh«ng ®æi. Trong tr−êng hîp nµy, nÕu ta xem xÐt mét h¹t láng h×nh cÇu, ta thÊy r»ng tÊt c¶ c¸c lùc lµ g©y ra bëi ¸p suÊt vµ träng lùc mµ kh«ng cã lùc g©y ra do biÕn d¹ng c¾t. Nh− vËy, tÊt c¶ c¸c lùc ph¶i t¸c dông theo h−íng vµo t©m cña h¹t láng vµ kh«ng cã lùc nµo g©y ra (hay buéc dõng l¹i) chuyÓn ®éng quay. §iÒu kiÖn kh«ng cã chuyÓn ®éng quay ®−îc biÓu thÞ nh− sau: 0=∂ ∂−∂ ∂ i j j i x u x u (2.36) 18 Khi mét chuyÓn ®éng lµ kh«ng xo¸y, cã thÓ biÓu thÞ dßng ch¶y b»ng thÕ vËn tèc Φ , ®−îc ®Þnh nghÜa nh− sau: i i x u ∂ Φ∂= (2.37) Thay thÕ ph−¬ng tr×nh (2.37) vµo (2.36) cho thÊy r»ng ®iÒu kiÖn kh«ng xo¸y ®−îc tù ®éng tháa m·n. Ng−îc l¹i, thÕ vËn tèc tån t¹i chØ khi nµo dßng ch¶y lµ kh«ng xo¸y. TiÕp tôc, ta gi¶ thiÕt r»ng ngoµi tÝnh kh«ng nhít, chÊt láng lµ kh«ng nÐn ®−îc. Khi ®ã ph−¬ng tr×nh liªn tôc biÓu thÞ ph©n kú b»ng kh«ng: 0=∂ ∂ i i x u (2.38) ThÕ (2.37) vµo (2.38) cho ta: 02 2 =ΔΦ=∂ Φ∂ ix (2.39) Ph−¬ng tr×nh nµy ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh Laplace's. Bµi to¸n dßng ch¶y kh«ng nhít ®· trë thµnh bµi to¸n víi mét ph−¬ng tr×nh cho mét Èn lµ thÕ vËn tèc . H¬n n÷a, ph−¬ng tr×nh nµy lµ tuyÕn tÝnh trong khi hÖ ph−¬ng tr×nh ban ®Çu lµ phi tuyÕn. Nh− vËy, c¸c gi¶ thiÕt (hay phÐp xÊp xØ) vÒ tÝnh kh«ng xo¸y vµ tÝnh kh«ng nÐn ®−îc ®· cho ta nh÷ng ®¬n gi¶n hãa v« cïng lín. Φ Mét khi ®· biÕt thÕ vËn tèc b»ng c¸ch gi¶i ph−¬ng tr×nh (2.39), ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cho phÐp ta tÝnh ®−îc ¸p suÊt. ThÕ ®Þnh nghÜa cña thÕ vËn tèc, ph−¬ng tr×nh (2.37) vµo ph−¬ng tr×nh (2.35) cho ta: i ijiji g x p xxxxt +∂ ∂−=∂∂ Φ∂ ∂ Φ∂+∂ Φ∂ ∂ ∂ ρ 12 (2.40) Sè h¹ng thø hai cña ph−¬ng tr×nh (2.40) cã thÓ ®−îc biÓu thÞ lµ: 22 12 jj ijjijij uu xxxxxxx ∂ ∂=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ Φ∂ ∂ Φ∂ ∂ ∂=∂∂ Φ∂ ∂ Φ∂ (2.41) Chó ý r»ng vµ gia tèc träng tr−êng chØ cã mét thµnh phÇn theo ph−¬ng th¼ng ®øng, sau khi ®· thay ®æi thø tù ®¹o hµm, ph−¬ng tr×nh (2.40) cã thÓ ®−îc viÕt l¹i d−íi d¹ng: