Sóng gió Chương 3 lý thuyết tuyến tính về sóng bề mặt trong vùng nước có độ sâu không đổi

Ch−¬ng 3 lý thuyÕt tuyÕn tÝnh vÒ sãng bÒ mÆt trong vïng n−íc cã ®é s©u kh«ng ®æi 3.1 C¸c ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n vµ ®iÒu kiÖn biªn 3.1.1 C¸c gi¶ thiÕt trong lý thuyÕt sãng tuyÕn tÝnh Trong ch−¬ng nµy vµ ch−¬ng 4, chØ cã nh÷ng lý thuyÕt c¬ b¶n nhÊt vÒ sãng ®¹i d−¬ng ®−îc tr×nh bµy. Nãi mét c¸ch kh¸c, tÊt c¶ nh÷ng hiÖu øng kh«ng quan träng ®èi víi hiÖn t−îng sãng träng lùc bÒ mÆt sÏ bÞ bá qua. H¬n n÷a, ®Ó ®¬n gi¶n hãa, c¸c gi¶ thiÕt sau ®©y ®−îc sö dông trong lý thuyÕt sãng tuyÕn tÝnh: - chÊt láng kh«ng nhít cã mËt ®é kh«ng ®æi (kh«ng nÐn ®−îc vµ ®ång nhÊt) d−íi ¶nh h−ëng cña träng lùc; - kh«ng cã lùc t¸c ®éng lªn bÒ mÆt tù do phÝa trªn cña chÊt láng; - cã thÓ bá qua søc c¨ng mÆt ngoµI; - ®¸y cña chÊt láng lµ ®¸y r¾n, kh«ng thÊm n−íc vµ n»m ngang; - sãng tuÇn hoµn, ®Ønh dµi vµ lan truyÒn mµ kh«ng thay ®æi h×nh d¹ng. C¸c th«ng sè ®éc lËp ®ñ ®Ó m« t¶ chuyÓn ®éng sãng t−¬ng øng víi nh÷ng gi¶ thiÕt trªn lµ: - khèi l−îng riªng (ρ) - gia tèc träng tr−êng (g) - ®é s©u trung b×nh (h) - ®é cao sãng (H) - b−íc sãng (L) §é s©u t−¬ng ®èi h/L lµ mét biÕn quan träng ®Ó ®¸nh gi¸ ¶nh h−ëng cña ®¸y lªn chuyÓn ®éng sãng, nh− ®· tr×nh bµy trong ch−¬ng 1. Tû sè H/L, ®−îc gäi lµ ®é dèc sãng, lµ th−íc ®o c−êng ®é chuyÓn ®éng sãng. Tû sè nµy kh«ng thÓ v−ît qu¸ mét gi¸ trÞ cho tr−íc cã bËc 10-1, bëi v× hiÖn t−îng sãng vì. Trong ch−ong nµy, c¸c ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n m« t¶ chuyÓn ®éng sãng víi nh÷ng gi¶ thiÕt trªn sÏ ®−îc rót ra. Bëi v× sãng ®−îc nghiªn cøu lµ sãng tuÇn hoµn, cã ®Ønh dµi (sãng hai chiÒu hay sãng ®¬n) lan truyÒn mµ kh«ng thay ®æi h×nh d¹ng, nÕu h−íng trôc x theo h−íng lan truyÒn cña 21 sãng, bµi to¸n biÕn thµnh bµi to¸n hai chiÒu. Nh− vËy, hÖ täa ®é mµ chóng ta chän sÏ gièng nh− trªn h×nh 3.1. ¸p suÊt p ),( txζ H×nh 3.1 HÖ täa ®é vµ c¸c th«ng sè cÇn thiÕt DÔ dµng t×m ra r»ng víi hÖ täa ®é nµy, ph−¬ng tr×nh m« t¶ bÒ mÆt tù do khi cã mét sãng truyÒn theo h−íng trôc x víi tèc ®é truyÒn sãng c cã thÓ ®−îc viÕt nh− sau: ( )ctxz −= ζ (3.1) Mèi liªn hÖ gi÷a b−íc sãng, vËn tèc truyÒn sãng vµ chu kú cã thÓ ®−îc viÕt nh− sau: cTL = (3.2) C¸c biÕn phô thuéc m« t¶ tr−êng dßng ch¶y khi cã sãng lµ c¸c thµnh phÇn vËn tèc dßng ch¶y theo c¸c trôc x vµ z vµ ¸p suÊt. C¸c biÕn nµy lÇn l−ît ®−îc ký hiÖu lÇn l−ît lµ u, w vµ p. 3.1.2 §iÒu kiÖn kh«ng nÐn ®−îc – Ph−¬ng tr×nh liªn tôc Nh− ®· chØ ra, bµi to¸n ®−îc xem xÐt cã thÓ coi lµ bµi to¸n hai chiÒu. Trong tr−êng hîp nµy, nh− ®· chØ ra trong ch−¬ng 2 (ph−¬ng tr×nh 2.34), ®iÒu kiÖn kh«ng nÐn ®−îc cña chÊt láng dÉn ®Õn ph−¬ng tr×nh liªn tôc cã d¹ng sau: 0=∂ ∂+∂ ∂ y v x u (3.3) 3.1.3 C¸c ph−¬ng tr×nh ®éng l−îng Víi c¸c gi¶ thiÕt trong phÇn (3.1.1), ph−¬ng tr×nh ®éng l−îng cho chuyÓn ®éng hai chiÒu cña chÊt láng (c¸c ph−¬ng tr×nh 2.35) khi cã sãng cã thÓ ®−îc viÕt nh− sau: x p z uw x uu t u dt du ∂ ∂−=∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂= ρ 1 (3.4) g z p z ww x wu t w dt dw −∂ ∂−=∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂= ρ 1 (3.5) C¸c ph−¬ng tr×nh (3.4) vµ (3.5) kh«ng ®èi xøng v× cã sù xuÊt hiÖn cña g trong (3.5). 22 Hai ph−¬ng tr×nh nµy cã thÓ viÕt d−íi d¹ng t−¬ng tù b»ng c¸ch thÕ ( )( )gzzg ∂∂= / vµo (3.5) vµ céng thªm mét ®¹i l−îng b»ng kh«ng ( )( )gzx∂∂ / vµo (3.4). ViÖc nµy cho ta mét ph−¬ng tr×nh ®èi xøng: 0=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ gzp xz uw x uu t u ρ (3.6) vµ: 0=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ gzp zz ww x wu t w ρ (3.7) V× sãng lµ sãng hai chiÒu, chóng ta chØ ®−a ra c¸c ®iÒu kiÖn biªn t¹i mÆt tho¸ng vµ t¹i ®¸y. §iÒu kiÖn ®éng häc cho chÊt láng kh«ng nhít chØ ra r»ng kh«ng cã h¹t láng nµo xuyªn qua bÒ mÆt bao bäc chÊt láng. §iÒu nµy dÉn tíi c¸c ph−¬ng tr×nh sau: 0=w t¹i hz −= (3.8) vµ: dt dw ζ= t¹i ( )txz ,ζ= (3.9) Ph−¬ng tr×nh (3.9) cã thÓ khai triÓn thµnh: x u t w ∂ ∂+∂ ∂= ζζ t¹i ( )txz ,ζ= (3.10) §iÒu kiÖn biªn ®éng lùc liªn quan tíi øng suÊt. Bëi v× ®¸y lµ cøng nªn kh«ng mét ®iÒu kiÖn biªn nµo cÇn thiÕt t¹i ®¸y. §iÒu kiÖn kh«ng cã øng suÊt t¹i mÆt tho¸ng cho ta: 0=p t¹i ( )txz ,ζ= (3.11) §iÒu kiÖn lµ øng suÊt c¾t b»ng kh«ng t¹i mÆt tho¸ng kh«ng cÇn ®−a ra ë ®©y v× chÊt láng ®−îc gi¶ thiÕt lµ kh«ng nhít, vµ nh− vËy øng suÊt c¾t b»ng kh«ng t¹i tÊt c¶ mäi n¬i. Nh− ®· chØ ra trong ch−¬ng 2, c−êng ®é xo¸y cña mét chÊt láng lý t−ëng b»ng h»ng sè. Nh− vËy, chuyÓn ®éng b¾t ®Çu kh«ng cã xo¸y sÏ m·i m·i kh«ng xo¸y. §èi víi mét chÊt láng thùc khi cã sãng, c¸c xo¸y cã thÓ ®−îc t¹o thµnh trong líp biªn do sãng. Tuy nhiªn, ngo¹i trõ ®íi sãng vì, ®é dµy cña líp biªn khi cã sãng lµ rÊt nhá. Bªn ngoµi líp biªn máng nµy, dßng ch¶y do sãng t¹o nªn cã thÓ coi lµ kh«ng xo¸y. Nh− ®· chØ ra trong ch−¬ng 2, ®iÒu kiÖn kh«ng xo¸y ®¶m b¶o sù tån t¹i cña mét thÕ vËn tèc tháa m·n ph−¬ng tr×nh Laplace: Φ 02 2 2 2 =∂ Φ∂+∂ Φ∂ zx (3.12) Trong tr−êng hîp nµy, ta cã thÓ ®−a hµm f(t) trong vÕ ph¶i cña ph−¬ng tr×nh Bernoulli (2.43) vµo trong thÕ vËn tèc mµ kh«ng ®¸nh mÊt tÝnh tæng qu¸t cña bµi to¸n. Nh− vËy, ph−¬ng tr×nh Bernoulli (2.43) trë thµnh: 23 0 2 1 2 =+++∂ Φ∂ gzpu t ρ (3.13) Víi thÕ vËn tèc, c¸c ph−¬ng tr×nh ®iÒu kiÖn biªn cho dßng ch¶y khi cã sãng ((3.8), (3.10) vµ (3.13)) trë thµnh: 0=∂ Φ∂ z t¹i hz −= (3.14) xxtz ∂ ∂ ∂ Φ∂+∂ ∂=∂ Φ∂ ζζ t¹i ( )txz ,ζ= (3.15) 0 2 1 22 =++ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ Φ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ Φ∂+∂ Φ∂ gzp zxt ρ t¹i ( )txz ,ζ= (3.16) §ång thêi, ta tuyÕn tÝnh hãa c¸c ph−¬ng tr×nh (3.15) vµ (3.16) b»ng c¸ch bá qua c¸c sè h¹ng bËc hai, tøc lµ vµ , vµ c¸c ®iÒu kiÖn biªn ®éng lùc trªn bÒ mÆt (3.15) vµ (3.16) cho ta c¸c ®iÒu kiÖn biªn sau ®©y: 2u 2v ζ ζ = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ Φ∂=∂ ∂ zzt (3.17) ζ ζ = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ Φ∂−= ztg 1 (3.18) §Ó cã thÓ sö dông c¸c ®iÒu kiÖn biªn nµy, cÇn ph¶i gi¶ thiÕt thªm lµ biªn ®é cña c¸c sãng lµ ®ñ nhá ®Ó c¸c ph−¬ng tr×nh (3.17) vµ (3.18) cã thÓ ®−îc ®¬n gi¶n hãa thµnh c¸c ®iÒu kiÖn biªn: 0= ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ Φ∂=∂ ∂ zzt ζ (3.19) 0 1 = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ Φ∂−= ztg ζ (3.20) Cïng víi c¸c ®iÒu kiÖn biªn (3.14), (3.19) vµ (3.20), cÇn ph¶i chó ý r»ng nghiÖm vËt lý cña bµi to¸n truyÒn sãng ph¶i lµ ®iÒu hßa c¶ theo biÕn kh«ng gian x vµ thêi gian t. 3.2 Lêi gi¶i gi¶i tÝch cña bµi to¸n sãng träng lùc bÒ mÆt Bµi to¸n biªn hoµn chØnh cho sãng träng lùc bÒ mÆt cã thÓ ®−îc ph¸t biÓu l¹i nh− sau. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n: 02 2 2 2 =∂ Φ∂+∂ Φ∂ zx (3.21) víi c¸c ®iÒu kiÖn biªn: 0=∂ Φ∂ z t¹i hz −= (3.22) 24 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ Φ∂=∂ ∂ zt ζ t¹i 0=z (3.23) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ Φ∂−= tg 1ζ t¹i 0=z (3.24) §Ó gi¶i bµi to¸n nµy víi c¸c ®iÒu kiÖn biªn, ta gi¶ thiÕt r»ng thÕ vËn tèc cã thÓ ®−îc biÓu thÞ nh− sau: ( ) ( ) ( ) ( )tTzZxXtzx =Φ ,, (3.25) Víi X, Z vµ T lÇn l−ît lµ c¸c hµm chØ cña c¸c biÕn sè x, z vµ t. ThÕ (3.25) vµo (3.21), chóng ta cã: 2 "" k Z Z X X −=−= (3.26) víi dÊu phÈy kÐp biÓu thÞ ®¹o hµm bËc hai vµ lµ mét h»ng sè. KÕt qu¶ lµ ta cã hai ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng: 2k 0" 2 =+ XkX (3.27) 0" 2 =− ZkZ (3.28) NghiÖm cña (3.27) vµ (3.28) lµ kxDkxBX sincos += vµ bvíi B, D, E vµ G lµ c¸c h»ng sè tÝch ph©n. Nh− vËy, nghiÖm cã thÓ viÕt d−íi d¹ng: kzkz GeEeZ −+= ( ) ( )( ) ( )tTGeEekxDkxBtzx kzkz −++=Φ sincos,, (3.29) Tõ quan ®iÓm vËt lý, ta cã thÓ thÊy r»ng ®èi víi sãng ®¬n, nghiÖm nhÊt thiÕt ph¶i lµ hµm tuÇn hoµn ®¬n gi¶n cña biÕn thêi gian. Nh− vËy, cã thÓ biÓu thÞ T(t) b»ng c¸c hµm t cosω hay t sinω . Cã bèn tæ hîp ®éc lËp cña c¸c sè h¹ng tháa m·n ®iÒu kiÖn tuÇn hoµn c¶ víi x vµ t vµ lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh Laplace lµ: tkxzZA coscos)(11 ω=Φ (3.30) tkxzZA sinsin)(22 ω=Φ (3.31) tkxzZA cossin)(33 ω=Φ (3.32) sincos)(44 tkxzZA ω=Φ (3.33) TriÓn khai nghiÖm d−íi d¹ng nµy cho phÐp ta t×m gi¸ trÞ cña c¸c h»ng sè tÝch ph©n. Bëi v× ph−ong tr×nh Laplace lµ tuyÕn tÝnh, mét tæ hîp thÝch hîp cña c¸c nghiÖm nµy sÏ tháa m·n c¶ ph−¬ng tr×nh Laplace vµ c¸c ®iÒu kiÖn biªn. C¸c ®iÒu kiÖn biªn (3.22) vµ (3.24) b©y giê sÏ ®−îc ¸p dông cho nghiÖm (3.30). Tõ (3.30), ( ) tkxGeEekAz kzkz ωcoscos/ 11 −−=∂Φ∂ . ¸p dông ®iÒu kiÖn 0/1 =∂Φ∂ z t¹i hz −= cho ta . V× vËy: khkh GeEe =− 25 khGeE 2= (3.34) Tõ ®ã ta cã: ( ) ( ) ( ) tkxhzkGeA tkxeeGeA kh hzkhzk kh coscoscosh2 coscos 2 2 1 11 ω ω += +=Φ +−+ (3.35) ¸p dông ®iÒu kiÖn biªn t¹i mÆt tho¸ng ( 011 //1 =∂Φ∂ )−= ztgζ cho ta ( ) ( ) tkxhzkgGeA kh 1 ωωζ sincoscosh/2 1 += . Gi¸ trÞ cùc ®¹i cña ζ lµ biªn ®é a x¶y ra khi 1 sincos =tkx ω . Nh− vËy: kh agGeA kh cosh21 ω= (3.36) Vµ ®iÒu nµy dÉn tíi: tkxa sincos 1 ωζ = (3.37) Ph−¬ng tr×nh nµy diÔn t¶ mét hÖ “sãng ®øng” víi b−íc sãng lµ kL /2π= vµ biªn ®é a. ThÕ vËn tèc giê trë thµnh: 1Φ ( ) tkx kh hzkaG coscos cosh cosh 1 ωω +=Φ (3.38 §iÒu kiÖn cÇn ®Ó cho lµ hµm tuÇn hoµn cña x víi b−íc sãng L lµ k ®−îc ®Þnh nghÜa lµ 1Φ Lk /2π= . §¹i l−îng nµy ®−îc gäi lµ sè sãng. Cã thÓ t×m c¸c h»ng sè kh¸c trong c¸c nghiÖm c¬ b¶n cña Φ b»ng ph−¬ng ph¸p trªn. KÕt qu¶ lµ ta cã: ( ) tkx kh hzkaG coscos cosh cosh 1 ωω +=Φ ( ) tkx kh hzkaG sinsin cosh cosh 2 ωω +=Φ ( ) tkx kh hzkaG cossin cosh cosh 3 ωω +=Φ ( ) tkx kh hzkaG sincos cosh cosh 4 ωω +=Φ V× tÝnh chÊt tuyÕn tÝnh cña ph−¬ng tr×nh Laplace, mét tæ hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c nghiÖm trªn còng lµ nghiÖm. Nh− vËy: ( ) ( kxt kh hzkaG − )+=ΦΦ=Φ - ωω coscosh cosh 12 (3.39) Nh− ta sÏ chØ ra d−íi ®©y, ph−¬ng tr×nh (3.39) lµ thÕ vËn tèc cña mét sãng tiÕn theo h−íng trôc x. Tõ (3.24) vµ (3.39), ta cã ph−¬ng tr×nh m« t¶ mÆt n−íc: ( kxta tg z −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ Φ∂−= = ωζ sin1 0 ) (3.40) Ph−¬ng tr×nh nµy tuÇn hoµn c¶ theo x vµ t. NghiÖm nµy th−êng ®−îc coi lµ nghiÖm 26 sãng tiÕn. §¹i l−îng: kxttx −= ωψ ),( (3.41) ®−îc gäi lµ pha sãng. NÕu ta chuyÓn ®éng cïng víi sãng sao cho t¹i tÊt c¶ c¸c thêi ®iÓm t vÞ trÝ t−¬ng ®èi cña chóng ta ®èi víi mÆt sãng lµ cè ®Þnh. Khi ®ã pha ( ) ( )kxttx −= ωψ , sÏ lµ h»ng sè. Tèc ®é di chuyÓn cña ta ph¶i tháa m·n ®iÒu kiÖn: c T L kdt dx === ω (3.42) c ®−îc gäi lµ vËn tèc pha cña sãng, hay lµ vËn tèc truyÒn sãng. Nh− vËy, ph−¬ng tr×nh (3.39) lµ thÕ vËn tèc cña mét sãng tiÕn theo h−íng trôc x. Ta cã thÓ thÊy r»ng víi ph−¬ng tr×nh (3.39) ta cã thÓ m« t¶ hoµn chØnh tr−êng vËn tèc bªn d−íi mét sãng. §ång thêi, tõ ph−¬ng tr×nh Bernoulli ta cã thÓ x¸c ®Þnh tr−êng ¸p suÊt. B»ng c¸ch t−¬ng tù, ta cã thÓ t×m ®−îc thÕ vËn tèc cho mét sãng tiÕn theo h−íng ©m cña trôc x b»ng tæ hîp nh− sau: ( 21 Φ+Φ ) ( ) ( tkx kh hzkaG cos cosh cosh 21 ωω + ) +=Φ+Φ=Φ (3.43 Dao ®éng mùc n−íc trong tr−êng hîp nµy lµ: ( )tkxa sin ωζ += (3.44) T−¬ng tù ta cã: ( ) ( ) ( tkx kh hzkaG cos cosh cosh 43 ωω − ) +=Φ+Φ−=Φ (3.45) ( )tkxa ωζ −= sin (3.46) vµ: ( ) ( ) ( tkx kh hzkaG cos cosh cosh 34 ωω + ) +−=Φ−Φ−=Φ (3.47) ( )tkxa ωζ += sin (3.48) C¸c thÕ vËn tèc (3.45) vµ (3.47) lÇn l−ît trïng víi (3.39) vµ (3.43), chØ cã ®iÒu lµ chóng bÞ lÖch pha ®èi víi gèc cña hÖ täa ®é. Tõ biÓu thøc cña thÕ vËn tèc, chóng ta cã thÓ t×m ra mét lo¹t c¸c tÝnh chÊt cña sãng. TÝnh chÊt quan träng nhÊt lµ sù ph©n t¸n sãng. Tr−íc khi rót ra mèi liªn hÖ ph©n t¸n, chóng ta h·y xem xÐt kü thÕ vËn tèc vµ mét sè ®Æc tÝnh vËt lý cña nã. Chóng ta h·y xem xÐt mét ph−¬ng ph¸p ®¬n gi¶n ®Ó t×m hµm thÕ vËn tèc. Gi¶ thiÕt r»ng ta xem xÐt mét sãng tiÕn. Nh− vËy, thÕ vËn tèc cã d¹ng ( )tkxie ~ ω−Φ vµ cã thÓ ®−îc viÕt nh− sau 27 ( ) ( ){ }tkxiezZ Re ω−=Φ (3.49) ë ®©y Re biÓu thÞ phÇn thùc cña lêi gi¶i phøc. Nh− vËy, lêi gi¶i thùc tÕ cña bµi to¸n cã d¹ng: ( ) ( )tkxzZ cos ω−=Φ (3.50) Dïng lêi gi¶i nµy thÕ vµo ph−¬ng tr×nh Laplace, ta cã 0" 2 =− ZkZ (3.51) Lêi gi¶i cña ph−¬ng tr×nh nµy lµ: kzDkzBZ sinhcosh += (3.52) Víi B vµ D lµ c¸c h»ng sè. Nh− vËy: ( ) ( )t cossinhcosh ω−+=Φ kxkzDkzB (3.53) §iÒu kiÖn biªn ®−îc tháa m·n bëi (3.53) lµ: 0=∂ Φ∂ z t¹i hz −= (3.54) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ Φ∂−= tg 1ζ t¹i 0=z (3.55) Dïng (3.54), ta cã 0sinhcosh =− khDkhB . Nh− vËy: khBD tanh= (3.56) Dïng (3.55), ta cã: ( tkx g B ω )ωζ −−= sin (3.57) §Þnh nghÜa: g Ba ω−= (3.58) víi a lµ biªn ®é sãng. Nh− vËy: ( )tkxa ωζ −= sin (3.59) KÕt qu¶ lµ: ( ) ( tkx kh hzkag ωω − ) +=Φ cos cosh cosh (3.60) ¸p suÊt d−íi sãng ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau: ( ) ( ) gztkx kh hzkaggz t p ρωρρρ −−+−=−∂ Φ∂−= sin cosh cosh (3.61) B»ng c¸ch t−¬ng tù, ta cã thÓ cã ®−îc ba d¹ng lêi gi¶i cña p b»ng c¸ch dïng tÝch c¸c nghiÖm thÝch hîp. NÕu nh− sãng tiÕn lan truyÒn tõ ∞− tíi ∞ theo mét gãcθ víi trôc x th× d¹ng 28 cña vµΦ ζ nhÊt ®Þnh ph¶i ®−îc biÕn ®æi ®Ó cã: ( ) ( tkykx kh hzkag ωθθω −+ +=Φ sincoscos cosh cosh ) (3.62) ( )tkykxa ωθθζ −+= sincossin (3.63) 3.3 Mèi liªn hÖ ph©n t¸n cña chuyÓn ®éng sãng B»ng c¸ch phèi hîp ®iÒu kiÖn biªn ®éng häc (ph−¬ng tr×nh 3.23) vµ ®iÒu kiÖn biªn ®éng lùc (ph−¬ng tr×nh 3.24), ®iÒu kiÖn sau cã thÓ ®−îc rót ra: 02 2 =∂ Φ∂−∂ Φ∂ z g t t¹i 0=z (3.64) H·y xem xÐt mét sãng tiÕn theo h−íng x víi thÕ vËn tèc ®−îc cho bëi: ( ) ( tkx kh hzkag ωω − ) +=Φ cos cosh cosh (3.65) ta cã: ( ) ( )tkx kh hzkag t ωω −+−=∂ Φ∂ cos cosh cosh 2 2 ( ) ( )tkx kh hzkkag z g ωω − +−=∂ Φ∂ cos cosh sinh2 ThÕ c¸c gi¸ trÞ nµy vµo (3.64) t¹i z = 0 cho ta: khgk tanh2 =ω (3.66) Mèi liªn hÖ nµy ®−îc gäi lµ mèi liªn hÖ ph©n t¸n tuyÕn tÝnh, bëi v× nã ®−îc rót ra dùa trªn sù tuyÕn tÝnh hãa c¸c ®iÒu kiÖn biªn bÒ mÆt. Th«ng th−êng, ®Ó thuËn tiÖn nã ®−îc gäi mét c¸ch ®¬n gi¶n lµ mèi liªn hÖ ph©n t¸n. Mét c«ng thøc gièng hÖt nh− (3.66) còng cã thÓ t×m ®−îc ®èi víi mét sãng lan truyÒn theo h−íng ng−îc víi h−íng cña trôc x. Bëi v× kc=ω , ph−¬ng tr×nh (3.66) cã thÓ ®−îc viÕt thµnh: kh k gc tanh2 = (3.67) Ph−¬ng tr×nh (3.67) biÓu thÞ tèc ®é lan truyÒn cña sãng bÒ mÆt nh− lµ hµm cña ®é s©u h vµ b−íc sãng L. §Ó t×m ®−îc b−íc sãng, mèi liªn hÖ ph©n t¸n (3.66) cã thÓ ®−îc viÕt l¹i nh− sau: ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= L hgTL ππ 2tanh 2 2 (3.68) Víi mét ®é s©u h vµ chu kú sãng T cho tr−íc, b−íc sãng L cã thÓ ®−îc x¸c ®Þnh tõ (3.68) b»ng thuËt to¸n thö vµ hiÖu chØnh. Ph−¬ng tr×nh (3.66), (3.67) vµ (3.68) ®−îc gäi lµ mèi liªn hÖ ph©n t¸n cña sãng n−íc. B©y giê, chóng ta h·y xem xÐt chi tiÕt h¬n vÒ viÖc ph©n lo¹i sãng n−íc. Sãng n−íc 29 ®−îc ph©n thµnh ba lo¹i chÝnh c¨n cø vµo ®é s©u t−¬ng ®èi cña biÓn, ®−îc ®Þnh nghÜa lµ tû sè h/L, trong ®ã h lµ ®é s©u cña biÓn cßn L lµ b−íc sãng. NÕu ®é s©u t−¬ng ®èi lµ nhá h¬n 1/20 (hay ) th× ®é s©u ®−îc xem lµ nhá so víi b−íc sãng vµ sãng ®−îc gäi lµ sãng n−íc n«ng (hay sãng dµi). NÕu tû sè lín h¬n 1/2 (hay ), sãng ®−îc gäi lµ sãng n−íc s©u (hay sãng ng¾n). Khi mµ 3/1≤kh 3≥kh 2/1/20/1 << Lh (hay 33/1 << kh ), sãng ®−îc gäi lµ sãng t¹i ®é s©u trung gian vµ nãi chung lµ trong ®iÒu kiÖn nµy c¸c ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng lµ kh«ng ®¬n gi¶n. Tuy nhiªn, trong ®a sè tr−êng hîp, sãng cã thÓ xem hoÆc lµ sãng n−íc n«ng hoÆc lµ sãng n−íc s©u. §èi víi tr−êng hîp sãng n−íc s©u hoÆc lµ sãng n−íc n«ng, ta cã thÓ ®¬n gi¶n hãa mèi liªn hÖ ph©n t¸n (3.66), (3.67) vµ (3.68). Víi sãng n−íc n«ng, ta cã thÓ xÊp xØ tanh kh = kh vµ nh− vËy mèi liªn hÖ ph©n t¸n (3.67) trë nªn ®¬n gi¶n h¬n: ghc =2 (3.69) Ph−¬ng tr×nh nµy chÝnh lµ ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng triÒu hay sãng n−íc d©ng. Trong tr−êng hîp nµy, vËn tèc pha cña sãng trë nªn kh«ng phô thuéc vµo b−íc sãng (hay nãi c¸ch kh¸c lµ sè sãng hay chu kú sãng). §èi víi sãng n−íc s©u, ta cã thÓ xÊp xØ tanh kh = 1, vµ nh− vËy mèi liªn hÖ ph©n t¸n (3.67) vµ (3.68) cã thÓ biÓu thÞ nh− sau: π2 2 gLc = or π2 2gTL = (3.70) Nh− vËy, vËn tèc pha vµ b−íc sãng kh«ng phô thuéc vµo ®é s©u. Khi g = 9.81 m/s2, th×: 256.1 TL = (3.71) ë ®©y ®¬n vÞ cña L lµ m. 3.4 ChuyÓn ®éng cña h¹t n−íc vµ ¸p suÊt Nh− ®· thÊy, thÕ vËn tèc cña sãng cã biªn ®é nhá truyÒn theo h−íng trôc x lµ: ( ) ( )tkx kh hzkag ωω − +=Φ cos cosh cosh Dïng ®Þnh nghÜa cña c¸c thµnh phÇn vËn tèc cña h¹t láng chóng ta cã thÓ t×m ra biÓu thøc cña c¸c thµnh phÇn vËn tèc theo ph−¬ng n»m ngang vµ th¼ng ®øng nh− sau: ( ) ( tkx kh hzkagk x u dt dx ωω − ) +−=∂ Φ∂== sin cosh cosh (3.72) ( ) ( tkx kh hzkagk z w dt dz ωω − ) +−=∂ Φ∂== cos cosh sinh (3.73) 30 H−íng truyÒn sãng tiÕn H×nh 3.2. BiÕn thiªn cña vËn tèc h¹t láng theo ®é s©u. C¸c ph−¬ng tr×nh nµy biÓu thÞ c¸c thµnh phÇn vËn tèc do sãng g©y ra t¹i mét ®é s©u z bÊt kú. T¹i mét ®é s©u cho tr−íc vËn tèc dßng ch¶y lµ tuÇn hoµn c¶ theo x vµ t. Víi mét gãc pha cho tr−íc, tkx ωα −= , hµm hyperbolic cña z t¹o nªn sù suy gi¶m vËn tèc theo quy luËt mò tõ mÆt tíi ®¸y. C¸c sè liÖu thùc nghiÖm cho thÊy t¹i z = - L/2 vËn tèc trë nªn bÐ tíi møc cã thÓ bá qua, vµ bªn d−íi ®é s©u nµy trªn thùc tÕ lµ kh«ng cã chuyÓn ®éng (h×nh 3.2). Gia tèc ®Þa ph−¬ng dÔ dµng t×m ®−îc tõ (3.72) vµ (3.73) vµ cã thÓ biÓu thÞ nh− sau ( ) ( tkx kh hzkagk t u ω− )+=∂ ∂ cos cosh cosh (3.74) vµ ( ) ( tkx kh hzkagk t w ω− )+−=∂ ∂ sin cosh sinh (3.75) DÞch chuyÓn theo ph−¬ng th¼ng ®øng cña h¹t láng kh«ng thÓ lín h¬n biªn ®é sãng a. V× vËy, ta gi¶ thiÕt r»ng dÞch chuyÓn th¼ng ®øng cña mçi h¹t láng tõ vÞ trÝ trung b×nh cña nã lµ nhá. Ta cã thÓ tÝnh dÞch chuyÓn th¼ng ®øng vµ n»m ngang cña h¹t láng nµy tõ vÞ trÝ trung b×nh cña nã b»ng c¸ch dïng mèi liªn hÖ: == ξx dÞch chuyÓn n»m ngang cña h¹t láng tõ vÞ trÝ trung b×nh. ( ) ( ) ( ) ( )tkx kh hzkagk dttkx kh hzkagkudt ωω ωω −+−= −+−== ∫∫ cos cosh cosh sin cosh cosh 2 (3.76) vµ: == ηz dÞch chuyÓn th¼ng ®øng cña h¹t láng tõ vÞ trÝ trung b×nh. 31 ( ) ( ) ( ) ( )tkx kh hzkagk dttkx kh hzkagkwdt ωω ωω −+= −+−== ∫∫ sin cosh sinh cos cosh sinh 2 (3.77) B»ng c¸ch dïng mèi liªn hÖ ph©n t¸n, , (3.76) vµ (3.77) cã thÓ tiÕp tôc ®−îc ®¬n gi¶n hãa ®Ó cã ®−îc biÓu thøc sau: khgk tanh2 =ω ( ) ( tkx kh hzka ωξ − )+−= cos sinh cosh (3.78) ( ) ( tkx kh hzka ωη − )+= sin sinh sinh (3.79) C¶ hai ph−¬ng tr×nh nµy cã thÓ ®−îc kÕt hîp ®Ó cã: 12 2 2 2 =+ β η α ξ (3.80) ë ®©y: ( ) kh hzka sinh cosh +=α (3.81) ( ) kh hzka sinh sinh +=β (3.82) Ph−¬ng tr×nh (3.80) diÔn t¶ mét ellipse víi mét nöa trôc chÝnh (n»m ngang) lµ α vµ mét nöa trôc phô (th¼ng ®øng) lµ β. Quü ®¹o cña h¹t láng nãi chung lµ cã d¹ng h×nh ellipse. D¹ng ®Æc biÖt cña quü ®¹o h¹t láng t¹i n−íc s©u vµ n−íc n«ng cã thÓ dÔ dµng biÕt ®−îc b»ng c¸ch xem xÐt c¸c gi¸ trÞ cña α vµ β. §èi víi sãng n−íc n«ng, cã thÓ dÔ dµng thÊy: kh a=α vµ ( ) kh hzak +=β (3.83) Kho¶ng c¸ch dÞch chuyÓn n»m ngang cùc ®¹i lµ kh«ng ®æi tõ mÆt tíi ®¸y ®¹i d−¬ng. Kho¶ng c¸ch dÞch chuyÓn cùc ®¹i theo ph−¬ng th¼ng ®øng biÕn ®æi tõ gi¸ trÞ kh«ng t¹i ®¸y tíi biªn ®é sãng a t¹i mÆt n−íc. N−íc s©u trung b×nh N−íc s©u N−íc n«ng H×nh 3.3. S¬ ®å quü ®¹o cña h¹t n−íc 32 §èi víi sãng n−íc s©u, c¸c gi¸ trÞ α vµ β ®−îc cho bëi khkh khkzkhkz ee eeeea − −− − +=α (3.84) khkh khkzkhkz ee eeeea − −− − −=β (3.85) VËy, khi ta cã: ∞→h kzae=α vµ (3.86) kzae=β C¸c trôc chÝnh vµ trôc phô cã gi¸ trÞ b»ng nhau vµ nh− vËy quü ®¹o cña h¹t n−íc ®· biÕn thµnh h×nh trßn. B¸n kÝnh cña c¸c h×nh trßn nµy ®−îc cho bëi c«ng thøc , vµ nh− vËy suy gi¶m rÊt nhanh theo ®é s©u. Trong tr−êng hîp nµy kho¶ng c¸ch dÞch chuyÓn cùc ®¹i theo ph−¬ng th¼ng ®øng t¹i bÒ mÆt còng b»ng biªn ®é sãng a. H×nh 3.3 diÔn t¶ ph¸c th¶o vÒ quü ®¹o chuyÓn ®éng cña c¸c h¹t láng khi cã sãng. kzae Tr−êng ¸p suÊt khi cã mét sãng tiÕn cã thÓ ®−îc x¸c ®Þnh tõ ph−¬ng tr×nh Bernoulli ®−îc tuyÕn tÝnh hãa nh− sau: gz t p −∂ Φ∂−=ρ (3.87) Dïng thÕ vËn tèc cho mét sãng tiÕn theo h−íng trôc x, ph−¬ng tr×nh (3.87) trë thµnh: Φ ( ) ( ) gztkx kh hzkagp −−+= ωρ sincosh cosh Hay: ( ) ( ) gztkx kh hzkgap ρωρ −−+= sin cosh cosh (3.88) Tõ biÓu thøc cña ¸p suÊt (3.87), cã thÓ t×m ®−îc mét lo¹t c¸c ®¹i l−îng vËt lý quan träng nh− lùc t¸c ®éng cña sãng vµ m« men. Ký hiÖu ¸p suÊt do sãng g©y ra lµ , ta cã: +p ( ) ( tkx kh hzkgap ωρ − )+=+ sincosh cosh (3.89) T¹i n−íc s©u, ph−¬ng tr×nh (3.88) trë thµnh: ( )tkxgeap kz