Sức bền của vật liệu - Chương 4: Đặc trưng hình học mặt cắt ngang

Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 1 1 BÀI GiẢNG MÔN HỌC SỨC BỀN VẬT LiỆU GV: TRẦN HỮU HUY Tp.HCM, tháng 10 năm 2009 (Lưu hành nội bộ) 2 ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG ™ ĐỊNH NGHĨA ™ CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG CHƯƠNG 4: ™ MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ HÌNH ĐƠN GiẢN ™ CÁC CÔNG THỨC BiẾN ĐỔI HỆ TRỤC TỌA ĐỘ ™ VÒNG TRÒN MOHR QUÁN TÍNH. ™ BÀI TẬP Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 2 3 ĐỊNH NGHĨA Trong những trường hợp như thanh chịu uốn, xoắn thì ứng suất trong thanh không chỉ phụ thuộc vào diện tích A mà còn phụ thuộc vào hình dáng, cách bố trí mặt cắt nghĩa là phụ thuộc vào các yếu tố khác gọi chung là đặc trưng hình học của mặt cắt ngang. y P z y P z 4 CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG Mômen tĩnh của diện tích A đối với trục x (hay y) nào đó của mặt cắt là biểu thức tích phân sau: Mômen tĩnh x y y x M dA A x y A A S ydA;S xdA= =∫ ∫ Trong đó: - x, y tọa độ của điểm M – tâm của phân tố diện tích dA. Mômen tĩnh có thứ nguyên là [chiều dài3]. Mômen tĩnh có thể có giá trị âm, dương hoặc bằng không. Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 3 5 CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG - Trục trung tâm là trục có mômen tĩnh của diện tích A đối với trục đó bằng không. Mômen tĩnh Từ đó suy ra cách xác định trọng tâm đối với diện tích A như sau: - Trọng tâm là giao điểm của hai trục trung tâm của mặt cắt. - Như vậy, mômen tĩnh đối với trục đi qua trọng tâm là bằng không. 6 CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG Mômen tĩnh c o c o x x x y y y = + = + Gọi C là trọng tâm của tiết diện cần tìm. Qua C dựng hệ trục tọa độ x0Cy0 song song với hệ trục tọa độ oxy ban đầu 0 0 0 C C 0 A dA M y x X Y y X Y C x y x Ta có được quan hệ sau: Thay vào công thức tính mômen tĩnh ( ) ( ) X c oA Y c oA S y y dA S x x dA = + = + ∫ ∫ Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 4 7 CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG Mômen tĩnh ( ) ( ) x c o c o c xoA A A y c o c o c yoA A A S y y dA y dA y dA y A S S x y dA x dA x dA x A S = + = + = + = + = + = + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Triển khai biểu thức trên: Vì x0 và y0 là trục trung tâm nên 0 0x yS = S 0= Từ đó ta có: x c y cS y A;S x A= = Tọa độ của điểm C là (xC,yC) được xác định như sau: yx c c SSy ; x A A = = 8 CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG Mômen tĩnh Nếu mặt cắt có một trục đối xứng, trọng tâm của tiết diện sẽ nằm trên trục này vì mômen tỉnh của tiết diện đối với trục này bằng không. Nếu mặt cắt có hai trục đối xứng, trọng tâm sẽ nằm ở giao điểm hai trục đối xứng. x i i 1 1 2 y n n y i i 1 1 2 y n n S A y A y A y ... A y S A x A x A x ... A x = = + + + = = + + + ∑ ∑ Trong thực tế, ta hay gặp những mặt cắt ngang có hình dáng phức tạp được ghép từ nhiều hình đơn giản. Ta có thể tính mômen tỉnh của hình phức tạp bằng tổng mômen tĩnh của các hình đơn giản. Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 5 9 CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG Mômen quán tính Mômen quán tính của diện tích A đối với trục x (hay y) là các biểu thức tích phân sau: 2 2 x y A A I y dA; I x dA= =∫ ∫ - Mômen quán tính có thứ nguyên là [chiều dài4]. - Mômen quán tính luôn mang giá trị dương. x y y x M dA A 10 CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG Bán kính quán tính Một đặc trưng hình học hay được dùng để tính toán kết cấu đó là bán kính quán tính được xác định như sau: yx x y IIi ; i A A = = Bán kính quán tính đối với các trục chính được gọi là bán kính quán tính chính và có thứ nguyên là [chiều dài]. Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 6 11 CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG Mômen quán tính độc cực Mômen quán tính độc cực của diện tích A đối với góc tọa độ 0 là biểu thức tích phân sau: 2 p A I dA= ρ∫ Trong đó, ρ là khoảng cách từ điểm M – tâm của phân tố diện tích dA đến góc tọa độ 0. A dA M x y y x ρTừ đó ta có quan hệ: 2 2 2 p x y x y I I I ρ = + = + 12 CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG Mômen quán tính ly tâm Mômen quán tính ly tâm của diện tích A đối với hệ trục xoy là biểu thức tích phân sau: xy A I xydA= ∫ Mômen quán tính ly tâm có thứ nguyên là [chiều dài4]. Và có giá trị âm, dương hoặc bằng không. A dA M x y y x ρ Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 7 13 CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG Hệ trục quán tính chính Hệ trục quán tính chính là hệ trục có mômen quán tính ly tâm bằng không. Một hệ trục tọa độ bất kỳ trong đó có một trục nào đó là trục đối xứng của diện tích A là hệ trục quán tính chính của mặt cắt đó. Vì mômen quán tính ly tâm của hai nữa diện tích đối xứng với trục đối xứng có giá trị bằng nhau nhưng ngược dấu nhau nên mômen quán tính của cả hình bằng không. Hệ trục quán tính chính trung tâm là hệ trục quán tính chính có gốc tọa độ đặt tại trọng tâm của tiết diện. 14 MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ HÌNH ĐƠN GiẢN Hình chữ nhật Cho hình chữ nhật b x h. Xác định các mômen quán tính Ix, Iy đối với trục đối xứng x và y Ta có: Tương tự: dy ydA y x b h dA b.dy= h 2h 2 3 3 2 2 x A h 2 h 2 by bhI y dA y bdy 3 12− − ⇒ = = = =∫ ∫ 3 y hbI 12 = Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 8 15 MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ HÌNH ĐƠN GiẢN Hình tam giác Ta có: y h yb b h −= h 2 2 x y A 0 h h h 2 2 3 x 0 0 0 h h3 4 3 x 0 0 I y dA y b dy h y bI y b dy by dy y dy h h by by bhI 3 4h 12 = = −= = − = − = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ yb x y dA dy y h b 16 MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ HÌNH ĐƠN GiẢN Hình tròn Ta có: dA 2 .d= πρ ρ RR 4 2 p 0 0 4 4 4 p 2I 2 d 4 R DI 0,1D 2 32 πρ= ρ πρ ρ = π π= = ≈ ∫ Cho hình tròn bán kính R (D=2R). Xác định mômen quán tính độc cực Ip của hình tròn. ρ ρddA 0 Vì tính chất đối xứng nên: 4 p 4 x y I DI I 0,05D 2 64 π= = = ≈ Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 9 17 MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ HÌNH ĐƠN GiẢN Hình vành khăn ( ) 44 4 4 p 4 4 p D d D dI 1 32 32 32 D DI 1 32 ⎛ ⎞π π π ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ π= −η Coi diện tích hình vành khăn bằng diện tích hình tròn lớn trừ diện tích hình tròn nhỏ, ta được: Với: d Dη = 0 d D( ) ( )4p 4 4 4x y I DI I 1 0,05D 12 64π= = = −η ≈ −η 18 CÁC CÔNG THỨC CHUYỂN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Công thức chuyển trục song song X x a;Y y b= + = + - Biết Ix, Iy, Ixy. - Tìm IX, IY, IXY Ta có các liên hệ sau: ( ) ( ) 22 X A A 2 2 X A 2 2 X A A A I Y dA y b dA I y 2by b dA I y dA 2b ydA b dA = = + = + + = + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ A dA M y x X Y y x Y X 0 a b Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 10 19 CÁC CÔNG THỨC CHUYỂN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Công thức chuyển trục song song 2 X x x 2 Y y y XY xy x y I I 2bS b A I I 2aS a A I I aS bS abA = + + = + + = + + + - Vậy ta có: A dA M y x X Y y x Y X 0 a b Trong đó a, b là tọa độ của gốc tọa độ ban đầu trong hệ trục tọa độ mới XOY. 20 CÁC CÔNG THỨC CHUYỂN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Công thức chuyển trục song song x yS S 0= = Trong trường hợp đặc biệt khi gốc tọa độ ban đầu nằm tại trọng tâm mặt cắt. A dA M y x X Y y x Y X 0 a b Ta có các công thức sau: 2 X x 2 Y y XY xy I I b A I I a A I I abA = + = + = + Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 11 21 CÁC CÔNG THỨC CHUYỂN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Công thức xoay trục Xét hệ trục uov xoay từ hệ trục ban đầu một góc α Ta có liên hệ tọa độ: u x cos ysin v ycos x sin = α + α⎧⎨ = α − α⎩ - Biết Ix, Iy, Ixy. - Tìm Iu, Iv, Iuv x y u v x.sina y.cosa x.co sa y.s ina α A dA M y x v α u 22 CÁC CÔNG THỨC CHUYỂN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Công thức xoay trục Thay vào công thức Iu( )2u A 2 22 2 u A A A 2 2 u x y xy I ycos x sin dA I cos y dA sin x dA 2sin .cos xydA I I cos I sin 2I sin .cos = α − α = α + α − α α = α + α − α α ∫ ∫ ∫ ∫ Sử dụng các công thức lượng giác: ( ) ( )2 21 1cos 1 cos2 ;sin 1 cos2 ;2sin .cos sin 2 2 2 α = + α α = − α α α = α Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 12 23 CÁC CÔNG THỨC CHUYỂN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Công thức xoay trục Triển khai và thu gọn ta được: x y x y u xy x y x y v xy x y uv xy I I I I I cos2 I sin 2 2 2 I I I I I cos2 I sin 2 2 2 I I I sin 2 I cos 2 2 + −= + α − α + −= − α + α −= α + α 24 CÁC CÔNG THỨC CHUYỂN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Công thức xoay trục Các công thức trên có dạng tương tự với công thức ứng suất trên mặt cắt nghiêng. Nên: 2 x y x y 2 max xy 2 x y x y 2 min xy I I I I I I 2 2 I I I I I I 2 2 + −⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠ + −⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠ Với phương quán tính chính: xy x y 2I tg2 I I α = − − Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 13 25 VÒNG TRÒN MOHR QUÁN TÍNH Công thức xoay trục Về toán học ta nhận thấy có sự tương đồng giữa phương trình chuyển đổi mômen quán tính và phương trình chuyển đổi ứng suất. - Iu tương đương σu - Iv với tương đương σv - Ix tương đương σx - Iy với tương đương σy - Ixy với tương đương τxy Vì vậy, nếu dùng một hệ trục tọa độ với trục hoành biểu diễn Iu và trục tung biểu diễn Iuv thì quan hệ giữa Iu và Iuv là tương quan của một vòng tròn gọi là vòng tròn Mohr quán tính. 26 VÒNG TRÒN MOHR QUÁN TÍNH Công thức xoay trục Ở đây, vòng tròn Mohr luôn nằm ở bên phải trục tung vì các giá trị Iu là luôn dương yΙ B Ι x xyΙ Ι min maxΙ Ι uv A DP F C E Ιuv Ιu α uΙ maxΙ minΙ Ι u M G αα 12 Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 14 27 Cách xác định hệ trục QTCTT của một hình phẳng bất kỳ: Trong trường hợp tổng quát, khi hình phẳng A không có trục đối xứng, hệ trục QTCTT được xác định theo trình tự như sau: - Chọn hệ trục Oxy bất kỳ ban đầu. Xác định trọng tâm của hình trong hệ trục này. - Chuyển trục song song về trọng tâm của hình. Tính các mômen quán tính đối với hệ trục trung tâm. - Xoay trục để tìm phương chính đi qua trọng tâm.