Sức bền vật liệu - Chương 6: Xoắn thuần túy thanh thẳng

Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 1 1 BÀI GiẢNG MÔN HỌC SỨC BỀN VẬT LiỆU 2 GV: TRẦN HỮU HUY Tp.HCM, tháng 10 năm 2009 2 XOẮN THUẦN TÚY THANH THẲNG ™ KHÁI NiỆM CHUNG ™ XOẮN THANH TiẾT DiỆN TRÒN CHƯƠNG 6: ™ XOẮN THANH TiẾT DiỆN CHỮ NHẬT ™ ĐiỀU KiỆN BỀN VÀ ĐiỀU KiỆN CỨNG ™ BÀI TẬP Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 2 3 KHÁI NiỆM CHUNG Thanh chịu xoắn thuần túy khi trên mọi mặt cắt ngang của thanh chỉ có một thành phần nội lực là mômen xoắn Mz Quy ước dấu: Mz mang dấu dương khi nhìn vào mặt cắt thấy quay thuận chiều kim đồng hồ và ngược lại. Trong trường hợp chỉ có mômen xoắn ngoại lực tác dụng, ta thấy dấu của nội lực là dương khi nhìn vào đầu thanh thấy mômen xoắn ngoại lực quay thuận chiều kim đồng hồ. 4 KHÁI NiỆM CHUNG Biểu đồ mômen xoắn 10(kNm) 1m 15(kNm) 1m A B C + + 10 25 M (kNm)z Ngoại lực gây xoắn là mômen xoắn phân bố, mômen xoắn tập trung tác dụng trong mặt phẳng thẳng góc với trục thanh. Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 3 5 KHÁI NiỆM CHUNG Giả sử ngẫu lực xoắn M0(Nm) tác dụng làm trục quay một góc α(rad) trong thời gian t(s). Khi tính toán các trục truyền động, thường ta chỉ biết công suất truyền của motơ bằng mã lực hay bằng kilowat và tốc độ quay (vòng/phút), do đó cần chuyển đổi công suất truyền ra ngẫu lực xoắn tác dụng lên trục. 0A M= αCông sinh ra: 0 0 MAW M t t α= = = ωCông suất (Nm/s): ω: vận tốc gốc (rad/s) 6 KHÁI NiỆM CHUNG 2 n n 60 30 π πω = =Mà: n: số vòng quay / phút Từ đó ta có: 0 0 n 30WW M M 30 n π= ⇒ = π - T/hợp công suất tính bằng mã lực: 1 mã lực = 750 Nm/s. ( ) ( )0 30.750.W W WM 7162 Nm 7,162 kNmn n n= = =π - T/hợp công suất tính bằng kilowat: 1kW = 1020 Nm/s. ( ) ( )0 30.1020.W W WM 9740 Nm 9,74 kNmn n n= = =π Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 4 7 XOẮN THANH TIẾT DIỆN TRÒN Xét thanh tròn chịu xoắn thuần túy như hình vẽ. Sau khi thanh chịu xoắn bởi ngoại lực Mz , thanh bị biến dạng, người ta nhận thấy những đường tròn trước và sau khi biến dạng vẫn vuông góc với trục thanh. Thí nghiệm thanh tròn chịu xoắn Mz Mz 8 XOẮN THANH TIẾT DIỆN TRÒN Từ những nhận xét đó, người ta đề ra các giả thiết sau: - Trong quá trình biến dạng, mặt cắt ngang vẫn phẳng và thẳng góc với trục thanh. Các giả thiết: - Trong quá trình biến dạng, các mặt cắt ngang không chuyển vị theo phương trục thanh, mọi bán kính vẫn thẳng và có chiều dài không đổi. - Ngoài ra, người ta còn thừa nhận rằng vật liệu làm việc trong giai đoạn đàn hồi và tuân theo định luật Hooke. Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 5 9 XOẮN THANH TIẾT DIỆN TRÒN Có thể nhận thấy rằng, thanh chịu uốn thuần túy chỉ là sự xoay tương đối giữa các mặt cắt ngang quanh trục z. Để xét biến dạng xoắn của một phân tố tại một điểm bất kỳ cách tâm một bán kính ρ, ta tách bởi ba cặp mặt cắt sau: Thiết lập công thức tính ứng suất tiếp của thanh tròn - Hai mặt cắt (1-1) và (2-2) thẳng góc với trục thanh, cách nhau một đoạn dz. - Hai mặt cắt chứa trục hợp nhau một góc dα. - Hai mặt cắt trụ song song trục z, bán kính ρ và (ρ+dρ). 10 XOẮN THANH TIẾT DIỆN TRÒN Thiết lập công thức tính ứng suất tiếp của thanh tròn Gọi dϕ là góc hợp giữa OAB và OA’B’ (góc xoắn tương đối giữa hai tiết diện lân cận cách nhau một đoạn dz). B C D D' C' A' B' E F G H 0 1 2 1 2 dz A γ ρ ρd ϕd z0 1 2 Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 6 11 XOẮN THANH TIẾT DIỆN TRÒN Thiết lập công thức tính ứng suất tiếp của thanh tròn Gọi góc B’FB là biến dạng trượt γ của phân tố. BB' d . dtg FB dz dz ϕρ ϕγ ≈ γ = = = ρ Theo giả thiết mặt cắt ngang không chuyển vị theo phương dọc trục thanh nên ta thấy không có ứng suất pháp tác dụng lên các mặt của phân tố. Đồng thời, giả thiết các bán kích có chiều dài không đổi nên cũng không có ứng suất tiếp hướng tâm trên mặt ABEF 12 XOẮN THANH TIẾT DIỆN TRÒN Thiết lập công thức tính ứng suất tiếp của thanh tròn Theo giả thiết trong quá trình biến dạng mặt cắt ngang vẫn phẳng và vuông góc với trục thanh nên các góc vuông tại HGCD và EFBA không thay đổi nên không có ứng suất tiếp hướng tâm trên mặt ABEF Như vậy trên mặt cắt ngang của thanh chịu xoắn thuần túy chỉ tồn tại ứng suất tiếp theo phương bán kính gọi là τρ và phân tố đang xét là trượt thuần túy. Áp dụng định luật Hooke cho biến dạng trượt: dG. G. dzρ ϕτ = γ = ρ (a) Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 7 13 XOẮN THANH TIẾT DIỆN TRÒN Thiết lập công thức tính ứng suất tiếp của thanh tròn Gọi dA là vi phân diện tích tại một điểm đang xét trên mặt cắt ngang của thanh Thay (b) vào (a) ta được: z p M Iρ τ = ρ 2 z z p pA A Md d dM dA. G dA G I dz dz dz GIρ ϕ ϕ ϕ= τ ρ = ρ = ⇒ =∫ ∫ (b) 14 XOẮN THANH TIẾT DIỆN TRÒN Thiết lập công thức tính ứng suất tiếp của thanh tròn Ta thấy τρ phân bố theo quy luật bậc nhất, có phương vuông góc với bán kính và có cùng chiều quay với Mz, có giá trị bằng không tại tâm của tiết diện và cực đại tại biên của tiết diện. Ứng suất tiếp cực trị: z z z max pp p M M MR II W R τ = = = 1 2 1 2 Mz ρτ ρτ τmax Mz Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 8 15 XOẮN THANH TIẾT DIỆN TRÒN Thiết lập công thức tính ứng suất tiếp của thanh tròn Với Wp = Ip/R được gọi là mômen chống xoắn của tiết diện - Đối với tiết diện tròn 4 3 p 3 p I D DW 0,2DDR 1632. 2 π π= = = ≈ - Đối với tiết diện vành khăn ( ) ( ) ( )4 3p 4 4 3 4p I D DW 1 1 0,2D 1DR 1632. 2 π π= = −η = −η ≈ −η Với: d D η = 16 XOẮN THANH TIẾT DIỆN TRÒN Công thức tính biến dạng khi xoắn Gọi θ là góc xoắn trên một đơn vị chiều dài hay còn gọi là góc xoắn tỉ đối (rad/m). d / dzθ = ϕ Ta có: z z p p nL z z i 0 1p p M Md d dz dz GI GI M M Ldz GI GI ϕ = ⇒ ϕ = ⇒ ϕ = =∑∫ Công thức trên chỉ áp dụng khi Mz / GIp là hằng số. Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 9 17 DẠNG ĐỨT GÃY KHI XOẮN Nghiên cứu trạng thái ứng suất của trục tròn chịu xoắn, ta thấy tại một điểm trên mặt ngoài, phân tố ở trạng thái trượt thuần túy và ứng suất đạt giá trị cực đại. Ở trạng thái này, góc phá hoại theo hai phương nghiêng 450 so với trục ứng suất kéo chính và nén chính. - Qua thí nghiệm ta cũng biết vật liệu dẻo chịu kéo và nén tốt như nhau, còn chịu cắt thì kém hơn. Do đó, khi bị xoắn trục thép sẽ bị gãy theo mặt cắt ngang. - Đối với vật liệu giòn, trục gãy theo góc nghiêng 450 18 XOẮN THANH TiẾT DiỆN CHỮ NHẬT Thí nghiệp xoắn thanh tiết diện chữ nhật cho thấy những đường song song và thẳng góc với trục không còn song song và thẳng góc với trục, tiết diện bị vênh, giả thiết mặt cắt phẳng không thể áp dụng được nữa. Do đó, không thể dựa trên các giả thiết để đơn giản hóa bài toán được. Từ đó, ta thừa nhận một số kết quả tìm được bằng lý thuyết đàn hồi. Trên mặt cắt ngang chỉ có ứng suất tiếp và luật phân bố như trên hình vẽ bên dưới. Quy luật biến thiên của τ không còn là bậc nhất như đối với mặt cắt tròn. Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 10 19 XOẮN THANH TiẾT DiỆN CHỮ NHẬT Ứng suất tiếp bằng không tại các góc và lớn nhất tại trung điểm cạnh dài: Với b và h là kích thước cạnh ngắn và cạnh dài của tiết diện chữ nhật Ứng suất tiếp tại điểm giữa cạnh ngắn: z max 2 M hb τ = α b h τmax τ1 Mz 1 maxτ = γτ Góc xoắn tỷ đối: z 3 M G hb θ = β 20 XOẮN THANH TiẾT DiỆN CHỮ NHẬT Bảng giá trị α, β, γ ∞ 0,7530,2630,2673 0,7660,2490,2582,5 0,7950,2290,2462 0,8200,2140,2391,75 0,8590,1960,2311,5 1,0000,1410,2031 γβαh/b 0,7420,3330,333 0,7420,3130,31310 0,7420,3070,3078 0,7430,2990,2996 0,7450,2810,2824 γβαh/b Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 11 21 ĐiỀU KiỆN BỀN – ĐiỀU KiỆN CỨNG Tìm ứng suất chính ta được: max 1 max min 3 max;σ = σ = τ σ = σ = −τ Điều kiện bền: - Đối với vật liệu giòn: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]k k1 3 maxk kn n1 ⎛ ⎞σ σσ + σ ≤ σ ⇒ τ + ≤ σ⎜ ⎟⎜ ⎟σ σ⎝ ⎠ Áp dụng thuyết bền TTƯS tới hạn (thuyết bền Mohr) - Đối với vật liệu dẻo: [ ]1 3σ −σ ≤ σ Theo TB ƯS tiếp lớn nhất: [ ] max 2 σ⇒ τ ≤ [ ]2 2 21 2 3 1 2 2 3 3 1σ +σ +σ +σ σ +σ σ +σ σ ≤ σ Theo TB TNBĐHD: [ ] max 3 σ⇒ τ ≤ 22 ĐiỀU KiỆN BỀN – ĐiỀU KiỆN CỨNG [ ]maxθ ≤ θĐiều kiện cứng: Ba bài toán cơ bản: - Bài toán kiểm tra bền, kiểm tra cứng. - Bài toán xác định kích thước tiết diện. - Bài toán xác định tải trọng cho phép. rad 1 m 180 m π=Cần lưu ý đơn vị trong tính toán: Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 12 23 BÀI TẬP: Bài 1: Cho thanh hai đầu ngàm chịu xoắn như hình vẽ. Yêu cầu: - Vẽ biểu đồ mômen xoắn. - Xác định đường kính trục tròn theo điều kiện bền và điều kiện cứng. Biết: ( ) [ ] ( ) [ ] ( )3 2 0 2G 8.10 kN / cm ; 0,8 /m ; 8 kN / cm= θ = τ = - Tính góc xoắn ϕAD 1m 30(kNm) 1m 10(kNm) 1m A D C B D 24 BÀI LÀM: Bỏ ngàm A và thay vào đó bằng phản lực MA Sau đó vẽ biểu đồ mômen xoắn theo MA ta được biểu đồ như hình vẽ. MA + +MA B 30(kNm) 10(kNm) D C + (30+ )MA (20+ )MA Vẽ biểu đồ mômem xoắn Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 13 25 BÀI LÀM: Điều kiện chuyển vị: Từ đó ta vẽ được biểu đồ mômen xoắn như sau: ( ) ( ) ( ) A AA AB p p p A A 30 M 100 20 M 100M 1000 0 GI GI GI 300M 5000 0 M 16,67 kNm + +ϕ = ⇒ + + = ⇒ + = ⇒ = − - ++ 3,33 13,33 16,67 M (kNm)z Vẽ biểu đồ mômem xoắn 26 BÀI LÀM: Theo điều kiện bền: Từ hai điều kiện trên, chọn D=12,44(cm). [ ] ( )z 33 M 1667D 10,14 cm 0,2 0,2.8 ≥ = =τ Xác định đường kích trục tròn Theo điều kiện cứng: [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) 0 z 44 3 4 0,5.3,140,5 /m rad / cm 0,87 rad / cm 180.100 M 1667D 12,44 cm 0,1.G. 0,1.8.10 .0,87.10− θ = = = ≥ = =θ Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 14 27 BÀI LÀM: Mômen quán tính độc cực của tiết diện ( )4 4 4PI 0,1D 0,1.12, 44 2395 cm= = = Tính góc xoắn ϕAD Góc xoắn ( )3AD 316,67.100.100 8.10 rad8.10 .2395 − −ϕ = = −