Sức bền vật liệu - Chương 8: Ôn định thanh thẳng chịu nén

Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 1 1 BÀI GiẢNG MÔN HỌC SỨC BỀN VẬT LiỆU GV: TRẦN HỮU HUY Tp.HCM, tháng 10 năm 2009 (Lưu hành nội bộ) 2 ỔN ĐỊNH THANH THẲNG CHỊU NÉN ™ KHÁI NiỆM CHUNG ™ LỰC TỚI HẠN CỦA THANH CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM CHƯƠNG 8: ™ ỔN ĐỊNH NGOÀI MiỀN ĐÀN HỒI ™ PHƯƠNG PHÁP THỰC HÀNH TÍNH ỔN ĐỊNH THANH CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM ™ BÀI TẬP Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 2 3 KHÁI NiỆM CHUNG Một trong những nhiệm vụ cơ bản của môn Sức bền vật liệu là đề ra phương pháp tính toán độ ổn định của các bộ phân công trình dưới tác dụng của ngoại lực. Có thể hiểu, ổn định là khả năng duy trì hình thức biến dạng ban đầu khi bị nhiễu. Trong thực tế, nhiễu có thể là các yếu tố sai lệch so với sơ đồ tính như độ cong ban đầu, sự nghiêng hoặc lệch tâm của lực tác dụng.... 4 - Quả cầu đặt ở mặt lõm, nếu ta đẩy nó rời khỏi vị trí cân bằng thì nó sẽ trở lại vị trí ban đầu ngay sau khi ta bỏ lực đi. Ta nói quả cầu ở trạng thái cân bằng ổn định. Để có khái niệm về ổn định, ta hãy xét ví dụ sau: - Quả cầu đặt ở mặt lồi, khi ta đẩy nó ra khỏi vị trí cân bằng thì nó không trở về vị trí ban đầu nữa. Ta nói quả cầu ở trạng thái cân bằng không ổn định. - Quả cầu nằm trên mặt phẳng, quả cầu đến vị trí mới và giữ nguyên ở vị trí đó khi rời khỏi vị trí cân bằng cũ, ta nói quả cầu ở trạng thái cân bằng phiếm định Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 3 5 KHÁI NiỆM CHUNG - Nếu lực P < Pth, thanh sẽ phục hồi lại trạng thái biến dạng thẳng ban đầu. Sự cân bằng của trạng thái biến dạng thẳng ban đầu được gọi là ổn định. Điều tương tự cũng xảy ra đối với một hệ đàn hồi: - Nếu P > Pth, chuyển vị ngang δ sẽ tăng lên và thanh sẽ cong thêm. Sự cân bằng của biến dạng thẳng ban đầu được gọi là không ổn định. - Nếu lực P = Pth, thanh sẽ giữ nguyên chuyển vị δ và biến dạng cong sau khi bị nhiễu. Sự cân bằng của biến dạng ban đầu được gọi là phiếm định. P P Q 6 KHÁI NiỆM CHUNG - Như vậy, nếu P > Pth, thì thanh cân bằng không ổn định, thanh sẽ chuyển sang hình thức biến dạng mới bị uốn cong, khác trước về tính chất, bất lợi về điều kiện chịu lực. - Các kết cấu khác đều có thể bị mất ổn định như thanh chịu nén, dầm chịu uốn, tấm vỏ chịu nén hoặc xoắn... - Khi xảy ra mất ổn định dù chỉ một thanh cũng dẫn đến sự sụp đổ của toàn bộ kết cấu. Tính chất phá hoại do mất ổn định là đột ngột và nguy hiểm. - Trong chương này chỉ giới thiệu bài toán ổn định thanh chịu nén đúng tâm. Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 4 7 LỰC TỚI HẠN CỦA THANH CHỊU NÉN Thanh hai đầu khớp Xét thanh thẳng hai đầu liên kết khớp chịu lực nén đúng tâm Pth. Khi bị nhiễu, thanh sẽ bị uốn cong trong mặt phẳng có độ cứng nhỏ nhất. Ta xác định lực tới hạn đó. y(z) L 1 1 P z b h th 1-1 y(z)P z th Pth M 8 LỰC TỚI HẠN CỦA THANH CHỊU NÉN Thanh hai đầu khớp - Từ điều kiện cân bằng của đoạn thanh, ta xác định được mômen uốn trên mặt cắt đó: - Giả thiết rằng khi thanh mất ổn định, vật liệu thanh làm việc trong giai đoạn đàn hồi và chuyển vị là bé. Gọi độ cứng chống uốn trong mặt phẳng uốn cong là EImin. ( ) ( )x thM z P y z= - Phương trình vi phân đường đàn hồi: ( ) ( )x min M z y '' z EI = − (a) (b) Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 5 9 LỰC TỚI HẠN CỦA THANH CHỊU NÉN Thanh hai đầu khớp - Thay (a) vào (b) ta được: Đặt: ( ) ( ) ( ) ( )th th min min P y z Py '' z y '' z y z 0 EI EI = − ⇒ + = 2 th min P EI α = (c) Ta viết lại phương trình trên như sau: ( ) ( )2y '' z y z 0+ α = Nghiệm tổng quát của phương trình (c) có dạng: ( ) 1 2y z C sin z C cos z= α + α (d) 10 LỰC TỚI HẠN CỦA THANH CHỊU NÉN Thanh hai đầu khớp Trong đó, C1 và C2 là các hằng số tích phân: - Với: ( ) ( ) 1z 0 y z y 0 0 C 0= ⇒ = = ⇒ = - Với: ( ) ( ) 2z L y z y L 0 C sin L 0= ⇒ = = ⇒ α = Nếu C2 = 0 thì y(z) = 0 với mọi biến z, điều này sai. Do đó: sin L 0 L nα = ⇒ α = π Với n = 1, 2, 3, Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 6 11 LỰC TỚI HẠN CỦA THANH CHỊU NÉN Thanh hai đầu khớp Suy ra: n L πα = mà: 2 th min P EI α = 2 2 2 min th min 2 n EIP EI L π⇒ = α = Với n = 1, 2, 3, Trong thực tế, khi lực nén đạt đến giá trị tới hạn nhỏ nhất, ứng với n=1 thì thanh đã bị cong. Do đó, các giá trị ứng với n>1 không còn ý nghĩa. Nên, công thức viết lại như sau: Với n = 1, 2, 3, 2 min th 2 EIP L π= (8.2) (8.1) 12 LỰC TỚI HẠN CỦA THANH CHỊU NÉN Thanh có liên kết khác Khi xác định lực tới hạn cho các thanh có liên kết khác nhau ở hai đầu bằng phương pháp bên trên, ta đều thu được công thức có dạng chung giống công thức (8.1). 2 2 min th 2 n EIP L π= Với n là số nửa sóng hình sin của đường đàn hồi khi thanh bị mất ổn định 1 nμ = (8.3)Đặt: ( ) 2 min th 2 EIP L π⇒ = μ Trị số μL được gọi là chiều dài quy đổi của thanh. Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 7 13 LỰC TỚI HẠN CỦA THANH CHỊU NÉN Thanh có liên kết khác Sau đây là một số dạng mất ổn định và hệ số quy đổi của thanh có liên kết khác nhau thường gặp: μ 0,7 0,5 1 212 14 LỰC TỚI HẠN CỦA THANH CHỊU NÉN Ứng suất tới hạn Ứng suất trong thanh thẳng chịu nén đúng tâm bởi lực Pth gọi là ứng suất tới hạn được xác định theo công thức: ( ) ( ) 2 2 2 th min min th 2 2 P EI E.i A L A L π πσ = = =μ μ min min Ii A =Trong đó: (8.4) Bán kính quán tính của tiết diện theo phương có độ cứng chống uốn là nhỏ nhất. Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 8 15 LỰC TỚI HẠN CỦA THANH CHỊU NÉN Ứng suất tới hạn Đặt: min L i μλ = 2 th 2 Eπσ = λ Công thức (8.4) được viết lại như sau: Gọi là độ mảnh của thanh (8.5) Độ mảnh của thanh không có thứ nguyên, phụ thuộc vào chiều dài thanh, điều kiện liên kết biên và đặc trưng hình học của tiết diện, thanh có độ mảnh càng lớn thì càng dễ mất ổn định. 16 LỰC TỚI HẠN CỦA THANH CHỊU NÉN Giới hạn sử dụng công thức Euler Công thức Euler được xây dựng trên cơ sở phương trình vi phân đường đàn hồi, vì vậy chỉ áp dụng được khi vật liệu còn làm việc trong giai đoạn đàn hồi, tức là ứng suất trong thanh nhỏ hơn giới hạn tỷ lệ: 2 th tl2 Eπσ = ≤ σλ 2 tl Eπλ ≥ σhay Đặt 2 0 tl Eπλ = σ Thì điều kiện áp dụng là 0λ ≥ λ Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 9 17 LỰC TỚI HẠN CỦA THANH CHỊU NÉN Giới hạn sử dụng công thức Euler Trong đó λ0 được gọi là độ mảnh giới hạn và là một hằng số đối với mỗi loại vật liệu: - Đối với thép xây dựng λ0 = 100 - Đối với gỗ λ0 = 75 - Đối với gang λ0 = 80 Nếu thanh có λ > λ0 thì được gọi là thanh có độ mảnh lớn. Do đó, công thức Euler chỉ áp dụng được cho thanh có độ mảnh lớn. 18 ỔN ĐỊNH NGOÀI MiỀN ĐÀN HỒI Giới thiệu Khi ứng suất tới hạn trong thanh lớn hơn giới hạn tỉ lệ thì cần thiết phải có công thức khác để tính lực tới hạn. Iasinski σ chσ 0 σt l λλ1 λ0 Euler Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 10 19 ỔN ĐỊNH NGOÀI MiỀN ĐÀN HỒI Công thức thực nghiệm Iasinski Nếu thanh có độ mảnh vừa λ1 < λ < λ0, thì áp dụng công thức sau: th a bσ = − λ Với a và b là hằng số phụ thuộc vào vật liệu, được xác định bằng thực nghiệm - Đối với thép a = 33,6(kN/cm2); b = 0,147 (kN/cm2) - Đối với gỗ a = 2,93 (kN/cm2); b = 0,0194 (kN/cm2) - Độ mảnh λ1 được xác định từ công thức: tl 1 a b − σσ = 20 ỔN ĐỊNH NGOÀI MiỀN ĐÀN HỒI Công thức thực nghiệm Iasinski Nếu thanh có độ mảnh bé λ < λ1, lúc này thanh không bị mất ổn định mà đạt đến trạng thái phá hoại của vật liệu Vì vậy: - Với th bσ = σ Đối với vật liệu giòn - Với th chσ = σ Đối với vật liệu dẻo Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 11 21 ỔN ĐỊNH NGOÀI MiỀN ĐÀN HỒI Công thức lý thuyết môđun đàn hồi tiếp tuyến Ta có đường cong quan hệ giữa ứng suất và biến dạng: Môđun đàn hồi tiếp tuyến được định nghĩa là độ dốc của tiếp tuyến của đường cong quan hệ ứng suất và biến dạng. t dE d σ= ε E chσ 0 σt l εB E 1thσ A 22 ỔN ĐỊNH NGOÀI MiỀN ĐÀN HỒI Công thức lý thuyết môđun đàn hồi tiếp tuyến Khi vật liệu làm việc ngoài miền đàn hồi thì môđun tiếp tuyến là một hàm theo ứng suất: Bằng cách thiết lập công thức giống như cách của Euler nhưng môđun đàn hồi E được thay bằng môđun đàn hồi tiếp tuyến Et ( ) 2 t min th 2 E IP L π= μ Ứng suất tới hạn được xác định qua công thức: 2 t th 2 Eπσ = λ Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 12 23 PHƯƠNG PHÁP THỰC HÀNH TÍNH ỔN ĐỊNH THANH CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM Phương pháp tính: Một thanh chịu nén cần thỏa mãn hai điều kiện: - Điều kiện bền: [ ]n g P A σ = ≤ σ Với [ ] 0n n σσ = - Điều kiện ổn định: [ ]odPAσ = ≤ σ Với [ ] thod k σσ = n: hệ số an toàn về bền. Ag: diện tích giảm yếu của t/diện. k: hệ số an toàn về ổn định. A: diện tích nguyên của t/diện. 24 PHƯƠNG PHÁP THỰC HÀNH TÍNH ỔN ĐỊNH THANH CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM Phương pháp tính: Để thuận tiện cho tính toán thực hành, người ta đưa vào khái niệm hệ số uốn dọc hoặc hệ số giảm ứng suất ϕ được định nghĩa như sau: [ ] [ ] thod 0n n k σ σϕ = =σ σ Vì th 0 1σ <σ Và n 1 k < Từ đó ta được: nên 1ϕ < [ ] [ ]nod = ϕ σσ hay [ ]nPAσ = ≤ σϕ Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 13 25 PHƯƠNG PHÁP THỰC HÀNH TÍNH ỔN ĐỊNH THANH CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM Bảng hệ số ϕ = ϕ(E, λ, k) 0,310,160,430,510,60100 0,380,200,550,620,6990 0,480,260,650,700,7580 0,600,340,720,760,8170 0,710,440,790,820,8660 0,800,540,830,860,8950 0,870,690,870,890,9240 0,930,810,910,920,9430 0,970,910,950,950,9620 0,990,970,970,980,9910 1,001,001,001,001,000 GỗGangThép CΠKThép số 5Thép số 2, 3, 4 Trị số ϕ đối với Độ mảnh λ 26 PHƯƠNG PHÁP THỰC HÀNH TÍNH ỔN ĐỊNH THANH CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM Bảng hệ số ϕ = ϕ(E, λ, k) 0,080,130,160,19200 0,090,140,170,21190 0,100,150,190,23180 0,110,170,210,26170 0,120,190,240,29160 0,140,210,260,32150 0,160,230,290,36140 0,180,260,330,40130 0,220,300,360,45120 0,250,350,430,52110 GỗGangThép CΠKThép số 5Thép số 2, 3, 4 Trị số ϕ đối với Độ mảnh λ Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 14 27 PHƯƠNG PHÁP THỰC HÀNH TÍNH ỔN ĐỊNH THANH CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM Phương pháp tính: Đối với bài toán ổn định cũng có ba bài toán cơ bản: [ ]nPAσ = ≤ ϕ σ - Bài toán kiểm tra ổn định: [ ] [ ]nP A≤ ϕ σ - Bài toán xác định tải trọng cho phép: Trong hai bai toán trên, vì tiết diện thanh đã biết bên có thể tính được Imin, rồi từ đó tìm được λ, rồi tra bảng tìm được ϕ. 28 PHƯƠNG PHÁP THỰC HÀNH TÍNH ỔN ĐỊNH THANH CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM Phương pháp tính: Đối với bài toán ổn định cũng có ba bài toán cơ bản: [ ]n PA ≥ ϕ σ- Bài toán xác định kích thước tiết diện: [ ]0 00 n PA ≥ ⇒ λϕ σ Việc tìm A phải tìm đúng dần, vì ta có hai biến A và ϕ chưa biết. Ta có thể tiến hành như sau: Giả thiết ϕ0 = 0,5, tính được: Từ λ0 tra bảng được λ0’. Nếu λ0 khác λ0’ thì giả thiết lại λ1: [ ] ' '0 0 1 1 1 1 1 n PA 2 λ + λλ = ⇒ = ⇒ λ ⇒ ϕϕ σ Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 15 29 PHƯƠNG PHÁP THỰC HÀNH TÍNH ỔN ĐỊNH THANH CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM Chọn mặt cắt ngang và vật liệu hợp lý Theo công thức tính lực tới hạn: ( ) 2 min th 2 EIP L π= μ- Trong miền đàn hồi: Nếu như chiều dài là liên kết hai đầu thanh đã biết trước, để tăng Pth ta có các cách sau: ( ) 2 t min th 2 E IP L π= μ- Ngoài miền đàn hồi: 30 PHƯƠNG PHÁP THỰC HÀNH TÍNH ỔN ĐỊNH THANH CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM Chọn mặt cắt ngang và vật liệu hợp lý - Chọn vậy liệu có môđun đàn hồi lớn, việc này chỉ áp dụng đối với thanh làm việc ngoài miền đàn hồi. - Cấu tạo mặt cắt ngang rỗng để tăng mômen quán tính của tiết diện nhưng phải đảm bảo không để mất ổn định cục bộ. - Nếu tiết diện có liên kết hai phương giống nhau thì cấu tạo tiết diện có Ix = Iy. Đồng thời, nếu liên kết hai phương là khác nhau thì nên cấu tạo sao cho λx = λy. Nếu như chiều dài là liên kết hai đầu thanh đã biết trước, để tăng Pth ta có các cách sau: