Tài liệu ôn thi đại học môn toán

PHẦN I: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị hàm số là một trong những dạng toán mà chúng ta sẽ phải gặp trong các đề thi đại học chính vì vậy phải thường xuyên làm bài tập dạng này một cách thuần thục. Hãy làm đi làm lại nhiều lần vì chắc rằng nếu không làm thường xuyên chúng ta sẽ quên. A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = f(x) 1. Tập xác định của hàm số 2. Sự biến thiên:          - Chiều biến thiên                 Tính đạo hàm cấp 1 và tìm nghiệm của đạo hàm (nếu có)                  Kết luận tính đơn điệu của hàm số          - Cực trị của hàm số          - Giới hạn của hàm số và đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị hàm số     - Lập bảng biến thiên  3. Vẽ đồ thị  B. VÍ DỤ MINH HỌA VD1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = - x4 - x2 + 6 Giải: Tập xác định: D = R VD2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = 4x3 - 6x2 + 1 Giải: VD3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số Giải: 1. Tập xác định: 2. Sự biến thiên: * Chiều biến thiên: Ta có với mọi x- 1 Hàm số đồng biến trên các khoảng (-; -1) vµ ( -1; +) * Cực trị: Hàm số không có cực trị. * Giới hạn tại vô cực: ; tiệm cận ngang: y = 2 ; tiệm cận đứng: x = - 1 * Bảng biến thiên: x - -1 + y’ + + y + 2 2 - 3. Đồ thị: ----------o0o---------- PHẦN II: Ý PHỤ CÂU KHẢO SÁT HÀM SỐ I. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ   1. Hàm số f có cực trị y ' đổi dấu   2. Hàm số f không có cực trị y ' không đổi dấu   3. Hàm số f chỉ có một cực trị y ' đổi dấu 1 lần   4. Hàm số f có 2 cực trị (cực đại và cực tiểu) y ' đổi dấu 2 lần   5. Hàm số f có 3 cực trị y ' đổi dấu 3 lần   6. Hàm số f đạt cực đại tại x0 nếu:  7. Hàm số f đạt cực tiểu tại x0 nếu:  8. Hàm số f có đạo hàm và đạt cực trị tại x0 => f ' (x0) = 0 Chú ý: Đối với một hàm số bất kỳ, hàm số chỉ đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm triệt tiêu hoặc đạo hàm không xác định. II. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Loại 1: Tiếp tuyến của hàm số tại điểm . - Tính đạo hàm và giá trị . - Phương trình tiếp tuyến có dạng: . Loại 2: Biết hệ số góc của tiếp tuyến là . - Giải phương trình: , tìm nghiệm . - Phương trình tiếp tuyến dạng: . Loại 3: Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm . - Gọi d là đường thẳng qua A và có hệ số góc là k, khi đó - Điều kiện tiếp xúc của là hệ phương trình sau phải có nghiệm: III. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỒNG BIẾN-NGHỊCH BIẾN Cho hàm sô có tập xác định là miền D. - f(x) đồng biến trên D . - f(x) nghịch biến trên D . (chỉ xét trường hợp f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm trên miền D) ----------o0o---------- PHẦN III. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. CÔNG THỨC 1. Hệ thức LG cơ bản 2. Công thức LG thường gặp Công thức cộng: Công thức nhân: Tích thành tổng: cosa.cosb =[cos(a-b)+cos(a+b)] sina.sinb =[cos(a-b)-cos(a+b)] SINA.COSB =[SIN(A-B)+SIN(A+B)] Tổng thành tích: Công thức hạ bậc: cos2a =(1+cos2a) SIN2A =(1-COS2A) Biểu diễn các hàm số LG theo 3. Phương trìng LG cơ bản * sinu=sinv * cosu=cosvÛu=±v+k2p * tanu=tanv Û u=v+kp * cotu=cotv Û u=v+kp . II. MỘT SỐ PHƯƠNG TRINH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC: A. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC: ĐỂ GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH NÀY TA DÙNG CÁC CÔNG THỨC LG ĐỂ ĐƯA PHƯƠNG TRÌNH VỀ PHƯƠNG TRÌNH LG CƠ BẢN. B. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC: LÀ NHỮNG PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẠNG A.SIN2X+B.SINX+C=0 (HOẶC A.COS2X+B.COSX+C=0, A.TAN2X+B.TANX+C=0, A.COT2X+B.COTX+C=0) ĐỂ GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH NÀY TA ĐẶT T BẰNG HÀM SỐ LG.. 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX: Dạng: asinx+bcosx=c. Điều kiện để phương trình có nghiệm là . Cách 1: Chia hai vế phương trình cho a rồi đặt , ta được: sinx+tanacosx= sinx+cosx= sin(x+)=. Cách 2: Chia hai vế phương trình cho, ta được: Đặt: . Khi đó phương trình tương đương: hay . 3. PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAI ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX: Dạng: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 (*). Cách 1: + Kiểm tra nghiệm với . + Giả sử cosx¹0: chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: atan2x+btanx+c=0. Chú ý: Cách 2: Áp dụng công thức hạ bậc. 4. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX: Dạng: a(sinx± cosx)+ bsinxcosx=c. Cách giải: Đặt t= sinx± cosx. Điều kiện | t |. ----------o0o---------- PHẦN IV: TÍCH PHÂN I. BẢNG NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ: 1. 6. 2. 7. 3. (n # -1) 8. 4. 9. 5. 10. II. Các tính chất của tích phân: Tính chất 1: Nếu tích phân có cận trên bằng cận dưới thì kết bằng 0 Tính chất 2: Trong tính tích phân muốn đảo cận thì thêm dấu “ - “ vào trước tích phân. Tính chất 3: k Trong tích phân có hệ số k thì chuyển hệ số ra ngoài dấu tích phân. Tính chất 4: Đây là tính chất tách tích phân, tùy trường hợp mà tách được nhiều tích phân. Tính chất 5: Đây là tính chất tách miền tích phân. Tính chất 6: Tích phân chỉ phụ thuộc vào hàm số , cận a và b mà không phụ thuộc vào cách kí hiệu biến số tích phân. A. Phương pháp 1: PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VÀO VI PHÂN NGUYÊN TẮC CỦA PHƯƠNG PHÁP: * Tích phân I = ta đưa “” vào vi phân thì phải đạo hàm , ta sẽ có ’ vậy tích phân của ta sẽ trở thành: I = . + Ta thấy tích phân đã có sự thay đổi như sau: thành và tích phân phải chia cho ’. + Và ’ thường sẽ rút gọn được với tử số. * Lưu ý khi chọn cái gì để đưa vào vi phân: Cái đó thường là 1 thành phần của Tích phân hoặc cái gì đó gần gần giống(liên quan đến Tích phân cần tính), khi đạo hàm cái đó thì được cái mới mà cái mới này thường giúp cho Tích phân rút gọn được hoặc đưa Tích phân về dạng rất cơ bản. B. Phương pháp 2: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT t NGUYÊN TẮC CỦA PHƯƠNG PHÁP: 1. Tích phân có thì thường ta sẽ đặt t = 2. Tích phân có dạng phân số thì thử ta sẽ đặt t = mẫu. 3. Trong câu tích phân có thành phần nào phức tạp nhất thì ta có thể đặt t = cái đó. Và quan trọng là ta đặt cái gì thì khi đạo hàm cái đó sẽ được cái mới, cái mới này phải giúp tích phân được thu gọn và dễ biễu diễn lại. Các em cùng xem các ví dụ trong phần này để nắm rõ quy trình của phương pháp đặt t. C. Phương pháp 3: PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN NGUYÊN TẮC CỦA PHƯƠNG PHÁP: Ví dụ ta tính: thì ta làm theo các bước sau: Bước 1: Đặt Giải thích: - A và Cdx ta đã có sẵn ở đề bài. Lưu ý là phải ưu tiên chọn Cdx trước, còn lại cái gì thì đó là A( sở dĩ như vậy là vì xác định B dễ hơn là xác định D. - Xác định B bằng cách: Ta tính đạo hàm A sẽ được B. - Xác định D bằng cách: Ta tính sẽ được D. Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng từng phần được: hay Bước 3: Tính và * Các dạng thường gặp trong Tích phân từng phần và nguyên tắc đặt: - Dạng 1: ; ; ; Đối với dạng này ta đặt: Đặc biệt: là những đa thức. ví dụ như Tùy vào bậc của mà ta phải từng phần từng ấy lần. - Dạng 2: ; Đối với dạng này ta đặt: - Dạng 3: kết hợp với nhau. Đối với dạng này ta phải sử dụng tích phân từng phần đến 2 lần. Tuy nhiên dạng này ít gặp. ----------o0o---------- PHẦN 5: SỐ PHỨC TÓM TẮT KIẾN THỨC Khái niệm về số phức: Dạng đại số của số phức là: z = a + b.i (a, b Î R và i2 = –1) Ta gọi a là phần thực, b là phần ảo và i là đơn vị ảo của số phức z Mô đun của số phức z là Số phức liên hợp của z là Tập hợp các số phức kí hiệu là C Hai số phức bằng nhau: a + b.i = c + d.i F Chú ý: Nếu a = 0 thì z = b.i là số thuần ảo (số ảo) Nếu b = 0 thì z = a là số thực Số 0 vừa là số thực, vừa là số ảo Tập số thực là tập con của tập số phức: R Ì C Từ i2 = –1 ta suy ra i3 = –i ; i4 = 1. Tổng quát: in = i4.q + r = ir (0 £ r < 4 , r Î N) Trong mp(Oxy) điểm M(a ; b) gọi là điểm biểu diễn hình học của số phức z = a + b.i Phép toán trên tập số phức Với hai số phức z1 = a + b.i và z2 = c + d.i bất kì, ta có: z1 + z2 = (a + c) + (b + d).i z1 – z2 = (a – c) + (b – d).i z1.z2 = ac + ad.i + bc.i + bd.i2 = (ac – bd) + (ad + bc).i F Chú ý: Tính chất phép cộng và nhân trên tập C như trên tập R (a + b.i)2 = a2 + 2ab.i + b2.i2 = (a2 – b2) + 2ab.i (a + b.i)3 = a3 + 3a2b.i + 3a b2.i2 + b3.i3 = (a3 – 3ab2) + (3a2b – b3).i Phương trình bậc hai với hệ số thực Trên tập số phức C, cho phương trình a.z2 + b.z + c = 0 (a, b, c Î R và a ¹ 0) (*) Nếu D = b2 – 4ac < 0 thì pt(*) có hai nghiệm phức là: & F Chú ý: Hai nghiệm z1 và z2 là hai số phức liên hợp. Dể thấy: z1 + z2 = & z1.z2 = . Nếu hai số phức z1 = a + b.i và z2 = a – b.i có tổng S = z1 + z2 = 2a và tích P = z1.z2 = a2 + b2 thì z1 và z2 là hai nghiệm của phương trình: z2 – Sz + P = 0 ----------o0o---------- PHẦN VI: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP THỂ TÍCH KHỐI CHÓP ĐỀU Công thức tính thể tích khối chóp: V=Bh với Khối chóp tam giác đều Khối chóp tứ giác đều + Đáy là đa giác đều + Mặt bên là các tam giác cân + Đường cao là đoạn thẳng nối từ đỉnh đến tâm của đáy + Đường cao vuông góc với mp đáy Chú ý: Tam giác đều thì tâm, chính là trực tâm ,trọng tâm của tam giác. Hình vuông thì tâm là giao điểm các đường chéo hình vuông. KHỐI CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY Công thức tính thể tích khối chóp: V=Bh với Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy,đường cao chính là cạnh bên đó KHỐI CHÓP CÓ 1 MẶT BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY Công thức tính thể tích khối chóp: V=Bh với Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy, đường cao chính là đường cao của mặt bên đó xuất phát từ đỉnh của khối chóp ----------o0o---------- PHẦN VII: LOGARIT & MŨ I. CÔNG THỨC MŨ ( ) II. CÔNG THỨC LOGARIT và ----------o0o---------- PHẦN VIII: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG I. Phương trình đường thẳng: 1. Phương trình tham số của đường thẳng: Giả sử trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng đi qua điểm có vectơ chỉ phương Khi đó phương trình tham số của đường thẳng : (t Tham số) (1) 2. Phương trình tổng quát của đường thẳng: Bằng cách khử tham số t giữa hai phương trình (1) ta có phương trình tổng quát của có dạng: , với *Nhận xét: a, Nếu có phương trình: , với thì có vectơ pháp tuyến Và nhận làm vectơ chỉ phương ( có thể lấy véc tơ chỉ phương b, Đường thẳng có phương trình là một dạng tổng quát trong đó hệ số k dược gọi là hệ số góc và số b gọi là tung độ gốc. 3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng Xét hai dường thẳng: Tọa độ giao điểm của và chính là nghiệm của phương trình: (I) Ta có các trường hợp sau: + Nếu hệ (I) có một nghiệm khi đó cắt tại điểm . + Nếu hệ (I) có vô số nghiệm khi đó trùng với . + Nếu hệ (I) vô nghiệm khi đó song song với . 4. Góc giữa hai đường thẳng Trong mặt phẳng đối với hệ tọa độ đề các vuông góc cho hai đường thẳng: Gọi là góc nhọn tạo bởi và khi đó ta có: Chú ý: + + Nếu , lần lượt có hệ số góc là thì 5. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Trong mặt phẳng Oxy khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng được tính theo công thức: II. Phương trình đường tròn 1. Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) tâm I(a;b) bán kính R có phương tình tổng quát là: (1) + Nhận xét: Phương trình (1) có thể được viết dưới dạng với Ngược lại phương trình là là phương trình đường tròn (C) với điều kiện . Khi đó đường tròn có tâm I(a;b) và bán kính 2. Phương trình tiếp tuyến Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) có phương trình: Tại điểm thuộc đường tròn là: III. Phương trình đường Elip 1. Định nghĩa đường elip Cho hai điểm cố định và một độ dài không đổi 2a lớn hơn . Elip là tập hợp các điểm M trong mạt phẳng sao cho: Các điểm được gọi là các tiêu điểm. Độ dài được gọi là tiêu cự của Elip. 2. Phương trình chính tắc của Elip Chon hệ trục tọa độ Oxy sao cho (E)={M| } có phương trình chính tắc là: (a>b) Với 3. Liên hệ giữa đường tròn và Elip Từ hệ thức ta thấy tiêu cự của Elip càng nhỏ thì Elip có dạng gần như đường tròn. Nếu phép co (Với 0<b<a) Thì đường tròn (C) có phương trình: được tạo thành E líp ----------o0o---------- PHẦN IX: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I. MẶT CẦU Phương trình mặt cầu: Mặt cầu có tâm I(a; b; c) và bán kính R : (1) Phương trình mặt cầu dạng khai triển: x2 +y2 +z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0, đk: a2 + b2 + c2 – d > 0 (2) Tâm I(a; b; c) và bán kính R= Chú ý: Mặt cầu có tâm I và qua A thì R = IA = Mặt cầu có đường kính AB thì R = và tâm I là trung điểm AB Mặt cầu qua 4 điểm A, B,C, D thì viết phương trình mặt cầu ở dạng (2) rồi thay tọa độ từng điểm vào phương trình và giải hệ để tìm a, b, c, d. (Hoặc ) 3. Vị trí tương đối của điểm với mặt cầu: Cho và điểm , Gọi là tâm mc(S), R là bán kính của mặt cầu. IM > Rà Điểm M nằm ngoài mặt cầu IM < Rà Điểm M nằm trong mặt cầu IM = R à Điểm M thuộc mặt cầu(Hay Thay tọa độ điểm M vào PT mặt cầu thỏa mãn) 4. Vị trí tương đối giữa hai mặt cầu: Cho hai mặt cầu S1(I1, R1) và S2(I2, R2). · Û (S1), (S2) trong nhau · Û (S1), (S2) ngoài nhau · Û (S1), (S2) tiếp xúc trong · Û (S1), (S2) tiếp xúc ngoài · Û (S1), (S2) cắt nhau theo một đường tròn. II. MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN 1. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT MP : Vectơ pháp tuyến của mpa :≠ là véctơ pháp tuyến của a ^ a Cặp véctơ chỉ phương của mpa : không cùng phương là cặp vtcp của (a) , có giá song song với (a) hoặc nằm trong (a) 3 Quan hệ giữa vtpt và cặp vtcp ,: = [,] 4. Pt mp(a) qua M(xo ; yo ; zo) có vtpt =(A;B;C): A(x – xo) + B(y – yo ) + C(z – zo ) = 0 (a) : Ax + By + Cz + D = 0 ta có = (A; B; C) Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần: 1 điểm thuộc mp và 1 véctơ pháp tuyến *) Các bước viết phương trình tổng quát của mặt phẳng: B1: Tìm toạ độ vectơ pháp tuyến ( là vectơ vuông góc với mặt phẳng) B2: Tìm toạ độ điểm M0(x0; y0; z0) thuộc mặt phẳng B3: Thế vàp pt: A(x –x0) + B(y-y0) +C(z-z0) = 0, khai triển đưa pt về dạng: Ax + By +Cz + D = 0 *) Chú ý: Cho mp (P) :Ax + By +Cz + D = 0 VTPT của (P) Nếu điểm M(x1; y1; z1)(P) thì Ax1+By1+Cz1+D=0 Trong trường hợp chưa tìm được vectơ pháp tuyến thì tìm hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trong mp . Khi đó VTPT của mp là: 2. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI MẶT PHẲNG: Cho mp (P) :Ax + By +Cz + D = 0 và (P’): A’x + B’y +C’z + D’ = 0. Khi đó (P) và (P’) lần lượt có các vecto pháp tuyến là (P) // (P’) (Hoặc) (Hoặc) (P) cắt (P’) (Hoặc ) Trong trường hợp này nếu AA’ +BB’ +CC’ = 0 hai mặt phẳng vuông góc Chú ý: Cho mp (P): Ax + By + Cz + D = 0 suy ra (P) có VTPT Nếu (P’) // (P) thì (P’) cũng nhận là VTPT Nếu thì (P’) chứa hoặc song song với giá 3. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN 1 MẶT PHẲNG: Định lý: Cho điểm M(x0; y0; z0) và mp (P) :Ax + By +Cz + D = 0 III. ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN Viết PTTS, PTCT của đường thẳng B1: Tìm toạ độ vectơ chỉ phương (a; b; c) ( là vectơ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng đó. B2: Tìm toạ độ điểm M0(x0; y0; z0) thuộc đường thẳng B3: PTTS: PTCT: Với a1, a2, a3 0 Chú ý a) Nếu đường thẳng d là giao tuyến của hai mp (P):Ax+By+Cz+D = 0 và (P’): A’x+B’y+C’z+D’ = 0 Khi đó đt d có VTCP: Muốn tìm một điểm thuộc d thì ta cho x = x0 (thường cho x = 0), giải hệ phương trình tìm y, z b) Đường thẳng d qua 2 điểm A, B thì d có VTCP là c) Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng(P) thì d có VTCP là VTPT của (P) d) đường thẳng d song song với đường thẳng thì d và có cùng VTCP e) hai đường thẳng vuông góc thì hai vectơ chỉ phương của chúng vuông góc 3. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Cho qua M(x0; y0; z0) và có vectơ chỉ phương ’ qua M’(x’0; y’0; z’0) và có vectơ chỉ phương có PTTS là: *) Nếu thấy thì lấy tọa độ điểmthế vào phương trình đường thẳng ’. Xảy ra 2 khả năng: TH1: thì hai đường thẳng trên trùng nhau TH2: thì 2 đường thẳng trên song song *) Nếu thấy thì giải hệ phương trình gồm hai phương trình của 2 đường thẳng TH3: hệ có duy nhất nghiệm thì hai đường thẳng trên cắt nhau TH4: hệ vô nghiệm thì hai đường thẳng trên chéo nhau *) Nếu aa’+ bb’ + cc’ = 0 thì hai đường thẳng trên vuông góc. 4. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GI ỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẰNG Cho mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 và đường thẳng d: Xét hệ phương trình Thay (1), (2), (3) vào (4), ta có phương trình : A(x0 + at) + B(y0 + bt) + C(z0 + ct) + D = 0 (*) TH1: (*) vô nghiệm thì d và (P) không có giao điểm hay d và (P) song song TH2: (*) có 1 nghiệm t duy nhất thì d và (P0 có 1 giao điểm hay d và (P) cắt nhau tại 1 điểm TH3: (*) có vô số nghiệm thì d và (P) có vô số giao điểm hay d nằm trong mặt phẳng (P) Chú ý: Trong trường hợp d // (P) hoặc thì VTCP của d và VTPT của (P) vuông góc Khi d // (P) thì khoảng cách giữa d và (P) chính là khoảng cách từ một điểm trên d đến mặt phẳng (P) ----------o0o---------- PHẦN X: ĐỀ THI THỬ A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7,0 điểm ) Câu I : ( 2,0 điểm ). Cho hàm số : có đồ thị là . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C). 2. Gọi là giao điểm của hai đường tiệm cận của . Tìm trên đồ thị điểm có hoành độ dương sao cho tiếp tuyến tại với đồ thị cắt hai đường tiệm cận tại và thoả mãn . Câu II : ( 2,0 điểm ) 1. Giải phương trình : 2. Giải hệ phương trình: Câu III : ( 1,0 điểm ).Tính tích phân: I = . Câu IV : ( 1,0 điểm ) .Cho hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng , góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy bằng . Tính thể tích khối chóp. Câu V : ( 1,0 điểm ).Cho a,b,c dương thỏa mãn : ab + bc + ca = 2abc. Chứng minh rằng: B. PHẦN TỰ CHỌN: (3,0 điểm)(Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 phần, phần A hoặc phần B) A. Theo chương trình chuẩn: Câu VIa : (2,0 điểm). 1. Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm và đường tròn với tâm là I. Tìm tọa độ điểm sao cho . 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(4; 5; 6). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, cắt các trục tọa độ lần lượt tại I, J, K mà A là trực tâm của tam giác IJK. Câu VII a.(1,0 điểm): Giải phương trình : B. Theo chương trình nâng cao Câu VIb: ( 2,0 điểm ). 1. Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy). Lập phương trình đường thẳng qua và tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng . 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; 1 ; 0) và đường thẳng d có phương trình: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M, cắt và vuông góc với đường thẳng d. Câu VII b.( 1,0 điểm ). Giải bất phương trình sau : .............................................................Hết.................................................................... ĐÁP ÁN Câu Ý Nội dung Điểm I 1 Cho hàm số : có đồ thị là . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) 1,00 1. Tập xác định: 2. Sự biến thiên: * Chiều biến thiên: Ta có: . Hàm số đồng biến trên các khoảng và * Cực trị: Hàm số không có cực trị. * Giới hạn tại vô cực: => đường thẳng là tiệm cận ngang. => đường thẳng là tiệm cận đứng. * Bảng biến thiên: x - - 1 + y' + || + y 2 || 2 3. Đồ thị: Đồ thị hàm số cắt trục tại điểm Đồ thị hàm số cắt trục tại điểm Đồ thị hàm số có giao điểm của 2 tiệm cận là . (Học sinh tự vẽ đồ thị) 0,25 0,25 0,25 0,25 2 2. Gọi là giao điểm của hai đường tiệm cận của .Tìm trên đồ thị điểm có hoành độ dương sao cho tiếp tuyến tại với đồ thị cắt hai đường tiệm cận tại và thoả mãn :. 1,00 * TCĐ :,TCN là giao 2 tiệm cận. * Gọi * Phương trình tiếp tuyến với tại * * . 0,25 0,25 0,25 0,25 II 1 Giải phương trình : 1,00 0,5 0,5 2 Giải hệ phương trình: 1,00 Do không thỏa mãn hệ nên: thì Khi đó hệ trở thành Vậy hệ phương trình có nghiệm (0;1) , (-1;2) . 0,5 0,5 III Tính tích phân: I = . 1,00 Đặt Đổi cận: => 0,5 0,5 IV Cho hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng , góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy bằng . Tính thể tích khối chóp. 1,00 (Học sinh tự làm) => Câu lấy 9. V Cho a,b,c dương thỏa mãn : ab + bc + ca = 2abc. Chứng minh rằng: 1,00 (Học sinh tự làm) => Câu lấy 10. VI a 1. Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm và đường tròn với tâm là I. Tìm tọa độ điểm sao cho . 1,00 * Ta có . Suy ra tâm I(1 ; 2) và bán kính R = 2. * Nhận thấy IK = 2. Suy ra * Do và . Suy ra đều. Do đó yêu cầu bài toán Tìm sao cho KM = R = 2. * Giả sử (1) Ta có (2) Từ (1)